[配套K12]2019高考数学 30分钟拿下选择、填空题 专题03 特例法 文

专题03 特例法方法探究特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果.特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略.近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！ 经典示例【例1】（利用特殊值）若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是 A ．22a b >B ．a b a b +<+C ．a b +>D ．()20a b c -≥【答案】D【解析】对于A ，当1,2a b ==-时，不成立，所以是错误的； 对于B ，取2,1a b ==时，不成立，所以是错误的； 对于C ，取1,2a b =-=-时，不成立，所以是错误的；对于D ，由20,0a b c ->≥，所以()20a b c -≥是正确的，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断. 【备考警示】本题在选取a ，b 的值时，一定要满足条件a b >，才可以正确求解. 【例2】（利用特殊函数）下列有关函数单调性的说法，不正确的是 A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数 【答案】C方法二：设任意实数12x x <，根据()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()12f x f x <，12()()g x g x >，设()()()h x f x g x =+，当12x x <时，()()()()][()()212211h x h x f x g x f x g x ⎡⎤-=+-+=⎣⎦()2[f x - ()()()121][]f x g x g x +-，由于()()210f x f x ->，()()210g x g x -<，所以()()21h x h x -的符号不确定，即()()()h x f x g x =+的单调性不确定，故选C ．【方法点睛】根据函数单调性定义，可以进行证明并得到下面结论：在公共的定义域内，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数.在解选择题、填空题时我们可以根据此结论直接对常见函数进行单调性的判断. 【备考警示】很明显，方法一要比方法二更简洁，比利用结论更直观.【例3】（利用特殊数列）已知数列{}n a 是等比数列，其公比为q ，则“1q >”是“数列{}n a 为单调递增数列“的”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【名师点睛】一般地，等比数列{}n a 为单调递增数列的充要条件是10,1a q >>或10,01a q <<<．等差数列{}n b 为单调递增数列的充要条件是公差0d >．【备考警示】等比数列的通项公式为11n n a a q -=，故其单调性不仅取决于1a 的符号，还要考虑()0,1q ∈还是()1,q ∈+∞．所以本题直接求解比较困难，而选取特殊值，构造特殊数列会简单快捷得多.【例4】（利用特殊位置）在三棱锥A BCD -中，底面为直角三角形，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________． 【答案】43【解析】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则4AB =，设AD x =，则BD BD 边上的高1CH =，当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，此时1132V x =⨯⋅=当28x =时，体积V 最大，且最大值为43. 【名师点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示成关于x 的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.【备考警示】几何问题的特殊位置一般是垂直、平行、对称或中点处等，做题时多往这几方面考虑. 拓展变式1．已知()π2sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则“x ∀∈R ，()()πf x f x +=”是“2ω=”的 A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【名师点睛】在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性问题．【方法技巧】熟练应用找特殊值进行验证是解决此类问题的快速有效方法.2．已知椭圆221:11615x y C +=的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线,PM PN ，其中切点为,M N ，则四边形PMFN 面积的最大值为A ． BCD ．5【答案】A【解析】如图所示，【名师点睛】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．【规律总结】圆锥曲线中的最值问题，如果涉及动点问题，就要找点的特殊位置，比如本题，当P 点为椭圆的右顶点时，|PF |取得最大值a +c ． 终极押题 一、选择题1．已知集合2{|40}A x x x =-<，{|22}B x x =∈-<≤Z ，则A B =A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】B【解析】解240x x -<，即(4)0x x -<，得04x <<，所以{|04}A x x =<<，又{1,0,1,2}B =-，故{1,2}AB =.故选B.2．已知复数z 满足(2i)4i z z +=+，则z = A ．1i - B ．12i - C ．1i +D ．12i +【答案】C3．已知命题p ：(0,π)x ∀∈，tan sin x x >；命题q ：0x ∃>，22x x >，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】D【解析】因为π(,π)2x ∈时，tan 0x <，sin 0x >，故tan sin x x >不成立，所以命题p 为假命题； 当3x =时，2332>，故命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题.故选D. 4．已知角α的终边经过点(2,)P m （0m ≠），若sin α=，则3πsin(2)2α-= A ．35- B ．35C ．45D ．