河北省石家庄市2015届高三复习教学质量检测一试题 数学理 扫描版含答案
河北省石家庄市2015届高三上学期复习质量检测(一)数学(理)试题及答案
石家庄市2015届高三复习教学质量检测（一）高三数学（理科）（时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数21ii =-（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i - D ．12i - 2、已知集合2{|230},{0,1,2,3,4}A x x x B =--≤=，则集合AB =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1,2 3、已知向量(2,6),10,10a b a b =--=⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．150 B ．30- C ．120 D ．60-4、已知双曲线2221()4x y a R a -=∈的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．35 B ．3 C ．3 D ．55、设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[]2,1x ∈-时，()2422001x x f x xx ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f =（ ） A ．1- B ．1 C ．12D ．0 6、设,a b 表示不同的直线，,,αβγ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若a α⊥且a b ⊥，则//b α B ．若γα⊥且γβ⊥，则//αβC ．若//a α且//a β，则//αβD ．若//γα且//γβ，则//αβ 7、已知函数()3sin34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数， 则()()2014(2014)2015(2015)f f f f ''+-+--=（ ） A ．8 B ．2014 C ．2015 D ．08、为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点（ ）A ．向右平移动3π个单位长度 B ．向右平移动6π个单位长度 C ．向左平移动3π个单位长度 D ．向左平移动6π个单位长度9、阅读如下的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．11 10、二项式71(2)x x+的展开式中31x 的系数是（ ） A ．42 B ．168 C ．84 D ．2111、某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4π B ．283πC ．443πD ．20ο12、设函数()2(,xf x e x a a R e =+-∈为自然对数的底数)，若曲线sin y x =上存在点00(,)x y ，使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．11,1e e -⎡⎤-++⎣⎦ B ．[]1,1e + C ．[],1e e + D ．[]1,e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(一)理科数学
2页3第4页 5第石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案一、选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15． 16.3602 三、解答题 17.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................10分 18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分 （2）2(21)2nnn n b a n ==+123325272(21)2n n S n =+++++………………①…………②……………………6分①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分1+12(12)22(21)2122(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分∴1(21)22n n S n +=-+……………………12分 19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos 2629100 (85)2c= (92)==∴===+-+-==-+==a bA B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分23412325272(21)2n n S n +=+++++6……….5分（2）P （Y=0）=632228=C P （Y=1）=282112128=C C P （Y=2）=112212=C …………………11分 5E（P ）=.…………………………12分 20(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME , ∴四边形MEFN 为平行四边形. -------------2∴EF ,∴EF ∥PAB 平面.(2) 棱PA ⊥底面ABCD ,所以A P ，轴轴，轴，z y x 的正方向，建立以(001),(000),B (1,0P A C D ，，，，，，，，，,1(0222E ，，所以,1(0)22EF =-，，, (0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB ==所以11022b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8页7第设直线EF 与平面ABE 所成角为α, 于是1sin cos ,2EF n EF n EF nα=<>==.-------------10所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2在平面PAD 内作EH ∥PA H 于, 因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以EH ⊥底面ABCD . -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABFS =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯=-------------8设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=11122ABES AB AE =⨯⨯=⨯=1133ABFABES EH Sh =,h =-------------10设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------1221.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x xy y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。
河北省普通高中百校联盟2015届高三下学期教学质量检测数学(理)试题Word版含答案
2014-2015 学年一般高中高三教课质量监测理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的）1、复数z知足(z 2i )(1 i )13i (i 为虚数单位），则复数 zA．1 i B ．1 i C．1D．12、已知全集为R，f x1的定义域为会合 A ，x22x 30 的解集为会合 B ，log 2 x1则 A (C R B)A．0,3B．2,3C． 2,3 D ．3,3、已知a log 21,b1lg5, c xdx ，则实数a,b, c的大小关系为30A．c b a B ．c a b C ．a c b D ．a b c4、已知定义在 R 上的奇函数 f x，当 x0 时，f2x1x0,1，若 f x 在区间x2) 2x1,( xa, a 上单一递加，则 a 的取值范围为A．,1B． 1,C． 0,1 D ．1,15 、已知命题甲：sin cos 2 ，命题乙：双曲线x2y21的渐近线与圆cos2sin 2( x 1)2y21相切，则命题甲为命题乙的2A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件6、已知某高校高三学生有2000 名，在第一次模拟考试中数学成绩听从正态散布N (120, 2 ) ，已知 P(100120)0.45，若学校教研室按分层抽样的方式从中抽出100 份试卷进行剖析研究，则应从 140 分以上的试卷中抽A．4份B．5份C．8份D．10份7、履行以下图的程序框图，输出的S 为A ． 1006B ． 1007C ． 1008D ． 10098、如图，网格上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的某几何体组合体的三视图，则该组合体的体积为A ． 12 4 4 3B ．124 3C ． 48D． 483x y 1 09、已知 x, y 知足不等式组x y 1 0 ，则目标函数z2x y 3 的最小值和最大值的等比中3xy 3 0项为A ． 7B ．7 C． 10D．10210、已知 ysin(2 x) 在 (, ) 上单一递加，此中 ( ,2 ) ，则的取值范围为4 3A ．[7,2 ]B．[ ,11]C ．[7 ,11]D．[7,2 )666 6611、已知抛物线 C : y 24x 上一点 P ，若以 P 为圆心，PO 为半径作圆与抛物线的准线 l 交于不一样的两点 M , N ，设准线 l 与 x 轴的交点为A ，则11 的取值范围是ANAMA ． (0, 2)B ． ( 2, )C． (0,2 2)D． (2 2, )12、已知函数f xx 2 ax, g xb aln( x 1)，存在实数 a(a1) ，使 y f x 的图象与y g x 的图象无公共点，则实数b 的取值范围为A ． 1,B． 1,3ln 2C ．3ln 2,D ． (, 3ln 2)444第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。
河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学(理)试题
2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = （ ） A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞【答案】C 【解析】试题分析：由题意{|0}U y y =>，1{|0}2P y y =<<，则1{|}2U C P y y =≥，选C. 考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 （ ） A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数z 满足2015(1)i z i --0= (其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 （ ） A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 【答案】A 【解析】试题分析：由题意2015(1)1111(1)(1)22i i i i z i i i i i --+====----+，1122z i =+，z 虚部为12.考点：复数的概念与运算.4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = （ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】试题分析：3211235S a a a a a =+=++，所以314a a =，即24q =，所以7522142a a q ===. 考点：等比数列的性质.5.设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:230l x y +=，平移直线l ，当l 过点(2,1)C 时，z 取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 （ ） A ．536B ．16C ．215D ．112【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有6636⨯=种，其中点数和为8的事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5种，因此所求概率为536P=.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．53C．203D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱ABC MNF-与四棱锥F MNDE-组合而成，1110221212233V=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.NFD考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的4N=，那么输出的S的值为（）A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数,,T S k 的值依次为(1,1,2)，11(,1,3)22+，111(,1,4)23223++⨯⨯，1111(,1,5)234223234+++⨯⨯⨯⨯⨯，这里54k =>结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-= （ ）A ．．12 D ．12-【答案】A 【解析】试题分析：由已知得cos sin8πα=，sin cos8πα=，所以32,8k k Z παπ=+∈，所以32sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为 （ ） A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π【答案】D 【解析】试题分析：设ABC ∆的外心为1O ，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒7=，BC =12sin120BC O A ==︒，该四面体外接球半径为R ，由于SA ⊥平面ABC ，则有22222140(2)(2)23R SA O A =+=+=，所以24043S R ππ==球.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是 （ ）A C【答案】D 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩消去x 得22(24)10y k y +-+=，则21224y y k +=-①，121y y =②，又11AF y =+，21BF y =+，由已知1213(1)y y +=+③，由②③得1213,3y y ==，代入①得3k =（,A B 在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记102|()()||()()|k kkkkS f a f a fa f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-=，则下列结论正确的是 （ ）A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S << 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1),(,1)a b x ==-，且a b -与b 共线，则x 的值为 【答案】2- 【解析】试题分析：a b -(2,2)x =-，由a b -与b 共线得2(2)x x =--，解得2x =-． 考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则7a =【答案】8 【解析】试题分析：88880[1(1)](1)k k k x x Cx ==+-=-∑，7788a C ==.考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线(xy xe e -=是自然对数的底数）和直线3y x =+上的动点，则P 、Q两点间距离的最小值为试题分析：'(1)x x x y e xe x e ---=-=-，令(1)1x x e --=，即1xe x =-，10xe x +-=，令()1x h x e x =+-，显然()h x 是增函数，且(0)0h =，即方程10x e x +-=只有一解0x =，曲线x y xe -=在0x =处的切线方程为y x =，两平行线0x y -=和30x y -+=间的距离为2d ==. 考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离. 16.在平面直角坐标系中有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b 对n N *∀∈，点n P 在函数(01)xy a a =<<的图象上，又点1(,0),(,),(1,0)n n n n n A n P a b A n ++构成等腰三角形，且1n n n n P A P A +=若对n N *∀∈，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，则a 的取值范围是【答案】1215<<-a 【解析】试题分析：由题意点1(,0),(,),(1,0)n n n n n A n P a b A n ++构成以(,)n n n P a b 为顶点的等腰三角形，则(1)2122n n n n a +++==，212n n b a +=，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，因为01a <<，则有212325222n n n a a a +++<+，210a a +->1a <<. 考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos (2)cos()b A c a B π=+- （1）求角B 的大小；（2）若4,b ABC =∆a c +的值.