湖南大学离散数学教案图论
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离散数学——图论
提示：反证法。
设有两个连通分支，这两个分支至多是完 全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
§8.3欧拉图
欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
基本通路：通路中没有重复的点。
简单回路和基本回路。
基本通路一定是简单通路，但反之简单通路 不一定是基本通路。基本回路必是简单回路。
定理：一个有向（n,m）图中任何基本通路长 度≤n-1。任何基本回路的长度≤n。 任一通路中如果删去所有回路，必得基本通 路。 任一回路中如删去其中间的所有回路，必得 基本回路。
例1：教材121页。
结点次数
引出次数：有向图中以结点v为起点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v) 引入次数：有向图中以结点v为终点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v)
结点次数：有向图中引出次数和引入次数之和称为 结点次数；无向图中与结点v相关联的边的条数称为 V的次数。统一为记deg(v)。
图论的发展
图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
有向连通图
湖南大学离散数学图论
因此求完传递闭包后，如果某二个点之间有边相连， 则表明这二个结点：
要么未求闭包之前是直接相连的， 要么这两个点之前不是直接连接,是通过传递可达。 图与其邻接矩阵，相当于关系图与其关系矩阵， 因此求传递闭包的方法可用来判断图的连通性， 即WarShall算法、邻接矩阵的逻辑幂次方运算。
例题 判断下图是是否连通
度
A
e1
D
e3 e2
e4
e5
B
C
某结点关联边的条数，称为该点的度数：
D(A)=5,d入(A) =1,d出(A) =4, 有向图
d入(A) +d出(A) =d(A)=5 “入”进入某结点的边，也称为“负边”，负度 “出”离开某结点的边，也称为“正边”，正度
各点度数和=边数的2倍
∑deg(v)=2|E|=2m (为偶数) 证明： 先去掉所有的边，每个点、整个图的度数为0
邻接
A
e1
D
e3 e2
e4
e5
B
C
有向边e1=<A, D>，A与D相邻,e1与A、D相关 联。称A为D的直接前趋，D为A的后继。
点与点相邻,点与边关联
无向边e1=(a, b), a与b相邻，e1与a、b相关联。 只与一个结点关联的自环/自旋。某两个点之间 有多条边为重边(多重图)。无环无重边简单图
常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。简记为 G=(V,E)。
5.1图的概念与描述-邻接矩阵
对于有向图，如果从结点vi到结点vj之间有一 条边，则a(i,j)=1，否则为0。
由于结点vi到vj有一条边，反过来vj到vi之间 不一定有一条，故不一定对称。
对于无向图，如果结点vi到Vj有一条边，则 a(i,j)=1，否则为0。
要么未求闭包之前是直接相连的， 要么这两个点之前不是直接连接,是通过传递可达。 图与其邻接矩阵，相当于关系图与其关系矩阵， 因此求传递闭包的方法可用来判断图的连通性， 即WarShall算法、邻接矩阵的逻辑幂次方运算。
例题 判断下图是是否连通
度
A
e1
D
e3 e2
e4
e5
B
C
某结点关联边的条数，称为该点的度数：
D(A)=5,d入(A) =1,d出(A) =4, 有向图
d入(A) +d出(A) =d(A)=5 “入”进入某结点的边，也称为“负边”，负度 “出”离开某结点的边，也称为“正边”，正度
各点度数和=边数的2倍
∑deg(v)=2|E|=2m (为偶数) 证明： 先去掉所有的边，每个点、整个图的度数为0
邻接
A
e1
D
e3 e2
e4
e5
B
C
有向边e1=<A, D>，A与D相邻,e1与A、D相关 联。称A为D的直接前趋，D为A的后继。
点与点相邻,点与边关联
无向边e1=(a, b), a与b相邻，e1与a、b相关联。 只与一个结点关联的自环/自旋。某两个点之间 有多条边为重边(多重图)。无环无重边简单图
常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。简记为 G=(V,E)。
5.1图的概念与描述-邻接矩阵
对于有向图，如果从结点vi到结点vj之间有一 条边，则a(i,j)=1，否则为0。
由于结点vi到vj有一条边，反过来vj到vi之间 不一定有一条，故不一定对称。
对于无向图，如果结点vi到Vj有一条边，则 a(i,j)=1，否则为0。
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
离散数学 教案 第八章 图论
西南科技大学
6
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 为方便起见，在无向图中往往用字母ei表示 边。例如，在上图中，用e1表示边(v2,v2)，e2 表示边(v1,v2)等。 对于一个确定的图，我们不关心顶点的位置， 边的长短与形状，因此，所画出的图的图形可 能不唯一。 定义 一个有向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
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4
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 定义 一个无向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
(1). V是一个非空的集合，称为G的顶点集， V中元素称为顶点或结点；
(2). E是无序积 的一个多重子集 (元素可重复 出现的集合为多重集)，称E为G的边集，E中元 素称为无向边或简称边。 在一个图G=<V,E>中，为了表示V和E分别 为G的顶点集和边集，常将V记成V(G)，而将E 记成E(G)。
由于2m，
为偶数，所以
也为偶数。
可是,vV1时，d(v)为奇数，偶数个奇数之和才能 为偶数，所以|V1|为偶数。结论得证。
