带四裂纹的椭圆孔口问题的应力分析_李宗学[1]

∫
－
Γ
（ 18 ）
（ 16 ） 式和（ 18 ） 就可以求出函数 φ' （ ζ） 及裂纹尖端的应力 当 z = ω（ ζ） 函数的形式确定时， 由（ 5 ） 式，
2
带四裂纹的椭圆孔口问题
a， b 表示长半轴和短半轴的长度， c1 － a 和 c2 － a 代表 考虑无限大平面中包含四裂纹的椭圆孔口 ，
{
x2 + y2 → ∞ ： σ xx = 0 ， σ yy = p， σ xy = 0 槡
第2 期
李宗学 等
带四裂纹的椭圆孔口问题的应力分析
135
φ（ ζ ） =
p p ω （ ζ ） + φ0 （ ζ ） ， ψ （ ζ ） = ω （ ζ ） + ψ0 （ ζ ） 4 2 f0 = － p p ω（ σ） － ω（ σ） ห้องสมุดไป่ตู้ 2 p p ω（ σ） － ω（ σ） 2 2 dσ σ －ζ
3 －μ （ X － iY） lnζ + （ B' + iC' ） ω（ ζ） + ψ0 （ ζ） 8π 1 2 πi 1 2 πi ω（ σ） ∫ω ' （ σ）
Γ
φ' 0 （ σ ） 1 dσ = 2 πi σ －ζ
∫ σ － ζdσ
Γ
f0
（ 11 ）
f0 φ' 0 （ σ ） 1 dσ = dσ （ 12 ） Γ － i 2 σ ζ π σ －ζ 1 +μ X + iY ω（ σ） f0 = i （ X + iY） ds － lnσ － （ X － iY） － 2 B ω（ σ） － （ B' － iC' ） ω（ σ） （ 13 ） 2π 8π ω' （ σ） ω（ σ） ∫ω ' （ σ）
2
2 2 + g2 3 （ ζ + 1） ］ ｝
+ 2 ζ（ a － b） / ｛ + 其中， － 16 （ g3 槡
2
－ 16 g3 ζ 槡
2 2
2 + ［槡 g2 2 + g3 （ ζ － 1 ） 2
+
2
g1 槡
2
2 2 + g2 3 （ ζ + 1） ］
2 + 1 ） ζ2 + ［槡 g2 2 + g3 （ ζ － 1 ）
（ 3） （ 4）
2 μ（ u x + iu y ） = κφ1 （ z） － z φ' 1 （ z） － ψ1 （ z） 其中
0206 收稿日期： 2012作者简介： 李宗学（ 1963 － ） ， 男， 内蒙古赤峰人， 副教授． E － mail： Lizxue@ 163． com． 通信作者： 杨丽星（ 1983 － ） ， 女， 内蒙古包头人， 助教．
DOI： 10． 11702 / nmgdxxbzk20130204
*
带四裂纹的椭圆孔口问题的应力分析
李宗学， 杨丽星
（ 内蒙古医科大学计算机信息学院， 呼和浩特 010059 ）
摘要： 利用复变函数方法， 通过构造保角映射， 研究了带四裂纹的椭圆孔口的平面弹性问题，
并求得了在受单向拉伸情形下裂纹尖端的应力强度因子的解析解 ． 在极限情形下， 可以还原为 已有的结果．
{
σ θ + σ ρ = 4ReΦ（ ζ） σ θ － σ ρ + 2 iτ ρθ = 2 ζ2 ［ ω（ ζ） Φ' （ ζ） + ω' （ ζ） Ψ（ ζ） ］ 2 ρ ω' （ ζ） ω' （ ζ） 3 － μ ω（ ζ） φ（ ζ ） － φ' （ ζ ） － ψ （ ζ ） ω' （ ζ） 1 + μ ω' （ ζ） （ 6）
（ 16 ） （ 17 ）
将（ 17 ） 式代入（ 11 ） 式， 得 1 φ0 （ ζ ） + 2 πi 强度因子 K I 和 K II ． 设在孔口边缘或裂纹表面上不受力 ， 只在远处受到均匀剪切力 q 时， 用以上同样的方 法可以推出相似的结果． Ⅱ型问题
∫
Γ
1 ω （ σ ） φ' 0 （ σ ） dσ = 2 πi ω' （ σ） σ － ζ
*
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内蒙古大学学报（ 自然科学版）
2013 年
κ = μ 是剪切模量， ν 是泊松比．
{
（ 3 － ν） 平面应力 （ 1 + ν） ， 3 － 4 ν， 平面应变
z = ω（ ζ） （ 5） 若我们引入保角映射函数 此变换把 ζ 平面（ 数学平面） 上的单位圆 Γ 的内部保角映射到 z 平面（ 物理平面） 上包含孔口或裂纹的 无限大平面， 通过这个映射等式（ 3 ） —（ 4 ） 变为
1
φ' （ ζ ） ω ″（ ζ ） 槡
（ 14 ）