45-【答案】B【解析】由题意得||OP ==O 为坐标原点），所以sin 5m α==，解得21m =，即2211sin 55m α==，所以 3πππsin(2)sin(22π)sin(2)cos 2222αααα-=+-=+=21312sin 1255α=-=-⨯=．故选B ．5．在等差数列}{n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若10010a a a k ++= ，则=k A ．496 B ．469 C ．4915D ．5000【答案】C6．已知0.32(log 3)a =， 1.13(log 2)b =，lg10.3c =，则 A ．c a b << B ．b c a << C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】因为2log 31>，30log 21<<，lg100.30.31c ===， 所以0.32(log 3)1a =>， 1.130(log 2)1b <=<，所以b c a <<.故选B ．7．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于A ．π12+B ．5π123+ C ．π4+D ．5π43+【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，其中上方是一个底面半径为1，高为1的圆锥，中间部分是一个半径为1的半球，下方是一个正四棱柱，且该正四棱柱的底面是边长为2的正方形，高为3，所以圆锥的体积211ππ1133V =⨯⨯=，半球的体积32142ππ1233V =⨯⨯=，正四棱柱的体积232312V =⨯=，所以该几何体的体积123π2π12π1233V V V V =++=++=+．故选A.8．函数223()2xx xf x--=的大致图象为【答案】C9．执行如图所示的程序框图,若输入的数据依次为98,a,输出的结果是a,则a的值不可能是A．7 B．14C．28 D．49【答案】C【解析】由程序框图可知,输出的是98,a的最大公约数,根据98,a的最大公约数是a,可知a是98的约数,7,14,49都是98的约数,28不是98的约数,故选C.10．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，若在双曲线第一象限内的渐近线上存在两点,A B满足||2||OB OA =，且||||3FA FB a ==，则双曲线的离心率为A ．2 BC ．3D 【答案】A11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ<）的最小正周期为π，且图象过点7π(,1)12-，要得到函数π()sin()6g x x ω=+的图象，只需将函数()f x 的图象A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度【答案】B【解析】由函数()f x 的最小正周期为π，得2ππT ω==，解得2ω=.由点7π(,1)12-在函数()f x 的图象上可得7πsin[2()]112ϕ⨯-+=，所以7ππ2π62k ϕ-=+（k ∈Z ），解得5π2π3k ϕ=+（k ∈Z ）. 因为π||2ϕ<，所以1k =-，5ππ2π33ϕ=-+=-，所以π()sin(2)3f x x =-，故要得到函数 πππππ()sin(2)sin(2)sin[2()]62343g x x x x =+=+-=+-的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移π4个单位长度即可.故选B ． 12．若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数2()ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(,2]-∞C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】由题意得，()1g x kx '=-，函数21()32g x kx x =-+为函数2()ln f x x x x =+的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-在(0)+∞，上有解，所以方程1ln 1k x x x=++在(0)+∞，上有解，记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x -'=+-=+，当1x >时，2210x x->，ln 0x >，所以()0p x '>，函数()p x 单调递增；当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，所以()0p x '<，函数()p x 单调递减.所以()(1)2p x p ≥=.故由方程1ln 1k x x x=++有解可得2k ≥.故选D. 二、填空题13．设向量(1,1)=-a ，(0,1)=b ，(,2)x =c ，若向量2-+a b c 与2-a b 垂直，则实数x = .【答案】1-14．已知实数,x y 满足约束条件3240380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为 .【答案】12【解析】作出约束条件所表示的可行域如下图中阴影部分所示，目标函数2z x y =+可化为20x y z +-=，z 的几何意义是直线20x y z +-=在y 轴上的截距，故当直线在y 轴上的截距取得最大值时，目标函数取得最大值.由图可知，目标函数对应的直线经过点A 时，z 取得最大值.由240380x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，即(4,4)A .故max 24412z =⨯+=. 15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，离心率87=e ，抛物线x y 322-=的焦点是椭圆的左顶点，则椭圆 的标准方程为 . 【答案】1156422=+y x16．在锐角ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，222sin sin sin sin B A C A C =+，a =，且最短边10=b ，则c = .【答案】4【解析】由已知根据正弦定理得222b a c +=+，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-===. 于是，结合2π0<<B ，即得4π=B . 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又23=a ，10=b ，4π=B ， 所以4πcos 232)23()10(222⨯⨯-+=c c ，即2680c c -+=，解得2c =或4c =. 因为最短边10=b ，所以4=c .你用了几分钟？有哪些问题？。