第2章 运筹学课件图解法
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运筹学课件第二节图解法
(1/3) x1 +(1/3)x2 =1
两个约束条件 及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分 －－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非 负条件的点的集合，即可行域。在这个区域中 的每一个点都对应着一个可行的生产方案。
令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数，在图中画出直线 2x1+3x2=c, 这条直线上的点即对应着一个可行的生产方案，即使两种产品的总利润达 到c。 这样的直线有无数条，而且相互平行，称这样的直线为目标函数等值线。 只要画出两条目标函数等值线，比如令c＝0和c=6，就能看出 目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线
实施图解法，以求出最优生产计划（最优解）
由于线性规划模型中只有两个决策变量，因此 只需建立平面直角系就可以进行图解了。 第一步：建立平面直角坐标系，标出坐标原点, 坐标轴的指向和单位长度。 用 x1 轴表示产品 A 的产量，用 x2 轴表示产品 B 的 产量。 第二步：对约束条件加以图解。 第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解-----最优生产方案。
x2
6x1+2x2=24
最优解的确定: m可行域使目标函数达到 a x Z 2 x1 x 2 最优的点,目标函数的Z值逐渐增大， 一直移动到目标函数的直线与约束条 5 x2 15 x x 5 件包围成的凸多边形相切时为止，切 ,x )=(3.5,1.5),z=8.5 1 2 点就是最优解。 (x s t . 1 2 5x2=15 6 x1 2 x 2 2 4
B3=(P1,P4,P5)
基 P3,P4,P5 P2,P3,P4
x1 0 0
x2 0 4
两个约束条件 及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分 －－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非 负条件的点的集合，即可行域。在这个区域中 的每一个点都对应着一个可行的生产方案。
令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数，在图中画出直线 2x1+3x2=c, 这条直线上的点即对应着一个可行的生产方案，即使两种产品的总利润达 到c。 这样的直线有无数条，而且相互平行，称这样的直线为目标函数等值线。 只要画出两条目标函数等值线，比如令c＝0和c=6，就能看出 目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线
实施图解法，以求出最优生产计划（最优解）
由于线性规划模型中只有两个决策变量，因此 只需建立平面直角系就可以进行图解了。 第一步：建立平面直角坐标系，标出坐标原点, 坐标轴的指向和单位长度。 用 x1 轴表示产品 A 的产量，用 x2 轴表示产品 B 的 产量。 第二步：对约束条件加以图解。 第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解-----最优生产方案。
x2
6x1+2x2=24
最优解的确定: m可行域使目标函数达到 a x Z 2 x1 x 2 最优的点,目标函数的Z值逐渐增大， 一直移动到目标函数的直线与约束条 5 x2 15 x x 5 件包围成的凸多边形相切时为止，切 ,x )=(3.5,1.5),z=8.5 1 2 点就是最优解。 (x s t . 1 2 5x2=15 6 x1 2 x 2 2 4
B3=(P1,P4,P5)
基 P3,P4,P5 P2,P3,P4
x1 0 0
x2 0 4
2-2运筹学课件
《运筹学》5/8
x1
当z值不断减少时，该直线x2 = 2x1 +Z 值不断减少时，该直线x
例1.2.2 解线性规划
沿着其负法线方向向右下方移动。 沿着其负法线方向向右下方移动。
x2 = 2x1 + Z
x2
min
z = −2 x1 + x2
x1 + x2 ≥ 1 s .t . x1 − 3 x2 ≥ −3 x ≥ 0, x ≥ 0 1 2
《运筹学》8/8
§2.2 线性规划的图解法
一、解的概念 二、图解法 三、图解法的结论
《运筹学》1/8
一、解的概念
可行解（ 可行解（Feasible Solution): 满足约束条件和非负条件的一组 x=(x1,x2,…,xn)T称为可行解。所有可行解构成 称为可行解。 可行解集称为可行域。 可行解集称为可行域。 可行域 最优解(Optimal Solution): 最优解 使目标函数达到最优的可行解称为最优解， 使目标函数达到最优的可行解称为最优解，对 最优解 应的目标函数值称为最优值。 应的目标函数值称为最优值。 最优值
min = 4 − 1 2 x max z z = x1x− + x22
2 x1 − x2 ≥ −2 x − 2x ≤ 2 1 2 s .t . x1 + x2 ≤ 5 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
A1
D
x1 − 2 x2 = 2 A3
0 A4 最优解有无穷多个，最优值min z=－4。 最优解有无穷多个，最优值 － 。
