高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：5.3 等比数列及其前n项和 Word版含答案
第三节 等比数列及其前n 项和等比数列(1)理解等比数列的概念．(2)掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(4)了解等比数列与指数函数的关系．知识点一 等比数列的相关概念公式易误提醒1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[自测练习]1．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23. 又a 1<0，因此q ＝－23.答案：C2．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.答案：A知识点二 等比数列的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．1．若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N ＋.2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N ＋)．3．若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)，也是等比数列．4．S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .5．当q ≠－1，或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． 6．若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n，…成等比数列．7．若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .易误提醒1．在性质中，当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列． 2．在运用等比数列及其前n 项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系．[自测练习]3．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：由a 3a 5a 7＝－33，∴a 35＝－33，又a 2a 8＝a 25＝3.答案：A4．(2015·唐山期末)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2B.73C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.答案：B考点一 等比数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：由于a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝7a 1，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2或－3D ．2或3解析：因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝7a 1，所以a 2＋a 3＝6a 1，即a 1q ＋a 1q 2＝6a 1，q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或－3，故选C.答案：C3．(2016·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D. 答案：D解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.考点二 等比数列的判定与证明|已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2c n ＋1＝c n . 由a 1＋S 1＝1得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12，从而c n ≠0，∴c n ＋1c n ＝12.所以数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， 又c n ＝a n －1，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，又b 1＝a 1＝12，适合上式，故b n ＝⎝⎛⎭⎫12n .等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2， ∴S 2＝4a 1＋2，即a 1＋a 2＝4a 1＋2， ∴a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝4a n ＋2－(4a n －1＋2)＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)， 即b n ＝2b n －1(n ≥2)，又b 1＝3，则b n ≠0，∴b n b n －1＝2(n ≥2)．从而数列{b n }是以3为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝3·2n －1，即a n ＋1－2a n ＝3·2n －1∴a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3且a 12－1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是首项为2，公差为3的等差数列，∴a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1， ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.考点三 等比数列的性质及应用|(1)(2015·衡阳联考)若函数f (x )＝log 2x4，在等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 8＝8，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝( )A ．－9B ．－8C ．－7D ．－10[解析] 因为a 2·a 5·a 8＝8，所以a 5＝2，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝log 2a 14＋log 2a 24＋…＋log 2a 94＝log 2⎝⎛⎭⎫a 14a 24…a 94＝log 2a 9549＝log 22949＝log 22－9＝－9，故选A. [答案] A(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A.18 B ．－18C.578D.558[解析] 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6， 在等比数列中S 3，S 6－S 3， S 9－S 6也成等比，即8，－1，S 9－S 6成等比，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.[答案] A等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2．(2015·呼和浩特调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2解析：利用等比数列的性质求出公比， 再求解a 1.因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0，所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22，故选B.答案：B3．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－1218.分类讨论思想在等比数列中的应用【典例】 (2015·高考湖南卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[思路点拨] (1)利用数列递推关系式，结合a n 和S n 的关系得出结论；(2)利用分类讨论思想写出数列通项，结合等比数列再进行分类求和．[解] (1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎨⎧32(5×3n －32－1)，当n 是奇数，32(3n2－1)，当n 是偶数.[方法点评] 分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．[跟踪练习] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：∵S n ＝a n－1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2. 当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·太原一模)已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4，故选B.答案：B2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，则下列数列中一定为等比数列的是( )A ．{a n }B ．{a n －1}C ．{a n －2}D ．{S n }解析：由S n ＋a n ＝2n (n ∈N *) ①可得S n －1＋a n －1＝2(n －1)(n ≥2，n ∈N *) ②，①－②得a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －2＝12(a n －1－2)(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，a 1－2＝－1≠0，所以{a n －2}一定是等比数列，故选C.答案：C3．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，且公比q ≠1，若T 7＝128，则( ) A ．a 4＝2 B ．a 5＝2 C ．a 6＝2D ．a 1＝2解析：因为T n 为等比数列{a n }的前n 项积，所以T 7＝a 74＝128，则a 4＝2，故选A. 答案：A4．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，则2S n ＋a n ＝( ) A ．1 B.13 C.12D ．2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，所以2a 1＋3a 1q ＝1 ①，a 1q 2＝3a 1q 3 ②，由②得q ＝13，代入①得a 1＝13，所以a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n ，S n＝13×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12×⎝⎛⎭⎫1－13n ，则2S n ＋a n ＝1. 答案：A5．(2015·衡水二模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值的n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －120.因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时，a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎨⎧2n －120≤1，2n20≥1，则n ＝5，故选C.答案：C6．若正项数列{a n }满足a 2＝12，a 6＝132，且a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则log 2a 4＝________.解析：由a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得数列{a n }是等比数列，所以a 24＝a 2a 6＝164，又a 4>0，则a 4＝18，故log 2a 4＝log 2 18＝－3.答案：－37．已知在等比数列{a n }中，a 5a 11＝6，a 6＋a 10＝7，则a 7a 9的值是________．解析：因为{a n }是等比数列，所以a 5a 11＝a 6a 10＝6，又a 6＋a 10＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝1，a 10＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝6，a 10＝1，设{a n }的公比为q ，则q 4＝6或16，q 2＝6或66，所以a 7a 9＝1q 2＝66或 6.答案：66或 6 8．等比数列的首项是－1，前n 项和为S n ，如果S 10S 5＝3132，则S 4的值是________．解析：由已知得S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝3132，故q 5＝－132，解得q ＝－12，S 4＝(－1)×⎝⎛⎭⎫1－1161＋12＝－58.答案：－589．(2015·陕西一检)已知正整数数列{a n }是首项为2的等比数列，且a 2＋a 3＝24. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n3a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设正整数数列{a n }的公比为q ，则2q ＋2q 2＝24， ∴q ＝3， ∴a n ＝2×3n －1.(2)∵b n ＝2n 3a n ＝2n 3×2×3n －1＝n3n ， ∴T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ，①∴13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1.② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n 1. ∴T n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝3n ＋1－2n －34×3n. 10．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18∶S 9＝7∶8.(1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是否是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由．解：(1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1，S 18∶S 9＝2∶1≠7∶8，∴q ≠1.∴S 18＝a 11－q (1－q 18)，S 9＝a 11－q(1－q 9)，S 18∶S 9＝1＋q 9. ∴1＋q 9＝78，解得q ＝－2－13. ∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝32×a 11－q ，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝34×a 11－q ，S 9＝a 11－q(1－q 9)＝98×a 11－q . ∵S 9－S 3＝－38×a 11－q ，S 6－S 9＝－38×a 11－q， ∴S 9－S 3＝S 6－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列．(2)a 7与a 10的等差中项等于a 7＋a 102＝a 1(2－2－2－3)2＝a 116， 设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项，则a 1(－2－13)n －1＝a 116， 化简得(－2)－n －13＝(－2)－4，即－n －13＝－4，解得n ＝13. ∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项．B 组 高考题型专练1．(2014·高考大纲全国卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C. 答案：C2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1 C.12 D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝⎛⎭⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0， ∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2.∴a 2＝12，故选C. 答案：C3．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________.解析：因为在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2－2n ＋11－2＝126，解得2n ＋1＝128，所以n ＝6. 答案：64．(2015·高考湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧ a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . 故T n ＝6－2n ＋32n －1.。