【答案】（1）23B π=；（2）试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得sin cos (2sin sin )cos B A C A B ∴=--（同时用诱导公式化简），整理得sin()2sin cos A B C B +=-，在三角形中有sin()sin 0A B C +=≠，因此得1cos 2B =-，23B π=；（2）由面积公式有1sin 2S ac B ==4ac =，再结合余弦定理可得a c +=试题解析：（1） ()cos (2)cosb Ac a B π=+-Q cos (2)cos b A c a B ∴=--…………………………1分sin cos (2sin sin )cos B A C A B ∴=--…………………………3分 sin()2sin cos A B C B ∴+=- ∴ 1cos 2B =-…………………………5分 ∴ 23B π=…………………………6分(2) 由1=sin 2ABC S ac B ∆= a c ＝4…………………………8分. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2+ac216(a+c )ac -==…………………10分∴ a ＋c =…………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理. 18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面22⨯的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E （X ）和方差D （X ）【答案】（1）见解析，与性别有关； （2）分布列为期望为5，方差为25【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得28.249K ≈ 6.635>，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X ～B （3，52），P(x=i)=3323()()55i i i-ð （i=0，1，2，3），可得X 的分布列，由公式可得期望与方差.试题解析：（1）完成下面的22⨯列联表如下……………… 3分22100(40251520)60405545K ⨯-⨯=⨯⨯⨯≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分 （2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为52. 由题意可知X ～B （3，52），P(x=i)=3323()()55i i i -ð （i=0，1，2，3）………………8分 从而分布列为.……………… 10分 E(x)=np=56 (或0.6)，D(x)=np(1-p ）=2518 (或0.72) ……………… 12分 考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差. 19.（本小题满分12分）已知PA ⊥平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：CD ⊥平面ADP ；（2）M 为线段CP 上的点，当BM AC ⊥时，求二面角C AB M --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）102.【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有CD AD ⊥，寻找题设条件还有PA ⊥平面ABCD ，从而有PA CD ⊥，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有,,AB AD AP 三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点M 的坐标（因为其它点.,,,A B C D P 的坐标都易得），设(,,)M x y z ，利用PM 与PC 共线，及BM PC ⊥就能求出M 点的坐标，然后求出平面ABC 平面ABM 的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则)1,0,0(=，)4,0,4(=，)0,4,0(=，)4,4,4(-=PC .………………………………6分设M （x, y , z), λ=)10(≤≤λ，则),4,(z y x -=.zxy所以),4,(z y x -λ=)4,4,4(-，⎪⎩⎪⎨⎧=-==λλλ4444z y x ，)4,44,4(λλλ-M ，)14,44,4(--=λλλBM .因为BM ⊥AC ，所以0=⋅，⋅--)14,44,4(λλλ0)4,0,4(=，解得81=λ，法2：在平面ABCD 内过点B 作BH ⊥AC 于H ，在平面ACP 内过点H 作HM ∥AP 交PC 于点M ，连接MB ………6分， 因为AP ⊥平面ABCD ， 所以HM ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD ， 所以HM ⊥AC.又BH ∩HM=H, BH ⊂平面BHM ，HM ⊂平面BHM ， 所以AC ⊥平面BHM.所以AC ⊥BM ，点M 即为所求点. …………………………………………8分 在直角ABH ∆中，AH=2222=AB ， 又AC=2422=+DA CD ，所以81=AC AH . 又HM ∥AP ，所以在ACP ∆中，81=PC PM . 在平面PCD 内过点M 作MN ∥CD 交DP 于点N ，则在PCD ∆中， 81=PD PN . 因为AB ∥CD ，所以MN ∥BA.连接AN ，由（1）知CD ⊥平面ADP ，所以AB ⊥平面ADP. 所以AB ⊥AD ，AB ⊥AN.所以∠DAN 为二面角C —AB —M 的平面角.………………………10分在PAD ∆中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则81=AD AS ， 所以AS=21，2787==PA NS ，所以NA=225.所以102cos cos ==∠=∠NA AS SAN DAN .所以二面角C —AB —M 的余弦值为102. …………………………………………12分 考点：线面垂直，二面角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)3P ，若1cos 3APB ∠=，求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）1y =-或1y =-. 【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程22221x y a b +=，再由离心率c e a ==222a b c =+联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线AB 方程为为y kx t =+，设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，把直线方程与椭圆方程联立2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(14)8440k x ktx t +++-= 则有122814kt x x k -+=+，21224414t x x k-=+，同时有22041k t ∆>⇒+>；从而有12121222()214ty y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设,A B 的中点为(),D m n ，则1224214x x kt m k +-==+，122214y y tn k +==+，因为直线PD 于直线l 垂直，所以113PD nk k m -=-=-得21149t k =-+ ，结合2204190k t t ∆>⇒+>⇒-<<，由条件1cos3APB∠=可得t a n2APD∠=，2tanABAPDPD∠=，其中AB==，PD为点P到直线AB的距离，由引可求得()19,0t=-∈-，k=试题解析：（1）由1题意得22=21314caa b⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a，1b=．所以椭圆C的方程是2214xy+=．……………………… 4分（2）设直线l的方程设为y kx t=+，设1122(,),(,)A x yB x y，联立2214y kx txy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得222(14)8440k x ktx t+++-=则有122814ktx xk-+=+，21224414tx xk-=+，由22041k t∆>⇒+>；12121222()214ty y kx t kx t k x x tk+=+++=++=+…………… 6分设,A B的中点为(),D m n，则1224214x x ktmk+-==+，122214y y tnk+==+因为直线PD于直线l垂直，所以113PDnkk m-=-=-得21149tk=-+………… 8分2204190k t t∆>⇒+>⇒-<<因为21cos2cos13APB APD∠=∠-=-所以cos3APD∠=,tan APD⇒∠=所以2ABPD=PD=，AB===………10分由2ABPD==21149tk=-+解得()19,0t=-∈-，k=直线l的方程为1y=-或1y=-. ………… 12分解法二（2）设直线l的斜率为k，设1122(,),(,)A x yB x y，,A B的中点为()00,D x y，所以1212y ykx x-=-，1202x xx+=，1202y yy+=由题意221122221(1)41(2)4xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，(1)式(2)-式得()()()()121212124x x x xy y y y-++-+=⇒()()()()1212121214y y y yx x x x-++=⇒-+14ykx+=又因为直线PD与直线l垂直，所以131ykx-=-由0000104131y k x y k x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得001949y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………… 6分 因为21cos 2cos 13APB APD ∠=∠-=-所以cos APD ∠=,tan APD ⇒∠=所以2ABPD= ………8分PD ==设直线l 的方程设为()200419k y y k x x y kx +-=-⇒=-，联立22241914k y kx x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()2222284141(14)44099k k k k x x +⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭ 120829x x x k +==，221224144914k x x k⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+， 由2020k ∆>⇒<AB ==………10分2AB PD==k =2020k ∆>⇒<.由2419k y kx +=-得直线l的方程为1y =-或1y =-. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系. 21.（本小题满分12分）已知函数()2,(x f x e ax e =--是自然对数的底数，)a R ∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11k xf x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.故)(/x g 在()+∞,0上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为α，则()2,1∈α.当()α,0∈x 时，0)(/<x g ；当()+∞∈,αx 时，0)(/>x g ；所以，)(x g 在()+∞,0上的最小值为)(αg .由,0)(/=αg 可得,2+=ααe ........10分所以，().3,21)(∈+=ααg 由于①式等价于)(αg k <.故整数k 的最大值为2. ....................................12分 考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图：O 的直径AB 的延长线于弦CD 的延长线相交于点P ，E 为O 上一点，,AE AC DE =交AB 于点F. （1）求证：,,,O C D F 四点共圆； （2）求证：PF PO PA PB ⋅=⋅.【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于AE AC =，因此有12CDE EOC AOE ∠=∠=∠，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得PF PO PD PC ⋅=⋅，又在圆O 中有PD PC PB PA ⋅=⋅，故结论成立.试题解析：（1）连接OC ，OE ， 因为AE AC =，所以12AOC AOE COE ∠=∠=∠，.................2分 又因为12CDE COE ∠=∠， 则AOC CDE ∠=∠，所以,,,O C D F 四点共圆.………………5分（2）因为PBA 和PDC 是O 的两条割线，所以PD PC PA PB =⋅，……………7分因为,,,O C D F 四点共圆,所以PDF POC ∠=∠，又因为DPF OPC ∠=∠，则PDF ∆∽POC ∆， 所以PD PF PO PC=，即PF PO PD PC =⋅ 则PF PO PA PB =⋅.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程122(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.（1）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l 的曲线C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）【答案】（1cos sin 0θρθ--=；（2）5(2,)3π，)6π 【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，化为普通方程0y --=，……………………2分将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.…………4分 （2）方法一：C 的普通方程为2240x y x +-=.………………6分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩8分 所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………10分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩，……………6分 得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………8分 所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………10分 考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2{0}3x x ≤≤；（2）2a ≥.【解析】试题分析：（1）不等式为|21||21|2x x x -++≤+，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式()()f x g x ≥恒成立，同样不等式为|2||21|2x a x x -++≥+，转化为|2||21|20x a x x -++--≥，令()|2||21|2h x x a x x =-++--，因为0a >,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出()h x 最小值()h x 最小值，然后解不等式()0h x 最小值＞得所求范围.试题解析：（1）当1a =时，|21||21|2x x x -++≤+，1242x x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-≤+⎩无解， 111022222+x x x ⎧-<<⎪⇒≤<⎨⎪≤⎩， 11222342x x x x ⎧≥⎪⇒≤≤⎨⎪≤+⎩………………………3分 综上，不等式的解集为2{0}3x x ≤≤.………………5分（2）|2||21|2x a x x -++≥+，转化为|2||21|20x a x x -++--≥， 令()|2||21|2h x x a x x =-++--， 因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得min ()12a h x =-,令10,2a -≥a 得 2.a ≥a ………………10分 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.。
