控制系统的微分方程描述
自动控制原理01微分方程、传递函数
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
RLC串联电路的数学模型是一个线性定常的二阶微分方程。 总结：1、系统的阶次取决于微分方程的阶次，微分方程 的阶次取决于系统所含储能元件的个数
2、若系统设立了n个变量，需找到n-1个方程才能
性质）只适用于线性定常系统。 （2）表达输入量和输出量之间的关系，只取决于系统的结构和 参数。
（3）在系统中，当选取的输入量或输出量改变时，其传递函数
也随之改变，但分母保持不变。
d （4）传递函数的前提是零初始条件，与微分方程的关系：s dt （5）任何系统的传递函数是唯一的，但不同的系统可以有相同
2.1.2 微分方程的线性化
实际物理系统的数学模型往往存在非线性性质。当输入
量与输出量之间存在非线性时，求解非线性方程非常困难，
因此，希望在一定条件下，用线性方程代替非线性方程来解
决问题，这就是系统的线性化处理。 非线性方程的线性化处理有两种方法，一种是图像近 似法，另一种是泰勒级数展开法。 线性化的前提是 在 处的各阶导数存在。
dn d n1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) ... a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt
dm d m1 d bm m r (t ) bm1 m1 r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
(x) 2 ...
x0
0
x0
x
很小时，忽略高阶无穷小项，则有：
y y0 y f ( x0 ) df ( x) dx x
x0
控制系统的微分方程
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
其中Ta
La Ra
和
Tm
Ra J CeCm
电机通电后产生转矩
Ce称为电动机电势常数
m K2ia K2K f i f ia Cmia
Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程
Wednesday, June 26,
J
d
dt
m
mc
2019
10
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传W递edn系esd数ay, 。Jun这e 26里, 已略去摩擦力和扭转弹性力。
2019
11
相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
自动控制原理与应用第2章
msN (s)
N (s)
1 K eΦ
U
d
(s)
根据传递函数的定义，则其传递函数为
1
G(s) N(s)
KeΦ
U d (s) m d s 2 m s 1
第2章 控制系统的数学模型 2． 阻抗法 求取无源网络或电子调节器的传递函数， 采用阻抗法较为 方便。 电路中的电阻、 电感、 电容元件的复域模型电路如图2-4 所示。
第2章 控制系统的数学模型
将上式展开成部分分式表达式
U
c
(s)
1 s
s
1
1
T
取拉氏反变换得微分方程的解为
1t
uc 1 e T
第2章 控制系统的数学模型
例5：
已知系统的微分方程为 d 2 y dt 2
2 dy dt
y
x ，x及各阶
导数在t=0时的值为零。试求在x=1(t)时系统的输出y。
相对静止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为 零。
所以， 在初始条件为零时， 对微分方程的一般表示式两 边进行拉氏变换
an s nC(s) an1s n1C(s) a1sC(s) a0C(s) bm s m R(s) bm1s m1R(s) b1sR(s) b0 R(s)
第2章 控制系统的数学模型
2.2.3 传递函数的性质
（1） 传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程 之间存在着对应的关系。对于一个确定的系统（输入量与输 出量也已经确定），它的微分方程是惟一的，所以，其传递 函数也是惟一的。
第2章 控制系统的数学模型
（2） 传递函数是复变量s（s=σ+jω）的有理分式，s是复 数，而分式中的各项系数an，an-1，…，a1，a0及bm，bm-1，…， b1，b0都是实数，它们是由组成系统的元件结构、参数决定的， 而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此传递函数代表了 系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型， 称为系统的复数域模型。
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
2.1 控制系统的微分方程
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
《自动控制技术及应用》电子课件
2.1.1 微分方程的建立
解:（1）确定系统的输入变量和输出变量. 输入变量----外力F（t）， 输出变量----位移y（t） （2）建立初始微分方程组. 根据牛顿第二定律可得∑F=ma 合外力 ∑F=F-F1(t)-F2(t) 2 d 加速度 a= y2(t )
2.1.2
拉斯变换与拉斯反变换
3 拉斯变换的基本定理
（4） 积分定理
设 L f (t ) F (s)
F (s) 则 L f（t )dt s （5）初值定理
设 L f (t ) F (s) 则 lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
《自动控制技术及应用》电子课件
2.1.2
拉斯变换与拉斯反变换
f(t) 1
【例2-3】 求单位阶跃函数的拉斯变换
解：单位阶跃函数
0
f (t )
t<0
0 t
1 t≥0
0
L f (t ) F ( s)
1 1 e dt s
st
图2-4 单位阶跃信号
在经典控制理论中，控制系统的数学模型有
多种，常用的有微分方程、传递函数、动态
结构图等.