高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 Word版含答案
§6.3 等比数列及其前n 项和考纲展示►1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点1 等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么________叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔________.答案：(1)2 同一个常数 公比 (2)GG 2＝ab 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝________.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1，a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.答案：(1)a 1qn －1(2)na 1[典题1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式． (1)[证明]∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①，得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，又c n ＝a n －1，∴c 1＝a 1－1＝－12.∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．(2)[解] 由(1)可知，c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12，代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.[点石成金] 等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则数列{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2，①S n ＝4a n －1＋2，②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知，b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 化简，得a n ＝(3n －1)·2n －2.考点2 等比数列的基本运算(1)[教材习题改编]已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________.答案：3×2n －3解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝3，①a 10＝a 1q 9＝384，②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2， 把q ＝2代入①，得a 1＝34，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n －1＝3×2n －3.(2)[教材习题改编]设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案：34等比数列的两个非零量：项；公比．(1)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于________． 答案：－24解析：由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，则该等比数列的首项为x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第4项为(6x ＋6)×q ＝－24.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________. 答案：－2解析：∵S 3＋3S 2＝0， ∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2.[考情聚焦] 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．主要有以下几个命题角度： 角度一求首项a 1，公比q 或项数n[典题2] [2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] 由a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3可得a 6－a 5＝2a 5，即a 6a 5＝3，故选B. 角度二 求通项或特定项[典题3] [2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列，则a n ＝________.[答案] 2n[解析] 设数列{a n }的公比为q ， ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列， ∴2a 1＋3a 2＝2a 3，即2a 1＋3a 1q ＝2a 1q 2，即2q 2－3q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－12.∵q >0，∴q ＝2. ∵a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝2n.角度三 求前n 项和[典题4] (1)已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31 C.314D ．以上都不正确[答案] B[解析] 设{a n }的公比为q ，q ＞0. 由已知，得a 4＋3a 3＝2×5a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2，即q 2＋3q －10＝0， 解得q ＝2或q ＝－5(舍去)， 又a 2＝2，则a 1＝1，所以S 5＝a 1－q 51－q＝－251－2＝31.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________. [答案] 28[解析] 由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1－q n1－q，得S 6＝a 1－361－3，S 3＝a 1－331－3，所以S 6S 3＝a 1－361－3·1－3a 1－33＝28.[点石成金] 解决与等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论．当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q. 考点3 等比数列的性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝________＝________.(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.答案：(1)qn －m(2)a p ·a q a 2k等比数列的基本公式：通项公式；前n 项和公式．(1)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________.答案：2解析：由a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2.(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8S 4＝1716，则公比q ＝________.答案：12解析：易知公比q 不为1，由等比数列求和公式得1－q 81－q 4＝1716，即1＋q 4＝1716，所以q 4＝116，得q ＝12或q ＝－12(舍去).应用等比数列的前n 项和公式的两个注意点：公比应分q ＝1与q ≠1讨论；注意利用性质．(1)设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，则此数列的公比q ＝________. 答案：1或－12解析： 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题意；当q ≠1时，a 1－q 31－q＝3a 1q 2，∵a 1≠0，所以1－q 3＝3q 2(1－q )， ∴2q 3－3q 2＋1＝0， 即(q －1)2(2q ＋1)＝0， 解得q ＝－12.综上所述，q ＝1或q ＝－12.(2)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.答案：11解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－21＝－2，首项为a 1＋a 2＋a 3＝1，因此该数列的前5项和就是数列{a n }的前15项的和，故S 15＝1×[1－－5]1－－＝11.[典题5] (1)[2017·广东广州综合测试]已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝( )A ．10B ．20C ．100D ．200[答案]C[解析]a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. (2)[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.[答案] 14[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14.[点石成金] 等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.1.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B.73 C.310D ．1或2答案：B解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73. 2．[2017·甘肃兰州诊断]数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 015 110，则a 21＝________.答案：2 015 解析：由b n ＝a n ＋1a n，且a 1＝1，得 b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2，b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20. ∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 015110 )10＝2 015.[方法技巧] 1.判断数列为等比数列的方法 (1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a na n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列． 2．常用结论(1)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (2)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . [易错防范] 1.特别注意当q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案：B解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．答案：64解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n (n －7) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －722－494 ，当n ＝3或4时，12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －722－494 取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64.3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.答案：6解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴1－2n1－2＝126，∴n ＝6.4．[2015·安徽卷]已知数列{}a n 是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{}a n 的前n 项和等于________．答案：2n －1解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n1－2＝2n －1. 5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. 解：(1)由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 从而得通项公式a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)，得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n . 由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.课外拓展阅读分类讨论思想在等比数列中的应用[典例] 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． [审题视角](1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．(1)[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12. 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)[证明] 由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋12n n ＋，n 为奇数，2＋12n n －，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136； 当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.方法点睛1．分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况讨论．(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论．(3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．2．数列与函数联系密切，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．提醒完成课时跟踪检测(三十三)。
