【名校推荐】上海市延安中学沪教版高二数学下册教学案11.1直线的方程
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程(3)教案
11.1直线的方程（3）教学目标：1、进一步巩固点方向式方程、点法向式方程运用的条件，熟练求解方程；灵活应用两种方程解决具体问题。
2、体会数形结合、转化等数学思想；感受向量工具在“数”与“形”中的桥梁作用。
3、培养探究与合作的精神。
教学重点：点方向式方程与点法向式方程的熟练运用。
教学难点：点方向式方程与点法向式方程的灵活运用。
教学媒体：PowerPoint、Geogebra教学环节教师活动学生活动设计意图概念梳理1、直线确定直线的条件？能够刻画直线方向的量有哪些？2、直线方程直线方程的两种形式？3、基础训练思考问题并回答同伴合作演示思考问题并回答回顾基本概念，为熟练求解直线方程打基础；感受形与数的紧密联系例题讲解1、分析并讲解例题，根据需要突出的重点难点作变式。
2、引导学生分析问题，问题转化，数形结合解决问题。
例题(1)已知三点(1,2)A、(4,1)B、(3,6)C，点M为AC的中点，求直线BM的方程.（变式）(2)已知ABC∆的三个顶点为(1,2)A、(4,1)B、(3,6)C，求AC的中垂线l的方程.(3)在ABC∆中，点(4,2)B、(2,8)C，oBAC∠=90向量3,2d=u r（）且du r与边AC平行，求ABC∆的两条直角边所在的直线方程.（变式）1、与老师合作，完成例题2、独立完成变式训练3、应用两种方程解决具体问题掌握点方向式方程、点法向式方程运用的条件熟练求解灵活应用课堂小结一个目标，两个方案，三个关系明确目标，熟练方法，感受细节理清思路，强调重点合作实践素材：正方形ABCD对角线AC与BD交于点E，(4,4)A、(10,2)B、（8,6）E同伴合作提出关于求直线方程的问题、求解问题展示分享培养学生合作探究的精神作业布置练习册11.1（B）课后复习、完成练习、小结巩固xyxyxy例题：(1)已知三点(1,2)A 、(4,1)B 、(3,6)C ，点M 为AC 的中点，求直线BM 的方程. （变式）(2)已知ABC ∆的三个顶点为(1,2)A 、(4,1)B 、(3,6)C ，求AC 的中垂线l 的方程.(3)在ABC ∆中，点(4,2)B 、(2,8)C ，oBAC ∠=90向量3,2d =u r（）且d u r 与边AC 平行，求ABC ∆的两条直角边所在的直线方程.（变式）实践：素材：正方形ABCD ，对角线AC 与BD 交于点E ，(4,4)A 、(10,2)B 、（8,6）E 问题：解答：。
沪教版高中数学高二第二学期11.1直线与方程复习 课件
沪教版高中数学高二第二学期11.1直 线与方 程复习 课件【精品】
练习5 证明A（1，3），B（5，7），C（10，12） 三点共线。
证明：
K AB
73 5 1
4 4
1
12 3 K AC 10 1 1
K AB K AC
A，B，C三点共线
沪教版高中数学高二第二学期11.1直 线与方 程复习 课件【精品】
y y
c1 c2
D a1 a2
b1 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
相交 D≠0时,方程组有唯一解
平行
X=Dx/D y=Dy/D D=0,Dx≠0或Dy≠0时方程组无解
重合 D=0,Dx=Dy=0时方程组有无数解
2、直线的平行
l1 : a1x b1 y c1 0 l2 : a2 x b2 y c2 0
3、任何一条直线都有倾斜角直线的倾斜角决
定直线的方向。
4、已知倾斜角α，如何求直线斜率κ
k
tan ,
2
不存在， ,
2
5、已知直线斜率κ，如何求倾斜角α
arctank,k 0 arctan| k |,k 0
6、函数 k tan, [0, )的图象
k
(0, )时k 0 2
y y0 k(x x0 )
6、直线的截距式方程
x y 1 ab
二、直线的倾斜角、斜率
1、定义：①当直线l与x轴相交与M，我们将x轴 绕着交点M按逆时针方向旋转到与l重合时所旋转 的最小正角α叫做直线的倾斜角 。
②当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的 倾斜角 α=0
2、范围： 0≤α＜π。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程 教案
直线的点法向式方程教学目标：1、掌握直线的点法向式方程2、通过直线点法向式方程的推导，体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系，并体会解析几何的基本思想3、培养学生的自主探索研究能力.教学重点：直线的点法向式方程教学难点：选择恰当的形式求解直线方程教学方法：教师启发引导，学生主动探索教学过程：一、复习引入上节课我们学习了直线方程及直线的点方向式方程，首先我们一起回顾一下：（1） 若给出方程y ＝x －1 问：①点（2,1），（3,2）是否在直线l 上？②如何判断点P 是否在直线l 上？（①l 上任意点的坐标满足方程y ＝x －1②以方程y ＝x －1的任意解为坐标的点都在直线l 上）我们就称方程y ＝x －1是直线l 的方程，直线l 是方程y ＝x －1的图形（2） 复习点方向式方程直线的方向，与直线平行的向量有无数个，所以方向向量不唯一，则直线的点方向式方程显然也不唯一问：若过已知点与某一非零向量垂直的直线是否唯一确定呢？今天我们就来学习根据上述条件求出直线l 的方程。
