深圳市南山区2014届高三上学期期末考试数学(文)

南山区高 三 期 末 考 试文 科 数 学 2014.01.08本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点．2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．5、考试不可以使用计算器．参考公式：独立性检验中的随机变量：22n(ad bc)K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)-，其中n=a+b+c+d 为样本容量；参考数据：P(K ≥k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 2.706 3.841 5.024 6.635第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、已知全集U=R ，集合P={x|x 2≤1}，那么∁U P=A 、(－∞，－1)B 、(1，+∞)C 、(－1，1)D 、(－∞，－1)∪(1，+∞)2、计算：2(2i)(1i)12i+-=-A 、2B 、－2C 、2iD 、－2i 3、下列函数中是偶函数，且又在区间(－∞，0)上是增函数的是A 、y=x 2B 、y=x -2C 、|x|1y ()4-= D 、653y log x =4、下列命题中的假命题是A 、∃x ∈R ，x 3<0B 、“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件C 、∀x ∈R ，2x >0D 、“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件5、已知a (12)= ，，b (x 1)= ，，且(a 2b)//(2a b)+-，则x 的值为 A 、1 B 、2 C 、13 D 、126、已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且A=60o ，c=3b ，则ac的值为 A 、35BCD7、已知x ，y 满足x 32y x 3x 2y 63y x 9≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则z=2x －y 的最大值是A 、152B 、92C 、94D 、28、点P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到点A(0，－1)的距离与到直线x=－1的距离和的最小值是ABC 、2 D9、若对任意a ，b ∈A ，均有a+b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，下面正确的是 A 、集合{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B 、集合{n|n=3k ，k ∈Z}为闭集合C 、若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合D 、闭集合A 至少有两个元素10、双曲线2222x y 1a b-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，以过F 1作倾斜角为30o 的直线交双曲线的右支与M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABC 、53D第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． (一)必做题：(11～13题)：11、已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n ，(n ∈N*)，则a n =______. 12、如果执行右图程序框图，那么输出的S=______.13、命题“若空间两条直线a ，b 分别垂直平面α，则a ∥b ”，学生小夏这样证明：设a ，b 与平面α相交于A ，B ，连结A 、B ，∵a ⊥α，b ⊥α，AB ⊂α，…… ① ∴a ⊥AB ，b ⊥AB ， ……② ∴a ∥b. ……③这里的证明有两个推理，即①⇒②和②⇒③，老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_________.(二)选做题：(14～15题，考生只能从中选做一题)：14、(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x cos y 1sin =α⎧⎨=+α⎩(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________________.15、(几何证明选讲选做题)如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF FG BC AD+=__________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 16、(本小题满分12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样方法(层内采用不放回的简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3人进行考核. (1)求甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有又1名女工的概率；(3)令X 表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X 的分布列及数学期望.A如图所示，设A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、第二象限. C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△ABC 为等边三角形.