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知i为虚数单位，则复数=（）A.2+iB.2-iC.-1-2iD.-1+2i【答案】C【解析】解：=，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=（）A.{0，1}B.{1，2}C.{0，1，2}D.∅【答案】B【解析】解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}，则P∩Q={1，2}，故选：B根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=（）A.-B.C.±D.-k【答案】A【解析】解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=-sinα=-．故选：A．由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.下列说法中，不正确的是（）A.已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题B.命题“∃x0∈R，x02-x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2-x≤0”C.命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题D.“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件【答案】C【解析】解：A．若am2＜bm2，利用不等式的性质可得：a＜b，因此为真命题；B．命题“∃x0∈R，x02-x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2-x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题p和q命题至少有一个为真命题，因此不正确；D．“x＞3”⇒“x＞2”，反之不成立，因此“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件，正确．故选：C．A．利用不等式的基本性质即可判断出正误；B．利用命题的否定定义即可判断出正误；C．利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误；D．“x＞3”⇒“x＞2”，反之不成立，即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定、不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．5.设函数f（x）为偶函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=2sinx，当x∈[2，+∞）时f（x）=log2x，则=（）A. B.1 C.3 D.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）为偶函数，∴f（-）=f（），∵当x∈[0，2）时f（x）=2sinx，∴f（x）=2sin=2×=；∵当x∈[2，+∞）时f（x）=log2x，∴f（4）=log24=2，∴=+2，故选D；函数f（x）为偶函数，可得f（-）=f（）再将其代入f（x）=2sinx，进行求解，再根据x∈[2，+∞）时f（x）=log2x，求出f（4），从而进行求解；此题主要考查函数值的求解问题，解题的过程中需要注意函数的定义域，是一道基础题；6.执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为（）A.2B.2C.4D.6【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=1满足条件i≤4，S=1，i=2满足条件i≤4，S=，i=3满足条件i≤4，S=2，i=4满足条件i≤4，S=2，i=5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（-，-1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为=（x，y，z）则即，取z=1，则得=（，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选A．以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角．本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．8.已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A.1-B.C.1-D.【答案】A【解析】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-=1-．故选：A．作出图形，以长度为测度，即可求出概率．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．9.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A. B. C.1+ D.1+【答案】C【解析】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4-6a2c2+a4=0∴e4-6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：C．先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.64B.72C.80D.112【答案】B【解析】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8=72．故选B．由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．11.已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为（）A. B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】解：设AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得，x2=22+42-2×2×4cos B=20-16cos B，在△ACD中，由余弦定理可得，x2=32+52-2×3×5cos D=34-30cos D，即有15cos D-8cos B=7，又四边形ABCD面积S=×2×4sin B+×3×5sin D=（8sin B+15sin D），即有8sin B+15sin D=2S，又15cos D-8cos B=7，两式两边平方可得，64+225+240（sin B sin D-cos B cos D）=49+4s2，化简可得，-240cos（B+D）=4S2-240，由于-1≤cos（B+D）＜1，即有S≤2．当cos（B+D）=-1即B+D=π时，4S2-240=240，解得S=2．故S的最大值为2．故选B．设AC=x，在△ABC和△ACD中，由余弦定理可得，15cos D-8cos B=7，再由三角形的面积公式可得8sin B+15sin D=2S，两式两边平方结合两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可求得最大值．本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，同时考查两角和的余弦公式的运用和余弦函数的最值的求法，属于中档题．12.已知函数f（x）=，＞，，若关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2-bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：＞＜＜＞，化简得＜＞＜＜，此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得S=-×1×1=故选：A题中原方程f2（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K 在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查定积分等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|= ______ ．【答案】【解析】解：∵平面向量，的夹角为，||=2，||=1，∴=||•||cos=2×=-1，∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1-2=3，即|+|=．故答案为：．运用数量积的定义求解得出=||•||cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入数据求解即可．本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为______ ．【答案】8【解析】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，设两个班为1班和2班，∴分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，若两个班分别为1人和3人，则1人只能为甲或乙，单独的1人可以在1班或2班，因此分法为：2×2=4，若两个班各2个人，则为总的分法减去甲乙在同一个班（都在1班或都在2班）的情况，即分法为：-2=4，因此不同的分法的总数为：4+4=8．故答案为：8．分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，据此解答．本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．15.设过曲线f（x）=-e x-x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为______ ．【答案】[-1，2]【解析】解：由f（x）=-e x-x，得f′（x）=-e x-1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a-2sinx，又-2sinx∈[-2，2]，∴a-2sinx∈[-2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=-e x-x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得-1≤a≤2．即a的取值范围为-1≤a≤2．故答案为：[-1，2]．求出函数f（x）=-e x-x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=-e x-x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．16.已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为______ ．【答案】πa2【解析】解：由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为S，延长F2S交F1P的延长线于Q，得PQ=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，连接OS，知OS是三角形F1F2Q的中位线，∴OS=a，即点S到原点的距离是定值a，由此知点S的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．同理可得，点R的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．故点R，S所形成的图形的面积为πa2．延长F2S交F1P的延长线于Q，可证得PQ=PF2，且S是PF2的中点，由此可求得OS的长度是定值，即可求点S的轨迹的几何特征．本题考查求轨迹方程，关键是证出OS是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出QF1的长度，进而求出OS的长度，再利用圆的定义得出点M的轨迹是一个圆，属于难题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠-1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．【答案】解：（1）∵a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠-1），∴当n≥2时，a n=λS n-1+1，∴a n+1-a n=λa n，即a n+1=（1+λ）a n，又a1=1，a2=λa1+1=λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3=（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得（λ-1）2=0，解得λ=1．∴a n=2n-1，b n=1+3（n-1）=3n-2．（2）a n b n=（3n-2）•2n-1，∴数列{a n b n}的前n项和T n=1+4×2+7×22+…+（3n-2）•2n-1，2T n=2+4×22+7×23+…+（3n-5）×2n-1+（3n-2）×2n，∴-T n=1+3×2+3×22+…+3×2n-1-（3n-2）×2n=-（3n-2）×2n=（5-3n）×2n-5，∴T n=（3n-5）×2n+5．【解析】（1）由a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠-1），当n≥2时，a n=λS n-1+1，可得a n+1=（1+λ）a n，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【答案】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：∴EX=0×+100×+200×=．【解析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．（Ⅰ）当t=3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．【答案】解：（1）在棱PA上取点E，使得=，-------2连接AC，BD交于点F，因为AD∥BC，所以=，所以=，所以，EF∥PC因为PC⊄平面BDE，EF⊂平面BDE所以PC∥平面BDE-------------4（Ⅱ）取BC上一点G使得BG=，连结DG，则ABGD 为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG．AP=AD=AB，∠PAB=∠PAD=60°，所以△PAB和△PAD都是等边三角形，因此PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，---------------7以O坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．则O（0，0，0），P（0，0，1），A（-1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），G（1，0，0）设棱BC的长为t，则C（t，1-t，0），=（-1，0，-1），=（0，1，-1），=（t，1-t，-1），=（0，-1，-1）--------------9设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取=（-1，1，1）-----------10同理平面PCD的法向量=（1-，1，-1）-----------11由=0，解得t=2，即BC的长为2----------------12【解析】（Ⅰ）在棱PA上取点E，使得=，连接AC，BD交于点F，证明EF∥PC，即可证明PC∥平面BDE；（Ⅱ）取BC上一点G使得BG=，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG，以O坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量=（-1，1，1）、同平面PCD的法向量=（1-，1，-1），由=0，解得BC的长．本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．20.在平面直角坐标系x O y中，一动圆经过点（，0）且与直线x=-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设P是曲线E的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x-1）2+y2=1，求△PBC面积的最小值．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知圆心到（，0）的距离等于到直线x=-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2=2x．（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），直线PB的方程为：（y0-b）x-x0y+x0b=0，又圆心（1，0）到PB的距离为1，即=1，整理得：（x0-2）b2+2y0b-x0=0，同理可得：（x0-2）c2+2y0c-x0=0，所以，可知b，c是方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根，所以b+c=，bc=，依题意bc＜0，即x0＞2，则（c-b）2=，因为y02=2x0，所以：|b-c|=||所以S=|b-c|•|x0|=（x0-2）++4≥8当x0=4时上式取得等号，所以△PBC面积最小值为8．【解析】（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），求得直线PB的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PBC的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．【答案】解：（1）由，得′．因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，所以′≥0在[2，3]上恒成立，即在[2，3]上恒成立，设，则′＜，所以g（x）在[2，3]上单调递减，故g（x）max=g（2）=-7，所以a≥-7；（2）对于任意两个不相等的正数x1、x2有＞==＞＞，∴＞，而′，∴′′==＞，故：′′＞，即′′＞1，∴当a≤4时，＞．【解析】（1）由函数单调性，知其导函数≥0在[2，3]上恒成立，将问题转化为在[2，3]上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将′′写成，利用不等式的性质证明＞，所以′′＞，即得＞．本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．22.如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．【答案】证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．【解析】（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23.已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．【答案】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…（2分）由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（4分）（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|==+…（6分）则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|=+=+…（6分）则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）【解析】（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程；（2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．24.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测数学理试卷(解析版)
