线性规划模型

gin 3
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
• • • • • • • • max 3x1+2x2 st 2x1+3x2<=14 2x1+x2<=9 end gin x1 gin x2 (或者用 gin 2 )
2、钢材截短 有一批钢材， 每根长7.3米。现需做 100套短钢材， 每套包括长2.9米, 2.1 米,1.5米的各一根，至少用掉多少根钢 材才能满足需要， 并使得用料最省。
图 形 法 解 模 型 一
0.2x1+0.05x2=4
15x1+10x2=450
命题2 线性规划问题的目标函数关于不同 的目标值是一族平行直线。 目标值的大小描述了直线离原点的远近
命题3 线性规划问题的最优解一定在 可行解集的某个极点上达到 • (穿过可行域的目标直线组中最远离 (或接近)原点的直线所穿过的凸多边 形的顶点).
• 例三பைடு நூலகம்
例四
一、整数规划的一般知识
1、定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整 数时，称为整数规划。若在线性规划模型 中，变量限制为整数，则称为整数线性规 划。目前所流行的求解整数规划的方法， 往往只适用于整数线性规划。
2、整数规划的分类
如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
计算方法一：分解为8个LP子模型 对剩余的5个子模型逐一求解，比较 目标函数值，再加上整数约束，得 最优解：
×
x1 80, x2 150, x3 0, 最优值z 610
× ×
计算方法二：引入0-1变量，化为整数规划
x1 0或 80 x2 0或 80 x3 0或 80
x1 ( x1 80) 0 x2 ( x2 80) 0 x3 ( x3 80) 0
非线性规划（Non-Linear Programming，简记NLP） NLP虽然可用现成的数学软件求解（如LINGO， MATLAB），但是其结果依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
数学规划模型
实际问题中 的优化模型
Min(或Max) z f ( x), x ( x1 ,x n ) s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m
T
规划问题包含3个组成要素: f(x)~目标函数 决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得 x~决策变量 gi(x)0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划
设按第i种方法截 xi 根钢材(决策变量). 目标函数 f=0.2x2+1.4x3+0.8x4+0.1x5+x6+0.7x7+1.3x8 约束条件 2x1+x2+x3+x4 100 2x2+x4+2x5+3x6+x7 100 x1+2x3+x4+2x5+3x7+4x8 100 xi 0 , xi为整数， i=1,…,8 模型求解：用Lindo软件求解
建模： 记 xj 为第 j 类仪器的装载数. 求 各种仪器的装载数量 xj （整数） 在约束条件 jaj xj b 下, 使得目标函数 f= j cj xj达到最大值.
用Lindo软件求解整数规划 Linear Interactive and Discrete optimizer 求 整数 x1, x2 Max Z=3x1+2x2 s. t. 2x1+3x2≤14 2x1+x2 ≤9
四、奶制品的销售模型
• 例2. 生产5种产品P1, P2, P3,P4,P5 单价为 550, 600, 350, 400, 200. • 三道工序:研磨、钻孔、装配。所需工时为 • P1 P2 P3 P4 P5 • I 12 20 0 25 15 • II 10 8 16 0 0 • III 20 20 20 20 20 • 各工序的生产能力（工时数）288 192 384 • 如何安排生产，收入最大。
2. 线性规划问题求解方法
称满足约束条件的向量为可行解，
称可行解的集合为可行域 ,
称使目标函数达最优值的可行解为最优解. 图解法：(解两个变量的线性规划问题) 在平面上画出可行域（凸多边形）， 计算目标函数在各极点(多边形顶点)处的值 比较后，取最值点为最优解。
命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集 （可行解集：线性不等式组的解）
规划问题：在约束条件下求目标函数的 最优值点。 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量 的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。
模型 II . 在不降低当前生产水平的前提下 评估资源的贡献，使“成本”投入最低。 设每立方木材和每个工时投入“成本” 分别为 y1 y2(决策变量) •则目标函数为： g=4y1+450y2 •对决策变量的约束 • 0.2y1+15y2 ≥ 80 • 0.05y1+10y2 ≥ 45 • y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 • 得 y1=100（元/m3），y2=4（元/工时）
◆ （9）表达式必须是化简形式： • 不可以： x1 3x2 4x1 ； 必须写成 2
2 x1 3x2 。
◆ （10）end 后面缺省，则是假定所有变 量均非负。 • 若在end 语句后面加上“FREE name”， 则将变量“name”的非负假定取消。
三、奶制品的生产模型
不变
x1 My1 , x1 80 y1 , y1 {0,1} x2 My2 , x2 80 y2 , y2 {0,1} x3 My3 , x3 80 y3 , y3 {0,1}
M为大的 正数，可 取1000
计算方法三：化为非线性规划，用Lingo软件求解
x1 0或 80 x2 0或 80 x3 0或 80
三、练 习
1、飞船装载问题 设有n种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令cj>0表示每件第 j 类仪器的科学价值; aj>0表示每件第 j 类仪器的重量. 每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数. 飞船总载荷不得超过数 b. 设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大.
• • • •
（一）线性规划模型（LP） （二）整数规划模型（IP）
优化问题：
与最大、最小、最长、最短等等有关的问题。 解决最优化问题的数学方法： 运筹学
运筹学主要分支：
线性规划、非线性规划、动态规划、 图与网络分析、存贮论、排队伦、 对策论、决策论。
线性规划
1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织 与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提 出线性规划的一般模型及理论
• 模型：设 xi 生产 Pi 的件数。
• 则max Z=550 x1+600 x2+350 x3+400 x4+200 x5。
• s. t. 12 x1+20 x2+0 x3+25 x4+15 x5≤ 288 • 10 x1+8 x2+16 x3+0 x4+0 x5≤ 192 • 20 x1+20 x2+20 x3+20 x4+20 x5≤ 384 • xi ≥ 0 • 有解 x1=12， x2 =7.2， x3 = x4 = x5 = 0 • Z=10920
◆ （6）行中“！”符号后面为注释。 ◆ （7）变量不能出现在约束条件右端，而且 无除法运算（加、减、乘）。 x1 • 不可以： 4 ；必须写成 x1 4 x2 0 x2 • 不可以：x1 3x2 x3 ；必须写成 x3 x1 3x2 0 ◆ （8）表达式中不接受括号（）和逗号。 • 不可以：400( x1 x2 ) ；必须写成 400 x1 400 x2