结构力学第二章 结构的几何构造分析
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结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
结构力学第2章 结构的几何构造分析
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；
经微小位移后又成为几何不变体系；
在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移 常变体系：可发生大位移
可变体系
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片I
可发生以O为中心的微小转动， O点
称为瞬时转动中心。 两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个 铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰 两根平行的链杆把刚片I与基础相
连接， 则两根链杆的交点在无穷远处。
两根链杆所起的约束作用相当于无穷远 处的瞬铰所起的作用。
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的
若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则 为几何可变 若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束 例 2-4 试计算图示体系的W。 方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0
W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0 方法二： j=7，b=14
W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4， g=3 W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10 体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10
第2章
§2-1 §2-2
《结构力学》龙驭球第2章_结构的几何构造分析
W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10
体系几何不变，S=0
n=S-W=0-（-10）=10
具有10个多余约束的几何不变体系
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-6 试计算图示体系的W。
两个体系
j=6，b=9， W=2j-b=2×6-
9=3
图(a)是一个内部几何不变且无多余约束的体系
自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数
§2-1 几何构造分析的几个概念
3. 约束
一个支杆相当于一个约束，如图(a) 一个铰相当于两个约束，如图(b) 一个刚性结合相当于三个约束，如图(c)
§2-1 几何构造分析的几个概念
4. 多余约 束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由
度并不减少，此约束称为多余约束。
自由度算法二（体系由结点加链杆组成）
j—体系中结点的个数 b—单链杆根数
结点自由度个数总和：2j
体系约束总数：
b
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的 若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则
为几何可变
若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束
§2-6 小结
4 关于计算自由度数W
W的数值 W＞0 W=0
W＜0
几何构造特性 对象的自由度数大于约束数 体系为几何可变，不能用作结构 对象的自由度数等于约束数 如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构 如体系为几何可变，则有多余约束
对象的自由度数小于约束数 体系有多余约束 如体系为几何可变，则为超静定结构
结构力学第二章结构的几何组成分析
结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学第二章 结构的几何构造分析
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
例2:
两组 平行
4
2 3 1 5 6 一组 平行
§2-5 几何构造分析举例
例3：
3 1 Ⅱ
2
结论： 杆1、杆2、杆3不交与 一点，因此该体系是无 多余约束的不变体系。
Ⅰ
例4:
1 Ⅰ 3 Ⅱ 2
结论： 杆1、杆2、杆3不交于 一点，该体系是无多余 约束的几何不变体系。
§2-5 几何构造分析举例
例5：
①
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
结构力学 2几何组成分析(第二、三课)
m＝9
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
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①
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
二元体
Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ O3 Ⅱ
3 O2
结论： 两刚片由3根不交于一 点的链杆连接，因此该 体系是无多余约束的几 何不变体系。
例6： O1
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。
Ⅲ
6 试对图示体系作几何组成分析。 II
I
无多余约束的几何不变体系。 III I 无多余约束的几何不变体系。 II
料的应变，而能保持几何形状和位臵不变的，称为几何
不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度
大家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度 顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由 程度、一刚体的自由程度……
判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度 问题，因此下面复习一下自由度的概念。
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
约束：复刚结.swf
四、必要约束和多余约束
1、必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
必要约束.swf
a) 无多余约束
①
b) 有多余约束
c) 没有多余约束
④
B
§2-4 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况 （1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆 联结（如前页图所示）就是瞬变体系。
如果三根链杆互相平行又等长，体系是常变的。
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆 联结。
§2-4 瞬变体系
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就 会发生绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生 以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体
两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。
规律1还可以这样叙述：
在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
§2-2 几何不变体系的组成规律
第2章 结构的几何构造分析