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测数学理试卷（解析版）一、选择题1．设集合{}0232<+-=x x x A ，{}822<<=x x B ，则（ ） A.B A = B.B A ⊆ C.B A ⊇ D.∅=⋂B A 【答案】B 【解析】试题分析：由题知A=（1,2），B=（1,3），所以B A ⊆，故选B. 考点：一元二次不等式解法，指数不等式解法，集合间关系与集合运算 2．已知复数i z 2321+-=，则 =+||z z （ ） A.i 2321--B.i 2321+-C.i 2321+D.i 2321- 【答案】D 【解析】试题分析：由题知z =12-，所以=+||z z 12-，故选D. 考点：共轭复数概念，复数的模公式，复数加法运算 3．已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ） A.),2[+∞ B.),2(+∞ C.),1[+∞ D.]1,(--∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由311x <+得，321011x x x --=<++，即(2)(1)0x x -+>，解得1x <-或2x >，由p 是q 的充分不必要条件知，2k >，故选B.考点：分式不等式解法，充要条件 4．在等差数列{}n a 中，9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S =（ ） A ．24 B ．48 C ．66 D ．132 【答案】D 【解析】 试题分析：由9a =12162a +及等差数列通项公式得，112(8)1112a d a d +=++，解得6a =15a d +=12，所以11S =11111()2a a +=61122a ⨯=11×12=132，故选D. 考点：等差数列通项公式，等差数列前n 项和公式，等差数列性质 5．在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项 【答案】A 【解析】试题分析：由二项展开式的通项知，1r T +=1515r rr C -=1531544152r rrC x --，由系数是有理数知，1534r -是整数，r =0,1, ，15，则r =1,5,9,13，共4项，故选A.考点：二项式定理6．b a ,2,1=b 且⊥+)(，则与的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】试题分析：由⊥+)(知，()a b a +⋅=2a ab +⋅=0，所以2a b a ⋅=-=-1，所以cos ,a b =||||a b a b ⋅=12-，所以与的夹角为 120，故选C.考点：平面向量垂直的充要条件，向量数量积7．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ） A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 【答案】B 【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为24C ，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为24C -1，再将这3组分给3节课有33A 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(24C -1)33A =30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识 8．如图给出的是计算1111352013+++的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是 （ ）A ．1006≤iB ．1006>iC ．1007≤iD ．1007>i 【答案】C 【解析】试题分析：由题知，本题的框图作用是1111352013+++，其分母的通项为21i -，令21i -=2013，解得i=1007，由此知,i ≤1007，循环，当i ＞1007时，结束，故判断框内应填人的条件是1007≤i ，故选C.考点：程序框图9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x 2+y 2的取值范围是（ ）A. B. C.( 1 , 16 ) D.【答案】B 【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由22z x y =+表示原点与可行域内任意一点距离的平方，由图可知，当此距离为原点到直线220x y +-=时最小，min z = 2=45，为点（4，0）时，z 取最大值，z 的最大值为16，所以目标函数z=x 2+y 2的取值范围是（45，16），故选B.考点：简单线性规划解法，点到直线距离公式10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力11．若圆C 222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A.2B. 4C.3D.6 【答案】B 【解析】试题分析：由题知圆C 的圆心C （-1,2，因为圆C 关于直线260ax by ++=对称，所以圆心C 在直线260ax by ++=上，所以2260a b -++=，即3a b =+，所以由点(,)a b 向圆所作的切线长为=，当1b =-时，切线长最小，最小值为4，故选B.考点：圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值12．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( )． A ．3- B ．2- C ．3 D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-知，3()2f x -=3[()]2f x -- =3()2f x --=()f x -，所以(3)f x -= 33[()]22f x --= 3()2f x --= (())f x --=()f x ，所以)(x f 的周期为3，由21n n S an n=⨯+得，2n n S a n =+，当n ≥2时，n a =1122(1)n n n n S S a n a n ---=+---，所以n a =121n a --，所以2a =-3，3a =-7，4a =-15，5a =-31，6a =-63，所以=+)()(65a f a f (31)(63)f f -+-=(3101)(3210)f f -⨯+-⨯+=(1)(0)f f --=(13)0(2)f f ---=--=3，故选C. 考点：函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想二、填空题 13．直线x y 31=与抛物线2x x y -=所围图形的面积等于_____________． 【答案】481【解析】试题分析：由213y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得0x =或23x =，所以其围成图形的面积为22301()3x x x dx --⎰=223301()|3x x - =481. 考点：定积分的应用14．已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是_____________． 【答案】（2，+∞） 【解析】试题分析：设切点横坐标为0x ，因为()f x '=x e m -，所以函数()f x 在（0x ，0()f x ）的切线斜率为x e m -，由题知，x e m -=-2，所以02xm e =+＞2，所以实数m 的取值范围为（2，+∞）. 考点：函数的切线，两直线垂直的充要条件15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _______ ．【解析】试题分析：F （c,0），双曲线一条渐近线方程为b y x a =，则过F 与该渐近线垂直的直线方程为()ay x c b=--，联立解得P(2a c ，ab c ),所以PF 的中点（222a c c +，2ab c ），代入双曲线方程求得ca，所以双曲线的离心率考点：双曲线的性质，两直线的位置关系16．已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④ 函数()()y f x g x =⋅其中真命题为____________． 【答案】③ 【解析】 试题分析：由题知()g x =sin x，所以()()f x g x ⋅=sin sin 2xx ，因为()()f x g x -⋅-=sinsin()2x x --=sin sin 2xx =()()f x g x ⋅是偶函数，故①错， 因为(2)(2)f x g x ππ+⋅+ =4sin()sin(4)2x x ππ++=sin sin 2xx =()()f x g x ⋅，周期为4π，故②错，因为设（00,x y ）是函数()()y f x g x =图像上任意一点，则000()()y f x g x =，该点关于(π，0)的对称点为（002,x y π--），所以00(2)(2)f x g x ππ-⋅-=002sinsin(2)2x x ππ--=00sin sin 2xx - =-00()()f x g x =0y ，即点（002,x y π--）也在函数()()y f x g x =图像上，故()()y f x g x =图像关于(π，0)对称，③正确； 因为()()f x g x ⋅=22sin cos 22x x =22(1cos )cos 22x x -，令cos 2xt =，则-1≤t ≤1，()()y f x g x ==22(1)t t -=322t t -（-1≤t ≤1），所以y '=226t -=6(t t -+-，当-1≤≤≤≤1时，y '＜0，当y '＞0，所以该函数在（-1，，1）上是减函数，在（时，()()f x g x ⋅，因为当=-1时，y=0，所以()()f x g x ⋅的命题为③.考点：周期变换，函数的周期性、奇偶性、对称性，函数最值，转化与化归思想三、解答题17．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知3,2π==C c .（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）2,2（Ⅱ）332 【解析】试题分析：（Ⅰ）由3,2π==C c ，运用余弦定理可得2242cos3a b ab π=+-，由ABC ∆的面积等于3，运用三角形面积公式可得，1sin 23ab π=，联立即可解得b a ,；（Ⅱ）利用三角形内角和定理先将A A B C 2sin 2)sin(sin =-+化为sin[()]sin()2sin 2A B B A A π-++-=，利用诱导公式及两角和与差的正弦公式将上式化为A A A B cos sin 2cos sin =，分两种情况，若cos 0A =，则求出A ，B ，C 三角，利用解直角三角形求出b a ,，从而求出面积，若cos 0A ≠，求出A ，B 关系，利用正弦定理求出b a ,关系，结合（Ⅰ）中结果2242cos3a b ab π=+-求出b a ,，从而求出三角形面积.试题解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得422=-+ab b a 又3sin 21=C ab，得4=ab 3分 联立⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a 5分（Ⅱ）由题意得，A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++即A A A B cos sin 2cos sin =. 7分332,334,6,2,0cos =====b a B A A ππ时当 ABC ∆的面积33221==bc S 9分当A B A sin 2sin ,0cos =≠得时，由正弦定理得a b 2=，联立方程⎩⎨⎧==-+ab ab b a 2422解得334,332==b a 所以ABC ∆的面积332sin 21==C ab S ，综上，ABC ∆的面积为332. 12分 考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角变换，运算求解能力18．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （I ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，期望为2312；（Ⅱ）16【解析】试题分析：（Ⅰ）先分析ξ的所有可能取值，再分析ξ取每一个可能值时每个人的答题情况，将若干个简单互斥事件的和，再分析每个简单事件的中每个人的答题情况，将其表示成若干个相互独立事件的积，再用互斥事件的积概率公式和相互独立事件的和概率公式，求出ξ每种取值情况的概率，列出分布列，再代入期望公式求出ξ的期望；（Ⅱ）先分析甲乙两队分数之和为4的甲乙两队的得分情况，将其分成若干个互斥事件的和，再根据每个互斥事件甲乙的两队的得分情况，化为相互独立事件的积，利用互斥事件的和概率公式和相互独立事件的积概率公式求出甲乙两队的分值和为4的概率，在计算出甲队比乙队得分高的概率，利用条件概率公式即可所求事件的概率.试题解析：（1）ξ的可能取值为0，1，2，31111(0)43224P ξ==⨯⨯=;3111211111(1)4324324324P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;32112131111(2)43243243224P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;3211(3)4324P ξ==⨯⨯= 4分 ξ∴的分布列为1111123()012324424412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=6分 (2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B则32132123331211211211()()4324334333P A C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 8分 11231211()()43318P AB C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭10分 ∴1()118()1()63P AB P B A P A === 12分 考点：随机变量分布列与期望，互斥事件的概率计算，相互独立事件概率，独立重复试验，条件概率，应用意识 19．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，11AA =，3AB k =， 456(0)AD k BC k DC k k ===>，，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1 【解析】试题分析：（Ⅰ）取CD 的中点为E ，连结BE ，则ADEB 为平行四边形，所以AD //BE=4k ，所以BC 2=BE 2+EC 2，所以BE ⊥DC ，所以AD 与BC 垂直，AA 1⊥面ABCD ，所以AA 1⊥CD ，所以CD 垂直面AA 1D 1D ；（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，写出A 、A 1，B 1，C 的坐标，求出面AB 1C 的一个法向量，算出向量1AA 坐标，计算出这两个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列出关于k 的方程，若能解出k 值.. 试题解析：（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结BE.∵AB ∥DE ，AB =DE =3k ，∴四边形ABED 为平行四边形， 2分 ∴BE ∥AD 且BE =AD =4k.在△BCE 中，∵BE =4k ，CE =3k ，BC =5k ，∴BE 2＋CE 2=BC 2， ∴∠BEC =90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD. 4分 ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD =A ，平面⊥∴CD ADD 1A 1. 6分（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()11400(060)431401A k C k B k k A k ，，，，，，，，，，，， 所以AC (460)k k =-，，，1AB ()031k =，，，1AA ()001=，，． 设平面AB 1C 的法向量n =(x ，y ，z)， 则由100AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y =2，得(326)(0)k k =->，，n . 9分 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sin θ=|cos 〈1AA ，n 〉|=11||||AA AA ⋅⋅nn =67=， 解得k =1，故所求k 的值为1. 12分考点：面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的计算，推理论证能力，运算求解能力，空间想象能力20．已知椭圆C 1：1422=+y x 和动圆C 2：)0(222>=+r r y x ，直线m kx y l +=:与C 1和C 2分别有唯一的公共点A 和B ．（I ）求r 的取值范围；（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C 2的方程．【答案】（Ⅰ）[1，2）（Ⅱ）1，x 2+y 2=2 【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立消去y 整理成关于x 的一元二次方程，因为直线与椭圆只有一个公共点，则判别式为0，列出关于m ，k 的方程，再由直线与圆只有一个公共点知，直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径找出r,m,k 关系，将这两个关于m,k 的方程联立，消去m ，将r 表示成k 的函数，利用函数求值域的方法，求出r 范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得A,B 两点的横坐标，利用弦长公式将AB 用r 表示出，利用函数求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值时的r 值，从而写出圆的方程.试题解析：（Ⅰ）由，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣1）=0．