关于偏微分方程人口模型中死亡率的确定

- 〔exp ( - ∫0xλN (s) f2 (t - x + s) ds) 〕dx + ∫LtλN (x) φ珔 (x - t) ·
π (x) 〔exp ( - ∫xx - λt N (s) f1 (t - x + s) ds)
- exp ( - ∫xx - λt N (s) f2 (t - x + s) ds) 〕dx
ห้องสมุดไป่ตู้
≤D (t ; 0)
从而就有 :
B
(t) - P′(t) D (t ; 0)
-
1 ≤T 〔f〕 ≤B
(t) - P′(t) D (t ; M)
-
1
再由假设条件 A4 可知 : 0 ≤T 〔f〕 ≤M
因此 , T : CM →CM 记 : Λ (x) = ∫0xλN (s) ds , π (x)
= exp ( - ∫0xλN (s) ds) , φ珔 (x)
3 问题的解决
定理 : 如 果 假 设 条 件 A1 —A4 成 立 , 则 反 问 题 ( 211) — ( 214) 在 CM 中 存 在 唯 一 解 f , 其 中 CM = {f ∈C (0 , t) | 0 ≤f (t) ≤M}
证明 : 利用特征线法可知正问题 (211) — (213) 的解具有如下形式 :
1998 - 06 - 08 收稿 第一作者 郝新生 (1968 - ) , 男 , 山西武乡人 , 讲师 , 主要从事偏微分方程反问题及应用方面的研究 。
2000 郝新生 : 关于偏微分方程人口模型中死亡率的确定
ut (x ,t) + ux (x ,t) = - λN (x)〔1 + f ( P(t) ) 〕u (x ,t) , 0 ≤x ≤L ,0 ≤t ≤T u (x ,0) = φ(x) , 0 ≤x ≤L u (0 ,t) = B (t) , 0 ≤t ≤T
- P′(t) D (t ; f2)
|
·| D
(t ;
f1)
- D (t ; f2) |
≤| B
(t) D2
- P′(t) (t ; M)
||D
(t ; f1)
- D (t ; f2) | ≤珔C ‖f1 - f2 ‖〔0 ,T〕
其中 , 珔C =珔C
(t , λN ,
B , φ,
M,
p)
,
且 lim珔C = 0 t →0
∫0tλN (x) π (x) Λ (x) dx = - ∫0tπ′(x) Λ (x) dx = 1 - π (t) - Λ (t) e - Λ(t)
=1,π
∫LtλN (x) π (x) 〔Λ (x) - Λ (x - t) 〕dx =π (t) Λ (t) + ∫Lt 〔λN (x) - λN (x - t) 〕π (x) dx 令 : C1 (t , λN) = 1 - π (t) - Λ (t) e - Λ(t)
001382 J . Shanxi Agric. Univ. Vol. 20 No. 1 山西农业大学学报 A 1000 - 162X (2000) 01 - 0027 - 03
关于偏微分方程人口模型中死亡率的确定
郝新生
(山西农业大学 基础部 , 山西 太谷 030801)
摘 要 : 本文利用不动点方法讨论了一类描述人口变化规律的一阶双曲型方程确定死亡率 d (x , t) 的一个反问题 , 在已知函数的一些假设条件下 , 给出该问题解的存在唯一性定理 。 关键词 : 人口模型 ; 一阶双曲型方程 ; 反问题 ; 死亡率 中图分类号 :) 175. 2
其中 , C (t , B , φ, λN) = C1 (t , λN) ‖B ‖〔O ,T〕+ C2 (t , λN) ‖φ珔‖〔O ,t〕
显然 ,
C
(t , B , φ, λN)
在 〔0 , L〕上有界 ,
且 limC = 0 t →0
| T 〔f1〕 -
T 〔f1〕|
≤|
D
B (t
(t) ; f1)
φ =π
(x) (x)
,
Πf1 , f2 ∈CM
D (t ; f1) - D (t ; f2) = ∫0xλNB (t - x) π (x) 〔exp ( - ∫0xλN (s) f1 (t - x + s) ds) 〕
90
山 西 农 业 大 学 学 报 20 (1)
∫x
B (t - x) exp{ - λN (s)〔1 + f (t - x + s) 〕ds} ,x < t
0
∫ u (x ,t ;f) =
x
φ(x - t) exp{ - λN (x - t + s)〔1 + f (s) 〕ds} ,x ≥t
0
(3. 1)
Π (x , t) ∈〔0 , L〕 ×〔0 , T〕, 显然有 :
Determing Death - rate for Population Model of Partial Differential Equation Hao Xinsheng