主要内容
§2-1
§2-2
几何构造分析的几个概念
几何不变体系的组成规律
§2-3 §2-4
§2-5
几何构造分析方法 瞬变体系
分析几何构造举例
重点：
平面杆系几何组成的两种类型及几何组成分析的目的。
自由度的概念及平面杆系结构计算自由度的计算。 无多余约束几何不变体系的组成规则及其适用条件。 平面杆系几何组成分析的方法。
§2-3 几何构造分析方法
利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何
不变体系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
1）组装几何不变体系
（1）从基础出发进行组装
把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础 和其它构件组装成一个不变体系。 例1：
刚片1 搭上了5个 二元体
§2-3 几何构造分析方法
例2：
例：接近瞬变体系结构的受力分析
α
α
A
C P
B
NCA C
NCB P
取C结点：
Y 0
N CA P 2 Sin
2 NCA Sin P
若α 很小，NCA就很大。 因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-5 几何构造分析举例
例1： 5
3 1 2 02 4
01 03
6
结论： 铰O2、O3的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。 结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。
§2-4 瞬变体系
② 两对链杆平行
平行 链杆
平行 链杆
组成无穷远铰的两对链杆 互相平行，体系是瞬变的。
组成无穷远铰的两对链杆互相 不平行，体系是不变的。组成无 穷远铰的两对链杆互相平行又等 长，体系是可变的。
§2-4 瞬变体系
③ 三对链杆都平行
体系是瞬变的。
§2-4 瞬变体系
2）瞬变体系不可作为结构使用 例：
③
①
②
②
③
2、多余约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不 因此而改变，则此约束称为多余约束。
多余约束.swf
五、实铰和虚铰
1、实铰
约束：铰接.swf
I A
I A
II
II
相交于∞处 (虚铰)
2、虚铰（瞬铰）
I A D C B
O (虚铰) ① ②
虚铰.swf
O (虚铰)
I C A
①
I C A B
O
瞬铰
变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。
如果三根链杆直接交于点‘O’， 则组成的是常变体系。‘O’称为： 实铰。
实铰
O
§2-4 瞬变体系
（4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行
平行 链杆
两虚铰的连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系是瞬 变的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组 成无穷远铰的链杆平行，体系 也是瞬 变的。若两虚铰的连线与组成无穷远 铰的链杆不平行，体系是不变的。
刚片1 1
3 2
结论：没有多余约 束的几何瞬变体系。
地基作为刚片2
§2-4 瞬变体系
例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的 链杆联结，分析其几何构造。
△ △ △
1 L1
L3 α3
2 L2
3 L3
L1
L2 α1 α2
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不 再平行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。 这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变体系。
三、刚片的合成
I
有一个无多余约束的几何不变体系。
7 试对图示体系作几何组成分析。
几何可变体系。
几何组成分析的步骤： （1）若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根 链杆与基础相连，则可以只分析该体系。 （2）找二元体，如有，可撤去或加上，使体系简化。 注意：加二元体时，必须把二元体加在几何不变体上； 减二元体时，二元体二杆铰接处不同其它杆件联结。 （3）从直接观察出的几何不变部分开始，应用体系组 成规律，逐步扩大不变部分直至整体。 注意：虚铰的识别 非直杆用直杆代替 找铰接三角形
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。 n=3
(2n 3) 2 3 3 3
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰 一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
还有4个自由度
还有1个自由度
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
1
2
刚片1
3
二元体
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
二元体
1
例3：
刚片1 没有多余约束的 几何不变体系
2 3
刚片2
地基作为刚片3
§2-3 几何构造分析方法
（2）从上部体系出发进行组装
先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不
变体系，然后运用规律4把它与基础相连。 例1：
刚片1
3 1 1 2 3 2
常用的简化方法
一、若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根链 杆与基础相连，则可以只分析该体系。
（c）
无多余约束的几何不变体系。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 增加二元体是体系的组装过程，应从一个基本刚片开始。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 减去二元体是体系的拆除过程，应从体系的外边缘开始进行。
（3）复铰
复铰——连接两个以上刚片的铰。
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
3、刚结的约束作用
(1)单刚结（连接两个刚片的刚结）
1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
I II A B A A 左 A右 E I
约束：刚结.swf
A II
III
C
D
(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
A a
o
P
B C
X 0
M M
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
二元体
Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ O3 Ⅱ
3 O2
结论： 两刚片由3根不交于一 点的链杆连接，因此该 体系是无多余约束的几 何不变体系。
例6： O1
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。
Ⅲ
6 试对图示体系作几何组成分析。 II
I
无多余约束的几何不变体系。 III I 无多余约束的几何不变体系。 II
料的应变，而能保持几何形状和位臵不变的，称为几何
不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度
大家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度 顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由 程度、一刚体的自由程度……
判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度 问题，因此下面复习一下自由度的概念。
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
约束：复刚结.swf
四、必要约束和多余约束