由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故△1=64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）=0， 2分从而m 2=1+4k 2 ① 由，得（1+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0．由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故△2=4k 2m 2﹣4（1+k 2）（m 2﹣r 2）=0， 4分从而m 2=r 2（1+k 2） ②由①、②得k 2=． 由k 2≥0，得1≤r 2＜4，所以r 的取值范围是[1，2）． 6分（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由（Ⅰ）的解答可知x 1=﹣=﹣，x 2=﹣=﹣．|AB|2=（1+k 2）（x 2﹣x 1）2=（1+k 2）•=•k 2•（4﹣r 2）2=•（4﹣r 2）2=， 9分 所以|AB|2=5﹣（r 2+）（1≤r＜2）． 因为r 2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C 2的方程为x 2+y 2=2． 12分考点：直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，最值问题，转化与化归思想，运算求解能力21．已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）. （Ⅰ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ），求证：12-≤n n a .【答案】（Ⅰ）(]1,-∞-；（Ⅱ）5ln 22,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦；（Ⅲ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的定义域及导函数()f x '，由函数)(x f 在定义域内单调递增知，()f x '≥0在定义域内恒成立，通过参变分离化为()a g x ≤在定义域内恒成立，求出()g x 的最小值，即a ≤min [()]g x 即为a 的取值范围；（Ⅱ）先将关于x 的方程b x x f +-=21)(在[1,4]上恰有两个不等实根转化为方程1()2f x x + =b 在[1,4]上恰有两个不等实根，即函数y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）图像与y=b 恰有两个不同的交点，利用导数通过研究函数y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）的单调性、极值、最值及图像，结合y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）的图像，找出y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）与y=b 恰有两个交点时b 的取值范围，即为所求;（Ⅲ）利用ln 1x x <-（x ≠1），将2ln 1++=+n n n a a a 放缩为),1(211+≤++n n a a 即11021n n a a -+<<+，通过累积，求出n a 的范围，即为所证不等式.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立， 则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞- 4分 （Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根， 设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x g xx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g 22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ， 0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b 8分 （Ⅲ）易证当0>x 且1≠x 时，1ln -<x x .由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ，故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a ,211021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，,211012≤++<a a 相乘得,211011-≤++<n n a a 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a 12分 考点：常见函数的导数，导数的运算法则，导数函数单调性关系，导数的综合应用，利用导数证明不等式，运算求解能力.22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径，CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠.（Ⅰ）证明：AE 是⊙O 的切线（Ⅱ）如果24==AE AB ，,求CD .【解析】试题分析：（Ⅰ）连结OA ，由OA=AD 知∠OAD ＝∠ODA ，由DA 平分BDE ∠知，∠BDA=∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，由内错角相等两直线平行得OA ∥CE ，因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ，故AE 是圆O 的切线；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD，即BD ＝2AD ，所以所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒，在直角三角形AED 中，求出DE ，再由切割线定理得AE 2＝ED ·EC=ED ·（CD+DE ），即可求得CD 的值.试题解析：（Ⅰ）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥CE ．因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ．所以AE 是⊙O 的切线. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ， 所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ， 所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒， 所以DE ＝AEtan 30︒． 由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4CD )，所以CD. 10分 考点：切线的判定，相似三角形的判定与性质，切割线定理.23．已知曲线1C 的直角坐标方程为1422=+y x ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.P 是曲线1C 上一点，)0(παα≤≤=∠xOP ，将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q ,2=,点M 的轨迹是曲线2C .（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程. （Ⅱ）求OM 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）21ρ＝2cos 216θ＋2sin 24θ，（Ⅱ）[2，4] 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先将曲线1C 的直角坐标方程化为极坐标方程，设M (ρ，θ)，根据OQ OM 2=知，Q （2ρ，θ)，由P 是曲线1C 上一点，)0(παα≤≤=∠xOP ，将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q 知，P （2ρ，2θ），代入曲线1C 的极坐标方程即得到曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线2C 的极坐标方程为）21ρ＝2cos 216θ＋2sin 24θ，所以21OM =21||OP ＝116 (1＋3sin 22θ)，先求21||OM 的取值范围，利用不等式的性质，即可求出|OM|的取值范围.试题解析：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为22cos 4ρθ＋ρ2sin 2θ＝1，即2cos 4θ＋sin 2θ＝21ρ．在极坐标系中，设M (ρ，θ)，P (ρ1，α)，则题设可知，ρ1＝2ρ，α＝2θ. ①因为点P 在曲线C 1上，所以2cos 4α＋sin 2α＝211ρ ② 由①②得曲线C 2的极坐标方程为21ρ＝2cos 216θ＋2sin 24θ. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21OM ＝116 (1＋3sin 22θ)． 因为21OM 的取值范围是[116，14]，所以|OM|的取值范围是[2，4]. 10分 考点：直角坐标方程与极坐标方程互化，相关点法求曲线方程，函数的值域24．设不等式0212<+--<-x x 的解集为M ,M b a ∈,. （Ⅰ）证明：416131<+b a ； （Ⅱ）比较ab 41-与b a -2的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）|1－4ab|＞2|a －b|【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将f (x)＝|x －1|－|x ＋2|化为分段函数，根据分段函数的值域，将不等式0212<+--<-x x 化为不等式－2＜－2x －1＜0，解得集合M ，由M b a ∈,从而得出,a b 的取值范围，利用含绝对值不等式性质及,a b 的取值范围，利用放缩法，即可推出所证不等式416131<+b a ；（Ⅱ）先用作出比较法比较|1－4ab|2与4|a －b|2的大小，再利用不等式的开方性质，即可比较出ab 41-与b a -2的大小. 试题解析：（Ⅰ）记f (x)＝|x －1|－|x ＋2|＝3,121,113,1x x x x ≤-⎧⎪---<<⎨⎪-≥⎩由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，则M ＝(－12，12). 3分 所以|13a ＋16b |≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜14，b2＜14．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|. 10分考点：含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，放缩法，比较法，不等式性质，运算求解能力,转化与化归思想，分类整合思想。
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知i 为虚数单位，则复数13i1i-=+（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+ 答案：C考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2-----===--++-，故选：C ．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合{}0,1,2P =，{}3x Q y y ==，则P Q ⋂=（ ） A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅答案：B考点：交集及其运算． 专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：{}{}30x Q y y y y ===>，则{}1,2P Q ⋂=， 故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．已知cos k α=，k ∈R ，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin π+α=（ ）A ．C ．D ．k -答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sin α，从而由诱导公式即可得解．解答：解：cos k α=，k ∈R ，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α∴=()sin π+sin αα∴=-=故选：A ．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查． 4．下列说法中，不正确的是（ ）A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题均为真命题D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件 答案：C考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑．分析：A ．利用不等式的基本性质即可判断出正误； B ．利用命题的否定定义即可判断出正误；C ．利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，即可判断出正误．解答：解：A ．若22am bm <，利用不等式的性质可得：a b <，因此为真命题；B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”，正确； C ．“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题至少有一个为真命题，因此不正确；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，因此“3x >”是“2x >”的充分不必要条件，正确． 故选：C ．点评：本题考查了简易逻辑的判定、不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．5．设函数()f x 为偶函数，且当[)0,2x ∈时，()2sin f x x =，当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，则()π43f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ） A．2 B ．1 C ．3 D2=答案：D考点：函数的值． 专题：计算题．分析：函数()f x 为偶函数，可得ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再将其代入()2sin f x x =，进行求解，再根据[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，求出()4f ，从而进行求解；解答：解：函数()f x 为偶函数， ππ33f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[)0,2x ∈时()2sin f x x =，()π2sin23f x ∴=== 当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，()24log 42f ∴==，()π423f f ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，故选D ；点评：此题主要考查函数值的求解问题，解题的过程中需要注意函数的定义域，是一道基础题； 6．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（ ）A ．2B ．．4 D ．6答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当5i =时，不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为解答：解：模拟执行程序框图，可得 1S =，1i =满足条件4i ≤，1S =，2i = 满足条件4i ≤，S =3i = 满足条件4i ≤，2S =，4i = 满足条件4i ≤，S =5i =不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为 故选：B ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角是（ ）ACBC 1A 1B 1A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2 答案：A考点：直线与平面所成的角． 专题：计算题． 分析：以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用1BB 与平面11AB C 所的一个法向量的夹角，求出则1BB 与平面11AB C 所成的角．解答：解：以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，则)1,0A，()10,0,3B ，()10,2,3C，()11,3AB =-，()110,2,0B C =，()10,0,3BB =．设平面11AB C 所的一个法向量为(),,n x y z =则11100AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3020y z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1z =，则得()3,0,1n =，1cos BB <，1131322BB n n BB n⋅>===⨯，1BB ∴与平面11AB C 所成的角的正弦值为12， 1BB ∴与平面11AB C 所成的角为π6故选A ．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A．1 BC．1- D ．12答案：A考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计．分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．