广东省清远市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

广东省清远市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U=R，集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＞4或x＜﹣1}，那么A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|﹣2≤x＜﹣1} C．{x|x≤3或x≥4}D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5分）已知命题p：3＜2，命题q：3＞2，则下列判断正确的是（）A．“￢p”为真命题B．“￢q”为真命题C．“p∨q”为假命题D．“p∧q”为真命题3．（5分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱4．（5分）直线y﹣x+5=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣26．（5分）已知空间两点 M1（﹣1，0，2），M2（0，3，1），此两点间的距离为（）A．B．C．19 D．117．（5分）“m=3”是“椭圆+=1的离心率为”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．9．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．10．（5分）如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则正确的判断是（）A．f（x）在（﹣2，1）上是增函数B．x=1是f（x）的极大值点C．f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数D．x=3是f（x）的极小值点二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）过点（1，2）且与直线x+y+1=0平行的直线的方程是．12．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．13．（5分）一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．14．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，若“p∧q”与“￢q”同时为假，求x的值．16．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣），x∈R．（1）求f（）的值；（2）若cosθ=，且θ是△A BC的内角，求f（θ﹣）．17．（14分）如图5，三角形 A BC中，AC=BC=，A B ED是边长为1的正方形，B E⊥底面 ABC，若G、F分别是 EC、BD的中点．（1）求证：GF∥平面 A BC；（2）求三棱锥 B﹣AEC的体积．18．（14分）已知圆C过原点，圆心在射线y=2x（x＞0）上，半径为．（1）求圆C的方程；（2）直线l过点 P（1，5）且被圆C截得的弦长最大，求直线l的一般式方程．19．（14分）已知点 N（1，0）和直线l：x=﹣1，坐标平面内一动点 P到 N的距离等于其到直线l：x=﹣1的距离．（1）求动点 P的轨迹方程；（2）若点 A（t，4）是动点 P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，问m取何值时，直线 A K与圆x2+（y﹣2）2=4相离．20．（14分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．广东省清远市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U=R，集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＞4或x＜﹣1}，那么A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|﹣2≤x＜﹣1} C．{x|x≤3或x≥4}D．{x|﹣1≤x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＞4或x＜﹣1}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知命题p：3＜2，命题q：3＞2，则下列判断正确的是（）A．“￢p”为真命题B．“￢q”为真命题C．“p∨q”为假命题D．“p∧q”为真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判断命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．解答：解：∵命题p：3＜2，是假命题；命题q：3＞2，是真命题．∴￢p是真命题．故选：A．点评：本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题．3．（5分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱考点：构成空间几何体的基本元素．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：用一个平面去截一个几何体，根据截面的形状即可得出结论．解答：解：由于棱柱的侧面与底面都是平行四边形，所以用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是棱柱．故选：D点评：此题主要考查了由几何体判定三视图，根据已知得出圆柱三视图是解决问题的关键，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．4．（5分）直线y﹣x+5=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．解答：解：设直线y﹣x+5=0的倾斜角为α．直线y﹣x+5=0化为，∴．∵α∈分析：直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．解答：解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．点评：本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力．10．（5分）如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则正确的判断是（）A．f（x）在（﹣2，1）上是增函数B．x=1是f（x）的极大值点C．f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数D．x=3是f（x）的极小值点考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：利用函数的导数的图象，对选项逐一判断即可．解答：解：由函数的图象可知：f′（﹣2）＜0，f′（﹣1）=0，f（x）在（﹣2，1）上是增函数，不正确；x=1时f′（1）＞0，函数f（x）没有取得最大值，所以B不正确；f（x）在（﹣1，2）上f′（x）＞0，函数是增函数，在（2，4）上f′（x）＜0，函数是减函数，所以C正确；x=3时，f′（3）＜0，所以函数f（x）没有取得的极小值，所以D不正确．故选：C．点评：本题考查函数的图象的应用，导数与函数的图象的区别，函数的极值以及函数的单调性的判断，基本知识的考查．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）过点（1，2）且与直线x+y+1=0平行的直线的方程是x+y﹣3=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：设与直线x+y+1=0平行的直线的方程x+y+c=0，把点（1，2）代入，能求出结果．解答：解：设与直线x+y+1=0平行的直线的方程x+y+c=0，把点（1，2）代入，得：1+2+c=0，解得c=﹣3，∴所求直线方程为：x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线平行的性质的合理运用．12．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．考点：命题的否定．分析：根据一个命题的否定定义解决．解答：解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜0点评：本题考查一个命题的否定的定义．13．