记以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ.(1)若点A 的坐标为34()55，，求22sin sin 2cos cos 2θ+θθ+θ的值； (2)设2f ()|BC |θ= ，求函数f(θ)的解析式和值域.18、(本小题满分14分)如图所示，已知斜三棱柱(侧棱不垂直底面)A 1ACC与底面ABC 垂直， BC=2，AC =AB =11AA A C ==(1)求侧棱B 1B 在平面A 1ACC 1上的正投影的长度； (2)设AC 的中点为D ，证明：A 1D ⊥底面ABC ； (3)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的余弦值.19、(本小题满分14分)已知椭圆C ：2222x y 1a b+=(a>b>0)的离心率为2，其左焦点为F(0). (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点D(1，0)，直线l ：y=kx+m(k≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，若 △DAB 是以AB 为底边的等腰三角形，试求k 的取值范围.A BCD A 1B 1C 1已知函数xf (x)1x=+(x>0)，数列{a n }满足a 1=0.5，a n+1=f(a n )(n ∈N*). (1)求a 2，a 3的值； (2)证明数列n1{}a 是等差数列并求出数列{a n }的通项公式； (3)设n n n 1b 1(1)(2)a a 4=11--+(n ∈N*)，求证：b 1+b 2+……+ b n <5.21、(本小题满分14分) 已知函数xf (x)k ln x=+(k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数). (1)求函数f(x)的单调区间；(2)探究函数ln xg(x)f (x)x=-)在x ∈(1，+∞)上的零点个数(只要求写出结果)； (3)若函数22kf (x)e h(x)f (x)+= (k>2，x>1)，求函数h(x)的最小值.高三数学(文)参考答案及评分标准2014.1.8一、选择题：(8×5′=40′)题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D A B D B C A B 二、填空题：(6×5′=30′)9、2n ； 10、94； 11、②⇒③； 12、0.5 ；1314、ρ=2sin θ； 15、1. 三、解答题：(80′) 16、(本题满分12分) 解：(1)310=215⨯ ，3×5=115， 答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名. ……2分(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为11146521105C C C 8=C C 15. ……6分(3)X 可取值：0，1，2，3，214321105C C 2P(X =0)==C C 25， 111126432421105C C C +C C 28P(X =1)==C C 75， 211116326421105C C +C C C 31P(X =2)==C C 75，216221105C C 2P(X =3)==C C 15， X 的分布列为：X 0 12 3P 2252875 3175 215……10分2283128E(X)0123257575155=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……12分17、(本题满分12分)解：(1)因为点A 的坐标为34()55，，故4sin 5θ=，3cos 5θ=，……3分所以22222sin θ+sin2θsin θ+2sin θcos θ==20cos θ+cos2θ2cos θsin θ-． ……6分 (2)因为以OA 为终边的角是θ，且△AOB 为等边三角形，所以以OB 为终边的角为πθ+3，所以点B 的坐标是ππ(cos(θ+)sin(θ+))33，.……8分而C(1，0)．所以222ππf(θ)=|BC |=[cos(θ+)1]+sin (θ+)33-π=22cos(θ+)3-. ……10分因为点A 、B 分别在第一、二象限，所以ππθ(2k π+2k π+)62∈，，k ∈z ，所以ππ5π(θ+)(2k π+2k π+)326∈，，k ∈z ． ……11分所以πcos(θ+)3的值域为(0)，所以2|BC |(22+∈，. ……13分因此函数πf(θ)=22cos(θ+)3=-，f(θ)的值域是(22+，. ……14分18、(本题满分14分)解：(方法一)(1)∵ABC-A1B1C1是斜三棱柱，∴BB1∥平面A1ACC1，故侧棱B1B在平面A1ACC1上的正投影的长度等于侧棱B1B的长度． (2)分又11BB=AA=故侧棱B1B在平面A1ACC1. ……3分(2)证明：∵AC=11AA=A C=∴AC2= A1A2+ C1A2，∴三角形AA1C是等腰直角三角形，……5分又D是斜边AC的中点，∴A1D⊥AC，……6分∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC，……7分(3)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB．∴AB⊥平面A1ED，……8分从而有A1E⊥AB，∴∠A1ED是面A ABB与面ABC所成二面角的平面角．