解答：解：由题意，AOB △是直角三角形，2OA OB ==，所以AB =，O的范围为14个圆，与AB 相交于C ，D 两点，作OE AB ⊥，则OE =2CD =，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是11=．故选：A ．A点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD 是关键．9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ） ABC．1 D．1+ 答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把2pc =代入整理得422460c a c a -+=等式两边同除以4a ，得到关于离心率e 的方程，进而可求得e ． 解答：解：由题意，两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程得222241p p a b-=， 又2pc =，代入化简得422460c a c a -+= 42e 6e 10∴-+=(22e 31∴=+1∴ 故选：C ．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：222c a b =+注意与椭圆的区别．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A ．64B ．72C ．80D ．112 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为3464=，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积21143832⨯⨯⨯=，故该几何体的体积是64872+=． 故选B ．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．11．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则四边形ABCD 面积S 的最大值为（ ） A．C．D．答案：B考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：设AC x =，在ABC △和ACD △中，由余弦定理可得，15cos 8cos 7D B -=，再由三角形的面积公式可得8sin 15sin 2B D S +=，两式两边平方结合两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可求得最大值．解答：解：设AC x =，在ABC △中，由余弦定理可得， 22224224cos 2016cos x B B =+-⨯⨯=-，在ACD △中，由余弦定理可得，22235235cos 3430cos x D D =+-⨯⨯=-， 即有15cos 8cos 7D B -=，又四边形ABCD 面积1124sin 35sin 22S B D =⨯⨯+⨯⨯()18sin 15sin 2B D =+， 即有8sin 15sin 2B D S +=，又15cos 8cos 7D B -=，两式两边平方可得，()264225240sin sin cos cos 494B D B D s ++-=+， 化简可得， ()2240cos 4240B D S -+=-， 由于()1cos 1B D -+≤≤，即有S ≤． 当()cos 1B D +=-即πB D +=时，24240240S -=，解得S =S的最大值为 故选B ．点评：本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，同时考查两角和的余弦公式的运用和余弦函数的最值的求法，属于中档题．12．已知函数()2ln ,041,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++⎪⎩≤，若关于x 的方程()()()20,f x bf x c b c -+=∈R 有8个不同的实数根，则由点(),b c 确定的平面区域的面积为（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 答案：A考点：分段函数的应用． 专题：函数的性质及应用．分析：题中原方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解，即要求对应于()f x =某个常数K ，有2个不同的K ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出()f x 的简图，由图可知，只有满足条件的K 在开区间()0,1时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答：解：根据题意作出()f x 的简图：由图象可得当()(]0,1f x ∈时，有四个不同的x 与()f x 对应．再结合题中“方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k 的方程20k bx c -+=有两个不同的实数根1K 、2K ，且1K 和2K 均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：2224001200010b c b b c b c ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-⨯+>⎪⎪-+⎩≥，化简得2410002b c b c c b ⎧<⎪⎪⎪-+⎨⎪>⎪<<⎪⎩≥， 此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得22011111426S b db ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭⎰ 故选：A点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查定积分等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解． 二、填空题：13．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =，则a b +=．考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的定义求解得出2πcos 3a b a b ⋅=⋅，结合向量的运算，与模的运算转化：()22222a b a ba b a b +=+=++⋅，代入数据求解即可．解答：解：平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =， 2π1cos=21132a b a b ⎛⎫∴⋅=⋅⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ()222224123a b a ba b a b ∴+=+=++⋅=+-=，即3a b +=．故答案为：点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 ． 答案：8考点：计数原理的应用． 专题：计算题．分析：分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，据此解答．解答：解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，设两个班为1班和2班， ∴分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人， 若两个班分别为1人和3人，则1人只能为甲或乙，单独的1人可以在1班或2班，因此分法为：224⨯=，若两个班各2个人，则为总的分法减去甲乙在同一个班（都在1班或都在2班）的情况，即分法为：24C 24-=，因此不同的分法的总数为：448+=． 故答案为：8．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．15.设过曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．答案：[]1,2-考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出函数()e x f x x =--的导函数，进一步求得()10,1e 1x ∈+，再求出()g x 的导函数的范围，然后把过曲线()e xf x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥转化为集合间的关系求解．解答：解：由()e x f x x =--，得()'e 1x f x =--，e 11x +>，()10,1e 1x∴∈+， 由()2cos g x ax x =+，得()'2sin g x a x =-， 又[]2sin 2,2x -∈-，[]2sin 2,2a x a a ∴-∈-++， 要使过曲线()e x f x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥， 则2021a a -+⎧⎨+⎩≤≥，解得12a -≤≤． 即a 的取值范围为12a -≤≤． 故答案为： []1,2-．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为l ，过1F ，2F 分别作l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为 ． 答案：2πa考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且S 是2PF 的中点，由此可求得OS 的长度是定值，即可求点S 的轨迹的几何特征．解答：解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为S ，延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==， 连接OS ，知OS 是三角形12F F Q 的中位线，OS a ∴=，即点SM 到原点的距离是定值a ，由此知点S 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 同理可得，点R 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 故点R ，S 所形成的图形的面积为2πa ．点评：本题考查求轨迹方程，关键是证出OS 是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出1QF 的长度，进而求出OS 的长度，再利用圆的定义得出点M 的轨迹是一个圆，属于难题． 三、解答题：17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，且1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和． 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，当2n ≥时，11n n a S λ-=+，可得()11n n a a λ+=+，利用等比数列的通项公式可得3a ，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出． 解答：解：（1）()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，∴当2n ≥时，11n n a S λ-=+，1n n n a a a λ+∴-=，即()11n n a a λ+=+，又11a =，2111a a λλ=+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，()231a λ∴=+， 1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．()()241113λλ∴+=+++，整理得()210λ-=，解得1λ=． 12n n a -∴=，()13132nb n n =+-=-．（2）()1322n n n a b n -=-⋅，∴数列{}n n a b 的前n 项和()2114272322n n T n -=+⨯+⨯++-⋅， ()()231224272352322n n n T n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯，()()()()121221132323232213322532521n n nn n n T n n n --⨯-∴-=+⨯+⨯+⨯--⨯=+⨯--⨯=-⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E 需要维修的概率； （Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率1P 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率2P 的值，再把1P 和2P 相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得()()100P X P k ξξ===的值，可得X 的分布列，从而求得X 的期望．解答：解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ，则()12P A =，()12P B =，()23P C =．依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为()()()()1111122312P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=． ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为()()()211111111212232232233P P ABC P ABC P ABC ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以，集成电路E 需要维修的概率为1211512312P P +=+=． （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而100X ξ=，()()2257100C 1212k kk P X P k ξξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2k =．010*******721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=． 点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AP AD AB ==BC t =，PAB PAD α∠=∠=．（Ⅰ）当t =PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AEEP的值；（Ⅱ）当60α=︒时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．BAPDC考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质． 专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，证明EF PC ∥，即可证明PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量()π1,1,1=-、同平面PCD 的法向量21,1,1n t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，由0m n ⋅=，解得BC 的长． 解答：解：（1）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，因为AD BC ∥，所以12AF AD FC BC ==，所以AE AFEP AC=，所以，EF PC ∥ 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ． AP AD AB ==，60PAB PAD ∠=∠=︒，所以PAB △和PAD △都是等边三角形，因此PA PB PD ==， 所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABGD 对角线的交点，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则()0,0,0O ，()0,0,1P ，()1,0,0A -，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()1,0,0G设棱BC 的长为t ，则,1,0C ⎫⎪⎪⎝⎭， ()1,0,1PA =--，()0,1,1PB =-，2,1,1PC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()0,1,1PD =--设平面PAB 的法向量为()π,,x y z =，则 00x z y z --=⎧⎨-=⎩，取()π1,1,1=- 同理平面PCD 的法向量21,1,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭由0m n ⋅=，解得t =BC 的长为点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．20．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设P 是曲线E 的动点，点B 、C 在y 轴上，PBC △的内切圆的方程为()2211x y -+=，求PBC △面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，求得直线PB 的方程，运用直线和圆相切的条件：d r =，求得b ，c 的关系，求得PBC △的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知圆心到1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =． （Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ， 直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=， 又圆心()1,0到PB 的距离为11=，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >， 则()()222000204482x y x c b x +--=-，因为2002y x =，所以：0022x b c x -=- 所以()0001424822S b c x x x =-⋅=-++-≥ 当04x =时上式取得等号，所以PBC △面积最小值为8．