（5分）一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．解答：解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，其底边上的高也为2的正四棱锥，故其体积V==．故答案为：．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．14．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为2x+3y﹣12=0．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：平方差法：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程．解答：解：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，①，=144②，①﹣②得，+9=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以==，即，所以弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．故答案为：﹣；2x+3y﹣12=0．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，若“p∧q”与“￢q”同时为假，求x的值．考点：命题的否定；复合命题的真假．专题：计算题．分析：由题设条件先求出命题P：x≥3或x≤﹣2．由“p且q”与“¬q”同时为假命题，知p假q真，．由此能得到满足条件的x的不等式求解．解答：解：p：x2﹣x﹣6≥0，∴x≥3或x≤﹣2，…5分因为“p∧q”与“¬q”同时为假，∴p假q真，…（8分）即，∴x=﹣1，0，1，2…（12分）点评：本题考查复合命题的真假性，参数的取值范围．复合命题的真假要转化到组成复合命题的两个基本命题的真假性上去．16．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣），x∈R．（1）求f（）的值；（2）若cosθ=，且θ是△A B C的内角，求f（θ﹣）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用函数的解析式，求解函数值即可．（2）利用同角三角函数的基本关系式求出正弦函数值，利用两角和的正弦函数求解即可．解答：解（1），…（2分）=…（3分）=…（4分）（2）因为cosθ=，且θ是△ABC的内角，所以sinθ=，…（6分）∴====…（12分）．点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．17．（14分）如图5，三角形 A BC中，AC=BC=，A B ED是边长为1的正方形，B E⊥底面 ABC，若G、F分别是 EC、BD的中点．（1）求证：GF∥平面 A BC；（2）求三棱锥 B﹣AEC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取BC的中点M，AB的中点N，连结GM、FN、MN，通过证明MNFG为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理证明GF∥平面ABC．方法2：连接EA，证明GF∥AC，利用直线与平面平行的判定定理证明GF∥平面ABC．（2）利用BE⊥底面ABC，求出高BE，利用V B﹣AEC=V E﹣ABC求出几何体的体积．解答：解（1）：取BC的中点M，AB的中点N，连结GM、FN、MN …（1分）∵G、F分别是EC和BD的中点∴GM∥BE，且GM=，NF∥DA，且NF=DA…（3分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF …（4分）∴MNFG为平行四边形…（5分）∴GF∥MN，…（6分）又 MN⊂平面ABC，GF⊄平面ABC∴GF∥平面ABC…（7分）方法2：连接EA …（1分）∵ADEB为正方形，F是BD的中点，∴EA交BD于点F …（3分）∴AF=FE（或者F为AE的中点）…（4分）∵EG=GC（或者G为CE的中点），∴GF∥AC，…（5分）又 AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC …（7分）（2）BE⊥底面ABC∴BE是三棱锥E﹣ABC的高且BE=1 …（9分）∴V B﹣AEC=V E﹣ABC…（12分）=…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，棱锥的条件的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力、计算能力．18．（14分）已知圆C过原点，圆心在射线y=2x（x＞0）上，半径为．（1）求圆C的方程；（2）直线l过点 P（1，5）且被圆C截得的弦长最大，求直线l的一般式方程．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的方程，利用已知条件列出方程组，即可求出圆的方程．（2）判断最长的弦长是经过圆的圆心，判断直线的特征，然后求出直线方程．解答：解：（1）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2…..（1分）由题意知：，…..（4分）解得a=1，b=2…..（6分）∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5…..（7分）（2）由题意可知直线l过圆C的圆心时截得的弦最长…..（9分）∴直线l过圆心C（1，2）…..（10分）又∵直线l过P（1，5），∴直线l的斜率k不存在（12分）∴直线l方程为x﹣1=0…..（14分）点评：本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力．19．（14分）已知点 N（1，0）和直线l：x=﹣1，坐标平面内一动点 P到 N的距离等于其到直线l：x=﹣1的距离．（1）求动点 P的轨迹方程；（2）若点 A（t，4）是动点 P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，问m取何值时，直线 A K与圆x2+（y﹣2）2=4相离．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P（x，y），利用|x+1|=，即可得到动点P的轨迹方程．解法2：判断点P的轨迹是以点N为焦点，直线l为准线的抛物线求出p，即可得到动点P的轨迹方程．（2）由A（t，4）在轨迹y2=4x上，求出t=4，得到A坐标，当m=4时，判断直线AK与圆的位置关系；当m≠4时，直线AK的方程为，通过圆心到直线AK的距离与半径的关系，得到m＞1时，直线AK与圆x2+（y﹣2）2=4相离．解答：解：（1）设P（x，y），则点P到l的距离|x+1|，…（2分）由题意得，|x+1|=，…（3分）化简得y2=4x．所以动点P的轨迹方程为y2=4x．…（5分）解法2：由题得点P的轨迹是以点N为焦点，直线l为准线的抛物线…（2分）∴设P的轨迹方程为y2=2px，…（3分）∴p=2，…（4分）所以动点P的轨迹方程为y2=4x．…（5分）（2）由A（t，4）在轨迹y2=4x上，则42=4t，解得t=4，即A（4，4）．…（6分）当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x2+（y﹣2）2=4相离．…（7分）当m≠4时，直线AK的方程为，即4x+（m﹣4）y﹣4m=0．…（8分）圆x2+（y﹣2）2=4的圆心（0，2）到直线AK的距离，…（10分）令，…（11分）解得m＞1．…（13分）综上所述，当m＞1时，直线AK与圆x2+（y﹣2）2=4相离．…（14分）点评：本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0，得x=﹣a或x=．（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜；由f′（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得；由f′（x）＞0，得x＜或x＞﹣a．此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣x﹣在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣．令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增﹣2 单调递减∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．。