……9分∵BC=2，AC=AB=AC2=BC2+AB2，∴三角形ABC是直角三角形，AB⊥BC，……10分∴ED∥BC ，又D是AC的中点，BC=2，AC=……11分∴DE=1，1A D=AD=，1A E==2，……12分∴11DE1cos A ED==A E2∠，……13分即侧面A1 ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值为0.5. ……14分(方法二)(1)同方法一；(2)同方法一.(3)∵BC=2，AC=AB=AC2=BC2+AB2，∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，则AB BCBE===AC⋅EC===∴DE=CD EC==33-，……8分以D为原点，A1D所在的直线为z轴，DC所在的直线为y标系，如图所示，则A(00)，，1A(00，0)，1A A(0=，，1A B=，设平面A1ABB1的法向量为n=(x y z)，，，则11n A A=0n A B=0⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，ABCDEA1B1C1即=0x +y =033⎧⎪⎨⎪⎩，化简得z =y+y 3z =0-⎧⎪⎨-⎪⎩令x =y=－1，z=1，所以p =11)-，是平面A 1ABB 1的一个法向量. ……11分由(1)得A 1D ⊥面ABC ，所以设平面ABC 的一个法向量为q =(001)，，， ……12分设向量p 和q 所成角为θ，则p q 1cos θ===p q2⋅， ……13分 即侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的余弦值为0.5. ……14分 19、(本题满分14分)解：(1)由题意知，c =a 2，c =，∴a=2，b=1， ……1分 所以，椭圆C 的方程为22x +y =14. ……4分(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，由22y =kx +m x +y =14⎧⎪⎨⎪⎩，得(4k 2+1)x 2+8kmx+4(m 2－1)=0， ……6分 据△>0，得4k 2+1>m 2 (※)， ……7分有128km +x =2(4k +1)-228km x =2(4k +1)-1228kmx +x =4k +1-， ∴024km x =4k +1-，02my =4k +1， ……10分又由题意知，DM 垂直平分AB ，则DM 的方程为：x=－ky+1，……11分将点M 的坐标代入，得24k +1m =3k -， (☆) ……12分由(※)，(☆)得，222(4k +1)4k +1>9k，解得k (U (+)55∈-∞-∞，所求. ……14分 20、(本题满分14分)解：(1)易求得21a =3，31a =4. ……2分 (2)∵xf(x)=(x 0)1+x>，则n n+1n n a a =f(a )=1+a ， ……3分得n+1n 11=1a a +， ……5分 即n+1n11=1a a -， ……6分 ∴数列n1{}a 是首项为2，公差为1的等差数列， ……7分∴n 1=n +1a ， 即n 1a =n +1. ……9分 (3)由(2)知，b 1=4， ……10分n 1111b ==1n(n 1)n 1nn(n 1)+4≤----(n≥2)， ……12分则 123n 11111b +b +b ++b <4+(1)+()+...+()223n 1n---- (1)=5<5n-，故b 1+b 2+b 3+…+b n <5. ……14分 21、(本题满分14分)解：(1)已知f(x)的定义域为(0，1)∪(1，+∞)，2lnx 1f(x) =(lnx)-. ……2分 令f ′ (x)>0，得x ∈(e ，+∞)，f ′ (x)<0，得x ∈(0，1)、(1，e)， ……3分 ∴f(x)的单调增区间为(e ，+∞)；单调减区间为(0，1)、(1，e). ……5分 (2)①当1k >e e -时，g(x)没有零点；②当1k =e e-时，g(x)有一个零点； ③当1k <e e-时，g(x)有两个零点. ……8分 (3)设F(k)=e k －e －k(k ≥2)，则F ′(k)=e k －1>0，∴F(k)在[2，+∞]上单调递增，∴当k>2时，F(k)= F(2)= e 2－e－2>0，即当k>2时，e k >e+k ，……10分由(1)知，当x>1时，f(x)≥f(e)=e+k ， ……11分22k 2kk f (x)+e e h(x)==f(x)+=2e f(x)f(x)≥， ……13分当且仅当f(x)= e k 时取等号，∴h(x)最小值为2e k . 三、解答题：(80′)16、(本题满分12分) 解：(1)依题意得2π2π1==T 6π3ω=，∴x πf(x)=Asin(+)36， ……2分由f(2π)=2，得2ππAsin(+)=236，即5πAsin=26，∴A=4， ……4分 ∴x πf(x)=4sin(+)36. ……5分(2)由16f(3α+π)=5，得1π164sin[(3α+π)+)]=365，即π164sin(α+)=25，∴4cos 5α=， ……6分又∵πα[0]2∈，，∴3sin 5α=， ……7分由5π20f(3+)=213β-，得15ππ204sin[(3+)+)]=32613β-，即5sin(+π)=13β-，∴5sin β13=， ……9分又∵πβ[0]2∈，，∴12cos β13=， ……10分cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ412356351351365=⨯+⨯=. ……12分 17、(本题满分12分) 解：(1)总计 甲班55乙班 20 30 50 合计 30 75 105……3分(2)根据列联表中的数据，得到2105(10302045)k = 6.109 3.84155503075⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， ……5分因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”. ……6分(3)设“抽到6或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y). 