1.3.1函数的单调性与最大(小)值

证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 x1 , x 且 2 x1 < x 2 ，则
1 1 x1 - x 2 f(x1 ) - f(x2 ) = - + = x1 x2 x1x2 x1x2 > 0 ，所以说 又因为 x1 - x2 < 0 ， f(x1 ) - f(x2 ) < 0
1 即函数 f(x) = - - 1 在区间（0，+∞）上是单调 x 增函数.
2 h(t) = -4.9t +14.7t +18的图像。显然， 解：做出函数
函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距 地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数 h h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 ，我们有
20 15 10 5
14.7 当t = = 1.5 时，函 2 (-4.9) 数有最大值
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)
由于 3 x1 x2 5, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,
函数 2 01 1 2 3 4
x
思 考
(3) 对于函数y= f(x)若 区间I 上有n个数
x1< x2<x3<· · · < xn，它们的函数值满足: y1< y2<y3<· · · < yn时，能说在区间 I 上 y 随 x 的增大 而增大吗 ？ y
yn y3 y2 y1 0 x1 x2 x3
即取 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x 2
（2）作差变形 即求 f(x1 ) - f(x2 ) ，通过因式分解、配方、有
理化等方法
（3）定号
即根据给定的区间和
x2 - x1 的符号的确定
f(x1 ) - f(x2 ) 的符号
（4）判断
根据单调性的定义得结论
1 例３ 求证：函数 f(x) = - - 1 在区间 0， + 上是单 x 调增函数．
对于二次函数 f(x) = x2，我们可以这样描述
(0, + ) 上，随x的增大，相应的f(x)也随 “在区间
着增大”.
在区间 (0, + )上，任取两个 x1 , x 2，得到
f(x1 ) = x1 ,f(x2 ) = x2 ，当 x1 < x 2 时，有 f(x1 ) < f(x2 )
2 (0, + )上是增函 这时，我们就说函数 f(x) = x在区间
y y=f(x) f(x1) 0 x1
f(x2) x2 x
图2
（3） 函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函
数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）
单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
注 意
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质.
区间D上是增函数,如图1 . y y=f(x) f(x2) f(x1) x x1 x2 图1
0
(2) 减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D
上是减函数 ,如图2.
f(n)
O
m
l
n
x
例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h t = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少
精确到1米 ?
1 例３ 求证：函数 f(x) = - - 1 在区间 0， + 上是单 x 调增函数．
思考
1.若把区间改为 -, 0 ,结论变化吗 ?
a 2.若把函数改为f(x) = - - 1 (a 0)， 结论变化吗？ x
自己动手做一下吧
4. 课堂小结
本节课主要学习了以下内容：
1．函数的单调性概念
1. 课题导入
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了 解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象， 能说出它们的变化规律吗？
邢台市日平均出生人数统计表
某市一天的温度变化图:
y＝f(x)，x∈[0，24]
说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。 上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____
思 考 思 考
函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？
是
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) f(x) f(x2 ) 成立，由 此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b， 最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？ 函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
例如函数f x = -x2 +1 x∈R
2
1是此函数的最大值
ƒ(0)=1
1
O 1、对任意的 x R都有ƒ(x)≤1. 2、存在0，使得ƒ(0)=1.
知识要 点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M; （2）存在 x ，使得 f(x0 ) = M . I 0
, ) 上，随着 x 的增大， f(x) 的值 2 、在区间(________
增大 随着 ______.
f(x)=x
o
问题2
2 f(x) = x 画出 的图像，并观察图像.
(-∞,0] 上，f(x)的值随着x的增大而 1、在区间 ________ 减小 ______. 2 f(x) = x (0,+∞) 上， 2、 在区间 ________ y f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 增大 _____. x o
1 2 3
4
o
t
4 (-4.9) 18 -14.72 h= 29 4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此 时距离地面的高度约为29m.
1 (x [3, 5]) ，求函数的最大 例5 已知函数 f(x) = x-2 值与最小.
分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上 递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大 值与最小值. 解：设 x1 , x 2 是区间[3，5]上的任意两个实数， 且 x1 < x 2，则
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增，
则函数y=f (x)的最值是什么？
y
f(n)
当x=m时，f (x)有最 小值f (m)，当x=n时,f (x) 有最大值f (n).
m
O
n
x
f(m)
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数 y=f(x)的最值是什么？
y
当x=m时，f (x)有最
f(m)
大值f (m)，当x=n时，f(x)
O
m
n
有最小值f (n).
x
f(n)
(3)若函数 f(x) = a(x - l)2 + h(a < 0,m < l < n) 则函 数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？
y
f(m)
f(l)
最大值f (l)=h，有最小值f (m), f (n)中较小者.
例1 下图是定义在区间[-4,5]上的函数y=f (x)，根 据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区 间上，它是增函数还是减函数？
3 2
o
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -3
解：函数y=f(x)的单调区间有[-4，-2)，[-2，-1)，
[-1，1)，[1，3)，[3，5],其中y=f (x)在区间 [-4，-2)， [-1，1)， [3，5]上是增函数，在区间 [-2，-1)， [1，3)上是减函数.
于是
即
f(x1 ) - f(x2 ) > 0
f(x1 ) > f(x2 )
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得 最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在
x=5时取得最小值为0.5.
课堂小结
1、单调函数的图象特征；
2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤； 4、函数的最值： 最大值
这时，我们就说函数 f(x) = x在区间(, 0]上是减函
2
数.
2. 函数单调性的概念：
(1) 增函数
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对
于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1 ，
x2 ，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说 f(x) 在
最小值

若x取无数 个呢?
xn x应该取区间I内所有实数
x
问：能否仿照前面的描述, 说明函数 f ( x) x2
, 0] 在 ( 上是减函数吗？
在区间(-∞,0] 上，任取两个 x1 , x ，得到 2
f(x1 ) = x12 ,f(x2 ) = x22 ，当 x1 < x 2 时，有 f(x1 ) > f(x2 )