高考数学专题《等比数列及其前n项和》习题含答案解析
专题7.3 等比数列及其前n 项和1．（2021·全国高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案.【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列∴24S =，42642S S -=-=∴641S S -=，∴641167S S =+=+=.故选：A.2．（2021·山东济南市·）已知S n 是递增的等比数列{a n }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（ ）A ．116B ．18C ．8D ．16【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q ，根据题意列方程，解出1a 和q 即可.【详解】解：设递增的等比数列{a n }的公比为q ，且q >1，∵S 3＝72，234a a =，∴1a （1+q +q 2）＝72，21a q 4＝1a q 3，解得1a ＝12，q ＝2；1a ＝2，q ＝12（舍去）．练基础则5a ＝4122⨯=＝8．故选：C ．3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（ ）A ．212-B ．152C ．212D ．632【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，由572a a q =结合已知条件求q 、1a ，再利用等比数列前n 项和公式求6S .【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则572a a q =，又2718,4a a =-=，∴12q =-，故116a =，又1(1)1-=-nn a q S q ，即666311616[1()]216421321()22S ⨯⨯--===--.故选：C4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列{}n a 满足12451,8a a a a +=+=，则7a ＝（ ）A ．643B ．643-C ．323D ．323-【答案】A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =，又()11121+11,3a a a a q =+==，所以6671123643a a q ==⨯⨯=，故选：A.5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里【答案】D 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D ．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则{}n a {}n a 12q =6378S =6161[1()]2378112-==-a S 1192a =211192962a a q =⨯=⨯=21nni a==∑___________.【答案】122n +-【解析】由44a =，22n n a a +=，得到22a =且22n na a +=，得出数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由22n n a a +=，可得22n na a +=，又由44a =，可得4224a a ==，所以22a =，所以数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1212(12)2212n nn n i a +=-==--∑.故答案为：122n +-.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则1a =_____，n S =_______．【答案】1 21n -【解析】利用1n n n a S S -=-求通项公式，再求出n S .【详解】对于21n n S a =-，当n =1时，有1121S a =-，解得：1a =1；当2n ≥时，有1121n n S a --=-，所以()112121=n n n n n a S S a a ----=--，所以1=2nn a a -，所以数列{}n a 为等比数列，111=2n n n a a q--=，所以122112nn n S -==--.故答案为：1，21n -.9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则3a =________，n S =________．【答案】4 21n -【解析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列的通项公式，再代入求出n S ．【详解】解：因为21n n S a =-当1n =时，1121S a =-，解得11a =；当2n …时，1121n n S a --=-，所以111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=．所以34a =，11212212n nn n S a -=-⨯-==-故答案为：4；21n -；10.（2018·全国高考真题（文））等比数列{a n }中，a 1=1 ， a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．【答案】（1）a n =(―2)n―1或a n =2n―1 .（2）m =6.【解析】（1）设{a n }的公比为q ，由题设得a n =q n―1．由已知得q 4=4q 2，解得q =0（舍去），q =―2或q =2．故a n =(―2)n―1或a n =2n―1．（2）若a n =(―2)n―1，则S n =1―(―2)n3．由S m =63得(―2)m =―188，此方程没有正整数解．若a n =2n―1，则S n =2n ―1．由S m =63得2m =64，解得m =6．综上，m =6．1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】由等比数列的性质可得： ，，结合可得： ，结合等比数列的性质可得： ，即：本题选择B 选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第i 行第j 个数为12j -(其中i ，*j N ∈，且i j ≥).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列{}n a ，设{}n a 的前n 项和为n S .若1020n S =，则n =（）A ．46B ．47C ．48D ．49【答案】C 【解析】{}n a 2234764a a a a =-=-46tan 3a a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭32343364,4a a a a a ==-∴=-4730a a q =<2764a =78a =-463732a a a a ==463222tan tan tan 10tan 3333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅==+== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭练提升根据“数塔”的规律，可知第i 行共有i 个数，利用等比数列求和公式求出第i 行的数字之和，再求出前m 行的和，即可判断1020n S =取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出n ；【详解】解：“数塔”的第i 行共有i 个数，其和为211212222112i i i --++++==-- ，所以前m 行的和为()()()123121222222212m m m m m m +-++++-=-=-+- 故前9行所有数学之和为102111013-=，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为10131241020+++=，易知“数塔”前m 行共有()12m m +个数，所以9103482n ⨯=+=故选：C3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（ ）A ．{}n a 是递增数列B ．{}10n a +是等比数列C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<【答案】ACD 【解析】将递推公式两边同时取指数，变形得到1110109n n a a +-=+，构造等比数列可证{}1010n a+为等比数列，求解出{}n a 通项公式则可判断A 选项；根据()()()2132101010a a a ++≠+判断B 选项；根据{}n a 的通项公式以及对数的运算法则计算()122n n n a a a ++-+的正负并判断C 选项；将{}n a 的通项公式放缩得到()lg 2101n n a n <⨯<+，由此进行求和并判断D 选项.【详解】因为()1lg 1091n an a +=++，所以()11lg 109n an a +-=+，从而1110109n n a a +-=+，110101090n n a a +=⨯+，所以()11010101010n n a a ++=⨯+，所以11010101010n na a ++=+，又1101020a +=，{}1010n a +是首项为20，公比为10的等比数列，所以110102010210n a n n -+=⨯=⨯，所以1021010n a n =⨯-，即()lg 21010nn a =⨯-，又因为21010n y =⨯-在[)1,,*n n N ∈+∞∈时单调递增，lg y x =在定义域内单调递增，所以{}n a 是递增数列，故A 正确；因为1231011,10lg19010lg1911,10lg199010lg19911a a a +=+=+=++=+=+，所以()()()()()222213101010lg191111lg19911lg 1922lg1911lg199a a a +-++=+-+=+-，所以()()()2222213361101010lg 1911lg1911lg199lg 1911lg0199a a a +-++=+-=+>，所以()()()2132101010a a a ++≠+，所以{}10n a +不是等比数列，故B 错误.因为()()()()121222lg 21010lg 21010lg 21010n n n n n n a a a ++++-+=⨯--⨯--⨯-()()()()()()2211211210102101 lglg210102101021012101n n n n n n +++-+⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯-=，而()()()211221121012101210141041014102102101n n n nnn n n -++-⨯--⨯-⨯-=⨯-⨯+-⨯+⨯+⨯-20100.21041016.2100nnnn=⨯+⨯-⨯=⨯>，从而()()()211210121012101nn n -+⨯->⨯-⋅⨯-，于是，122n n n a a a ++>+，故C 正确.因为()()lg 21010lg 210lg 21nnn n a n =⨯-<⨯=+<+，所以()()21322nn n n n S +++<=，故D 正确.故选：ACD.4. （2019·浙江高三期末）数列的前n 项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ，当时，，{}n a n S 11a =()11.n n a S n N ++=+∈()n a ()12111n n T S S S =++⋯+31222n n T -≤<(1) 2n n a -=()(1)1n n a S +=+Q ①∴2n ≥11n n a S -=+②得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2382n n n a -+=；（2）存在，()21242n n n n S ++=--.【解析】（1）将1x =代入，由递推关系求出通项公式，并检验当1n =时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数x ，y 满足题意，结合已知条件求出满足数列{}n a yn +是等比数列的实数x ，y 的值，运用分组求∴-①②()122n n a a n +=≥2112a S =+=Q 212a a ∴=∴{}n a 12n n a -∴=(1)2nn a += 21n n S ∴=-2n ≥Q 111122n n n S -≤≤1121111113142112212n n n n T S S S -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=++⋯+≥+=--11111221221212n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+=-<-31222n n T -≤<和法求出n S 的值.【详解】（1）由题可知：当1x =时有：12n n a a n --=-，当2n ≥时，()()()()()()121321213012232n n n n n a a a a a a a a n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅+-=+，又13a =满足上式，故()()22138322nn n n n a ---+=+=.（2）假设存在实数x ，y 满足题意，则当2n ≥时，由题可得：()()111n n n n a yn x a y n a xa xy y n xy --+=+-⇔=+--⎡⎤⎣⎦，和题设12n n a xa n -=+-对比系数可得：1xy y -=，22xy x -=-⇔=，1y =.此时121n n a na n -+=+-，114a +=，故存在2x =，1y =使得{}n a yn +是首项为4，公比为2的等比数列.从而()()1112121224122nn n n n n nn n a n a n S a a a ++-++=⇒=-⇒=++⋅⋅⋅+=--.所以()21242n n n n S ++=--.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列{}n a ，满足11a =，121n n a a n +=+-，设n n b a n =+，n n c a n λ=+（λ为实数）．