所有的基本事件有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)、(4，5)、(4，6)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(5，5)、(5，6)、(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(6，6)，共36个. ……8分事件A 包含的基本事件有：(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(4，6)、 (5，1)、(5，5)、(6，4)，共8个， ……10分 ∴82P(A)399==， ……11分 故抽到6或10号的概率是29. ……12分 18、(本题满分12分)解：(1)取线段A 1B 1中点M ，连结C 1M ，∵C 1A 1=C 1B 1，点M 为线段A 1B 1中点， ∴C 1M ⊥A 1B.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴A 1A ⊥平面C 1A 1B 1，∴A 1A ⊥C 1M ，∵A 1A ∩A 1B 1= A 1，∴C 1M ⊥平面ADB 1A 1，……2分 ∴1113C -ADB A 1(2a +a)2aV ==32⨯⨯. ……5分(2)连结BC 1，B 1C 交于点E ， 则点E 是B 1C 的中点，连结DE ，因为D 点为AB 的中点，所以DE 是△ABC 1的中位线，所以AC 1∥DE ， ……7分 因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1 ⊄平面CDB 1， 所以AC 1∥平面CDB 1. ……9分 (3)因为AC 1∥DE ， 所以∠EDB 1是异面直线AC 1与DB 1所成的角， ……10分 因为棱长为2a ，所以1DE =EB =，1DB =，取DB 1的中点F ，连接EF ，则EF ⊥DB 1，且DE =， ……12分 所以1DF cos EDB ==DE ∠， 即异面直线AC 1与DB 1 ……14分 19、(本题满分14分) 解：(1)由题意知，c =a c =，∴a=2，b=1， ……1分 1 C AB C D A 1 B 1C 1M所以，椭圆C 的方程为22x +y =14. ……4分(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，由22y =kx +m x +y =14⎧⎪⎨⎪⎩，得(4k 2+1)x 2+8kmx+4(m 2－1)=0， ……6分 据△>0，得4k 2+1>m 2 (※)， ……7分有1x =2x =1228kmx +x =4k +1-， ∴024km x =4k +1-，02my =4k +1， ……10分 又由题意知，DM 垂直平分AB ，则DM 的方程为：x=－ky+1，……11分将点M 的坐标代入，得24k +1m =3k -， (☆) ……12分由(※)，(☆)得，222(4k +1)4k +1>9k，解得k (U +)∈-∞∞，所求. ……14分 20、(本题满分14分)解：(1)易求得21a =3，31a =4. ……2分 (2)∵xf(x)=(x 0)1+x>，则n n+1n n a a =f(a )=1+a ， ……3分得n+1n 11=1a a +， ……5分 即n+1n11=1a a -， ……6分 ∴数列n1{}a 是首项为2，公差为1的等差数列， ……7分∴n 1=n +1a ， 即n 1a =n +1. ……9分 (3) ∵21[f(x)]'=(1+x)， ……10分 ∴函数f(x)在点(n ，f(n))(n ∈N*)处的切线方程为：2n 1y =(x n)1+n (1+x)--， ……11分 令x=0，得2n 22n n n b ==1+n (1+n)(1+n)-. ……12分 ∴222n 2n n b λλn +λ(n +1)=(n +)+λa a 24λ+=-， 仅当n=5时取得最小值，只需9λ11222<-<，解得－11<λ<－9，故λ的取值范围为(－11，－9)． ……14分21、(本题满分12分) 解：(1)当1a =2时，f(x)的定义域为1()2，+∞， ……1分11又'12(x +)(x 1)12f (x)=2x =11x x 22----- ……2分 ∴1x (1)2，∈时，f ′(x)>0；x ∈(1，+∞)时，f ′(x)<0. ……3分 所以f(x)的递增区间为1(1)2，，递减区间为(1，+∞). ……4分 (2)当x ∈[1，2]时，x －a>0恒成立，即a<1； ……5分 当x ∈[1，2]时，'1f (x)=2x 0x a -≤-恒成立，即1a x 2x≤-恒成立， ……6分 又x ∈[1，2]时，min 110(x )2x 2≤-=， ……8分 所以1a 2≤. ……9分 (3)设切点为(x 0，y 0)，则00'000y =x f (x )=1y =f(x )⎧⎪⎨⎪⎩， ……10分所以ln(x 0－a)－x 02=x 0，且001=1+2x x a -，即001x a 1x -=+. 所以20001ln x =x 1+2x -，所以2000x +x +ln(1+2x )=0 ……11分 设g(x)=x 2+x+ln(1+2x)，1x >2-，则2'(1+2x)+1g (x)=>01+2x ， 所以g(x)在1()2，-+∞上为增函数，又g(0)=0， ……13分 所以g(x)=0有唯一解x=0，故x 0=0，于是a=－1. ……14分。