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17
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Discrete Mathematics 对有向图来说，还有下面的定理： 定理 设G=<V,E>为有向图， V={v1,v2,…,vn} ， |E|=m，则
(5).设E´ E且E´ ≠Φ ，以E´为边集，以E´中边
关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，则称G´是由 边集E´导出的G的子图。
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26
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 例如，在下图中，(2)，(3)均为(1)的子图；(3)是 生成子图；(2)是顶点子集{v1,v2}的导出子图，也
离散数学-第7章-图论廖学生用
05
图论中的优化问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是图论中一类经典的优化问题，旨在寻找图中 两个节点之间的最短路径。
详细描述
最短路径问题有多种算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法 和Bellman-Ford算法。Dijkstra算法适用于带权重的有向图 或无向图，而Bellman-Ford算法适用于带权重的无向图。这 两种算法都能有效地找到最短路径，但时间复杂度和适用范 围有所不同。
03
图的遍历算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
06
图论的应用实例
社交网络分析
社交网络分析
图论在社交网络分析中有着广泛的应用。通过构建社交网络模型，可以研究人际关系、信 息传播、社区结构等方面的问题。例如，通过分析社交网络中的节点和边的关系，可以发 现社区结构、影响力传播路径、信息扩散规律等。
社交网络模型
社交网络模型通常由节点和边构成，节点代表个体或组织，边代表它们之间的关系。根据 实际需求，可以选择不同的社交网络模型，如社交关系网、信息传播网等。
力传播等。
生物信息学
交通运输
图论用于基因调控网络、 蛋白质相互作用网络等 生物信息学领域的研究。
图论用于交通路线的规 划和管理，如最短路径 算法、交通流量优化等。
离散数学中的图论着色算法-教案
离散数学中的图论着色算法-教案一、引言1.1图论的发展历程1.1.118世纪欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，奠定图论基础。
1.1.219世纪图论在数学和物理学领域得到发展。
1.1.320世纪图论在计算机科学中扮演重要角色。
1.1.4当前图论研究涉及网络科学、社会网络等多个领域。
1.2图论的基本概念1.2.1图由节点和边组成，用于表示物件与物件之间的关系。
1.2.2节点代表研究对象，边代表节点间的联系。
1.2.3图分为有向图和无向图，反映关系的方向性。
1.2.4图的度、路径、环等是图论中的基本术语。
1.3图论在现实中的应用1.3.1社交网络分析，如Facebook的社交图谱。
1.3.2电信网络设计，如电话网络的布局。
1.3.3交通运输规划，如航班路线的优化。
1.3.4计算机网络设计，如互联网的结构优化。
二、知识点讲解2.1图的着色问题2.1.1图的着色是将图中的节点用颜色进行标记，满足相邻节点颜色不同。
2.1.2着色问题分为正常着色和特定着色，如双色着色、列表着色等。
2.1.3着色问题在图论中具有重要地位，与图的性质紧密相关。
2.1.4着色问题广泛应用于地图着色、排课表、寄存器分配等领域。
2.2图的着色算法2.2.1Welsh-Powell算法，基于节点度进行着色。
2.2.2DSATUR算法，优先着色度数大且邻接节点着色多的节点。
2.2.3RLF算法，考虑节点邻接矩阵的行、列和节点度。
2.2.4图的着色算法不断发展，如启发式算法、遗传算法等。
2.3图的着色算法的应用2.3.1地图着色，确保相邻区域颜色不同。
2.3.2课程表安排，避免时间冲突。
2.3.3计算机寄存器分配，优化资源利用。
2.3.4光纤通信网络设计，减少信号干扰。
三、教学内容3.1图的着色问题的引入3.1.1通过地图着色实例引入图的着色问题。
3.1.2讲解正常着色和特定着色问题的区别。
3.1.3分析着色问题在现实中的应用场景。
3.1.4引导学生思考着色问题的数学模型。
离散数学ch04图论根树(课件)
04
根树的性质与算法
根树的性质
根树的定义
根树的性质1
根树的性质2
根树的性质3
根树是一种有向无环图，其中 有一个节点被指定为根节点， 其他节点按层次结构排列，从 根节点出发，每个节点恰好有 一条有向边指向其子节点。
根树的节点数等于其子树的节 点数之和加一。
根树的深度等于其最深叶子节 点的深度加一。
路径与回路
总结词
路径与回路是图论中重要的概念，路径是指一系列连续的边和顶点，回路是指起点和终点相同的路径 。
详细描述
在图论中，路径是指从起始顶点到终止顶点的一系列连续的边和顶点。每个顶点和边在路径中只出现 一次，且顺序必须一致。回路则是指起点和终点相同的路径，即路径中存在一个顶点，通过一系列的 边回到该顶点。回路在图论中具有重要意义，如在欧拉路径。
图论的重要性
图论在计算机科学、电子工程、 交通运输、生物信息学等领域有
广泛应用。
图论为复杂系统提供了统一的数 学框架，使得可以运用数学方法 和计算机技术来分析和优化这些
系统。
图论在解决实际问题中发挥了关 键作用，如路由优化、社交网络 分析、蛋白质相互作用网络等。
算法效率和复杂性的优化
在解决实际问题时，算法的效率和复杂性是关键因素。如 何优化图论和根树的算法，提高其计算效率和降低其计算 复杂性，是一个具有挑战性的问题。
THANKS
感谢观看
低运输成本。
交通控制
03
根树可以用于构建交通信号灯的控制逻辑，提高道路的通行效
率。
06
总结与展望
图论与根树的重要性和发展前景
重要应用领域
图论和根树在计算机科学、电子 工程、交通运输、生物信息学等 领域有广泛的应用，对解决实际 问题具有重要意义。
离散数学 第七章 图论
10
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。