（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2nn a n =-；（3）()1,-+∞．【解析】（1）由121n n a a n +=+-，变形为()11222n n n a n a n a n +++=+=+，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；（3）根据{}n c 是递增数列，由10n n c c +->,*n N ∈恒成立求解.【详解】（1）因为121n n a a n +=+-，所以()11222n n n a n a n a n +++=+=+，即12n n b b +=，又因为11120b a =+=≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=，所以{}n b 是等比数列．（2）由1112b a =+=，公比为2，得1222n n n b -=⋅=，所以2nn n a b n n =-=-．（3）因为()21nn n c a n n λλ=+=+-，所以()()11211n n c n λ++=+-+，所以1122121n n n n n c c λλ++-=-+-=+-，因为{}n c 是递增数列，所以*10,n n c c n N +->∈成立，故210n λ+->，*n N ∈成立，即12n λ>-，*n N ∈成立，因为{}12n-是递减数列，所以该数列的最大项是121-=-，所以λ的取值范围是()1,-+∞．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….122344468858121616记第n 行第m 个数为(),f n m .（Ⅰ）若3n ≥，写出(),1f n ，(),2f n ，(),3f n 的表达式，并归纳出(),f n m 的表达式；（Ⅱ）求第10行所有数的和10S .【答案】（Ⅰ）(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，()()12,1m m m f n n --+=；（Ⅱ）102036=S .【解析】（I ）由数阵写出(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（II ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，利用错位相减法求得结果.【详解】（Ⅰ）由数阵可知：(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（Ⅱ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，所以231010220292821S =+⨯+⨯++⨯ ，错位相减得291010102222S =-+++++ ()102121012-=-+-2036=.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，12nn n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：123456,,,,,,a b a b a b ，求{}n c 的前2n 项和.【答案】（1）n a n =，*n ∈N ；（2）数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .【解析】（1）由()12n n n a S S n -=-≥可得1(2)1n na a n n n+=≥+可得答案；（2）由12nn n b b +=得1122n n n b b +++=，两式相除可得数列{}n b 的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列{}n c 的前2n 项的和.【详解】（1）由12n n S na +=，12(1)(2)n n S n a n -=-≥，得12(1)n n n a na n a +=--，所以1(2)1n na a n n n +=≥+.因为122S a =，所以22a =，所以212n a an ==，(2)n a n n =≥.又当1n =时，11a =，适合上式.所以n a n =，*n ∈N .（2）因为12nn n b b +=，1122n n n b b +++=，所以*22()n nb n b +=∈N ，又122b b =，所以22b =.所以数列{}n b 的偶数项构成以22b =为首项､2为公比的等比数列.故数列{}n c 的前2n 项的和()()21321242n n n T a a a b b b -=+++++++ ，()122212(121)22212nn n n n T n +-+-=+=+--所以数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，， （1）令，求证：数列是等比数列；{}n a ()110,2*n n a a a n n N +==+∈+11n n n b a a =-+{}n b（2）令 ，当取得最大值时，求的值.【答案】（I ）见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得 ∴即：∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知， 即也满足上式令，则 ，3nn n a c =n c n 3,n n c =3k =121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ，211221n n n n a a a a +++-=-+()211121n n n n a a a a +++-+=-+12n nb b +=21120a b ==≠Q 又，{}n b 2nn b =121nn n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==21n n a n ∴=--111212233n n n n n n n n c c +++----=∴=11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=()212nf n n =+-()11232n f n n ++=+-()()122n f n f n ∴+-=-∴ 最大，即10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足112a =，123n n a a ++=，数列{}n b 满足11b =，()211n n nb n b n n +-+=+.（1）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1n n n n c b b a +=-，求使[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤成立([]n c 表示不超过n c 的最大整数)的最大整数n 的值.【答案】（1）112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2n b n =；（2）最大值为44.【解析】（1）由题得数列{}1n a -是等比数列，即求出数列{}n a 的通项；由题得{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，即得数列{}n b 的通项公式；（2）先求出[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，再求出[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩即得解.【详解】解：（1）由123n n a a ++=得()11112n n a a +-=--，所以数列{}1n a -是等比数列，公比为12-，()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅>()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q 123345...c c c c c c ∴>，3,n n c =3k =解得112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.由()211n n nb n b n n +-+=+，得111n nb b n n+-=+，所以{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，所以1(1)1n bn n n=+-⨯=，解得2n b n =.（2）由()1n n n n c b b a +=-得()12121121(1)22n nn n n c n n ⎛⎫+⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记212n n n d +=，1112321120222n n n n n n n nd d +++-++-=-=<，所以{}n d 为单调递减且132d =，254d =，3718d =<，所以[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，因此[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩，当2n k =时，2320212n n +≤的n 的最大值为44；当2+1n k =时，231202122n n +-≤的n 的最大值为43；故[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤的n 的最大值为44.1．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件练真题B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．2.（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ）A ．2n –1B ．2–21–n C ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-.故选：B.3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）{}n a 53134a a a =+3a =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为，则，解得，，故选C ．4．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +--【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，q 2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩11,2a q =⎧⎨=⎩2314a a q ∴==13314a S ==，58q 223111314S a a q a q q q =++=++=2104q q ++=12q =-441411()(1)521181()2a q S q ---===---数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.6．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33(4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n na a +=122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3(444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)(34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭ ，2413333333321(5)(4)444444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234113333333(4)4444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334((4)(44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤；4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤.。
高考理科数学一轮复习课时提升作业：第5章 5.3《等比数列及其前n项和》(含答案)
课时提升作业三十二等比数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·济南模拟)已知等比数列的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则a n=( ) A.4· B.4·C.4·D.4·【解析】选C.由于等比数列{a n}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,因此前三项依次为4,6,9,公比q=,因此a n=4·.2.在等比数列{a n}中,a3=6,前3项之和S3=18,则公比q的值为( )A.1B.-C.1或-D.-1或【解析】选C.根据已知条件得所以=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.【易错警示】解答本题会出现以下错误:利用等比数列的前n项和公式表示S3后,计算结果中把q=1的结果舍去了,导致错误的原因是忽视了q=1与q≠1时,前n项和的计算公式不同.3.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则数列{a n}的奇数项的前n项和为( )A. B.C. D.【解析】选C.依题意,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1;当n=1时,a1=S1=2-1=1,a n=2n-1也适合a1.因此,a n=2n-1,=2,数列{a n}是等比数列,数列{a n}的奇数项的前n项和为=.4.(2016·广安模拟)设等比数列{a n}的前n项积P n=a1·a2·a3·…·a n,若P12=32P7,则a10等于( )A.16B.8C.4D.2【解析】选D.由P12=32P7,得a8·a9·a10·a11·a12=32,即=32,于是a10=2.5.(2016·临沂模拟)记等比数列{a n}的前n项积为T n(n∈N*),已知a m-1·a m+1-2a m=0,且T2m-1=128,则m的值为( )A.4B.7C.10D.12【解析】选A.因为{a n}为等比数列,所以a m-1·a m+1=,又a m-1·a m+1-2a m=0,故a m=2,由等比数列的性质可知前2m-1项积为T2m-1=,从而22m-1=128,故m=4.【加固训练】(2016·乌鲁木齐模拟)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,b n=,且{b n}的前n项和为T n,若对一切正整数n都有S n>T n,则数列{a n}的公比q的取值范围是( ) A.0<q<1 B.q>1C.q>D.1<q<【解析】选 B.由于{a n}是等比数列,公比为q,所以b n==a n,于是b1+b2+…+b n=(a1+a2+…+a n),即T n=·S n.又S n>T n,且T n>0,所以q2=>1.因为a n>0对任意n∈N*都成立,所以q>0,因此公比q的取值范围是q>1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·安庆模拟)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q= .【解析】当q=1时,由S2=3a2+2得a2=-2,由S4=3a4+2得a4=2,两者矛盾,舍去,则q≠1,联立可解得答案:7.