（写出课题）二、概念形成 设P 00(,)x y ，非零向量(,)n a b =r ，Q (,)x y 为直线l 上任意一点则=PQ ),(O O y y x x -- ∵PQ n ⊥u u u r r ∴0=⋅ 即00()()0a x x b y y -+-=①∴直线l 上的任一点都满足方程①反之，若11(,)x y 为方程①的解，即1010()()0a x x b y y -+-=，则1Q 11(,)x y 符合1PQ n ⊥u u u u r r ，即1Q 在直线l 上.根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.定义：与直线l 垂直的非零向量n r 叫做直线l 的法向量.向量(,)n a b =是直线l 的一个法向量三、概念辨析 例1：求过点P(3，－5)，且垂直于)2,1(=的直线l 的点法向式方程。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-直线的点方向式方程 学案
直线的点方向式方程学习目标1. 理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式、点法向式方程的推导及相应形式；2. 培养学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力；3. 培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。
课前导学【材料阅读】1、观看微视频_________________，网址：__________________2、阅读课本第5页（11.1直线的方程）开始到例1之前；第7页开始到例3之前；【自我感知】 1、设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则//a b ⇔r r _____________；a b ⊥⇔r r ____________。
2、在平面直角坐标系中，过一个定点P ，作一条直线，这样的直线是否唯一？能否在此基础上如何才能确定一条直线，并且是唯一存在的（添加条件） （1）过定点P ，并且平行于某条直线（与一个已知非零向量(,)d u v =u r 平行）；（2）过定点P ，再过一点Q （过两点）；（3）过定点P ，并且垂直于某条直线（与一个已知非零向量(,)n a b =r 垂直）。
课堂交流【承旧启新】我们知道，如果在平面上作一条直线l ，使它通过某个已知点P ，且与已知的非零向量d u r 平行，那么这样的直线l 是唯一确定的。
在直角坐标平面上，已知非零向量(,)d u v =u r ，设点P 的坐标为00(,)x y ，经过点P 且与向量d u r 平行的直线为l ，因为直线l 平行于向量d u r ，所以对直线l 上任意点Q ，都有//PQ d u u u r u r 。
设点(,)Q x y 为直线l 上任意一点，易得向量00(,)PQ x x y y --→=--，由//PQ d u u u r u r 的充要条件得到：→→--d PQ //⇔00()()v x x u y y -=- ① 思考：直线l 上所有点的坐标(,)x y 是否都满足方程①？反之，如果11(,)x y 是方程①的任何一组解，即1010()()v x x u y y -=-，那么把00(,)P x y 作为起点，把坐标为11(,)x y 的点1Q 作为终点的向量1PQ u u u u r 与d u r 平行，即点1Q 在直线l 上。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程 教案
点方向式方程 P(xO,yO), 方向向量 d = (u, v) (uv≠0)
x − xO = y − yO
u
v
(uv≠0)
d = (u,v) ( 0 )
点法向式方程 P(xO,yO), 法向量 n = (a, b)
a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 n = (a,b) ( 0 )
合 PQ1 ⊥ n ，即 Q1 在直线 l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线 l 的方程，直线 l 是方程①的直线.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
定义：与直线 l 垂直的非零向量 n 叫做直线 l 的法向量. 方程 a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 叫做直线 l 的点法向式方程，
②能否根据已知法向量找出直线的一个方向向量？
一般的，若 n = (a,b) ，则 d = (b,−a) ③请写出以上直线的点方向式方程 小结：（1）求点方向式与点法向式方程必须满足两个条件：已知点与方向