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d r =，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数()22ln f x x a x x=++．（Ⅰ）若()f x 在区间[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设()f x 的导函数()'f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点()11,A x y 、()22,B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当a ≤4时，1k >．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由函数单调性，知其导函数0≥在[]2,3上恒成立，将问题转化为()222g x x x=-在[]2,3上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将()()12''f x f x -写成()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-利用不等式的性质证明()12221212221x x ax x x x ++->，所以()()1212''f x f x x x ->-，即得1k >． 解答：解：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()22'2a f x x x x=-+． 因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，所以()22'20af x x x x =-+≥在[]2,3上恒成立，即222a x x -≥在[]2,3上恒成立， 设()222g x x x =-，则()22'40g x x x=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故()()max 27g x g ==-，所以7a -≥； （2）对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有 ()121212122x x x x x x x x ++>+12x x =≥4.5a =>>，()12221212221x x ax x x x +∴+->， 而()22'2a f x x x x=-+， ()()121222112222''22a a f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12121222121222x x ax x x x x x x x +=-⋅+->-， 故：()()1212''f x f x x x ->-，即()()1212''1f x f x x x ->-，∴当4a ≤时，1k >．点评：本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，已知O 和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C ，点G 为BD 中点，连接AG 分别交O 、BD 于点E 、F 连接CE ． （1）求证：AG EF CE GD ⋅=⋅；（2）求证：22GF EF AG CE =．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）要证明AG EF CE GD ⋅=⋅我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得DAG GDF ∠=∠，又由公共角G ∠，故DFG AGD △∽△，易得2DG AG GF =⋅，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论． 解答： 证明：（1）连接AB ，AC ，AD 为M 的直径，90ABD ∴∠=︒，AC ∴为O 的直径，CEF AGD ∴∠=∠， DFG CFE ∠=∠，ECF GDF ∴∠=∠， G 为弧BD 中点，DAG GDF ∴∠=∠， ECB BAG ∠=∠，DAG ECF ∴∠=∠，CEF AGD ∴△∽△， CE AGEF GD∴=，AG EF CE GD ∴⋅=⋅ （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠，DFG AGD ∴△∽△，2DG AG GF ∴=⋅,由（1）知2222EF GD CE AG =，22GF EF AG CE ∴=. 点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN +的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线1C 的普通方程，由222x y ρ=+和题意求出2C 的直角坐标方程；（2）方法一：求出曲线2C 参数方程，设P 点的参数坐标，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，利用正弦函数的最值求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值；方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，再求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值．解答：解：（1）因为曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为22143x y +=，…由曲线2C 的极坐标方程为2ρ=得， 曲线2C 的普通方程为224x y +=；…（2）方法一：由曲线222:4C x y +=，可得其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()2cos ,2sin αα，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +==则()214PM PN +=+ 所以当sin 0α=时，()2PM PN +有最大值28，因此PM PN +的最大值为方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +=则()214PM PN +=+ 所以当0y =时，()2PM PN +有最大值28,因此PM PN +的最大值为点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．考点：基本不等式；函数的定义域及其求法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）由函数定义域为R ，可得130x x m ++--≥恒成立，设函数()13g x x x =++-，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知4n =，变形()12174622432a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：（1）函数定义域为R ，130x x m ∴++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又()()13134x x x x ++-+--=≥，即()g x 的最小值为4，m ∴≤4． （2）由（1）知4n =，()()()23221211746225432423a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=++++=++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭195244⎛+⨯= ⎝≥, 当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时取等号． 74a b ∴+的最小值为94． 点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015年河北省石家庄市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 2．（5分）已知集合P＝{0，1，2}，Q＝{y|y＝3x}，则P∩Q＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．∅3．（5分）已知cosα＝k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．C．±D．﹣k4．（5分）下列说法中，不正确的是（）A．已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题D．“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件5．（5分）设函数f（x）为偶函数，且当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，当x∈[2，+∞）时f（x）＝log2x，则＝（）A．B．1C．3D．6．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（）A．2B．2C．4D．67．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A．B．C．D．8．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．9．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．11211．（5分）已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA ＝3，则四边形ABCD面积S的最大值为（）A．B．2C．4D．612．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c＝0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝2，||＝1，则|+|＝．14．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为．15．（5分）设过曲线f（x）＝﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．18．（12分）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD ＝90°，AP＝AD＝AB＝，BC＝t，∠P AB＝∠P AD＝α．（Ⅰ）当t＝3时，试在棱P A上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（Ⅱ）当α＝60°时，若平面P AB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点（，0）且与直线x＝﹣相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设P是曲线E的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x ﹣1）2+y2＝1，求△PBC面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF＝CE•GD；（2）求证：．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【解答】解：＝，故选：C．2．（5分）已知集合P＝{0，1，2}，Q＝{y|y＝3x}，则P∩Q＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．∅【解答】解：Q＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，则P∩Q＝{1，2}，故选：B．3．（5分）已知cosα＝k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．C．±D．﹣k【解答】解：∵cosα＝k，k∈R，α∈（，π），∴sinα＝＝，∴sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣．故选：A．4．（5分）下列说法中，不正确的是（）A．已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题D．“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件【解答】解：A．若am2＜bm2，利用不等式的性质可得：a＜b，因此为真命题；B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题p和q命题至少有一个为真命题，因此不正确；D．“x＞3”⇒“x＞2”，反之不成立，因此“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件，正确．故选：C．5．（5分）设函数f（x）为偶函数，且当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，当x∈[2，+∞）时f（x）＝log2x，则＝（）A．B．1C．3D．【解答】解：∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣）＝f（），∵当x∈[0，2）时f（x）＝2sin x，∴f（x）＝2sin＝2×＝；∵当x∈[2，+∞）时f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，∴＝+2，故选：D．6．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（）A．2B．2C．4D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝1，i＝1满足条件i≤4，S＝1，i＝2满足条件i≤4，S＝，i＝3满足条件i≤4，S＝2，i＝4满足条件i≤4，S＝2，i＝5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．故选：B．7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A．B．C．D．【解答】解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），＝（﹣，﹣1，3），＝（0，2，0），＝（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为＝（x，y，z）则即，取z＝1，则得＝（，0，1），∵cos＜，＞＝＝＝，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选：A．8．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA＝OB＝2，所以AB＝2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE＝，所以CD＝2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣＝1﹣．故选：A．9．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又＝c代入化简得c4﹣6a2c2+a4＝0∴e4﹣6e2+1＝0∴e2＝3+2＝（1+）2∴e＝+1故选：C．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．112【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43＝64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8＝72．故选：B．11．（5分）已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA ＝3，则四边形ABCD面积S的最大值为（）A．B．2C．4D．6【解答】解：设AC＝x，在△ABC中，由余弦定理可得，x2＝22+42﹣2×2×4cos B＝20﹣16cos B，在△ACD中，由余弦定理可得，x2＝32+52﹣2×3×5cos D＝34﹣30cos D，即有15cos D﹣8cos B＝7，又四边形ABCD面积S＝×2×4sin B+×3×5sin D＝（8sin B+15sin D），即有8sin B+15sin D＝2S，又15cos D﹣8cos B＝7，两式两边平方可得，64+225+240（sin B sin D﹣cos B cos D）＝49+4s2，化简可得，﹣240cos（B+D）＝4S2﹣240，由于﹣1≤cos（B+D）＜1，即有S≤2．当cos（B+D）＝﹣1即B+D＝π时，4S2﹣240＝240，解得S＝2．故S的最大值为2．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c＝0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c＝0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得S＝﹣×1×1＝故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝2，||＝1，则|+|＝．【解答】解：∵平面向量，的夹角为，||＝2，||＝1，∴＝||•||cos＝2×＝﹣1，∴|+|2＝（）2＝||2+||2+2＝4+1﹣2＝3，即|+|＝．故答案为：．14．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为8．【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，设两个班为1班和2班，∴分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，若两个班分别为1人和3人，则1人只能为甲或乙，单独的1人可以在1班或2班，因此分法为：2×2＝4，若两个班各2个人，则为总的分法减去甲乙在同一个班（都在1班或都在2班）的情况，即分法为：﹣2＝4，因此不同的分法的总数为：4+4＝8．故答案为：8．15．（5分）设过曲线f（x）＝﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]．【解答】解：由f（x）＝﹣e x﹣x，得f′（x）＝﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，且k1k2＝﹣1，∴∈（0，1），由g（x）＝ax+2cos x，得g′（x）＝a﹣2sin x，又﹣2sin x∈[﹣2，2]，∴a﹣2sin x∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）＝﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．