在公比为正数的等比数列中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8= .【解析】方法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.方法二:q2==4,又q>0,所以q=2.所以a1(1+q)=a1(1+2)=2,所以a1=.所以S8==170.答案:1708.(2016·抚州模拟)已知数列满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log3(a5+a7+a9)的值是.【解题提示】根据数列满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*)可以确定数列是公比为3的等比数列,再根据等比数列的通项公式即可通过a2+a4+a6=9求出a5+a7+a9的值,进而求得log3(a5+a7+a9)的值. 【解析】log3a n+1=log3a n+log33=log33a n,所以3a n=a n+1且a n>0,a n+1>0,所以数列{a n}为公比q=3的等比数列,因为a2+a4+a6=9,设首项为a,所以aq+aq3+aq5=9,所以a5+a7+a9=q3(aq+aq3+aq5)=33×9=35,从而log3(a5+a7+a9)=log335=5.答案:5三、解答题9.(10分)(2016·聊城模拟)已知等比数列{a n}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)数列{a n+1-λa n}的前n项和为S n,若S n=2n-1(n∈N*),求实数λ的值.【解析】(1)设数列{a n}的公比为q,由条件可知q3,3q2,q4成等差数列,所以6q2=q3+q4,解得q=-3或q=2,因为q>0,所以q=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).(2)记b n=a n+1-λa n,则b n=2n-λ·2n-1=(2-λ)2n-1,若λ=2,则b n=0,S n=0,不符合条件;若λ≠2,则=2,数列{b n}为首项为2-λ,公比为2的等比数列,此时S n=(1-2n)=(2-λ)(2n-1),因为S n=2n-1,所以λ=1.【加固训练】1.(2016·烟台模拟)已知数列{c n},其中c n=2n+3n,且数列{c n+1-pc n}为等比数列,求常数p. 【解析】因为{c n+1-pc n}是等比数列,所以当n≥2时,有(c n+1-pc n)2=(c n+2-pc n+1)(c n-pc n-1),将c n=2n+3n代入上式,得2=·,即2=.整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0.所以2-p=0或3-p=0,所以p=2或p=3.【一题多解】解答本题,还有以下解法:方法一:由c n=2n+3n,得c1=5,c2=13,c3=35,c4=97.因而数列{c n+1-pc n}的前三项依次为13-5p,35-13p,97-35p.由题意得:(35-13p)2=(13-5p)(97-35p),整理得:p2-5p+6=0,解得p=2或p=3.当p=2时,c n+1-pc n=(2n+1+3n+1)-2(2n+3n)=3n,所以==3.所以此时{c n+1-pc n}是等比数列.同理p=3时数列{c n+1-pc n}也是等比数列,所以p=2或p=3.方法二:{c n+1-pc n}是等比数列⇔=非零常数.因为===2+=2+.为使为非零常数,也就是使2+为非零常数.所以p-2=0或p-3=0,所以p=2或p=3.2.设{a n}是公比为q的等比数列.(1)推导{a n}的前n项和公式.(2)设q≠1,证明数列{a n+1}不是等比数列.【解析】(1)设{a n}的前n项和为S n,当q=1时,S n=a1+a1+…+a1=na1;当q≠1时,S n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,①qS n=a1q+a1q2+…+a1q n,②①-②得,(1-q)S n=a1-a1q n,所以S n=,所以S n=(2)假设{a n+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,(a k+1+1)2=(a k+1)(a k+2+1),+2a k+1+1=a k a k+2+a k+a k+2+1,q2k+2a1q k=a1q k-1·a1q k+1+a1q k-1+a1q k+1,因为a1≠0,所以2q k=q k-1+q k+1.因为q≠0,所以q2-2q+1=0,所以q=1,与已知矛盾,所以假设不成立,故{a n+1}不是等比数列.(20分钟40分)1.(5分)在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选D.因为14≠,所以q≠1,所以S n=,所以=.解得q=-,=14×,所以n=5.故该数列共7项.【加固训练】(2016·成都模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a3=,a2+a4=,则= ( )A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1【解析】选 D.设等比数列{a n}的公比为q,则q===,所以== =2n-1.2.(5分)(2016·郑州模拟)在等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lga n}的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3【解析】选C.因为等比数列{a n}中a4=2,a5=5,所以q==,a1===,lga1=lg,lga n-lga n-1=lg=lg(n≥2),所以{lga n}是等差数列.所以{lga n}的前8项和为8×lg+lg=8(4lg2-3lg5)+28(lg5-lg2)=4lg5+4lg2=4.3.(5分)(2016·通化模拟)一正数等比数列前11项的几何平均数为32,从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32,那么抽去的这一项是第项.【解题提示】由前11项之积除以抽去一项后所剩下的10项之积,可求出抽去的一项.【解析】由于数列的前11项的几何平均数为32,所以该数列的前11项之积为3211=255.抽去一项后所剩下的10项之积为3210=250,所以抽去的一项为255÷250=25.又因a1·a11=a2·a10=a3·a9=a4·a8=a5·a7=,所以a1·a2·…·a11=.故有=255,即a6=25.所以抽出的应是第6项.答案:6【加固训练】在等比数列{a n}中,若a3=4,a9=1,则a6= ,若a3=4,a11=1,则a7= . 【解析】设数列{a n}的公比为q,则a3,a6,a9组成的新数列的公比为q3.若a3=4,a9=1,则=4,a6=±2,符合题意;a3,a7,a11组成的新数列的公比为q4,由a3=4,a11=1,得=4,当a7=2时,q4=,符合题意,当a7=-2时,q4=-,不合题意,舍去.答案:±2 24.(12分)数列{a n}中,S n=1+ka n(k≠0,k≠1).(1)证明:数列{a n}为等比数列.(2)求通项a n.(3)当k=-1时,求++…+.【解析】(1)因为S n=1+ka n,①S n-1=1+ka n-1(n≥2),②①-②得S n-S n-1=ka n-ka n-1(n≥2),所以(k-1)a n=ka n-1,由已知可得a n=0时S n=1无意义,所以=为非零常数,n≥2. 所以{a n}是公比为的等比数列.(2)因为S1=a1=1+ka1,所以a1=.所以a n=·=-.(3)因为{a n}中a1=,q=,所以{}是首项为,公比为的等比数列.当k=-1时,等比数列{}的首项为,公比为,所以++…+==.5.(13分)(2016·日照模拟)已知数列中,a1=1,a n+1=(1)证明数列是等比数列.(2)求a2n及a2n-1.【解析】(1)设b n=a2n-,则b1=a2-=-=-,因为=====.所以数列是以-为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)得b n=a2n-=-·=-·,即a2n=-·+,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-·-6n+.【加固训练】设数列{a n}的前n项和为S n,其中a n≠0,a1为常数,且-a1,S n,a n+1成等差数列.(1)求{a n}的通项公式.(2)设b n=1-S n,问:是否存在a1,使数列{b n}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意,得2S n=a n+1-a1.当n≥2时,有两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).又因为a2=2S1+a1=3a1,a n≠0,所以数列{a n}是首项为a1,公比为3的等比数列.因此,a n=a1·3n-1(n∈N*).(2)因为S n==a1·3n-a1,b n=1-S n=1+a1-a1·3n.要使{b n}为等比数列,当且仅当1+a1=0,即a1=-2.所以存在a1=-2,使数列{b n}为等比数列.。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和学案(含解析)
等比数列及其前n 项和【考纲传真】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.【知识扫描】知识点1 等比数列的有关概念1．定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，公比的表达式为a n ＋1a n＝q . 2．等比中项；如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 知识点2 等比数列的有关公式1．通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .2．前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．必会结论；等比数列的性质 (1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．(5)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶S 奇＝q . 2．必清误区(1)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，与等差数列不同．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)并不能断言{a n }是等比数列，还要验证a 1≠0.【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列a ，a ，a ，…(a ∈R )必为等比数列．( )(2)当q ＜0时，等比数列{a n }为递减数列．( )(3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }是等比数列．( )2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2 D.12 3．(2015·广东高考)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.5．(2014·重庆高考)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .参考答案1【解析】 (1)错误．a ＝0时不能构成等比数列．(2)错误．当q ＜0时，{a n }为摆动数列．(3)错误．G 2＝abD ⇒/G 为a ，b 的等比中项．(4)错误．若a 1＝0，则{a n }不是等比数列．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2【解析】 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 【答案】 D3【解析】 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.【答案】 14【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0.∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S5S 2＝a 1－q 51－q ·1－q a 1－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－51－4＝－11.【答案】 －115【解】 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n a 1＋a n 2＝n ＋2n －2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1－q n1－q ＝23(4n －1)．。
高考数学一轮复习 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和教学案(含解析)理-人教版高三全册数学教
第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝a b.2．等比数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.(5)当q ≠－1时，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列． [常用结论]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n(k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝a b.( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36C.812D ．54C [公比q ＝a 4a 3＝1812＝32，则a 6＝a 4q 2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝812.]3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]4．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________.4 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝1，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝52，消去a 1得1q ＋q ＝52，解得q ＝12或q ＝2.又0＜q ＜1，故q ＝12，此时a 1＝4.]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴21－2n1－2＝126，解得n ＝6.]等比数列基本量的运算1．(2019·某某模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( )A ．1B ．5 C.3148 D.1116D [由S 3＝3a 3得a 1＋a 2＝2a 3，∴1＋q ＝2q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)．∴S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23×3332＝1116，故选D.]2．