（2）方向（法）向量不唯一，则直线的方程不唯一 （3）适用范围
已知条件
直线 l 的方 程
方向(法)向 量
四、概念运用和深化 例 2：已知点 A（1,6）、B（－1，－2）和点 C（6,3）是三角形的三个顶点，求： （1） BC 边所在直线的方程 （2） BC 边上的高 AD 所在直线的方程 （3） BC 边的垂直平分线的点法向式方程 小结：灵活使用方程的不同形式
练习：已知在△ABC 中，∠BAC＝90°，点 B、C 的坐标为(4.2), (2,8)，d = (3,2)
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向量 n = (a,b) 是直线 l 的一个法向量 三、概念辨析
上海市延安中学沪教版高二下册复习教学案 第11章 坐标平面上的直线
第十一章 坐标平面上的直线复习学习要点：一、直线的方程1． 假如直线l 经过点00(,)P x y ，方向向量为(,)d u v =且0,0u v ≠≠，那么直线l 的点方向式 方程为00x x y y u v--=．特殊地，当0u =时的直线方程为00x x -=；当0v =时直线的方程为00y y -=． 假如直线l 经过点00(,)P x y ，法向量为(,)n a b =，那么直线l 的点法向式方程为00()()0a x x b y y -+-=． 直线的一般式方程为0ax by c ++=，其中(,)n a b =可以是直线的一个法向量，而向量(,)b a -可以是直线的一个方向向量．2． 设α为直线l 的倾斜角，当2πα≠时，tan k α=是直线的斜率； 当2πα=时，直线l 的斜率不存在．若直线l 的方向向量为(,)d u v =，当0u ≠时，vk u=；当0u =时，k 不存在． 若直线l 的斜率为k ，则它的一个方向向量可以为(1,)d k =．若直线l 的倾斜角为α，则它的一个方向向量可以是(cos ,sin )d αα=．若直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的点斜式方程为00()y y k x x -=-． 二、两条直线的位置关系1． 设直线1l 的方程为1110a x b y c ++=，直线2l 的方程为2220a x b y c ++=，1122a b D a b =， 1122x c b D c b -=-，1122y a c D a c -=-．若0D ≠，则直线1l 与2l 的交点坐标为(,)y x DD D D； 若0D =且x D 和y D 至少有一个不为零，则直线1l 与2l 平行； 若0x y D D D ===，则直线1l 与2l 重合．2． 设直线1l 的方程为110a x b y c ++=，直线2l 的方程为2220a x b y c ++=，且两条直线的夹角为α，则cos α=特殊地，两条直线1l ，2l 垂直的充要条件是12120a a b b +=． 三、点到直线距离1． 直线l ：0ax by c ++=外一点00(,)P x y 到直线l距离为d =．例题选讲：1． 若直线l 过点(0,2)P ，它的一个方向向量为(1,1)，则直线l 的方程是 ． 2． 若直线l 过点(3,1)，且l 的法向量(1,3)n =，则直线l 的方程是 ． 3． 假如直线cos 20()x y θθ+-=∈R 的倾斜角为α，那么α的取值范围是 ．4． 若直线1l ：1120a x b y ++=（实数11,a b 不同时为0）与直线2l ：2220a x b y ++=（实数22,a b 不同时为0）的交点为(1,2)，则经过11(,)P a b 、22(,)Q a b 两点的直线的 方程为．5． 已知直线40x ay --=与直线24y x =-+的夹角θ=， 求实数a 的值．6． 已知直线直线l 经过点(5,10)，且它与原点的距离为5，求直线l 的方程．7． 已知直线0(0)x ay a -=≥，求这条直线l 的倾斜角．8．是否存在实数m ，使直线1:(3)553l m x y m ++=-与直线2:2(6)8l x m y ++= 分别相交、平行、重合、垂直？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．9．已知ABC 的AB 、AC 边上的高所在直线的方程分别为2310x y -+=和0x y +=， 点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．10．已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，且点(2,3)A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．11．已知直线21:10l x a y ++=的方向向量与直线22:(1)30l a x by +-+=的法向量平行，且0a b ⋅≠，求ab 的最小值．12．求证：三条互不平行的直线1111:0l a x b y c ++=，直线2222:0l a x b y c ++=，直线3333:0l a x b y c ++=共点的充要条件是1112223330a b c a b c a b c =．13．求直线1:3260l x y --=关于直线:2310l x y -+=对称的直线2l 的方程．14．已知两条平行直线分别过点(2,2)P --、(1,3)Q ，当这两条直线之间的距离最大时，求它们的方程．。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式 教案