当z值不断减少时，该直线x2 = 2x1 +Z/2 值不断减少时，该直线x 沿着其法线方向向左上方移动。 沿着其法线方向向左上方移动。
x1
当z值不断减少时，该直线x2 = 2x1 +Z 值不断减少时，该直线x
例1.2.2 解线性规划
沿着其负法线方向向右下方移动。 沿着其负法线方向向右下方移动。
x2 = 2x1 + Z
x2
min
z = −2 x1 + x2
x1 + x2 ≥ 1 s .t . x1 − 3 x2 ≥ −3 x ≥ 0, x ≥ 0 1 2
《运筹学》8/8
§2.2 线性规划的图解法
一、解的概念 二、图解法 三、图解法的结论
《运筹学》1/8
一、解的概念
可行解（ 可行解（Feasible Solution): 满足约束条件和非负条件的一组 x=(x1,x2,…,xn)T称为可行解。所有可行解构成 称为可行解。 可行解集称为可行域。 可行解集称为可行域。 可行域 最优解(Optimal Solution): 最优解 使目标函数达到最优的可行解称为最优解， 使目标函数达到最优的可行解称为最优解，对 最优解 应的目标函数值称为最优值。 应的目标函数值称为最优值。 最优值
min = 4 − 1 2 x max z z = x1x− + x22
2 x1 − x2 ≥ −2 x − 2x ≤ 2 1 2 s .t . x1 + x2 ≤ 5 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
A1
D
x1 − 2 x2 = 2 A3
0 A4 最优解有无穷多个，最优值min z=－4。 最优解有无穷多个，最优值 － 。
当z值不断减少时，该直线x2 = 2x1 +Z/2 值不断减少时，该直线x 沿着其法线方向向左上方移动。 沿着其法线方向向左上方移动。
运筹学线性规划图解法
j =1
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 (无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程 缺少一必要条件 的方程
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 (无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程 缺少一必要条件 的方程
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
《运筹学图解法》课件
提高建模能力
提高模型解释和应用能力
提高求解效率的策略与技巧
选择合适的图解 法：根据问题类 型选择合适的图 解法，如最短路 径问题、最大流 问题等。
优化算法：对图 解法进行优化， 如使用动态规划、 贪心算法等。
并行计算：利用 多核处理器进行 并行计算，提高 求解速度。
利用软件工具： 使用专业的图解 法软件，如 Matlab、 Python等，提 高求解效率。
缺点：需要一定 的数学基础，不 适合初学者使用
运筹学图解法的基本步骤
确定问题目标
明确问题的性质 和类型
确定问题的目标 和约束条件
分析问题的关键 因素和影响因素
确定问题的求解 方法和步骤
建立模型
确定问题：明确需要解决的问题
建立模型：根据数据建立数学模 型
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
收集数据：收集与问题相关的数 据
模型验证与优化的方法与技巧
模型验证：通过实际数据验证模型的准确性和可靠性
模型优化：根据实际需求对模型进行优化，提高模型的效 率和效果
模型选择：根据实际问题选择合适的模型，提高模型的适 用性和准确性
模型调整：根据实际数据对模型进行调整，提高模型的适 应性和准确性
模型评估：对模型进行评估，了解模型的优缺点和改进方 向
软件工具的使用：熟悉软件工具 的界面和功能，掌握基本的操作 方法
软件工具的优化与调整：根据问 题特点和需求，对软件工具进行 优化和调整，提高求解效率和准 确性
软件工具的常见问题与解决方 案：了解软件工具的常见问题， 掌握相应的解决方案，提高求 解效率和准确性
软件工具的学习与提高：不断学 习和实践，提高软件工具的使用 水平和求解能力
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
【运筹学】2第二章线性规划图解法
(7, 0)
56
78
9 10
x1
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2 = 46
Optimal Solution (x1 = 5, x2 = 3)
34
56
78
9 10
x1
•画图求解 •2）Max z= 7x1 + 5x2 •3）Max z= 5x1 + 10x2 •4）Max z= 5x1 + 5x2
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2
第2章 线性规划图解法
第2章 线性规划图解法
2.1 线性规划问题 2.2 图解法 2.3 极点和最优解 2.4 计算机求解 2.5 最小化问题 2.6 特例
2.1 线性规划问题
• 在一定的约束条件（限制条件）下，使得 某一目标函数取得最大（或最小）值，当 规划问题的目标函数与约束条件都是线性 函数，便称为线性规划。 •Linear programming （LP）
2.2 图解法
•唯一解 •无穷多个最优解 •无界解 •无可行解
Example 1: A Maximization Problem
• LP Formulation • •
Max z= 5x1 + 7x2
•
s.t.