(2017·某某高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.32 [设{a n}的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝74，a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.[规律方法] 解决等比数列有关问题的两种常用思想 方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解.分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n)(q ＜1)或S n ＝a 1q －1(qn－1)(q ＞1).等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.[规律方法] 等比数列的判定方法 1定义法：若q 为非零常数，n ∈N *，则{a n }是等比数列.2等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a \o\al(2,n ＋1)＝a n ·a n ＋2n ∈N*，则数列{a n }是等比数列.3通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·qnc ，q 均是不为0的常数，n ∈N *，则{a n }是等比数列.4前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n－k k 为常数且k ≠0，q ≠0，1，则{a n }是等比数列.说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.等比数列性质的应用►考法1 等比数列项的性质【例2】 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________. (1)50 (2)31 [(1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×1－251－2＝31.]►考法2 等比数列前n 项和的性质【例3】 (1)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________． (2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.(1)63 (2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1[(1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝48，①a 11－q 2n1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n＝14.③将③代入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 11－q 3n 1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝S 2n －S n2S n＋S 2n ＝60－48248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为S 2n ＝S n ＋q nS n ，所以q n＝S 2n －S n S n ＝14， 所以S 3n ＝S 2n ＋q 2nS n ＝60＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13. 又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64， 所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.][规律方法] 应用等比数列性质解题时的两个关键点1在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.(1)已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50(1)B (2)B [(1) a 5·a 7＝a 26＝4a 24，∴a 6＝2a 4，则a 6a 4＝q 2＝2.∴q ＝2，从而a 1＝12＝22，故选B. (2)S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝4＋8＋16＋32＝60.]等差、等比数列的综合问题【例4】 (1)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52D.3＋52A [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 31＋q2a 41＋q2＝1q＝25＋1＝25－15＋15－1＝5－12，故选A.] (2)(2018·高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. ①求{a n }的通项公式； ②求e a 1＋e a 2＋…＋e a n . [解] ①设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. ②因为e a 1＝e ln 2＝2，＝＝e ln 2＝2，所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．[规律方法] 等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d q 充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，就不难解决这类问题.在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d 2＝a 1＋d a 1＋7d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， ∴b n ＝2n，∴b n ＋1b n＝2， ∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)， 将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋12D.n n －12A [由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2.∴S n＝2n ＋n n －12×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1)．]3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. －8 [设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1，①a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.word当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________- 11 - / 11。
高考数学一轮复习 第六章 数列 第3节 等比数列及其前n项和教学案(含解析)新人教A版-新人教A版高
第3节 等比数列及其前n 项和考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)假设等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，那么其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m qn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1〔1－q n 〕 1－q ＝a 1－a n q1－q.3.等比数列的性质{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)假设k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，那么有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[常用结论与微点提醒]1.假设数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，那么数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，那么其前n 项和为S n ＝a 〔1－a n 〕1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，那么S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)假设a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)假设a 1＝1，q ＝－1，那么S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(老教材必修5P53T1改编){a n }是等比数列，a 4＝16，公比q ＝2，那么a 1等于( ) A.2 B.－2 C.12D.－12解析 由题意，得a 4＝a 1q 3＝8a 1＝16，解得a 1＝2. 答案 A3.(老教材必修5P61T1改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，假设S 10S 5＝3132，那么{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132， 因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，那么a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.答案 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －14.(2020·晋冀鲁豫名校联考)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，假设a 1a m ＝9，那么m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C5.(2018·卷)“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，那么a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2019·全国Ⅰ卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.假设a 1＝13，a 24＝a 6，那么S 5＝________.解析 由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.所以S 5＝a 1〔1－q 5〕1－q ＝13〔1－35〕1－3＝1213.答案1213考点一 等比数列基本量的运算[例1] (1)(2019·全国Ⅲ卷)各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，那么a 3＝( ) A.16 B.8 C.4 D.2(2)(2020·某某一模)在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，假设a 6＝64，那么S 7的值为( )A.126B.256C.255D.254解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.(2)数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)， 那么数列{a n }为等比数列，设其公比为q ， 又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5＝a 6a 1＝32，那么q ＝2， 那么S 7＝a 1〔1－27〕1－2＝28－2＝254.答案 (1)C (2)D规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二〞，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1〔1－q n 〕1－q ＝a 1－a n q1－q.[训练1] (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，那么S 4＝( ) A.9 B.15 C.18 D.30(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，那么a 4＝________. 解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2〔a 1＋a 1q ＋a 1q 2〕＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16，解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2〔1－24〕1－2＝30.(2)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，②显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8. 答案 (1)D (2)－8考点二 等比数列的判定与证明[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *). (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列.(1)解 因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， 所以当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， 所以a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， 所以a 3＝8. 综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，① 所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. 所以－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， 所以S n ＋2＝2(S n －1＋2).因为S 1＋2＝4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；假设证明某数列不是等比数列，那么只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.[训练2] (2019·某某二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由.解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1〔1－q 3〕1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，那么S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列.考点三 等比数列的性质及应用[例3] (1)(2020·某某统考)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 8a 13＝64，那么log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 20＝________.