弹性力学圣维南边界条件
弹性力学问答题
弹性力学问答题1 1、简述弹性力学中应力分量和应变分量的符号规定。
（6分）正面上，应力分量沿着坐标轴正向为正，负面上应力分量沿着坐标轴负方向为正；应变分量，拉应变为正，剪应变以使直角减少为正。
2、弹性力学中包含哪几类边界条件。
（5分）答案要点：（1）位移边界条件，（2）应力边界条件（3）混合边界条件。
3、简述圣维南原理及其作用。
（5分）圣维南原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。
可以推广为：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计 .圣维南原理的用途：具有广泛用途。
例如：（1）对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。
（2）有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
4、简述什么是弹性力学的位移解法和应力解法。
（5分）答案要点：（1）位移解法：位移解法即按位移求解，它以位移（分量）为基本未知函数，将控制方程和边界条件用位移表出，求出位移后，再利用几何方程、物理方程求出力与应变分量。
（2）应力解法即按应力求解，以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。
1、简述半逆解法的适用条件及其实施的主要过程。
（6分）主要使用条件是常体力平面问题，这时候可以使用基于应力函数的解法。
半逆解法的主要实施过程（a ）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分或者全部应力分量的某种函数形式；（b ）根据应力分量与应力函数的关系以及用应力函数给出的变形协调关系，确定应力函数的形式；（c ）再次利用应力分量与应力函数的关系求出应力分量，并让其满足边界条件，对于多联通域，还要满足位移单值条件。
3、在主轴坐标系下，线弹性体应变能密度是()11223312U σεσεσε=++，请将其写成约定求和的指标记法。
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟1.离散化：将要模拟的结构体分割成若干个小单元，这些小单元可以是点、线或面等。
每个小单元的选取要尽可能地满足结构的复杂程度，并且能反映结构的特征。
2.建立网络：将离散化的小单元按照一定的几何排列方式组成网络结构。
这个网络结构可以是三角形、四边形等形状，也可以是无规则形状的网格。
建立网络结构的目的是为了进行计算，使得力学问题能够用数学方法进行描述。
3.引入边界条件：在模拟的结构体上设置边界条件，这些边界条件可以是结构体受到外力的作用或者结构体的位移限制等。
引入边界条件是为了使得结构体的变形状态和应力分布能够满足实际工程的要求。
4.求解线性方程组：将离散化后的结构体的变形状态表示为线性方程组，利用线性代数的方法求解这个方程组，得到结构体的变形和应力分布。
求解过程中，需要根据边界条件和外力的作用，对未知量进行消元和赋值计算。
5.结果分析：根据求解得到的结构体的变形和应力分布，对结果进行分析和评估。
通过分析结果，可以判断结构体的安全性，确定结构体的设计参数，并对结构体进行优化设计。
例如，在建筑工程中，利用圣维南原理的有限元模拟可以计算和评估房屋在地震等自然灾害下的承载能力和变形情况，为房屋设计提供重要的参考依据。
在船舶和飞机设计中，可以使用有限元模拟来分析结构体在不同载荷下的应力分布，以及结构体的刚度和强度等性能。
这对于船舶和飞机的安全性和性能是非常重要的。
综上所述，圣维南原理的有限元模拟是一种重要的工程计算方法，可以模拟结构体在受力情况下的变形和应力分布。
通过该方法，工程师可以预测和分析结构体的性能和安全性，为结构体的设计和优化提供有力的支持。
圣维南原理的基本概念
.