x1
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学02-线性规划的图解法
10
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
若线性规划问题有可行解，但无有限最优解，则可 行域必然是无界的； 若线性规划问题无可行解，则可行域必为空集。
9
2.3 线性规划问题的标准形式
(1) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn , b1 a x a x a x , b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x , b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
27
2.4.2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析
当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生 变化，可能引起最优解的变化。 考虑例1的情况： 假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这时可行 域扩大，最优解为 60，x2 = 250 。 变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润 (50×60+ 100×250) - (50 × 50+100 × 250) = 500 ， x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 =
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
若线性规划问题有可行解，但无有限最优解，则可 行域必然是无界的； 若线性规划问题无可行解，则可行域必为空集。
9
2.3 线性规划问题的标准形式
(1) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn , b1 a x a x a x , b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x , b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
27
2.4.2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析
当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生 变化，可能引起最优解的变化。 考虑例1的情况： 假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这时可行 域扩大，最优解为 60，x2 = 250 。 变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润 (50×60+ 100×250) - (50 × 50+100 × 250) = 500 ， x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 =
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向量Pj 对应的决策变量是x j
T
用矩阵表述：
max z CX ( LP4 ) s.t AX b X 0
其中
A (aij )mn ( p1, p2 pn )
0 (0,0,0)
T
max z CX s.t AX b X 0
剩余变量
ai1x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
2)
不等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ,
3)
等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
其中 bi 0
决策变量大于等于0
右端常数项大于0
或者 ( LP2 )
max z c j x j
j 1
n
s.t ij x j b j , i 1, 2 m j 1 x 0, j 1, 2 n j
n
（向量和矩阵符号表述） ( LP3 )
第一节
问题的提出
1.1、问题的提出
例1: 某工厂用三种原料生产三种产品，已知
的条件如下表所示，试制订总利润最大的生 产计划
单位产品所需原 料数量（公斤） 产品 Q1 产品 Q2 产品 Q3
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
原料P2 原料P3 单位产品的利润 （千元）
2
0 3 3
3
2 2 5
0
4 5 4
4x2 12
x2
A
可行域
B
max z 2 x1 3x2 s.t x1 2 x2 8 x1 16 4 x 12 2 x , x 0 1 2
最优解（4，2）
x1
x1 16
综上，本问题可用如下模型描述： 目标函数： max z 3x1 5x2 4x3 约束条件： 2 x1 3x2 1500
2x1 4 x3 800 3x1 2x2 5x3 2000
x1 ,x2 ,x3 0
从以上例可以看出，其特征是：
1) 问题用一组决策变量 ( x1 , x2 xn ) 表示某一方案；决策变量的值就代表 一个具体的方案，一般这些变量是非 负的。
1500
800 2000
可控因素：每天生产三种产品的数量，
分别设为：x1 ,x2 ,x3
目标：每天的利润最大
3 利润函数： x1 5x2 4 x3
受制条件：每天原料的需求量不超过可用量
单位产品所需原料 数量（公斤） 原料P1 原料P2 原料P3 单位产品的利润 （千元）
产品 Q1
产品 Q2
max(min) z c1x1 c2 x2 cn xn
x1 x2 2 n xn (, )b2 m1 x1 m 2 x2 mn xn (, )bm x1 , x2 xn 0
线 性 规 划
Chapter 2 Linear Programming
Linear Programming
在人们的生产实践中，经常会遇到
如何利用现有资源来安排生产，以取得 最大经济效益的问题。此类问题构成了 运筹学的一个重要分支—数学规划，而 线性规划(Linear Programming 简记LP) 则是数学规划的一个重要分支。
j
j
min z CX max f z CX
III.