(2)(一题多解)(2019·某某模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 10＝20，S 30＝140，那么S 40＝( )A.280B.300C.320D.340解析 (1)由等比数列的性质可得a 10a 11＝a 8a 13， 所以a 10a 11＋a 8a 13＝2a 10a 11＝64， 所以a 10a 11＝32，所以log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 20＝log 2(a 1·a 2·a 3·…·a 20)＝log 2[(a 1·a 20)·(a 2·a 19)·(a 3·a 18)·…·(a 10·a 11)]＝log 2(a 10·a 11)10＝log 23210＝50. (2)法一 因为S 10＝20≠0，所以q ≠－1，由等比数列性质得S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，∴(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)， 即(S 20－20)2＝20(140－S 20)，解得S 20＝60， ∴S 20－S 10S 10＝60－2020＝2， ∴S 40－S 30＝S 10·23，∴S 40＝S 30＋S 10·23＝300.应选B.法二 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1，所以a 1〔1－q 10〕1－q ＝20，a 1〔1－q 30〕1－q＝140，两式相除得1－q 301－q 10＝7，化简得q 20＋q 10－6＝0，解得q 10＝2，所以S 40＝S 30＋S 10·q 30＝140＋160＝300，应选B. 答案 (1)50 (2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“假设m ＋n ＝p ＋q ，那么a m ·a n ＝a p ·a q 〞，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.[训练3] (1)(2020·某某质检)在等比数列{a n }中，假设a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，那么a 5的值是( ) A.－2 B.－2C.±2D. 2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 6S 3＝3，那么S 9S 6＝________. 解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法那么解决数学问题的一种素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题；掌握数列运算法那么；探究运算思路；求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规那么，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，那么S 偶－S 奇＝nd .[例1] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，那么m ＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，那么数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝〔2m －1〕〔a 1＋a 2m －1〕2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)假设m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，那么a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).[例2] (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，那么数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝8，S 6＝7，那么a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶〞性质：等比数列{a n }中，公比为q . 假设共有2n 项，那么S 偶∶S 奇＝q . (2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q nS m (q 为公比).[例3] (1)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，那么公比q ＝________.(2){a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 那么S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116A 级 基础巩固一、选择题1.{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，那么公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D2.(2019·马某某质检)等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，那么a 7的值为( ) A.2 B.4 C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B3.(2020·某某一模)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，那么a b＝( )A.－3B.－1C.1D.3解析 ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3， ∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得ab＝－3. 答案 A4.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，那么S n ＝a 21－a 22＋a 23－a 24＋…＋a 22n －1－a 22n 等于( ) A.13(2n －1) B.15(1－24n ) C.13(4n －1) D.13(1－2n ) 解析 在数列{a n }中，由a n ＋1＝2a n ，a 1＝1，得a n ＋1a n＝2， 所以{a n }是等比数列，所以a n ＝2n －1，那么S n ＝a 21－a 22＋a 23－a 24＋…＋a 22n －1－a 22n ＝1－4＋16－64＋…＋42n －2－42n －1＝1－〔－4〕2n1－〔－4〕＝15(1－42n )＝15(1－24n ). 答案 B5.(2020·湘赣十四校联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.〞其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( ) A.6里 B.12里 C.24里 D.96里解析 由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{a n }，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，那么q ＝12，依题意有a 1〔1－q 6〕1－q ＝378，解得a 1＝192，那么a 6＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝6，最后一天走了6里，应选A. 答案 A 二、填空题6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，那么a 13＋a 14a 14＋a 15＝________.解析 设数列{a n }的公比为q .由题意得a 1＋2a 2＝a 3， 那么a 1(1＋2q )＝a 1q 2，q 2－2q －1＝0，所以q ＝1＋2(舍负). 那么a 13＋a 14a 14＋a 15＝1q＝2－1.答案2－17.假设等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，那么a 2b 2＝________. 解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，那么a 2b 2＝22＝1. 答案 18.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，a 2a 4＝16，S 3＝28，那么当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________.解析 由数列{a n }是各项为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1q＋1＝28，所以1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－13舍去，故a n ＝a 3q n －3＝25－n，那么a 1a 2…a n ＝24×23×…×25－n ＝2〔9－n 〕n 2，所以当〔9－n 〕n2取得最大值时，a 1a 2…a n 取得最大值，此时整数n ＝4或5. 答案 4或5 三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.假设S m ＝63，求m . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)假设a n ＝(－2)n －1，那么S n ＝1－〔－2〕n3.由S m＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.假设a n＝2n－1，那么S n＝2n－1.由S m＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.10.(2020·某某省级名校联考)S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4.(1)证明：{S n－n＋2}为等比数列；(2)求数列{S n}的前n项和T n.(1)证明因为a n＝S n－S n－1(n≥2)，所以S n－2(S n－S n－1)＝n－4(n≥2)，那么S n＝2S n－1－n＋4(n≥2)，所以S n－n＋2＝2[S n－1－(n－1)＋2](n≥2)，又由题意知a1－2a1＝－3，所以a1＝3，那么S1－1＋2＝4，所以{S n－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列.(2)解由(1)知S n－n＋2＝2n＋1，所以S n＝2n＋1＋n－2，于是T n＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝4〔1－2n〕1－2＋n〔n＋1〕2－2n＝2n＋3＋n2－3n－82.B级能力提升11.(2020·东北三省四校联考)数列{a n}为正项等比数列，a2＝2，a3＝2a1，那么a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝( )A.(2＋2)[1－(2)n]B.(2＋2)[(2)n－1]C.2(2n－1)D.2(1－2n)解析由{a n}为正项等比数列，且a2＝2，a3＝2a1，可得a1＝1，公比q＝2，所以数列{a n a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，那么a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝2〔1－2n〕1－2＝2(2n－1).应选C.答案 C12.等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，那么使得T n >1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7解析 ∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6.答案 C13.(2020·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，那么λ＝______.解析 ∵数列{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25， ∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1〔1－q 4〕1－q ＋a 1〔1－q 12〕1－q ＝λa 1〔1－q 8〕1－q，∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)， 将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 8314.(开放题)(2020·某某模考)在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的k 存在，求k 的值；假设k 不存在，说明理由.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k >S k ＋1，且S k ＋1<S k ＋2?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 ∵等比数列{b n }中b 2＝3，b 5＝－81， ∴b n ＝－(－3)n －1，b 1＝－1，∴a 5＝b 1＝－1.假设S k >S k ＋1，那么只需S k >S k ＋a k ＋1， 即a k ＋1<0，同理，假设S k ＋1<S k ＋2， 那么只需S k ＋1<S k ＋1＋a k ＋2，即a k ＋2>0.假设选①：b 1＋b 3＝a 2时，a 2＝－1－9＝－10， ∴a n ＝3n －16.当k ＝4时，a 5<0，a 6>0，S k >S k ＋1，且S k ＋1<S k ＋2成立. 假设选②：a 4＝b 4＝27，∵a 5＝－1，∴{a n }为递减数列，故不存在a k ＋1<0，a k ＋2>0， 即不存在k ，使得S k >S k ＋1，且S k ＋1<S k ＋2成立. 假设选③：S 5＝－25，S 5＝5〔a 1＋a 5〕2＝5a 3＝－25，∴a 3＝－5.∴a n ＝2n －11.当k ＝4时，a 5<0，a 6>0，S k >S k ＋1，且S k ＋1<S k ＋2成立.C 级 创新猜想15.(新背景题)(2019·某某质检)某市利用第十六届省运会的契机，鼓励全民健身，从2018年7月起向全市投放A ，B 两种型号的健身器材.7月份投放A 型健身器材300台，B 型健身器材64台，计划从8月起，A 型健身器材每月的投放量均为a 台，B 型健身器材每月的投放量比上一月多50%，假设12月底该市A ，B 两种健身器材投放总量不少于2 000台，那么a 的最小值为( )A.243B.172C.122D.74 解析 将每个月的投放量列表如下：那么有64×(1.5＋1.52＋1.53＋1.54＋1.55)＋64＋300＋5a ≥2 000，解得a ≥74，所以a 的最小值为74，应选D. 答案 D。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第5章 5.3 等比数列及其前n项和
因为 q＜1，解得 q＝－1 或 q＝－2. 当 q＝－1 时，代入①得 a1＝2， － 通项公式 an＝2×(－1)n 1； 1 当 q＝－2 时，代入①得 a1＝2， 1 通项公式 an＝2×(－2)n－1.