'. 圣维南原理的基本概念
圣维南原理是针对弹性力学边值问题提出的一个简化原理。
它把弹性力学边界分成主次两个边界（以边界尺寸大小为标准，尺寸大可看成是主要边界），主要边界必须精准满足边界条件，次要边界静力等效满足即可，这样得到的简化解答在次要边界的附近和精准解答有较大差异，但在离开次要边界足够远的地方和精准解答没有太大差异。
有时问题的主次边界尺寸差不多，圣维南原理就不能用。
这个原理不是用来确定应力分布形式的。
其是一个宏观上的原理不能把材料无线分成小块。
圣维南原理在薄壁材料结构的应用上存在例外的情况。
弹性力学-边界条件
xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
x
y
xy
独立的（3个）
（3个）
3、位移分量f
ux, y, vx, y, w 独立的（2个） ux, y, vx, y（2个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题 1、平衡微分方程 （2个）
x x
悬臂梁的例子：
边界的积分式
h
2 h
x
xldy 0
2
h
2 h
x
xl ydy M
2
h
2 h
xy
dy 0
xl
2
设中性轴为z
y xdA z 1
自由端边界条件：
y
h
2 h
x
xl dy 0
2h 2 hFra bibliotekh x
2 h
x
xldy
2 h
f x dy
2
2
h
h
y xl f y
2 h
y
dy
xl
2 h
f ydy
2
2
根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩：
h
h
2 h
x
xl ydy
2 h
f x ydy
2
2
平面问题小结
0
左 : (
)
x
s
q, (
)
xy
s
0
上 : (
y)s q, (
y
)
x
s
0
下: (
弹性力学论文：关于圣维南原理的数值计算
关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法摘要本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。
关键词弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法0引言圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。
作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。
本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。
1问题的描述考虑长方形平板的拉伸问题。
如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。
2方程的建立2.1解法的选择应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。
在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。
但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。
但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。
若将应力函数记为，那么双调和方程可以写成。
2.2有限差分法在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。
利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。
6-圣维南原理解析
例 图示矩形截面水坝， 其右侧受静水压力， 顶部受集中力作用。 试写出水坝的应力边 界条件。
左侧面：
l 1, m 0
X Y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
x xh 0
xy
xh
0
右侧面：
l 1, m 0
X y,Y 0
静力等效 两个力系，若它们的主矢量、主矩
相等，则两个力系为静力等效力系。
R Fi MO mO (F i )
这种等效有效的条件？
静力等效
在端面上合力为零，合力矩为M， 即静力等效力系，但它们的外力分布不 一样。外力作用区域状态肯定不一致， 问题时该区域有多大，是否对其他区域 有影响？
影响区 域约为作用 面尺寸的2-3 倍。
§1-6 圣维南(Saint-Venant)原理
问题的提出
弹性力学问题的求解是在给定的边界条 件下求解基本方程。使应力分量、应变分量、 位移分量完全满足8个基本方程相对容易。但 对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是 很难满足边界条件要求。这使得弹性 力学解的应用将受到 极大的限制。
？
？
？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这 种限制，圣维南提出了局部影响原理。
N
pXx l x m yx n zx
Z
Y X
Z Y
X
pYy l xy m y n zy
pZz l xz m yz n z
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
P
P
P P/2
P
A
圣维南原理的理解和在工程问题中的应用
一、题目圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用二、涉及到的弹性力学相关概念介绍1855年,圣维南在梁理论研究中提出：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
这就是著名的圣维南原理。
圣维南原理的一种较为实用的提法是：若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系〔具有相同的主矢和主距代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计[1]。
三、正文部分1圣维南原理的理解1.1 圣维南原理的提出背景求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件不同,问题的解答也不一样。
但是要求出严格满足边界条件的精确解,有时是非常困难的,另外,对于一些实际问题,不能确切的给出面力的分布,只是知道它在某边界上的合理与合力偶的大小。
于是我们会提出一个问题,能不能用一个可解的等效力系来代替它；满足合力、合力偶条件的解是否可以替换它。
这个问题可由圣维南发原理来回答。
1.2 凭借生活经验的理解对于圣维南原理的第一种提法：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形,可以用一个实例先简单理解。
例如用钳子剪钢丝即使外力大道把钢丝剪断的程度,根据生活经验,钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。
经验表明,这一平衡力系越小,对钢丝其它部分的影响越小[3]。
对于圣维南原理的另一种提法是：若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系〔具有相同的主矢和主距代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。
可以这样理解:悬臂梁在端部不沿受集中力作用,基础上增加一对自相平衡的力系。
再减少一对相平衡的力系,根据圣维南原理,仅在小区域那有明显差异,而在该区域之外应力几乎是相同的[1]。
1.3简单应用的理解书上的例子是这样的：如图1.1所示,设有柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F,如图1.1〔a,如果把一端或两端的拉力变化为静力等效的力,图1.1〔b或图1.1〔c,则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变,而其余部分所受的影响是可以不计的。
圣维南原理
x y
yxy Y0
x y
3x2y3x2y0
y3y30 —— 满足
（2-2）
将式（a）代入相容方程：
x22y22(xy)0
xy(2 3x2y21 4y4)
x22
y22
(y
y) 3 y2 3 x2 3 y2 0
∴ 式（a）不是一组可能的应力场。
（2） 将式（b）代入应变表示的相容方程：
2x
利用平衡方程式消去上式的 xy
yxxxyyxyxyYX2x2xyy2x2x
2y2y
XY x y
移项，展开，化简后，最后可得：
x22 y22(xy)(1) X x Y y
(1)
平面应力情形 μ μ/1-μ 控制方程
平面应变情形 控制方程
x22 y22(xy)1 1 X x Y y (2)
x A y,yx A x
(b)
由第二式
y (xy)
y
x
y B x,xyB y
引入函数B, 使 (c)
A B ,
x
y
再引入函数φ, 使
A,B
(d)
y
x
（d）代入（b)、（c）式，得到：