( Department of Basic , Shanxi Agricultural University , Taigu , Shanxi , 030801) Abstract : Using Fixed - Point Method , this paper deals with an inverse problem of first - order hyperbolic equation of describing developing law of Population , under some assumed conditions of known functions , the existence and uniqueness of the solution of this inverse probem are demonstrated. Key words : Population Model ; First - order hyperboic equation ; Inverse problem ; Death - rate
参考文献 [ 1 ] W. Rundell , Determing the birth function for an age structured population [J ] . Mathematical Population studies 1989 (4) : 377～395 [2 ] 谷越豪 , 李大潜 , 沈玮熙. 应用偏微分方程 [M] , 北京 : 高等教育出版社 , 1993 [3 ] 宋 健编. 人口预测和人口控制 [M] , 北京 : 人民教育出版社 , 1981 [4 ] 姜礼尚 , 陈亚渐 1 数理方程讲义 [M] , 北京 : 高等教育出版社 , 1986
- ∫L0λN (x) (1 + f) u (x , t ; f) dx = B (t) - (1 + f) D (t ; f)
因此 ,
f =B
(t) D
- p′(t) (t ; f)
-
1
作算子 T T 〔f〕 = B
(t) D
- P′(t) (t ; f)
-1
由 0 ≤f ≤M , 可得 D (t , M) ≤D (t ; f)
其中 , L 为人口的生命极限 , P (t) 为 t 时刻的人口总数 , 从而问题 (1. 1) — (1. 4) 就构成了
一阶双曲型方程确定未知系数的反问题 。
2 问题的转化和数据假设
我们认为人口的死亡率不仅与年龄有关 , 而且还与当时的人口总数有关 , 因此我们可以把死亡率 d (x , t) 表示为λN (x) 〔1 + f (p (t) ) 〕, 即 d (x , t) =λN (x) 〔1 + f (p (t) ) 〕, 其中 , λN (x) 表示人 口的自然死亡率 , 为一已知函数 , f (p (t) ) 表示人口环境因素造成的死亡率 , 为一未知函数 。这样问 题就转化为如下确定函数偶 (u , f) 的反问题 :
∫L
P(t) = u (x ,t) dx , 0 ≤t ≤T 0
89
(2. 1) (2. 2) (2. 3) (2. 4)
下面对已知数据作适当假设 : A11λN (x) 为连续正值函数 , 且 lxi→mLλN (x) = ∞ A21φ (x) 为 〔0 , L〕上的非负连续函数 。 A31 B (t) 为 〔0 , T〕上连续正值函数 。 A41 P (t) 为 〔0 , T〕上的连续可微的正值增函数 , 并且对 M > 0 满足 : B (t) - (M + 1) D (t ; 0) ≤p′(t) ≤B (t) - D (t ; M) 其中 , D (t ; f) = ∫L0λN (x) u (x , t ; f) dx
(3. 3)
对 (313) 式应用不等式 : | e - x - e - y| ≤| x - y| 可得 :
| D ( t ; f1 ) - D ( t ; f2 ) | ≤ ‖ B ‖〔O ,T〕 ∫0tλN ( x ) π ( x ) Λ ( x ) dx ·
‖f1 - f2 ‖〔O ,T〕+ ‖φ珔〔O ,L〕‖∫LtλN (x)π (x) 〔Λ (x) - Λ (x - t) 〕dx·‖f1 - f2 ‖〔O ,T〕利用π (0) (L) = 0 , Λ (0) = 0 , π′ (x) = 2π (x) λN (x) 可得 :
1 问题的提出
一个稳定社会的人口发展规律可用下面的一阶双曲线方程描述 :
ut (x , t) + ux (x , t) = - d (x , t) u (x , t)