约束转换（实例）
1)
不等式变等式
i1x1 i 2 x2 in xn bi
松弛变量
i1x1 i 2 x2 in xn si bi si 0
或者：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
1.3、线性规各种形式都统一变为如下的
标准形式：
( LP ) 1
目标函数为最大
约束为 等式
max z c1 x1 c2 x2 cn xn s.t x1 x2 1n xn b1 m1 x1 m 2 x2 mn xn bm x1 , x2 xn 0
2. 存在一定的约束条件，这些约束都可 以用一组线性等式或线性不等式表示。
3. 都有一个要达到的目标，它可以用决 策变量的线性函数来表示。按问题的 不同要求，目标函数实现最大化或最
小化。
满足以上三个条件的数 学模型称为线性规划的数 学模型，其一般形式为:
目标函数
s.t x1 x2 1n xn (, )b1
A
-----称为系数矩阵 -----称为资源向量 -----称为价值向量
b
C
X
-----称为决策变量向量
将一般形式转换为标准形式
I.
变量转换(若出现自由变量 令自由变量
j
x
j
)
xj x x ,
其中
x , x 0.
II. 目标转换 求最小可以等价的转换为求最大
2、无界解
对下述问题用图解法求解结果见下图：
max z x1 x2 s.t x1 x2 4 x1 x2 2 x , x 0 1 2
x2
2x1 x2 4
max z x1 x2 s.t x1 x2 4 x1 x2 2 x , x 0 1 2
注意：
在不引起混淆的情况下，松弛变量、
剩余变量与决策变量的符号不加区
分,均用 xi 表示。 在将求最小问题化为标准型时，一
定注意所求的最优值互为相反数。
松弛变量和剩余变量的解释
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种 产品的生产，已知生产单位产品所需的设 备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的 限制，如下表：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
例1:将下列数学模型变为标准型：
max z x1 x2 s.t x1 x2 4 (1) x1 x2 2 x , x 0 1 2
2.2、图解法
变量用直角坐标系中的点表示 约束条件用坐标系中的半空间或直线的 交表示
要点：
目标函数用一组等值线表示，沿着增加 或减少的方向移动
等值线
例1:
max z 2 x1 3x2 s.t x1 2 x2 8 x1 16 4 x 12 2 x , x2 0 1 2
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线
性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论
上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特 别是在计算机能处理成千上万个约束条件和 决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经 常采用的基本方法之一。
§2.1 问题的提出 §2.2 线性规划的图解法 §2.3 图解法的灵敏度分析
min z x1 x2 s.t x1 x2 4 (2) x1 x2 2 x 0 1
解： (1)、原式的标准型为：
max z x1 x2 s.t x1 x2 s1 4 x1 x2 s2 2 x , x 0, s , s 0. 1 2 1 2
总之，可能出现的情况：
可行域是空集
可行域无界无最优解 最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 最优解存在且不唯一，一定存在顶点是 最优解
注：图解法简便、直观，有助于了解
线性规划问题求解的基本原理，但是当 变量的个数多于三个时，它就无能为力 了，因此我们将介绍单纯形法。为了便 于讨论，我们先规定线性规划问题的数
x1 2x2 8
结论： 可行域一定是凸集 若最优解存在，则最优解一定 在凸集的顶点达到
上例中求得 问题的解是唯一的， 但对一般线性规划问题，求解结果还 可能出现以下几种情况： 1、无穷多最优解（多重解）
若将上例中的目标函数 max z 2x1 4x2 改为则表示目标函数中以参数的等值线 与约束条件的边界平行，当值由小变大 时，将与此边界重合，线段AB上的所有 点都是最优解。
(2)、令 x2 x3 x4 ,
规划的标准型为：
则可得原
max f z x1 ( x3 x4 ) s.t x1 ( x3 x4 ) s1 4 x1 ( x3 x4 ) s2 2 x 0, x , x 0, s , s 0 1 2 1 3 4
max z CX s.t p j x j b j 1 x 0, j 1, 2 n j
n
其中：
