上海市三区(徐汇、松江、金山)2013届高三(二模)数学(文科)
上海2013届高三闵行二模数学-文--含答案
第6题图 闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写． 2．本试卷共有23道题，共5页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程组25038x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 ．2．已知集合{}2|4,=<∈R M x x x ，{}2|log 0N x x =>，则集合M N =I ． 3. 若12122,23i Z a i Z =+=，且21z z 为实数，则实数a 的值为 ． 4. 用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =，借助计算器经过若干次运算得下表：若精确到0.1，至少运算n 次，则0n x +的值为 ．5．已知12e e r r 、是夹角为2π的两个单位向量，向量12122,,a e e b ke e =-=+r r r r r r 若//a b r r ，则实数k 的值为 ．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[]96,106，样本中净重在区间[)96100，的产品个数是24，则样本中净重在区间[)100,104的产品个数是 ． 7.一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 学校 班 准考证 姓…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ．9. 设双曲线226x y -=的左右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线1PA 、2PA 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅的值为 ．10. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为 ．12. 设，且，则)2(f 的最大值为 ．13. 已知ABC ∆的重心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=uuu r uu u r．14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R，满足(2)()3,(4)x xf x f x f x f x +-≤+-+≥⨯，则(8)f =____________．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．二项式61()x x-展开式中4x 的系数为 ( ) （A ）15． （B ）15-． （C ）6． （D ）6-．16．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<uu u r uuu r”是“ABC ∆是钝角三角形”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件17．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是 ( ) （A ）1-． （B ）0． （C ）12． （D ）98． 18．给出下列四个命题：①如果复数z 满足||||2z i z i ++-=，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．bx ax x f +=2)(4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f fABCEC 1 A 1 B 1F②若对任意的n *∈N ，11(1)(2)0n n n n a a a a ++---=恒成立，则数列{}n a 是等差数列或等比数列． ③设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的∈R x ，|()||()|f x f x =-恒成立，则()f x 是R 上的奇函数或偶函数．④已知曲线1C =和两定点()()5,05,0E F -、，若()y x P ,是C 上的动点， 则6PE PF -<．上述命题中错误的个数是 （ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求三棱锥111A B C F -的体积；（2）求异面直线BE 与1A F 所成的角的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围．②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围． （2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解：21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过(2,1),M N 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)b b <，直线l 交椭圆E 于两个不同点A B 、，直线MA 与MB 的斜率分别为12k k 、，求证：120k k +=．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知函数1()||,4=--∈R f x x x a x ．（1）当1a =时，指出()f x 的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由)； （2）当1a =时，求函数(2)xy f =的零点；（3）若对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L ，数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ； （2）求n a ，n S ；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T 若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．E闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第14题）1．125318-⎛⎫⎪⎝⎭； 2．()1,2； 3．32-； 4．5.3； 5．12-； 6．44； 7．8π； 8．理8，文17； 9． 1； 10． 4； 11．理34，文17； 12．理18，文14； 13．理14-，文283-； 14．理832014，文86561388或． 二、（第15题至第18题）15．D ； 16．A ； 17．B ； 18．D ． 三、（第19题至第23题）19. (理) 20 . (文) [解]①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭理2分，文3分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅==即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………文理4分②连接OC ，则OB (020)x << ……………………理2分，文3分所以()2S f x AB BC ==⋅=(020)x <<即()2f x =(020)x <<． ……………………文理4分 （2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分此时20sin4BC π==，当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分②22()2(400)400f x x x ==≤+-=，当且仅当22400x x =-，即x =S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分 当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分 19. (文) [解]（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．2分 在CEB ∆中，BC CE BE ===60CEB ∠=， ………………2分 所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60． …………………………………2分 20.（理） [解]（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =- ……………………………2分平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则11cos 3n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…3分 21. [解]（1）设椭圆E 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠将(2,1),M N 代入椭圆E 的方程，得4181m n m +=⎧⎨=⎩ ………理2分，文3分解得11,82m n ==，所以椭圆的方程为22182x y += …………理2分，文3分 设点P 的坐标为00,)x y （，则22200OP x y =+． E又00(,)P x y 是E 上的动点，所以2200182x y +=，得220084x y =-，代入上式得222200083OP x y y =+=-，0y ⎡∈⎣ 故00y =时，max OP=OP的最大值为 ………………理2分 （2）因为直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又12OM k =，所以直线l 的方程为12y x b =+．由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= ………………文理2分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则212122,24x x b x x b +=-=-．又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--．………文理2分 又112211,22y x b y x b =+=+， 所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++-- …………文理2分21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----=故120k k +=．………………………………………………………………文2分 所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补．…………………………………理2分 22. [解]（理）（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4x f =得52|21|14x x -+= ……………………………2分即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分解得111222222xx x +===（舍），或所以221log log (112x +==-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||bx a x--< 即b bx a x x x +<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1bx h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分 ②当10b -≤<，在(]0,1上，()bh x x x=-≥当x =min ()bx x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<，此时a的取值范围是(1,b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a的取值范围是(1,b +；当30b ≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分 [解]（文）（1）当1a =时，函数的单调递减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………2分 函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数． ………………2分（2）当1a =时，1()|1|4f x x x =--， 由(2)0xf =得12|21|04x x --= ………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………2分解得111222222xx x +===（舍），或所以221log log (112x +==-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为1||4x a x-< 即1144x a x x x -<<+…………………………2分 故(]max min 11()(),0,144x a x x x x-<<+∈又函数1()4g x x x =-在(]0,1上单调递增，∴max 13()(1)44x g x -==………2分函数1()4h x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴min 11()()142x h x +==；所以314a <<，即实数a 的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭．……2分 23. [解] （1）如图，由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形，得点1P的坐标为1(2a ，又1P 1(2a 在抛物线2y x =上，所以211342a a =，得123a = ………………2分 同理2P 22(,32a +在抛物线2y x =上，得243a = ………………2分 （2）如图，法1：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-，因此，点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x210n y --= ，所以y =又3sin 602n n ya a =⋅=，故31n a =+从而21324n n n a a S --= ……① ……………………………………………2分 由①有211324n n n a a S ++-= ……②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数，12(1)3n a a n d n =+-= …………2分 （文）1()1(1)23n n a a n S n n +==+ (2)（理）1()1(1)23n n a a n Sn n +==+22n n G ==，2lim lim 3(1)3n n n nG S n n →∞→∞==+ ……………………理2分 法2：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S -=-或1)n y x S -=-因此，点(,)n P x y 的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=，又12n n a x S -=+，所以213()22n n n a a S -=+，从而21324n n n a a S --= …① ……2分以下各步同法1法3：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)nS Q S -点与原点重合，，所以1(,)22n nn n aP S -+， 又1(,)22n n n n a P S -+在抛物线2y x =上，得21342n n n a a S -=+ 即21324n n n a a S --= …………………………………………………………2分以下各步同法1（3）（文）因为2(1)231323n n nn b a a b a ++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==，因正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，设其公差为d ，则 d 为正整数，所以q p d =+，2r p d =+，3s p d =+ 则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1p d q b q T q +-=-，2100(1)1p d r b q T q +-=-，3100(1)1p d s b q T q +-=-… 2分 p s T T ⋅q r T T -⋅=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p d b q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p d b q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而23200000000()()(1)(1)p d p d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=---2000(1)()d p p d q q q +=--22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d d q q q q q q =--=--- …………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且，又d 为正整数，所以0(1)d q -与20(1)d q -同号，故2000(1)(1)0---<p d d q q q ，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅． ………………… 2分 （理）因为2(1)231323n n nn b a a b a ++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==， 则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1q q b q T q -=-，100(1)1r r b q T q -=-，100(1)1s s b q T q -=- …… 2分 p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q r b q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-（注意00p s q r q q ++=） 21000020()()(1)q r p s b q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分而00000000()()()()q r p s q p s r q q q q q q q q +-+=--- 0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p r q q q q q q q ---=---=--（注意q p s r -=-） 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=--- ……………………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且 又,q p r p --均为正整数，所以0(1)q p q --与0(1)r p q --同号，故000(1)(1)0p q p r p q q q -----<，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅．………………… 2分 （第（3）问只写出正确结论的，给1分）。
上海市闵行区2013年高考二模文科数学试卷
第6题图闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程组25038x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 ．2．已知集合{}2|4,=<∈R M x x x ，{}2|log 0N x x =>，则集合M N =I ． 3. 若12122,23i Z a i Z =+=，且21z z 为实数，则实数a 的值为 ． 4. 用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =，借助计算器经过若干次运算得下表：若精确到0.1，至少运算n 次，则0n x +的值为 ．5．已知12e e r r 、是夹角为2π的两个单位向量，向量12122,,a e e b ke e =-=+r r r r r r 若//a b r r ，则实数k 的值为 ．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[]96,106，样本中净重在区间[)96100，的产品个数是24，则样本中净重在区间[)100,104的产品个数是 ． 7.一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ．9. 设双曲线226x y -=的左右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线1PA 、2PA 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅的值为 ． 10. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为 ．12. 设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，则)2(f 的最大值为 ．13. 已知ABC ∆的重心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=uuu r uu u r．14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R ，满足(2)()3,(4)(2x xf x f x f x f x +-≤+-+≥⨯，则(8)f =____________．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．二项式61()x x-展开式中4x 的系数为 ( ) （A ）15． （B ）15-． （C ）6． （D ）6-．16．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<uu u r uuu r”是“ABC ∆是钝角三角形”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件17．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是 ( ) （A ）1-． （B ）0． （C ）12． （D ）98． 18．给出下列四个命题：①如果复数z 满足||||2z i z i ++-=，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n *∈N ，11(1)(2)0n n n n a a a a ++---=恒成立，则数列{}n a 是等差数列或等比数列．A BCE C 1 A 1 B 1F ③设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的∈R x ，|()||()|f x f x =-恒成立，则()fx 是R 上的奇函数或偶函数．④已知曲线1C =和两定点()()5,05,0E F -、，若()y x P ,是C 上的动点， 则6PE PF -<．上述命题中错误的个数是 （ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求三棱锥111A B C F -的体积；（2）求异面直线BE 与1A F 所成的角的大小．解：20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上． （1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围．②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解：21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过(2,1),M N 两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)b b <，直线l 交椭圆E 于两个不同点A B 、，直线MA 与MB 的斜率分别为12k k 、，求证：120k k +=．解：22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知函数1()||,4=--∈R f x x x a x ．（1）当1a =时，指出()f x 的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由)； （2）当1a =时，求函数(2)xy f =的零点；（3）若对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．解：23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L ，数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ；（2）求n a ，n S ；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．解：闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第14题） 1．125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 2．()1,2； 3．32-； 4．5.3； 5．12-； 6．44； 7．8π； 8．理8，文17； 9． 1； 10． 4；11．理34，文17； 12．理18，文14； 13．理14-，文283-； 14．理832014，文86561388或． 二、（第15题至第18题） 15．D ； 16．A ； 17．B ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19. (理) 20 . (文) [解]①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭理2分，文3分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅== 即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………文理4分②连接OC ，则OB =(020)x << ……………………理2分，文3分所以()2S f x AB BC ==⋅=(020)x <<即()2f x =(020)x <<． ……………………文理4分 （2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分此时20sin4BC π==，当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分②22()2(400)400f x x x ==≤+-=，当且仅当22400x x =-，即x =时，S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分19. (文) [解]（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．2分在CEB ∆中，BC CE BE ===60CEB ∠=， ………………2分所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60． …………………………………2分 20.（理） [解]（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =- ……………………………2分平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则11cos 33n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值为3．…3分 21. [解]（1）设椭圆E 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠将(2,1),M N 代入椭圆E 的方程，得4181m n m +=⎧⎨=⎩………理2分，文3分解得11,82m n ==，所以椭圆E 的方程为22182x y += …………理2分，文3分 设点P 的坐标为00,)x y （，则22200OP x y =+． 又00(,)P x y 是E 上的动点，所以2200182x y +=，得220084x y =-，代入上式得222200083OP x y y =+=-，0y ⎡∈⎣ 故00y =时，max OP =OP 的最大值为 (2)（2）因为直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又12OM k =，所以直线l 的方程为12y x b =+．由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= ………………文理2分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则212122,24x x b x x b +=-=-．又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--．………文理2分 又112211,22y x b y x b =+=+， 所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++-- …………文理2分21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----=故120k k +=．………………………………………………………………文2分 所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补．…………………………………理2分 22. [解]（理）（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= ……………………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分解得111222222xx x -===或（舍），或所以22log log (11x ==+-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||bx a x--< 即b bx a x x x +<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1bx h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分②当10b -≤<，在(]0,1上，()bh x x x=-≥当x =min ()bx x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<，此时a 的取值范围是(1,b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a 的取值范围是(1,b +；当30b ≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分 [解]（文）（1）当1a =时，函数的单调递减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………2分 函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数． ………………2分（2）当1a =时，1()|1|4f x x x =--， 由(2)0xf =得12|21|04x x--= ………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………2分解得12222xx x ===所以221log log (112x +==+-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为1||4x a x-< 即1144x a x x x -<<+…………………………2分 故(]max min 11()(),0,144x a x x x x-<<+∈又函数1()4g x x x =-在(]0,1上单调递增，∴max 13()(1)44x g x -==………2分函数1()4h x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴min 11()()142x h x +==；所以314a <<，即实数a 的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭．……2分 23. [解] （1）如图，由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形，得点1P的坐标为1(2a ，又1P 1(2a 在抛物线2y x =上，所以211342a a =，得123a = ………………2分 同理2P 22(,32a +在抛物线2y x =上，得243a = ………………2分 （2）如图，法1：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S -=-或1)n y x S -=-，因此，点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 消去x得210n y --= ，所以y =又3sin 60n n ya =⋅=，故31n a =从而21324n n n a a S --= ……① ……………………………………………2分 由①有211324n n n a a S ++-= ……②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数，12(1)3n a a n d n =+-= …………2分 （文）1()1(1)23n n a a n S n n +==+ (2)（理）1()1(1)23n n a a nS n n +==+22n nG ==，lim n n n nG S →∞→∞==……………………理2分 法2：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S -=-或1)n y x S -=-因此，点(,)n P x y 的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=，又12n n a x S -=+，所以213()22n n n a a S -=+，从而21324n n n a a S --= …① ……2分以下各步同法1法3：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以1(,)22n nn n a P S -+，又1(2n n n a P S -+在抛物线2y x =上，得21342n n n a a S -=+ 即21324n n n a a S --= …………………………………………………………2分以下各步同法1（3）（文）因为2(1)231323n n n nb aa b a++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==， 因正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，设其公差为d ，则d 为正整数，所以q p d =+，2r p d =+，3s p d =+则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1p d q b q T q +-=-，2100(1)1p d r b q T q +-=-，3100(1)1p d s b q T q +-=-… 2分p s T T ⋅q r T T -⋅=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p db q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p d b q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而23200000000()()(1)(1)p dp d p p d p d p d dq q q q q q q q +++++-+=---2000(1)()dp p d q q q +=--22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d d q q q q q q =--=--- …………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且，又d 为正整数，所以0(1)d q -与20(1)dq -同号，故2000(1)(1)0---<p d dq q q ，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅． ………………… 2分（理）因为2(1)231323n n n nb aa b a++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==，则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1q q b q T q -=-，100(1)1r r b q T q -=-，100(1)1ss b q T q -=- …… 2分p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q rb q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-（注意00p s q r q q ++=） 21000020()()(1)q r p sb q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而00000000()()()()q r p s q p s r q q q q q q q q +-+=---0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p rq q q q q q q ---=---=--（注意q p s r -=-） 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=--- ……………………… 2分因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且 又,q p r p --均为正整数，所以0(1)q pq --与0(1)r pq --同号，故000(1)(1)0p q p r pq q q -----<，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅．………………… 2分（第（3）问只写出正确结论的，给1分）。
2013高三文科二模数学试卷(杨浦等地有答案)
2013高三文科二模数学试卷（杨浦等地有答案）2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科）2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是. 5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为.到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是. 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）.（B）.（C）.（D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2) 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项,组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．B；17．B；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二:数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。
【2013上海普陀二模】上海市普陀区2013届高三下学期二模数学(文)试题
普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（i 表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a . 6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 . 11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅ 的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111 中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B =………………（ ）A . [0,1].B .(2,1]-.C . (2,)-+∞.D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =…………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………（ ）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PA a PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（ ）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个. C第18题B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.第19题A 1D已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围.、22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线l 经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线l 的方程； （2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数t 的取值范围.普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研试题答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21二.选择题三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= ………………………………5分函数)321cos(2)(π-=x x f …… …………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………8分 )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分 20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分 222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分 ACD1A1B1C1DEF第20题BG（2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分 所以54arccos1=∠E GA 即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx a a …（*） ……3分 方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分 （2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++xx x x x a a ……8分4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分 函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ………………12分 ①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分 ②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||OF OA =且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分1-=k ，)1,1(-=d ……………………………………3分直线l ：113--=-y x ，即直线l 的方程为03=-+y x …………………………4分 （2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线l ：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分 消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线l ：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx kx k k k k 解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。
2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷(文科)含详解