16．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为πa2．【解答】解：由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为S，延长F2S交F1P的延长线于Q，得PQ＝PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2＝2a，故有PF1+PQ＝QF1＝2a，连接OS，知OS是三角形F1F2Q的中位线，∴OS＝a，即点S到原点的距离是定值a，由此知点S的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．同理可得，点R的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．故点R，S所形成的图形的面积为πa2．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n＝λS n﹣1+1，∴a n+1﹣a n＝λa n，即a n+1＝（1+λ）a n，又a1＝1，a2＝λa1+1＝λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3＝（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）＝1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2＝0，解得λ＝1．∴a n＝2n﹣1，b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（2）a n b n＝（3n﹣2）•2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n＝1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n＝2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，∴﹣T n＝1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n＝﹣（3n ﹣2）×2n＝（5﹣3n）×2n﹣5，∴T n＝（3n﹣5）×2n+5．18．（12分）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1＝P（）＝P（）P（）P（）＝××＝．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2＝P（A）+P（B）+P（C）＝++×＝．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2＝+＝．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X＝100ξ，P（X＝100ξ）＝P（ξ＝k）＝••，k＝0，1，2．X的分布列为：∴EX＝0×+100×+200×＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD ＝90°，AP＝AD＝AB＝，BC＝t，∠P AB＝∠P AD＝α．（Ⅰ）当t＝3时，试在棱P A上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（Ⅱ）当α＝60°时，若平面P AB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．【解答】解：（1）在棱P A上取点E，使得＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2连接AC，BD交于点F，因为AD∥BC，所以＝，所以＝，所以，EF∥PC因为PC⊄平面BDE，EF⊂平面BDE所以PC∥平面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（Ⅱ）取BC上一点G使得BG＝，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG．AP＝AD＝AB，∠P AB＝∠P AD＝60°，所以△P AB和△P AD都是等边三角形，因此P A＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7以O坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），P（0，0，1），A（﹣1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），G（1，0，0）设棱BC的长为t，则C（t，1﹣t，0），＝（﹣1，0，﹣1），＝（0，1，﹣1），＝（t，1﹣t，﹣1），＝（0，﹣1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9设平面P AB的法向量为＝（x，y，z），则，取＝（﹣1，1，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10同理平面PCD的法向量＝（1﹣，1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11由＝0，解得t＝2，即BC的长为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1220．（12分）在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点（，0）且与直线x＝﹣相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设P是曲线E的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x ﹣1）2+y2＝1，求△PBC面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知圆心到（，0）的距离等于到直线x＝﹣的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2＝2x．（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），直线PB的方程为：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b＝0，又圆心（1，0）到PB的距离为1，即＝1，整理得：（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0＝0，同理可得：（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0＝0，所以，可知b，c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0＝0的两根，所以b+c＝，bc＝，依题意bc＜0，即x0＞2，则（c﹣b）2＝，因为y02＝2x0，所以：|b﹣c|＝||所以S＝|b﹣c|•|x0|＝（x0﹣2）++4≥8当x0＝4时上式取得等号，所以△PBC面积最小值为8．21．（12分）已知函数f（x）＝x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，所以≥0在[2，3]上恒成立，即在[2，3]上恒成立，设，则，所以g（x）在[2，3]上单调递减，故g（x）max＝g（2）＝﹣7，所以a≥﹣7；（2）对于任意两个不相等的正数x1、x2有＞＝＝，∴，而，∴＝＝＞，故：＞，即＞1，∴当a≤4时，．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F 连接CE．（1）求证：AG•EF＝CE•GD；（2）求证：．【解答】证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF＝∠AGD，∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG＝∠GDF，∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF＝CE•GD（2）由（1）知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG•GF，由（1）知，∴．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…（2分）由曲线C2的极坐标方程为ρ＝2得，曲线C2的普通方程为x2+y2＝4；…（4分）（2）法一：由曲线C2：x2+y2＝4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|＝＝+…（6分）则（|PM|+|PN|）2＝14+2．所以当sinα＝0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|＝+＝+…（6分）则（|PM|+|PN|）2＝14+2．所以当y＝0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【解答】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b＝＝＝，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a＝时取等号．∴7a+4b的最小值为．。
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石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案一、选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15． 16.3602 三、解答题17.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................10分 18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分 （2）2(21)2n n n n b a n ==+123325272(21)2n n S n =+++++………………①…………②……………………6分①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos 2629100 (85)2c= (92)==∴===+-+-==-+==a bA B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分23412325272(21)2n n S n +=+++++1+12(12)22(21)2122(21)2nnnnn+-=+-+-=---……………………10分∴1(21)22nnS n+=-+……………………12分19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分……….5分（2）P（Y=0）=13063240228=CCP（Y=1）=6528240112128=CCCP（Y=2）=13011240212=CCY 0 1 2P13063652813011…………………11分5E（P）=.…………………………12分20(1)分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，则=NF∥12AD,=ME∥12AD,所以=NF∥ME,∴四边形MEFN为平行四边形.-------------2∴EF MN∥,又,EF PAB⊄平面,MN PAB⊂平面∴EF∥PAB平面.- ------------4(2)由已知得，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,所以AP AB AD，，两两垂直．如图所示，以A为坐标原点,分别以,,为轴轴，轴，zyx的正方向，建立空间直角坐标系xzyNMHFEDCBPAxyz A -，所以(001),(000),B(1,0,0),(110),(010)P A C D ，，，，，，，，，,1111(0),(0)2222E F ，，，，, 所以,11(0)22EF =-，，, 11(0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB ==所以11022b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8 设直线EF 与平面ABE 所成角为α, 于是1sin cos ,2EF n EF n EF nα=<>==.-------------10所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2在平面PAD 内作EH ∥PA H 于, 因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以EH ⊥底面ABCD . -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABFS =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯=-------------8 设点F到平面ABE 的距离为h ,E ABF F ABE V V --=1112224ABESAB AE =⨯⨯=⨯⨯= 1133ABFABES EH Sh =,4h =. -------------10设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------1221.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x x y y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。
————————————————————4分（2）当过点（1,0）的直线为0y =时，(2,0)(-2,0)4OM ON ==-当过点（1,0）的直线不为0y =时可设为1x ty =+，A （1x ， 1y ），B （2x ，2y ）联立22141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并化简得：22(4)230t y ty ++-=，由韦达定理得：12224t y y t +=-+，12234y y t =-+， ————————————————————6分所以212121212121222222222(1)(1)(1)()132414(4)1717(1)1444444OM ON x x y y ty ty y y t y y t y y t t t t t t t t t t =+=+++=++++---+-++=+++===-++++++————————————————————10分又由222412(4)16480t t t ∆=++=+>恒成立，所以t R ∈，对于上式，当0t =时，()max 14OM ON= 综上所述OM ON 的最大值为 14…………………………………………12分22．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，当3a =时，21123()23x x f x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >，时，()0f x '>，........................2分 当112x <<时，()0f x '<.......... ()f x ∴的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2..........4分（Ⅱ）2112()2x axf x x a x x+-'=+-=令2()21u x x ax =-+，则28a ∆=-，1当0∆<，即a -<<()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，此时()f x 无极值； ..............5分2当0∆=，即a =±()0f x '≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，此时()f x 无极值.............6分 3当0∆>，即a <-a >方程()0u x =有两个实数根12x x ==若a <-120x x <<，此时， 则当x ∈(0,)+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，此时()f x 无极值.................7分若a >()0u x =的两个根120,0x x >>，不妨设12x x <，则当1(0,)x x ∈和2(,)x +∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞单调递增， 当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间12(,)x x 上单调递减， 则()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值， 且12121,22a x x x x +== 22121112221212()()ln ln f x f x x x ax x x ax k x x x x -+---+==--1212121212ln ln ln ln ()2x x x x ax x a x x x x --=++-=---1212ln ln 222x x a ax x a -=-=--即121212ln ln 21x x x x a x x -==-+ ……………………（*）............9分即11122121221ln 1x x x x x x x x x x --==++ 令12(0,1)x t x =∈，则上式等价于：1ln 1t t t -=+ 令()(1)ln 1g t t t t =+-+则11()ln 1ln t g t t t t t +'=+-=+ 令1()ln m t t t =+22111()0t m t t t t-'=-=<()m t ∴在区间(0,1)上单调递减，且()(1)10m t m >=>，即()0g t '>在区间(0,1)恒成立()g t ∴在区间(0,1)上单调递增，且()(1)0g t g <= ∴对(0,1)t ∀∈，函数()g t 没有零点，即方程1ln 1t t t -=+在(0,1)t ∈上没有实根，.....................11分 即（*）式无解，∴不存在实数a ，使得22ak a =-. ..............12分。