C (c1, c2 cn ),X ( x1, x2 xn )
T
T
Pj (a1 j , a2 j amj ) ,b (b1, b2 bm )
约束条件
注解：
o
x1 , x2 xn称为决策变量。
o 上述规划中的决策变量也可以是无约束的。 o 满足所有约束条件的一组决策变量称为可行解
o 使目标函数达到最大的一组决策变量称为最优解
o 最优解所对应的目标函数值称为最优值 o 所有可行解组成的集合称为可行域
第二节
线性规划的图解法
图解法
缺点： 只能求解两个决策变 量的线性规划 优点：简单、直观、帮助我 们了解求解线性规划的原理
学模型的标准形式。
线性规划问题的标准形式
线性规划的一般形式
s.t x1 x2 1n xn (, )b1
max(min) z c1x1 c2 x2 cn xn
T
用矩阵表述：
max z CX ( LP4 ) s.t AX b X 0
其中
A (aij )mn ( p1, p2 pn )
0 (0,0,0)
T
max z CX s.t AX b X 0
剩余变量
ai1x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
2)
不等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ,
3)
等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
其中 bi 0
决策变量大于等于0
右端常数项大于0
或者 ( LP2 )
max z c j x j
j 1
n
s.t ij x j b j , i 1, 2 m j 1 x 0, j 1, 2 n j
n
（向量和矩阵符号表述） ( LP3 )
第一节
问题的提出
1.1、问题的提出
例1: 某工厂用三种原料生产三种产品，已知
的条件如下表所示，试制订总利润最大的生 产计划
单位产品所需原 料数量（公斤） 产品 Q1 产品 Q2 产品 Q3
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
原料P2 原料P3 单位产品的利润 （千元）
2
0 3 3
3
2 2 5
0
4 5 4
4x2 12
x2
A
可行域
B
max z 2 x1 3x2 s.t x1 2 x2 8 x1 16 4 x 12 2 x , x 0 1 2
最优解（4，2）
x1
x1 16
综上，本问题可用如下模型描述： 目标函数： max z 3x1 5x2 4x3 约束条件： 2 x1 3x2 1500
2x1 4 x3 800 3x1 2x2 5x3 2000
x1 ,x2 ,x3 0
从以上例可以看出，其特征是：
1) 问题用一组决策变量 ( x1 , x2 xn ) 表示某一方案；决策变量的值就代表 一个具体的方案，一般这些变量是非 负的。
1500
800 2000
可控因素：每天生产三种产品的数量，
分别设为：x1 ,x2 ,x3
目标：每天的利润最大
3 利润函数： x1 5x2 4 x3
受制条件：每天原料的需求量不超过可用量
单位产品所需原料 数量（公斤） 原料P1 原料P2 原料P3 单位产品的利润 （千元）
产品 Q1
产品 Q2
max(min) z c1x1 c2 x2 cn xn
x1 x2 2 n xn (, )b2 m1 x1 m 2 x2 mn xn (, )bm x1 , x2 xn 0
线 性 规 划
Chapter 2 Linear Programming
Linear Programming
在人们的生产实践中，经常会遇到
如何利用现有资源来安排生产，以取得 最大经济效益的问题。此类问题构成了 运筹学的一个重要分支—数学规划，而 线性规划(Linear Programming 简记LP) 则是数学规划的一个重要分支。
j
j
min z CX max f z CX
III.
约束转换（实例）
1)
不等式变等式
i1x1 i 2 x2 in xn bi
松弛变量
i1x1 i 2 x2 in xn si bi si 0
或者：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
1.3、线性规各种形式都统一变为如下的
标准形式：
( LP ) 1
目标函数为最大
约束为 等式
max z c1 x1 c2 x2 cn xn s.t x1 x2 1n xn b1 m1 x1 m 2 x2 mn xn bm x1 , x2 xn 0
2. 存在一定的约束条件，这些约束都可 以用一组线性等式或线性不等式表示。
3. 都有一个要达到的目标，它可以用决 策变量的线性函数来表示。按问题的 不同要求，目标函数实现最大化或最
小化。
满足以上三个条件的数 学模型称为线性规划的数 学模型，其一般形式为:
目标函数
s.t x1 x2 1n xn (, )b1
A
-----称为系数矩阵 -----称为资源向量 -----称为价值向量
b
C
X
-----称为决策变量向量
将一般形式转换为标准形式
I.