2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数f（x）=lg（4﹣2x）的定义域为．2．（4分）若复数z满足，则z的值为．3．（4分）在正△ABC中，若AB=2，则=．4．（4分）若直线l过点A（﹣1，3），且与直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为．5．（4分）等差数列{a n}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=．6．（4分）设a为常数，函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．7．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．8．（4分）已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．9．（4分）已知点P（2，﹣3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是．10．（4分）已知圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，则球O的表面积为cm2．11．（4分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为．12．（4分）已知，且A n=a0+a1+a2+…+a n，则=．13．（4分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品．用户随机抽取3件产品进行检验，若这3件产品中至少有一件次品，就拒收这箱产品；若这3件产品中没有次品，就接收这箱产品．那么这箱产品被用户拒收的概率是．（用数字作答）14．（4分）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x ∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．16．（5分）函数的反函数是（）A．B．C．D．17．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）18．（5分）下列命题：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分条件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．其中所以真命题的序号是（）A．③B．②③C．①②D．①③三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，且．（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E为线段A1D的中点，求异面直线BE与AA1所成角的大小．20．（14分）已知复数z1=sin x+λi，（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=z2i，且x∈（0，π），求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，若，且λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．21．（14分）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点，（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）22．（16分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角．（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0=1时，k1+k2为定值．23．（18分）已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：．（）2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数f（x）=lg（4﹣2x）的定义域为（﹣∞，2）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】有对数型函数的真数大于0解一元一次不等式求函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则4﹣2x＞0，解得x＜2．所以原函数的定义域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础的计算题．2．（4分）若复数z满足，则z的值为±3i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】直接利用行列式的计算方法．求出复数z的方程，然后求出复数z即可．【解答】解：因为复数z满足，所以z2+9=0，即z2=﹣9，所以z=±3i．故答案为：±3i．【点评】本题考查行列式的计算方法，复数方程的解法，考查计算能力．3．（4分）在正△ABC中，若AB=2，则=2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得=2×2×cos，运算求得它的结果．【解答】解：在正△ABC中，若AB=2，则与的夹角为，∴=2×2×cos=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．（4分）若直线l过点A（﹣1，3），且与直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为2x+y﹣1=0．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直线方程【解答】解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2所求直线的方程为y﹣3=﹣2（x+1）即2x+y﹣1=0故答案为：2x+y﹣1=0【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率5．（4分）等差数列{a n}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=12．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．∴a1+a4+a7+a10=12．故答案为12．【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．6．（4分）设a为常数，函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】写出f（x+a）的表达式，根据二次函数图象可得其增区间，由题意知[0，+∞）为f（x+a）的增区间的子集，由此得不等式，解出即可．【解答】解：因为f（x）=x2﹣4x+3，所以f（x+a）=（x+a）2﹣4（x+a）+3=x2+（2a﹣4）x+a2﹣4a+3，则f（x+a）的增区间为[2﹣a，+∞），又f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，所以2﹣a≤0，解得a≥2，故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性，属中档题，若函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）单调区间的子集．7．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出S=﹣12+22﹣32+42的值，代入运算可得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：10【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键．8．（4分）已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：不等式表示的平面区域如图|PO|表示区域内的点与原点的距离，由点到直线的距离公式可得O到直线x+y﹣3=0的距离为=，此时由，可得x=y=在区域内∴|PO|的最小值为故答案为：【点评】本题考查线性规划知识，考查点到直线的距离公式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．9．（4分）已知点P（2，﹣3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】由题意设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，解得a2=1或a2=﹣16（舍），由此可知该双曲线方程为．【解答】解：由题意知c=2．设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，得，解得a2=1或a2=﹣16（舍）∴该双曲线方程为．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．10．（4分）已知圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，则球O的表面积为144πcm2．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】通过小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，求出球的半径，然后求解球的表面积．【解答】解：因为圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，所以球的半径：=6．所求球的表面积为：4π×62=144π．故答案为：144π．【点评】本题考查球的表面积的求法，注意小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，是解题的关键．11．（4分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先通过余弦定理及题设中的条件求出AC的值，再根据正弦定理得出结果．【解答】解：根据余弦定理cos A===﹣∴AC=3或AC=﹣8（排除）根据正弦定理，即∴=故答案为【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解决三角形的问题中，常通过这连个定理完成边和角的互化．12．（4分）已知，且A n=a0+a1+a2+…+a n，则=．【考点】6F：极限及其运算；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题意令x=1可得A n=4+42+43+…+4n，利用等比数列的前n项和公式求得它的结果，再利用极限的运算法则求得的值．【解答】解：在已知的等式中，令x=1可得4+42+43+…+4n=a0+a1+a2+…+a n，再由A n=a0+a1+a2+…+a n，可得A n=4+42+43+…+4n==，故===，故答案为．【点评】本题主要考查求函数的极限的方法，等比数列的前n项和公式，二项式定理的应用．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．13．（4分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品．用户随机抽取3件产品进行检验，若这3件产品中至少有一件次品，就拒收这箱产品；若这3件产品中没有次品，就接收这箱产品．那么这箱产品被用户拒收的概率是．（用数字作答）【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接收入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为则由对立事件概率公式得到结果．【解答】解：由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接受入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为则由对立事件概率公式P（A）=1﹣P（）==∴这箱产品被用户拒绝接收的概率故答案为：【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解，解题的关键是对立事件的概率计算公式的应用．14．（4分）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x ∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】依题意，f（x）=4﹣在[a，b]上单调增，则f（a）=ma，f（b）=mb，从而可得mx2﹣x+1=0必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．【点评】本题考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为mx2﹣x+1=0必须有两个不相等的正根是关键，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式求得cos θ，再根据同角三角函数的基本关系求得sin θ，从而求得tanθ的值．【解答】解：已知，且sinθ＜0，∴cos θ=2﹣1=2×﹣1=，故sinθ=﹣=﹣，∴tanθ==，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．16．（5分）函数的反函数是（）A．B．C．D．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域．【解答】解：由y=得，，所以原函数的反函数为．故选：D．【点评】本题考查了函数反函数的求解方法，解答的关键是正确解出x，特别要注意的是反函数的定义域应为原函数的值域，是易错题．17．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选：A．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．18．（5分）下列命题：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分条件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．其中所以真命题的序号是（）A．③B．②③C．①②D．①③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题．【分析】选项①“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，可得a＞0；选项③由充要条件的证明方法可得．【解答】解：选项①当时，不一定存在n∈N*，使得成立，比如取a=，则不存在自然数n，使，故前者是后者的非充分条件，但存在n∈N*，使得成立时，a即为当n∈N*，时的取值范围，即，故“”应是“存在n∈N*，使得成立”的必要非充分条件，故①错误；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件，故②正确；选项③由①知，当n∈N*时的取值范围为，故当时，必有“不等式对一切n∈N*恒成立”，而要使不等式对一切n∈N*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，且．（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E为线段A1D的中点，求异面直线BE与AA1所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】（1）由题意可得AA1的长度，代入柱体的体积公式可得答案；（2）设G 是棱AD中点，可得∠GEB就是异面直线AA1与BE所成的角，由三角形的知识可得，由反正切函数可得角的大小．【解答】解：（1）如图在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA1⊥AD，故，…（3分）∴正四棱柱的体积为（22）×3=12．…（6分）（2）设G是棱AD中点，连GE，GB，在△A1AD中，∵E，G分别为线段A1D，AD的中点，∴EG∥A1A，且，∴∠GEB就是异面直线AA1与BE所成的角．…（8分）∵A1A⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA1⊥GB，又EG∥A1A，∴EG⊥BG，…（10分）∵，∴，故．所以异面直线AA1与BE所成角的大小为．…（12分）【点评】本题考查棱柱的体积，以及异面直线所成的角，涉及反三角函数的应用，属中档题．20．（14分）已知复数z1=sin x+λi，（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=z2i，且x∈（0，π），求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，若，且λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】57：三角函数的图像与性质；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．【解答】解：（1）由2z1=z2i，可得，又λ，x∈R，∴又x∈（0，π），故或．（2），由，可得，又λ=f（x），故=，故f（x）的最小正周期T=π，又由Z），可得，故f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．【点评】熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键..21．（14分）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点，（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由曲线过点，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y 的最大值）与达峰时间；（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．