对线性定常系统，微分方程是最基本的数学 模型，最常用的数学模型是在此基础上转换 来的传递函数和动态结构图。
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
《自动控制技术及应用》电子课件
2.1 控制系统的微分方程
列写微分方程，目的在于确定输出量与
第2章-1-微分方程
K
eo
eo
ei
e
i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
Ce (t ) ua (t )
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流 电动机微分方程为
Rf
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自 动 控 制 原 理
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
V
H
M
x
P M
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化 各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt
控制系统的微分方程
解：
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
u 1 o(t ) C i(t )dt
消去中间变量 i(t) 得到微分方程：
LC
d 2 uo(t) dt 2
RC
duo(t) dt
uo(t)
ui(t)
例2: 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输 入量为外力F，输出量为位移x。
量,根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程； 3.消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准式：方程式左边列写与输出量有关的量。
方程式右边列写与输入量有关的量。
例3：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
Mc
负载
uf
测速发电机
[解]：⑴该系统的组成和原理；
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为
线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，
即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的 系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典 控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中， 除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一 般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近 用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y
df (x) f (x0 ) dx |xx0
(x x0 )
y0 y0
控制系统微分方程的建立
一、典型元件系统微分方程的建立
1． 电学系统 电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件
的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律。
例 2-1 RLC 无源网络如图 2-1 所示，图中 R、L、C 分别为电阻(Ω)、电感(H)、电容(F)；
5
(2-17) (2-18)
(2-19） (2-20) (2-21)
K m ——电动机传递系数(rad／s·V)。
由式(2-21)可见，电枢控制他励直流电动机的动态方程是一个二阶线性常微分方程。如 果以转速ω(rad·s-1)为输出，则为一阶线性常微分方程，即
Tm
dω dt
+ω
=
Kmua
(2-22)
fm
dθm (t) +
dt
ML
式中：
J m ——电枢转动惯量( N ⋅ m ⋅ s 2 / rad );
( ) f m ——电动机轴上的粘性摩擦系数 N ⋅ m / rad ⋅ s −1 ；
M L ——负载力矩 (N ⋅ m)
将式(2-17)和(2-18)代入式(2-16)中，消除中间变量 ia (t )、Eb和M m ，可得
(2-9)
于是有：
ω2
=
Z1 Z2
ω1
(2-10)
M1
=
Z1 Z2
M2
(2-11)
根据力学中定轴转动的转动定律，可分别写出齿轮 1 和齿轮 2 的运动方程：
J1
dω1 dt
+
f1ω1
+ M1
=
Mm
J2
dω 2 dt
+
控制系统的微分方程
控制系统的微分方程数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型，常用的动态模型为微分方程。
建立数学模型的方法分为解析法和实验法。
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
建立微分方程的步骤：1、分析各元件的工作原理，明确输入、输出量；2、按照信号的传递顺序，列写各变量的动态关系式；3、化简（线性化、消去中间变量），写出输入、输出变量间的数学表达式。
例：RLC 无源网络如图所示，图中R 、L 、C 分别为电阻（Ω）、电感（H)、电容（F);建立输入电压u r (V)和输出电压u c (V)之间的动态方程。
解由基尔霍夫定律得:()1()()()r di t u t Ri t L i t dt dt C=++⎰1()()c C u t i t dt=⎰消去中间变量i (t ),可得:222()d ()2()()c c c rd u t u t T T u t u t dt dt ζ++=22()()()()c c c rd u t du t LC RC u t u t dt dt ++=令，则微分方程为：2,2LC T RC T ζ==式中：T 称为时间常数，单位为s,称为阻尼比，无量纲。
ζ例设有一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F 作用于系统时，系统将产生运动。
建立外力F 与质量块位移y (t )之间的动态方程。
其中弹簧的弹性系数为k ，阻尼器的阻尼系数为f ，质量块的质量为m 。
解对质量块进行受力分析，作用在质量块上的力有：外力: F 弹簧恢复力:Ky(t)阻尼力:()dy t f dt由牛顿第二定律得:22()()()d y t dy t m F f Ky t dt dt =−−22()()()d y t dy t m f Ky t Fdt dt ++=222()()2()d y t dy t T T y t kFdt dt ζ++=令，，/T m K =2/T f K ζ=1/k K =/2f mKζ=则微分方程可以写为该方程描述了由质量块、弹簧和阻尼器组成系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
控制系统的微分方程描述 1. 确定每个环节或者整个系统的输入量和输出量 2. 列出各环节的微分方程 3. 消去中间变量
4. 化为标准型Xi=f （Xo （t ））
R-C 电源网络，机械元件之间合力位移加速度关系
u i (t )u o (t )R 1R 2
C L
根据电路的定理，
11()()()i C u t i t R i t dt C =+⎰
2()1()()L C L di t i t dt L i t R C dt =+⎰
2()()o L u t i t R = ()()()C L i t i t i t +=
所以消去变量最后就可以得到微分关系式
对于弹簧类的题目，
M
D K f (t )
x o (t )
x i (t )f(t)外力，求输入输出位移之间的动态关系式？
根据弹簧弹力有，()1()()-()i o f t K x t x t =。
阻尼器阻尼力有，2()
()o dx t f t D dt =
根据牛二定律有，2122()()()o d x t f t f t M dt -=，F=ma ，a 为x 的二次导数
所以消去中间变量，)()()()(22t Kx t Kx dt t dx D dt t x d M i o o o =++
1. 阻尼器的力的方向？
2. 受力分析写出，所以要how 分析？-这不物理吗
继续，
根据牛二定律，受力分析，2122()()()()d x t f t f t f t m dt --= D m K f (t ) x(t)
)()(1t Kx t f = dt t dx D t f )()(2=，所以可以看出阻尼器的力应该是向上 整理得，)()()()(22t f t Kx dt t dx D dt t x d m =++
所以关键是受力分析，大小表达式，方向。