变量转换(若出现自由变量 令自由变量
j
x
j
)
xj x x ,
其中
x , x 0.
II. 目标转换 求最小可以等价的转换为求最大
2、无界解
对下述问题用图解法求解结果见下图：
max z x1 x2 s.t x1 x2 4 x1 x2 2 x , x 0 1 2
x2
2x1 x2 4
max z x1 x2 s.t x1 x2 4 x1 x2 2 x , x 0 1 2
注意：
在不引起混淆的情况下，松弛变量、
剩余变量与决策变量的符号不加区
分,均用 xi 表示。 在将求最小问题化为标准型时，一
定注意所求的最优值互为相反数。
松弛变量和剩余变量的解释
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种 产品的生产，已知生产单位产品所需的设 备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的 限制，如下表：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
例1:将下列数学模型变为标准型：
max z x1 x2 s.t x1 x2 4 (1) x1 x2 2 x , x 0 1 2
2.2、图解法
变量用直角坐标系中的点表示 约束条件用坐标系中的半空间或直线的 交表示
要点：
目标函数用一组等值线表示，沿着增加 或减少的方向移动
等值线
例1:
max z 2 x1 3x2 s.t x1 2 x2 8 x1 16 4 x 12 2 x , x2 0 1 2
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线
性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论
上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特 别是在计算机能处理成千上万个约束条件和 决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经 常采用的基本方法之一。
§2.1 问题的提出 §2.2 线性规划的图解法 §2.3 图解法的灵敏度分析
min z x1 x2 s.t x1 x2 4 (2) x1 x2 2 x 0 1
解： (1)、原式的标准型为：
max z x1 x2 s.t x1 x2 s1 4 x1 x2 s2 2 x , x 0, s , s 0. 1 2 1 2
总之，可能出现的情况：
可行域是空集
可行域无界无最优解 最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 最优解存在且不唯一，一定存在顶点是 最优解
注：图解法简便、直观，有助于了解
线性规划问题求解的基本原理，但是当 变量的个数多于三个时，它就无能为力 了，因此我们将介绍单纯形法。为了便 于讨论，我们先规定线性规划问题的数
x1 2x2 8
结论： 可行域一定是凸集 若最优解存在，则最优解一定 在凸集的顶点达到
上例中求得 问题的解是唯一的， 但对一般线性规划问题，求解结果还 可能出现以下几种情况： 1、无穷多最优解（多重解）
若将上例中的目标函数 max z 2x1 4x2 改为则表示目标函数中以参数的等值线 与约束条件的边界平行，当值由小变大 时，将与此边界重合，线段AB上的所有 点都是最优解。
(2)、令 x2 x3 x4 ,
规划的标准型为：
则可得原
max f z x1 ( x3 x4 ) s.t x1 ( x3 x4 ) s1 4 x1 ( x3 x4 ) s2 2 x 0, x , x 0, s , s 0 1 2 1 3 4
max z CX s.t p j x j b j 1 x 0, j 1, 2 n j
n
其中：
C (c1, c2 cn ),X ( x1, x2 xn )
T
T
Pj (a1 j , a2 j amj ) ,b (b1, b2 bm )
约束条件
注解：
o
x1 , x2 xn称为决策变量。
o 上述规划中的决策变量也可以是无约束的。 o 满足所有约束条件的一组决策变量称为可行解
o 使目标函数达到最大的一组决策变量称为最优解
o 最优解所对应的目标函数值称为最优值 o 所有可行解组成的集合称为可行域
第二节
线性规划的图解法
图解法
缺点： 只能求解两个决策变 量的线性规划 优点：简单、直观、帮助我 们了解求解线性规划的原理
学模型的标准形式。
线性规划问题的标准形式
线性规划的一般形式
s.t x1 x2 1n xn (, )b1
max(min) z c1x1 c2 x2 cn xn