【解答】解：（1）由曲线过点，可得，故a=8…（2分）当0＜x＜1时，，…（3分）当x≥1时，设2x﹣1=t，可知t≥1，（当且仅当t=1时，y=4）…（5分）综上可知y max=4，且当y取最大值时，对应的x值为1所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时．…（6分）（2）当0＜x＜1时，由，可得x2﹣8x+1=0，解得，又，故．…（8分）当x≥1时，设2x﹣1=t，则t≥1，由，可得，解得，又t≥1，故，所以，可得．…（12分）由图象知当y≥1时，对应的x的取值范围是，∵，所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间．…（14分）【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．22．（16分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角．（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0=1时，k1+k2为定值．【考点】I2：直线的倾斜角；K7：抛物线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，消掉x得y的二次方程，利用韦达定理及y1y2=﹣4即可求得p值，从而得抛物线方程；（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，由中点坐标公式可得D点横坐标，代入直线l方程可得纵坐标，根据点D在直线2x+3y=0上可求得a值，设直线l的倾斜角为α，则tanα=，根据倾斜角范围即可求得α；（3）由k0=1可求得y M，从而得知M点坐标，由（1）知y1+y2=4a，y1y2=﹣4，根据点A、B在直线l上及斜率公式把k1+k2表示出来，进行化简即可求得定值；【解答】解：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，可得y2﹣2pay﹣p2=0（*），由于A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线的两交点，故y1，y2是方程（*）的两个实根，∴，又y1y2=﹣4，所以﹣p2=﹣4，又p＞0，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，则有，，由题意知点D在直线2x+3y=0上，∴2（2a2+1）+6a=0，解得a=﹣1或，设直线l的倾斜角为α，则或﹣2，又α∈[0，π），故直线l的倾斜角为或π﹣arctan2．（3），可得y M=﹣2，由（1）知y1+y2=4a，又y1y2=﹣4，∴==，所以k1+k2为定值．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及抛物线方程，直线方程、斜率公式是解决该类问题的基础，应熟练掌握．23．（18分）已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：．（）【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1﹣m﹣5，即可证出结论．【解答】解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=﹣1，故a1=﹣3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=﹣1，故a1=﹣1；∴a1的值为﹣3，﹣1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则a k是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+…+a m=（2m﹣3）+（2m﹣1﹣2）+（2m﹣2﹣1）+（2m﹣3﹣1）+…+（21﹣1）=（2m+2m﹣1+2m﹣2+…+21）﹣m﹣3=2m+1﹣m ﹣5，故．…（18分）【点评】本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。
2013十三校联考3月文上海高考二模数学试题及详解
．
（B） a 的值可以是 3 （D） a 的值可以是
1 2
16．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2cm ，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左2
（B） 2 3 cm 2 （C） 4 3 cm 2 （D） 4 cm
17．已知光线沿向量 a md pn( mp 0, m R, p R ) 照射，遇到直线后反射，其中
3． 3, 0,1 6． 9．
4． 1 7． 10 10． 30 13． (8,12)
36 703
2 2
12．
二、选择题：（每小题 5 分，满分 20 分） 15．D 16．C 17．B 18．A
三、解答题：（本题满分 74 分，解答本题必须写出必要步骤，且在规定处答题） 19．（本题满分 12 分） 解：（1） AB // CD ，所以 PBA 是异面直线 PB 与 CD 所成角…………2 分 又因为 PBA 4分 （2）VB PCD VP BCD ………………6 分 而 VP BCD
最小值是 ．
y
13．已知△ FAB ，点 F 的坐标为 (2, 0) ，点 A 、 B 分别在图中抛物 线 y 8 x 及圆 ( x 2) y 16 的实线部分上运动，且 AB 总是
2 2 2
A
B F
O
x
平行于 x 轴，那么△ FAB 的周长的取值范围为
．
第 13 题
14．定义在 1, 上的函数 f ( x) 满足：① f (2 x) 2 f ( x) ；
B C A D
B ) sin x ( 0) 且 f ( x ) 的最小正周期为 ，求 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的 2 2
上海市三区(徐汇、松江、金山)2013届高三(二模)英语试卷
上海市三区（徐汇、松江、金山）2013届高三（二模）英语试题（考试时间120分钟，满分150分） 2013.4第一卷听力（略）II. Grammar and VocabularySection ADirections: Beneath each of the following sentences there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one answer that best completes the sentence.25. Your generous donation can make a huge difference______ the life of those living below the poverty line.A. fromB.on C. to D. of26. I thought the journey would be simple, but ______ could be further from the truth.A. anythingB.something C. nothing D. any thing27. Well known for their amazing strength, ants can lift______.A. heavier than 50 times their own weightB. 50 times heavy as their own weightC. 50 times heavy than their own weightD. 50 times their own weight28. Though he ______ many times, he still had no idea ofthis complicated concept.A. had toldB. have been toldC. had been toldD. has told29. The Guinness World Records recognized 30-year-old Jessica Cox the first person without arms ______ an airplane.A. flyingB. flewC. having flownD. to fly30. During my journey, I started thinking about howdifficult it ______ to travel before cars, trains and planes made our lives so much easier.A. needn’t have beenB. shouldn’t have beenC. must have beenD. should have been31. Such great progress ______ in English so far that his friends can hardly believe that.A. has Jack madeB. Jack has madeC. does Jack makeD. Jack makes32. Lost in Thailand made people laugh and ______ them without big, expensive effects.A. entertainsB. entertainedC. was entertainingD. had entertained33. ______ there is nothing wrong with fast food, our health is more important than our desire to finish eating as quickly as possible.A. OnceB.While C. As D. Since34. ______ of the current news, whether it is domestic or overseas, is his daily routine.A. Being informedB. InformedC. InformingD. Having been informed35. The sight or even thought of snakes may give you a horrible feeling, but there are a few exceptions ______ prove snakes are not always associated with horror.A. whichB. whereC. to whichD. what36. Quantities of precious jewelry, ______ buried deep in the earth, amazed all the people present.A. was foundB. werefound C. to be found D. found37. Around 2000 years ago, many merchants travelled along______ became known as the Silk Road.A. whereB. whatC. thatD. which38. It was while Chaplin was travelling with a group ofother performers in the USA ______ he was given a chance to be in a film.A. whereB. whenC. thatD. which39. There were only ten minutes ______ when they hurried to the departure gate at the airport.A. remainedB.remaining C. to remain D. being remained40. Beijing and Shanghai have released their plans to gradually allow students to take college entrance exams ______ their parents work as migrant workers.A. whereB. whenC. in whichD. thatSection BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.Everyone who knows Olivia Griffiths is impressed by her unique sense of style. Whenever she walks into a room, heads turn. Her friends wonder how she managed to get the new Mulberry handbag that no one had thought was 41 in Australia yet.The truth is that Olivia has never left Australia. But with a few clicks of her computer mouse, she can travel to shopping 42 around the world. Online shopping has 43 the consumer experience. With thehelp of an increasing number of online shops overseas, shoppers can now pick up interesting goods from all over the world.The biggest advantage of shopping on foreign websites is the wide range of choices available. For example, Chinese shoppers are often disappointed when Gap products are not available locally. But now it’s possible to order these products straight from the US with a credit card and a small 44 fee. Other benefits of online shoppinginclude 45 prices. When items are bought online from other countries, they’re often tax-free.However, when you buy things from a foreign website, things canget 46 too. So make sure you pay extra attention to protecting your rights.Sometimes it can be difficult to handle foreign websites because of the unfamiliar language. For example, the term “shipped in 1-5 working days” can be confusing for Chinese shoppers, as it doesn’t clarify whether this is the time in which the product will arrive or the time it takes for it to be 47 .The method of shipping can also determine whether you get your product at all. Unless you choose express or priority shipping, which only takes a few days to deliver but is more expensive, most 48 international shipping doesn’t offer a tracking option ― which means once your products are shipped outside of the country there’s no way of finding out where they are.The best consumers are the most sensible ones. If you’reinterested in expanding your shopping 49 to foreign websites, makesure you do your research beforehand to avoid your money and products being lost on the way.