1、必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
必要约束.swf
a) 无多余约束
①
b) 有多余约束
c) 没有多余约束
④
B
§2-4 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况 （1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆 联结（如前页图所示）就是瞬变体系。
如果三根链杆互相平行又等长，体系是常变的。
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆 联结。
§2-4 瞬变体系
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就 会发生绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生 以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体
两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。
规律1还可以这样叙述：
在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
§2-2 几何不变体系的组成规律
第2章 结构的几何构造分析
主要内容
§2-1
§2-2
几何构造分析的几个概念
几何不变体系的组成规律
§2-3 §2-4
§2-5
几何构造分析方法 瞬变体系
分析几何构造举例
重点：
平面杆系几何组成的两种类型及几何组成分析的目的。
自由度的概念及平面杆系结构计算自由度的计算。 无多余约束几何不变体系的组成规则及其适用条件。 平面杆系几何组成分析的方法。
§2-3 几何构造分析方法
利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何
不变体系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
1）组装几何不变体系
（1）从基础出发进行组装
把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础 和其它构件组装成一个不变体系。 例1：
刚片1 搭上了5个 二元体
§2-3 几何构造分析方法
例2：
例：接近瞬变体系结构的受力分析
α
α
A
C P
B
NCA C
NCB P
取C结点：
Y 0
N CA P 2 Sin
2 NCA Sin P
若α 很小，NCA就很大。 因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-5 几何构造分析举例
例1： 5
3 1 2 02 4
01 03
6
结论： 铰O2、O3的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。 结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。
§2-4 瞬变体系
② 两对链杆平行
平行 链杆
平行 链杆
组成无穷远铰的两对链杆 互相平行，体系是瞬变的。
组成无穷远铰的两对链杆互相 不平行，体系是不变的。组成无 穷远铰的两对链杆互相平行又等 长，体系是可变的。
§2-4 瞬变体系
③ 三对链杆都平行
体系是瞬变的。
§2-4 瞬变体系
2）瞬变体系不可作为结构使用 例：
③
①
②
②
③
2、多余约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不 因此而改变，则此约束称为多余约束。
多余约束.swf
五、实铰和虚铰
1、实铰
约束：铰接.swf
I A
I A
II
II
相交于∞处 (虚铰)
2、虚铰（瞬铰）
I A D C B
O (虚铰) ① ②
虚铰.swf
O (虚铰)
I C A
①
I C A B
O
瞬铰
变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。
如果三根链杆直接交于点‘O’， 则组成的是常变体系。‘O’称为： 实铰。
实铰
O
§2-4 瞬变体系
（4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行
平行 链杆
两虚铰的连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系是瞬 变的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组 成无穷远铰的链杆平行，体系 也是瞬 变的。若两虚铰的连线与组成无穷远 铰的链杆不平行，体系是不变的。
刚片1 1
3 2
结论：没有多余约 束的几何瞬变体系。
地基作为刚片2
§2-4 瞬变体系
例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的 链杆联结，分析其几何构造。
△ △ △
1 L1
L3 α3
2 L2
3 L3
L1
L2 α1 α2
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不 再平行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。 这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变体系。
三、刚片的合成
I
有一个无多余约束的几何不变体系。
7 试对图示体系作几何组成分析。
几何可变体系。
几何组成分析的步骤： （1）若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根 链杆与基础相连，则可以只分析该体系。 （2）找二元体，如有，可撤去或加上，使体系简化。 注意：加二元体时，必须把二元体加在几何不变体上； 减二元体时，二元体二杆铰接处不同其它杆件联结。 （3）从直接观察出的几何不变部分开始，应用体系组 成规律，逐步扩大不变部分直至整体。 注意：虚铰的识别 非直杆用直杆代替 找铰接三角形
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。 n=3
(2n 3) 2 3 3 3
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰 一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
还有4个自由度
还有1个自由度
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
1
2
刚片1
3
二元体
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
二元体
1
例3：
刚片1 没有多余约束的 几何不变体系
2 3
刚片2
地基作为刚片3
§2-3 几何构造分析方法
（2）从上部体系出发进行组装
先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不
变体系，然后运用规律4把它与基础相连。 例1：
刚片1
3 1 1 2 3 2
常用的简化方法
一、若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根链 杆与基础相连，则可以只分析该体系。
（c）
无多余约束的几何不变体系。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 增加二元体是体系的组装过程，应从一个基本刚片开始。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 减去二元体是体系的拆除过程，应从体系的外边缘开始进行。
（3）复铰
复铰——连接两个以上刚片的铰。
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
3、刚结的约束作用
(1)单刚结（连接两个刚片的刚结）
1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
I II A B A A 左 A右 E I
约束：刚结.swf
A II
III
C
D
(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
A a
o
P
B C
X 0
M M