x y 2 2,y x 2 2,xy x2 y,
(e)
如果考察体积力，且体积力为常量时，满足平 衡方程还必须加上一组特解，即
2x2y2y2x
2 v u ( )
xyx y
2 xy xy
•变形协调方程的数学意义
•使2个位移为未知函数的3个几何方程不相矛 盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不 能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入 现象。
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处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。
➢但是当l≥h时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维
南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局 部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的 主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：
ห้องสมุดไป่ตู้
h/2
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 h / 2 f x ( y)dy 1
h/2
h/2
( ) h / 2
x xl
ydy 1
h/ 2
f x ( y) ydy 1
h/2
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 h / 2 f y ( y)dy 1
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
的方法有三种：
方法一：
1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等 于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。
2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和 主矩的方向。
例题
习题2－8第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的 矩臂就是应力主矩的正方向。
圣维南原理及应用
➢如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的
主失量和主矩，则具体表达式为：
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 FN
圣维南原理及应用
➢例2.7.2：以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析
圣维南原理及应用
➢通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界
条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力 学问题得到解答。
➢ 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力
是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个 面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不 计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状 态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。
固定边不写）。
上下边界：
y h: 2
( y ) yh 0, ( xy ) yh q1
2
2
左边界：
yh: 2
( y ) yh q, ( xy ) yh 0
2
2
h
h
2 h
2
(
x
)
x0
➢弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基
本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移 满足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位 移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将 受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽 这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
➢圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上
平面问题 主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
§2.7 圣维南原理及应用
作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主 失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界 近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处， 其影响可以忽略不计。
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理时必须注意：
1、变换的外力必须与原外力是静力等效的：主失量相 同，对同一点的主矩也相同
2、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。
2、式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定，外
法线方向余弦l 和 m 则按三角公式确定正负号。
3、对于边界面为坐标面的情形，上式可进行简化。
平面问题的应力边界条件
2、次要边界上的积分边界条件（静力等效变换）
➢对于次要边界，精确的边界条件较难满足。这时可应用
圣维南原理，用如下静力等效条件来代替精确的应力边界 条件：在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等 于对应的面力的主失量和主矩。
h/2
h / 2 ( x ) xl ydy 1 M
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 Fs
圣维南原理及应用
➢将小边界上的精确边界条件(2-15)与近似的积分边
界条件进行比较，可以得出：
1、式（2-15）等号两边均是单位面积上的力，而积分 边界条件两边是力或力矩；
2、式（2-15）是精确的，而积分边界条件是近似的；
3、式（2-15）有两个条件，一般为两个函数方程，而 积分边界条件有三个积分条件，均为代数方程。
4、在求解时，式（2-15）难以满足，而积分边界条件 易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分 积分边界条件来代替。
平面问题的应力边界条件 处理方法
平面问题的应力边界条件
1、主要边界上的精确应力边界条件 在主要边界上，若给定了部分边界上面力分量，
3、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效 力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的 作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。
圣维南原理及应用
➢例2.7.1：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于
一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用 区域比较远处，几乎没有应力产生。
则边界上每一点的应力与面力的关系式：
( xl xym)s f x (s) ( xyl ym)s f y (s)
平面问题的应力边界条件
( xl xym)s fx (s) ( xyl ym)s f y (s)
➢对于上述应力边界条件，应注意以下几点：
1、表示主要边界上任一点的应力和面力之间的关系， 是函数方程，在边界上每一点都应满足（要将边界面 方程代入式中各项）；
圣维南原理及应用
➢下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分 布的面力。试分析其边界条件。
圣维南原理及应用
➢按照严格的应力边界条件（2-15）式，应力分量在左
右边界上应满足条件：
( x )xl f x ( y), ( xy )xl f y ( y)