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Starting around 1348, the plague(瘟疫) hit the continents of Europe and Asia. As a result, it killed an 50 forty million people. This disease has come to be known as the Black Death. Its victims suffered a horribly painful death 51 by fever and dying, blackened flesh.Although they are not certain, many historians agree that the Black Death probably originated in China and spread through trade 52 , carried by fleas (跳蚤)found on rats. Rats are very common in cities, so these areas were hit the hardest. The disease passed to humans when the fleas would jump from the rats to a human host.Every social group suffered from the Black Death---it was not a discriminating (有识别力的)disease. But those who lived in ruralsettings were sometimes 53 , as were the wealthy, who hadless 54 with outsiders and could afford to move to more remote areas in an 55 to spare themselves.The Black Death had many long-term 56 . Certain areas of Europe were nearly 57 after it, including some of its prosperous cities. For example, Bremen, Germany, lost almost 7,000 of its 12,000 inhabitants; Florence, Italy, lost 40,000 of its nearly 90,000; and Paris lost more than 50,000 of its 180,000. Major cities had to create mass graveyards where the dead could be buried. European population only began to 58 again in the last decades of the 15th century.The Black Death also brought about 59 changes. As large numbers of peasants died, there was a shortage of labor. Peasantshad 60 spent generations working for the same family, but after the plague hit, they began to take advantage of the labor 61 . Workers 62 many times their usual pay for work and would sometimes move to a new lord or noble who offered 63 incentives (刺激;鼓励) and working conditions. In this way, the Black Death caused the landowning aristocracy (贵族) to lose much of their power andsocial 64 .50. A. enormous B. evaluated C. estimated D. expected51. A. characterized B. reported C. specialized D. caused52. A. stations B. goods C. routine D. route53. A. infected B. spread C. spared D. included54. A. contact B. similarities C. exchange D. trade55. A. attraction B. attempt C.effect D. advantage56. A. consequences B. harms C.effect D. correction57. A. bare B. populated C. deserted D. developed58. A. decline B. recover C.motivate D. grow59. A. economic B. racial C. global D. political60. A. barely B. usually C. stubbornly D. previously61. A. boom B. growth C. shortages D. drain62. A. won B. charged C.offered D. sped63. A. higher B. better C. similar D. changing64. A. post B. dream C. system D. positionSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)The butterfly, which is competitive swimming’s newest stroke(划水), was developed in the mid-1930s, but it wasn’t allowed in the Olympics until 1956. The story of the butterfly is a good illustration of how coaches and swimmers are constantly searching for ways to improve stroke efficiency.During the 1920s, the Japanese Olympic coaches used underwater photography to research stroke mechanics, and their efforts paid off when Ja panese competitors won five of the six men’s swimming gold medals at the 1932 Games in Los Angeles.It was a wake-up call to the rest of the swimming world, and one of the top US coaches – David Armbruster at the University of Iowa –began doing his own filming.Armbruster was seeking to make the breaststroke faster. He knewthat the action of bringing their arms forward underwater slowedbreaststrokes down, so he came up with a method of bringing the arms forward over the water. The revised stroke (he kept the breaststroke kick) brought great improvements in speed.The following year, Jack Sieg, an Iowa swimmer, developed a technique involving swimming on his side and beating his legs in unison （一致） similar to a fish tail. As Armbruster later explained in the book Weissmuller to Spitz: The History and Background of the Olympic Games: “Sieg tried the same action while swimming face down. Sieg synchronized his leg action with the butterfly arm action using two leg beats to each arm pull.” But the kick was ruled illegal because the legs moved in the vertical (垂直的) plane.Within a few years, nearly every breaststroker was using this overarm butterfly action without the kick. The pure butterfly wasn’t legalized for some two decades, but at the 1956 Olympics in Melbourne ‘the fly’ became an official event.65. The best title of the article is _____.A. Why did the coaches and swimmers improve stroke efficiency?B. How did the butterfly come into being?C. How did the Japanese wake up the swimming world?D. When did ‘the fly’ become an official event?66. The Japanese coaches use underwater photography in order to ______.A. wake up the swimming worldB. be paid more moneyC. know how to be a mechanic.D. improve stroke efficiency.67. Before the pure butterfly was officially recognized,______ years or so had passed .A. 15B. 20C.30 D. 3568. According to the passage, which statement is NOT true?A. The Japanese coaches improved butterfly stroke.B. David Armbruster used filming to study stroke mechanics.C. Sieg came up with the idea of beating legs like a fish tail.D. The butterfly was added to the Olympics in 1956.(B)69. According to this passage, the Eye Centre is ______.A. a charity organization helping people solve their eye problemsB. an institute focusing on eye-treatment researchC. a hospital specializing in eye-problem treatment and researchD. an international institute treating people’s diseases70. Mr. Huang’s case in the advertisement is intended to ______.A. give people advice on how to find good doctors to treat eye diseasesB. assure people of high quality of SNECC. explain the consequences of neglecting eye problemsD. tell foreigners they are welcome to SNEC71. Which of the following statements is TRUE of SNEC?A. Patients outside Singapore should call SNEC on work days.B. Latest treatment strategies result from multi-expert approach to treatment of eye diseases.C. High impact research teams are invited to deal with complex conditions.D. Nearly 11precent of the staff of SNEC are senior and experienced ophthalmologists.