（ 14 ） 式表明只要确定 φ' （ ζ） 就可以求出裂纹尖端的应力强度因子 K I 和 K II ， 下面分两种情况讨论： Ⅰ型问题 设孔口边缘或裂纹表面上不受力 ， 而仅在远处受到沿 y 轴方向的均匀拉应力 p 时， 其 边界条件如下： （ 15 ） （ x， y） ∈ L： σ xx cos（ N， x） + σ xy cos（ N， y） = 0 ， x） + σ yy cos（ N， y） = 0 σ xy cos（ N， N 为 L 上任意一点的外法线方向， cos（ N， x） 、 cos（ N， y） 代表其方向 其中 L 表示孔口边缘或裂纹表面， 余弦． B = 由边界条件（ 15 ） 可得， p p ， B' + iC' = ， X = Y = X = Y = 0， 且 4 2
Γ
∫
∫
其中 σ = ζ
Γ
= e iθ 代表单位圆 Γ 上的 ζ 值， X 和 Y 代表面力分量， X 和 Y 代表体力分量， 当孔口或裂
X = Y = 0， 纹不受面力时 X = Y = 0 ， 常数 B 和 B' － iC' 决定于距孔口或裂纹很远处的应力主向和主 应力． 8］ 由文献［ 知， 复应力强度因子计算公式为 K I － iK II = 2 槡 π lim ζ→ ζ
关键词： 椭圆孔带四裂纹； 保角变换； 应力强度因子； 复变方法； 解析解 中图分类号： O175． 3 文献标志码： A 固体中带裂纹的孔口问题， 既是力学中的一个重要问题， 又是一个比较难解决的课题， 长期以来， 1］ 一直被数学界和力学界所关注并取得了一系列的成果 ． 如文献［ 解决了带裂纹的圆形孔口问题， 文 2］ 3］ 4］ 解决了带单裂纹的椭圆孔口问题 ， 文献［ 解决了带不对称裂纹的圆形孔口问题 ， 文献［ 解决 献［ ， ［ 5 ］ ， 解决了带四条等长裂纹的圆形孔口问题 均得到了应力强 了带对称双裂纹的椭圆孔口问题 文献 度因子的解析解． 椭圆带裂纹问题是断裂力学中一个比较典型的断裂问题 ， 是圆或椭圆带多裂纹问题 ， ． 的典型代表 广泛地存在于各种材料及铸件中 这些裂纹给人类的工程实践和生产发展带来巨大威 胁， 因此对椭圆带四裂纹问题进行研究具有重要的理论意义和应用价值 ． 本文是通过构造适当的保角 映射研究了带四裂纹的椭圆孔口问题 ， 并求得了在单向拉伸的情形下其裂纹尖端的应力强度因子的 精确分析解．
2013 年 3 月 第 44 卷 第 2 期
内蒙古大学学报（ 自然科学版） Journal of Inner Mongolia University （ Natural Science Edition）
Mar． Vol． 44
2013 No． 2
013308 文章编号： 1000 － 1638 （ 2013 ） 02-
1
预备知识
6］ ， 设复杂缺陷在无限大平面内， 由文献［ 其控制方程为
2 2 U = 0
（ 1）
U 为 Airy 应力函数． U 的复表示为 其中 为二维 Laplace 算子， U（ x， y） = Re［ z φ1 （ z ） + 实部． 由弹性静力学的基本关系和（ 2 ） 式， 有应力和位移的如下表达
（ 22 ）
（ x， y） ∈ L， n 表示曲线的外法线， cos（ n， y） 与 cos（ n， x） 表示 L 上任意一点外法线 其中 L 表示椭圆孔， 的方向余弦． q q B' + iC' = ， X = Y = X = Y = 0， 根据边界条件（ 22 ） ， 有B = ， 且 4 2 q q （ 23 ） ψ （ ζ ） = ω （ ζ ） + ψ0 （ ζ ） ， φ （ ζ ） = ω （ ζ ） + φ0 （ ζ ） ， 4 2 q q （ 24 ） f0 = － ω （ σ ） － ω（ σ） 2 2 将（ 24 ） 代入（ 11 ） ， 有 q q － ω（ σ） + ω（ σ） 1 1 2 2 ω （ σ ） φ' 0 （ σ ） d σ + ψ0 （ 0 ） = dσ （ 25 ） φ0 （ ζ ） + 2 πi Γ ω' （ σ） σ － ζ 2 πi Γ σ －ζ （ 25 ） 式可化 由复变函数 Cauchy 积分公式与解析延拓的知识， 并且注意到 σ = 1 ， ω（ σ） = ω（ σ） ，
2
∫ ψ （ z） dz］
1
（ 2）
z = x － iy 是 z 的复共轭， Re 代表复数的 其中 φ1 （ z） 与 ψ1 （ z） 表示复变量 z = x + iy 的两个解析函数，
{σ σ
xx yy
+ σ yy = 4Reφ' 1 （ z） － σ xx + 2 iσ xy = 2［ zφ″1 （ z） + ψ' 1 （ z） ］