点评：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式， 并能灵活运用．尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项 和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算 过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
高中数学
5．3 等比数列及其前n项和
考纲点击 1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用 有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，①____________等于同一个常 数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ② ______.公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 2．通项公式与前 n 项和公式． (1)通项公式：③__________，a1 为首项，q 为公比． (2)前 n 项和公式： 当 q＝1 时， ④__________； 当 q≠1 时， ⑤______________.
解析：由等比数列的性质知：a1· a19＝16＝a8· a12＝a2 10，∴ a10＝4，则 a8· a10· a12＝a3 10＝64，故选 B. 答案：B
1n 3． 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝3( ) ＋m(n∈N*)， 则 2 实数 m 的取值为( ) 3 A．－ B．－1 2 C．－3 D．一切实数n－1 Nhomakorabea1 －2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案学案30 等比数列及其前n项和导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理 1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________. 3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am•________ (n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________________． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列． (4)单调性：a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列． 5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝－－q＝－－1＝a1qnq－1－a1q－1. 6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测 1．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 ( ) A．3 B．1 C．0 D．－1 3．(2011•温州月考)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于 ( ) A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1) C.27(8n＋2－1) D.27(8n＋3－1) 4．(2011•湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于 ( ) A．8•32n B．8•23n C．8•32n－1 D．8•23n－1 5．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________. 探究点一等比数列的基本量运算例1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2•an－1＝128，Sn ＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2 (2011•岳阳月考)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*. (1)证明数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用例3 (2011•湛江月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.变式迁移3 (1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值； (2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例(12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn. ∵S2n＝6 560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分] 由题意得－－q＝80，－－q＝6 560. ②[4分] 将①整体代入②得80(1＋qn)＝6 560，∴qn＝81.[6分] 将qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，∴数列{an}为递增数列．[8分] ∴an＝a1qn－1＝a1q•qn＝81•a1q＝54. ∴a1q＝23.[10分] 与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1 (n∈N*)．[12分] 【突破思维障碍】 (1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q•qn (q>0且q≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和－－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用． 1．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn－1，Sn＝na1，q＝1，－－q，q≠1. 2．等比数列的判定方法： (1)定义法：即证明an＋1an＝q (q≠0，n∈N*) (q是与n值无关的常数)． (2)中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an•an＋2 (n∈N*且an•an＋1•an ＋2≠0)． 3．等比数列的性质： (1)an＝am•qn－m (n，m∈N*)； (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak•al＝am•an； (3)设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法． 5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列． (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010•辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于 ( ) A.152 B.314 C.334 D.172 2．(2010•浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于 ( ) A．－11 B．－8 C．5 D．11 3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于( ) A．33 B．72C．84 D．189 4．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 ( ) A．T10 B．T13 C．T17 D．T25 5．(2011•佛山模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于( ) A．－3 B．5 C．－31 D．33 题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分) 6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________． 7．(2011•平顶山月考)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________. 8．(2010•福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________. 三、解答题(共38分) 9．(12分)(2010•陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.10．(12分)(2011•廊坊模拟)已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5. (1)求证：数列{an－1}是等比数列； (2)求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．11．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010.答案自主梳理 1．公比q 2.a1•qn－1 4.(1)qn－m (2)ak•al＝am•an (4)递增递减常摆动 6.qn 自我检测 1．D 2.B3.B4.C5.－9 课堂活动区例1 解题导引(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解； (2)本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解方法一由已知得： a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①② ①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③ 代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100. 解得q2＝4或q2＝14. 又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12. 当q＝2时，可得a1＝12，∴an＝12×2n－1＝2n－2， Sn＝12(1－2n)1－2＝2n－1－12；当q＝12时，可得a1＝32. ∴an＝32×12n－1＝26－n. Sn＝321－12n1－12＝64－26－n. 方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，即(a3＋a5)2＝100，(a3－a5)2＝36. ∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8. 当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14. ∵q>0，∴q ＝12，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n. Sn ＝32－26－n×121－12＝64－26－n. 当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q>0，∴q＝2. 由a3＝a1q2，得a1＝24＝12. ∴an＝12×2n －1＝2n－2. Sn＝12(2n－1)2－1＝2n－1－12. 变式迁移1 解由题意得a2•an－1＝a1•an＝128，a1＋an＝66，解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64. 若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q＝126，解得q＝12，此时，an＝2＝64•12n－1，∴n＝6. 若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2. ∴an＝64＝2•2n －1.∴n＝6. 综上n＝6，q＝2或12. 例2 解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：①an＋1an＝q (q为与n值无关的常数)(n∈N*)．②a2n＋1＝anan＋2 (an≠0，n∈N*)． (2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法． (1)证明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)解由(1)得an＋1＝6•2n－1，所以an＝6•2n－1－1，于是Sn＝6•(1－2n)1－2－n＝6•2n－n－6. 变式迁移2 (1)解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8. (2)证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，① ∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq”，可以减少运算量，提高解题速度．解由已知得 1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5 ＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23 ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，即1q2＋1q＋1＋q＋q2 ＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4. 此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2. 变式迁移3 解(1)∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8. (2)a1a2a3a4＝a1•a1q•a1q2•a1q3＝a41q6＝1.① a13a14a15a16＝a1q12•a1q13•a1q14•a1q15 ＝a41•q54＝8.② ②÷①：a41•q54a41•q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40•a1q41•a1q42•a1q43 ＝a41•q166＝a41•q6•q160＝(a41•q6)•(q16)10 ＝1•210＝1 024. 课后练习区 1．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1. ∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0. 故q＝12或q＝－13(舍去)，∴a1＝1q2＝4. ∴S5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.] 2．A [由8a2＋a5＝0，得8a1q ＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1(1＋25)a1(1－22)＝－11.] 3．C [由题可设等比数列的公比为q，则3(1－q3)1－q＝21⇒1＋q＋q2＝7⇒q2＋q－6＝0 ⇒(q＋3)(q－2)＝0，根据题意可知q>0，故q＝2.所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.] 4．C [a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝(a1q8)3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．] 5．D [因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，即S6S3＝a1(1－q6)1－qa1(1－q3)1－q＝1＋q3＝182＝9，故q＝2，从而S10S5＝a1(1－q10)1－qa1(1－q5)1－q ＝1＋q5＝1＋25＝33.] 6．127 解析∵公比q4＝a5a1＝16，且q>0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127. 7.1207 解析∵S99＝30，即a1(299－1)＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a1(1－833)1－8 ＝4a1(299－1)7＝47×30＝1207. 8．4n－1 解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q ＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1. 9．解(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，....................................................................................(4分) 解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.............................................................(7分) (2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2 ＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………(12分) 10．(1)证明设log2(an－1)－log2(an－1－1)＝d (n≥2)，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2(a2－1)－log2(a1－1)＝log24－log22＝1，…………………………………………………………(3分) 所以log2(an－1)＝n，所以an－1＝2n，所以an－1an－1－1＝2 (n≥2)，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6分) (2)解由(1)可得an－1＝(a1－1)•2n－1，所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………(8分) 所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an ＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n ＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………(12分) 11．解(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．解得d＝2(d＝0舍)．……………………………………………………………………(2分) ∴an＝1＋(n－1)•2＝2n－1.………………………………………………………………(3分) 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3•3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………(6分) (2)由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an. 两式相减得：当n≥2时，cnbn＝an＋1－an ＝2.……………………………………………(9分) ∴cn＝2bn＝2•3n －1 (n≥2)．又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3. ∴cn＝3 (n ＝1)2•3n－1(n≥2).……………………………………………………………(11分) ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 010 ＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32 010)＝32 010.…………………………………………(14分)。