(C)For most thinkers since the Greek philosophers, it was self-evident that there is something called human nature, something that constitutes the essence of man. There were various views about what constitutes it, but there was agreement that such an essence exists—that is to say, that there is something by virtue of which man is man. Thus man wasdefined as a rational(理性的) being, as a social animal, an animal that can make tools, or a symbol-making animal.More recently, this traditional view has begun to be questioned. One reason for this change was the increasing emphasis given to the historical approach to man. An examination of the history of humanity suggested that man in our time is so different from man in previous times that it seemed unrealistic to assume that men in every age have had in common something that can be called “human nature.” The historical approach was strengthened, particularly in the United States, by studies in the field of cultural anthropology (人类学). The study of primitive peoples has discovered such a diversity of customs, values, feelings, and thoughts that many anthropologists arrived at the concept that man is born as a blank sheet of paper on which each culture writes its text. Another factor contributing to the tendency to deny the assumption of a fixed human nature was that the concept has so often been abused as a shield(盾牌) behind which the most inhuman acts are committed. In the name of human nature, for example, Aristotle and most thinkers up to the eighteenth century defended slavery. Or in order to prove the rationality and necessity of the capitalist form of society, scholars have tried to make a case for acquisitiveness, competitiveness, and selfishness as natural human characters. Popularly, one refers cynically（愤世嫉俗地）to “human nature” in accepting theinevitability of such undesirable human behavior as greed, murder, cheating and lying.Another reason for disbelief about the concept of human nature probably lies in the influence of evolutionary thinking. Once man came to be seen as developing in the process of evolution, the idea of asubstance which is contained in his essence seemed untenable. Yet I believe it is precisely from an evolutionary standpoint that we can expect new insight into the problem of the nature of man.72. Most philosophers believed that human nature ________.A. is the quality distinguishing man from other animalsB. consists of competitiveness and selfishnessC. is something partly innate and partly acquiredD. consists of rationality and undesirable behavior73. The traditional view of “human nature” was strongly challenged by ________.A. the emergence of the evolutionary theoryB. the historical approach to manC. new insight into human behaviorD. the philosophical analysis of slavery74. According to the passage, anthropologists believe that human beings ________.A. have some characters in commonB. are born with diverse culturesC. are born without a fixed natureD. change their characters as they grow up75. The author mentioned Aristotle, a great ancient thinker, in order to ________.A. emphasize that he contributed a lot to defining the concept of “human nature”B. show that the concept of “human nature” was used to justify socialevilsC. prove that he had a profound influence on the concept of “human nature”D. support the idea that some human characters are inherited.Section CDirections: Read the following text and choose the most suitable heading from A-F for each paragraph. There is one extra heading which you do not need.Seven Simple Rules for DadMy main object in life is to make sure I do the best possible job raising Tommy, now aged ten. That means I have to be the best possible father I can be. I am no psychologist, but I do see what succeeds with my son and me. I also observe other fathers. Here is what I have found works best in the dad department.1.The key to a happy child is having a dad who is there with him consistently, day in and day out. It is far better to spend eveningafter evening just sitting near him while he reads a book or plays on the computer than to spend a couple of hours every Saturday buying him toys or taking in a movie.2. Share your strengths and fears.You are your child's ally, not his adversary. The child who knows that his father was once afraid of the dark, and is still afraid of needles, gets to know that his own weaknesses are part of mankind, not a unique shame.3.Encouragement is the primary engine of human development. I have been telling Tommy for a year now that he is a whiz in math because I know he can calculate in a nanosecond the number of toys he can buy with his allowance. Now he's a whiz in math at school too. Consistent recognition of a child's strengths is more important by far than vitamins. You deny it to them at their peril and yours.4. Do not allow your children to be rude.My son is expected to share, answer others when they greet him and congratulate those who succeed. By teaching him about politeness, I make sure he realizes that others' feelings are worth taking into account. If he can get that into his little towhead, he will have learned the most basic foundation of human interaction.5.A commo n misstatement about child development is that “kids don't come with instruction manuals(操作指南).” Not true—they do. They tell you when they’re hungry. They tell you when they're lonely or scared. They are like little guided tours of themselves. Children will tell you what they want, although not always with words. Fatigue, irritability and sadness are ways of telling Dad what they need. Look and listen.6.When Tommy knows he is loved for himself, not for any particular accomplishment, he has a certain peace that allows him to learn better, sleep better, play better, be more helpful around the house. Whether he becomes a rocket scientist or a plumber, I want Tommy to know he's No. 1 with me.7.If you decide your kids come before your sales quota or bridge game, you will find that all the other pieces of Daddyhood fall into place. When you put your kids first, you're getting the most value for every hour on earth. What’s more, you have made the rightest decision of your life.—benjamin j. stein in The WashingtonianSection DDirections: Read the passage carefully. Then answer the questionsor complete the statements in the fewest possible words.It is estimated that around of the approximately six thousand languages that are spoken today, over three thousand of them are likely to have disappeared by the year 2100. Many of these are now classifiedas endangered languages and are classified as such by factors such asthe number of speakers a language has, the age of the speakers, and the percentage of the youngest generation acquiring fluency in the language. For example, a language with many tens of thousands of speakers may be considered endangered if the children in the community are no longer learning the language. This scenario (情节) may happen in a place like Indonesia which as many different languages in use, but is trying to make communication easier by teaching a national language nation-wide.In another scenario, a language may only have a few hundred speakers butmay not be considered endangered because all of the children in the community are learning the language.Once a language is classified as endangered, conservation efforts may be made in an attempt to revive the language. Whether or not to make such efforts is a decision which is ultimately made by the speakers of the language themselves, but success often requires a great deal of help and approval from the government or other authorities.One of the most famous language conservation success stories isthat of the Welsh language. Historically, large numbers of Welsh people spoke only Welsh, but eventually English became the main language of Wales and fewer and fewer people learned Welsh. Conservation efforts began to be made in the mid-20th century with the establishment of such organizations as the Welsh Language Association in 1962. The Welsh Language Act and the Government of Wales Act, both passed in the 1990s, protected the Welsh language and made sure that English and Welsh would have equal status in Wales. Since 2000, the study of the Welsh language has been a compulsory subject in school. Today, over 22% of the population of Wales are Welsh speakers, up from 18% in 1991.。
2013徐汇金山松江二模联考题讲解
2012学年第二学期徐汇、金山、松江三区联考高三年级物理学科2013.4．18（考试时间120分钟，满分150分）1．答第Ⅰ卷前，考生务必在答题卷上用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、考号，并用2B 铅笔在答题卷上正确涂写考号。
2．第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。
有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
第 Ⅰ 卷（共56分）一．单项选择题 （每小题2分，共16分，每小题只有一个正确选项。
） 1． 电磁波和机械波的相同之处是（ ）（A ）都可以在真空中传播 （B ）都可以发生干涉和衍射现象 （C ）它们在同一介质中传播速度相同 （D ）都有纵波和横波 2． 物体体积增大时，下列物理量中一定减小的是（ ）（A ）分子力 （B ）分子引力 （C ）分子势能 （D ）内能3． 如图为包含某逻辑电路的一个简单电路图，L 为小灯泡．光照射电阻R ′时，其阻值将变得远小于R ，小灯泡L 发光。
则该逻辑门是（ ） （A ）与门 （B ）或门 （C ）非门 （D ）与非门4． 伴随着某一种粒子X 的发现，人们开始认识到原子核内部可能存在不带电荷的中性粒子Y ，则粒子X 是（ ）（A ）中子 （B ）α粒子 （C ）电子 （D ）质子5． 用单分子油膜法测出油酸分子（视为球形）的直径后，还需要下列哪一个物理量就可以计算出阿伏伽德罗常数（ ）（A ）油滴的体积 （B ）油滴的质量 （C ）油酸的摩尔体积 （D ）油酸的摩尔质量6． 如图所示为α粒子散射实验装置，α粒子打到荧光屏上都会引起闪烁，若将带有荧光屏的显微镜分别放在图中A 、B 、C 、D 四处位置。
则这四处位置在相等时间内统计的闪烁次数可能符合事实的是（ ）（A ）1305、25、7、1 （B ）202、405、625、825（C ）1202、1010、723、203 （D ）1202、1305、723、203 7． 四种颜色的光分别通过同一双缝产生的双缝干涉图案如图中各选项所示，用这四种颜色的光分别照射某金属板，只有两种光能产生光电效应，则能产生光电效应的光线中，光子能量较小的光对应的双缝干涉图案是（ ）A(A)(B) (C)(D)8． 下列四个选项的图中实线为河岸，河水的流速u 方向如图中箭头所示，虚线为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线，已知船在静水中速度小于水速，且船头方向为船对水的速度方向。
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第8题图QPOBA2012学年第二学期徐汇、松江、金山区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-，则a = . 2．若直线1:210l x my ++=与直线2:31l y x =-平行，则m = . 3．若正整数n 使得行列式1623nnn=-，则7n P = . 4．已知函数13(),(1,27)f x x x =∈的值域为A ，集合{}220,B xx x x R =-<∈，则B A = .5．已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则sin 2α=___________.6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为__________（结果保留π）.7．已知32i x =--（i 为虚数单位）是一元二次方程20x ax b ++= (,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________. 8．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图， 图中空白执行框内应填入i = .9．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员 参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均 不上场比赛的概率是 （结果用最简分数表示）.10．满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤-00212y x y x y x 的目标函数22y x P +=的最大值是 .11. 在二项式63(()ax a R x+∈的展开式中，常数项的值是20-，则23lim()n n a a a a →∞++++= .12．已知椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为 .α1α2第三步第二步第一步E 3DCBAE 2E 2ABCDE 1E 1DCB A α1α3第14题图13．如图，有以下命题成立：设点,P Q 是线段AB 的三等分点，则有OP OQ OA OB +=+.将此命题推广，设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点，则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+ .14.如图，对正方形纸片ABCD 进行如下操作：第一步，过点D 任作一条直线与BC 边相交于点1E , 记11CDE α∠=；第二步，作1ADE ∠的平分线交AB 边于点2E ,记22ADE α∠=；第三步，作2CDE ∠的平分线交BC 边于点3E ,记33CDE α∠=；按此作法从第二步起重复以上步骤……，得到12,,,,n ααα，则用n α和1n α+表示的递推关系式是1n α+= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，则()F x 是 （ ）A.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C.偶函数，在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.偶函数，在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减17．如图,已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 ( )A ．B ．C ．D ．18．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且sin cos cos sin A C A C +=若b ABC ∆的面积ABC S ∆=，求a c +的值.344A 1C 1B 1ACB第21题图20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行． （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．（1）求异面直线1AC 与11B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求三棱锥1C ABC -的体积1C ABC V -.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d=是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点 (,A B 都不同于点D )，求DA DB ⋅的值；(3) 对于双曲线Γ:22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(,M N 都不同于点E )，且EM EN ⊥，求证：直线MN 与x 轴的交点是一个定点.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*42()15n an b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成 一个递增的等差数列，其公差为k d ，求k d ；（3）对（2）题中的k d ，设1(1,5)A d ，2(2,5)B d ，动点,M N 满足MN AB =，点N 的轨迹是函数()y g x =的图像,其中()g x 是以3为周期的周期函数,且当(]0,3x ∈时, ()lg g x x =,动点M 的轨迹是函数()f x 的图像，求()f x .A 1C 1B 1ACB（文）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1．12 2.23- 3. 42 4.(1,2) 5. 2425- 6. 12π 7. 19 8. 2i + 9. 514 10. 4 11. 14- 12.15 ； 13.52；14.24n πα-二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15．B 16. B 17. B 18. C 三．解答题 19．（本题12分）解：由条件可知sin()A C +=，……………2分即sin 2B =，……………4分1sin 2ABC S ac B ∆== 3.ac ∴=………………………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--………………10分于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=. ………………………………………12分 20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，………………………………2分把v =10，196W =代入得k =0.96.………………………………………………6分（2）21001001500.96W v v v ⨯=⋅+，……………………………………9分=15000962400v v+≥=，………………………11分 其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得12.515v ==<，……………13分 所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）. ……………………14分21．（本题12分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. （1）11//C B CB ，……………………………………… 1分连接1A B ，则1ACB ∠为异面直线111AC B C 与所成角. ………3分由题意得11AC A B ==……………………………………4分………5分所以，异面直线1AC 与11B C 所成角的大小为……………………………………6分（2）由题意得,11C ABC C ABC V V --=…………………………………………………………9分ABC ∆的面积2122ABC S h CC ∆====，……………………………………12分1123C ABC V -∴==，三棱锥1C ABC -………………………………………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分.解：(1)设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则1a =，…….2分又b a =，得b =C 的方程为2212y x -=. ………….4分 (2) 当直线AB 垂直于x 轴时，其方程为3x =-，,A B 的坐标为(3-,4)、(3-,4-)，(4,4),(4,4)DA DB =-=--，所以DA DB ⋅=0. ………………..6分当直线AB 不与x 轴垂直时，设此直线方程为(3)y k x =+，由22(3)22y k x x y =+⎧⎨-=⎩得2222(2)6920k x k x k ----=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则212262k x x k +=-, 2122922k x x k --⋅=-，……………..8分故212121212(1)(1)(1)(1)(3)(3)DA DB x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++22222211112cos 2AC BC A B ACB AC BC+-+-∠===⋅arccos 42221212(1)(31)()91k x x k x x k =++-+++.……....9分22292(1)2k k k --=+-＋2226(31)2k k k--＋291k +=0 .综上，DA DB ⋅=0. ………………10分 (3) 设直线MN 的方程为：x my t =+，由222222x my t b x a y a b=+⎧⎨-=⎩，得22222222()2()0b m a y b mty b t a -++-=, 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122222b mt y y b m a -+=-, 22212222()b t a y y b m a -=-，…………12分由EM EN ⊥，得1212()()0x a x a y y --+=，1212()()0my t a my t a y y +-+-+= 即221212(1)()()()0m y y m t a y y t a ++-++-=,………………14分222222222222()2(1)()()0b t a b mtm m t a t a b m a b m a-+--+-=--， 化简得， 2222()a ab t a b+=-或t a = (舍), ……………………………………….15分 所以，直线MN 过定点(2222()a ab a b +-,0). ………………………………..16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分8分. 解： (1)由条件得10(1)2n S n n =+-，即(1)2n nS n =-…………………………..2分 所以*1()n a n n N =-∈. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈, 所以22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅ 222144(2)21515k k k b +=-=⋅. …………………………..7分由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列, …………………………..9分所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=. …………………………..10分 (3)由（2）得(1,4),(2,16)A B ,即(1,12)MN AB ==…………………..12分 当33(1)()m x m m Z <≤+∈时，033x m <-≤,由()g x 是以3为周期的周期函数得，()(3)lg(3)g x g x m x m =-=-,即()lg(3)g x x m =-(333())m x m m Z <≤+∈. ………………..14分 设(,)M x y 是函数()y f x =图象上的任意点，并设点N 的坐标为(,)N N x y ,则112N Nx x y y -=⎧⎨-=⎩. ………………..16分而lg(3)N N y x m =-(333())N m x m m Z <≤+∈,于是，12lg(13)y x m +=+-(3133())m x m m Z <+≤+∈,所以，()lg(13)12f x x m =+--(3132())m x m m Z -<≤+∈. ……………..18分。