直线的方程——点方向式教学目标：理解直线的方向向量d u r的概念，知道(,0)d R λλλ∈≠u r 也是直线的方向向量；能根据直线上的一个点和它的一个方向向量，或两个不同的点求出直线的点方向式方程； 理解直线方程的解的集合与直线上点的集合之间的关系；通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量来推导过程，并明确向量的几何意义。
重点难点：重点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
难点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
教学过程：引入：初中平面几何里，我们定性地研究了直线的平行、垂直或直线相交所成角是否相等。
现在，我们将进一步用定量的方法来研究直线。
一次函数y kx b =+可以写成0kx y b -+=，我们将看到直线与一般的二元一次方程的对应关系。
由于方程的解是可以计算的，所以，我们能用定量的方法来研究直线了。
新课：一、直线的方程的推导已知平面上一条直线l ，过已知点P ，且与已知的非零向量d u r （0d ≠u r r）平行。
易知，这样的直线l 是唯一确定的。
问题：直线l 上的点的坐标之间有什么关系。
★直线与非零向量平行（垂直）是指直线与非零向量所在的直线平行或重合（垂直）。
直线l 平行于向量d u r ，所以，对直线上的任意点Q ，都有//PQ d u u u r u r 。
在直角坐标系中，设00(,)P x y ， (,)d u v =u r，()Q x y ，，可得：00()PQ x x y y =--u u u r，//PQ d ∴u u u r u r⇔00()()v x x u y y -=-……①（000x x y y u v--⇔=）反之，如果111()Q x y ，是方程①的任意一组解，即1010()()v x x u y y -=-，那么以00()P x y ，为起点，111()Q x y ，为终点的向量1PQ u u u u r与向量d u r 平行，即点1Q 在直线l 上。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线方程的其它形式(2)教案
直线方程的其它形式（2）教学目标1．理解点斜式、截距式和一般式的基本含义，并进一步掌握它们的具体意义联系与区别；2．会用待定系数法求直线方程，学会直线的方程综合运用。
教学过程一、 复习与引入1．复习：默写直线的斜截式方程、点斜式方程、截距式方程、两点式方程、法线式方程；2．引入：请你说出以上的直线方程是关于y x ,的几次方程？揭示：关于y x ,的一次方程一定表示直线吗？直线的方程一定是关于y x ,的一次方程吗？说明：关于y x ,的一次方程一定表示直线（见教材14页，略）；直线的方程一定是一次方程；（略）二、新课设计1．直线的一般式方程：0=++C By Ax （B A ,不全为零）说明：（1）分类讨论；（2）为什么B A ,不全为零；（3）强调一般式的规范写法（最简）。
2．应用举例例1：已知原点到直线l 的距离为r ，且直线l 两坐标轴在第一象限交成的三角形的面积为3322r ，求直线l 的一般式方程。
说明：（1）两解023=-+r y x 或023=-+r y x ；（2）注意截距式、法线式的应用；（3）最后化为一般式。
例2：求被两直线0103=+-y x 及082=-+y x 所截得的线段平分于点)1,0(P 的直线方程。
说明：（1）044=-+y x ；（2）设所求直线为1+=kx y 时要注意讨论直线0=x ；（3）分析两交点的表达式；（4）利用平行四边形亦可例3：直线l 过点)2,1(P ，且与x 轴、y 轴正方向于A 、B 两点，若OB OA +最小，求出直线l 的方程。
解法1：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，12-=a a b ，那么 =+b a 322212+≥+-+a a ,当且仅当21+=a 时最小。
此时22+=b 直线的方程为12221=+++y x 解法2：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+ba ， 223221)21)((+≥⋅+++=++=+ba ab b a b a b a ，（下略）； 解法3：设所求的直线方程为)1(2-=-x k y （0<k ），令0=y 得，kx 21-=，令0=x 得，k y -=2，于是223)2(3+≥--+=+kk y x ，（下略）；解法4：设所求的直线的倾斜角为α，于是)(1απ-+=tg OA ，)(2απ-+=ctg OB ， 223)()(3+≥-+-+=+απαπctg tg OB OA ，（下略）解法5：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，设θ2sin 1=a ，θ2cos 2=b， 那么θθθθθθ22222223sec 2csc cos 2sin 1ctg tg b a ++=+=+=+（下略） 解法6；设所求的直线方程为1=+b y a x ，121=+ba ，于是2)2)(1(=--b a 那么223)2)(1(23)2()1(3+=--+≥-+-+=+b a b a b a （下略） 说明：（1）直线l 满足两个条件，一是过点)2,1(N ，二是OB OA +最小；（2）以上的六种解法，都是在确定OB OA +何时最小上的不同技巧；直线的方程设为截距式、点斜式，也可以设为斜截式等；（3）问题探索：若将OB OA +最小改为||||PB PA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程；（4）问题探索：若将OB OA +最小改为||||OB OA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程。
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第11章 坐标平面上的直线
11.1直线的方程（1）——直线的点方向式方程
【教学目标】
1．理解直线的方程和方程的直线(图形)的概念；
2．理解直线方程的方向向量的概念；
3．掌握直线的点方向式方程．
【教学重点难点】 直线的点方向式方程的建立
【教学过程】
一、基础知识：
1．直线的方程：对于直线l 和方程(,)0f x y =．如果满足：①直线上的点的坐标都满足这个
方程；②以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上．则称这个方程为直线l 的方程；这条直线就叫做这个方程的图形．
2． 直线的方向向量：与直线l 平行的(非零)向量称为直线l 的方向向量；
3． 直线由一点及其方向向量唯一确定；
4． 直线l 的点方向式方程：00x x y y u v
--=．特别地，0u =时，0x x =；0v =时，0y y =．((,)d u v =是直线l 的方向向量；00(,)x y 为直线l 上的一定点．)
二、举例：
例1．已知点(4,6),(3,1)A B --和(4,5)C -，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式
方程．
例2．求经过点(3,1)A -和(4,2)B -的直线l 的点方向式方程．
例3．已知直线l 过点(,)P a b ，它的方向向量(cos ,sin )d θθ=，试问直线l 能否用点方向式
方程表示？如能写出它的点方向式方程；如不能，说明理由．
例4．已知ABC ∆三顶点为(1,1)A ，(5,3)B ，(4,5)C ．（1）求AC 边上的中线所在直线
的点方向式方程；*(2)写出一个与BC 垂直的向量坐标；*
(3)求BC 边上的高所在直线的点方向式方程．
11.1直线的方程（2）——直线的点法向式方程
【教学目标】
1．理解直线的法向量的概念；
2．推导并掌握直线的点法向式方程．
【教学重点难点】 直线的点法向式方程的建立
【教学过程】
一、基本知识：
1．法向量：我们把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量；
2．经过已知点与已知非零向量垂直的直线是惟一确定的；
3．已知直线l 经过点00(,)P x y ，(,)n a b =为其一条法向量．则其法向式方程为：00()()0a x x b y y -+-=
二、举例：
例1．已知点(1,2)A -和点(3,4)B ，求AB 垂直平分线l 的点法向式方程．
例2．已知点(1,6)A ，(1,2)B --，和点(6,3)C 是ABC ∆的三个顶
点，求：（1）BC 边所在的直线方程；
（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程．
例3． 原点在直线l 上的射影为(1,2)N -，求l 的方程．
例4． 已知(2,3)A 、(6,6)B 是正方形ABCD 的两个顶点，试求正方形四边所在直线方程．
11.1直线的方程（3）——直线的一般式方程
【教学目标】
1．会求直线的一般式方程，理解直线一般式方程中子母系数的几何意义；
2．掌握直线的一般式方程，能进行直线方程的不同形式的相互转化．
【教学重点难点】 直线的一般式方程
【教学过程】
一、基础知识：
方程220(0)ax by c a b ++=+≠称为直线方程的一般式；
1．(,)n a b =必为其法向量；
2．直线方程都可以写成这种形式；这种形式的方程必表示直线．
二、举例：
例1．（P 61例6）已知直线l 经过点(1,2)P ，且垂直于直线0:350l x y --=，求直线l 的方
程．
例2．（P 61例7）已知直线:2360l x y +-=，求直线l 的点法向式方程和点方向式方程．
例3．将直线3460x y ++=绕其与x 轴交点A 逆时针方向旋转90︒后得到直线l ，
求l 的方程．
例4．直线3250x y ++=的一个法向量为(,2),a a -求a 的值．
例5．直线22(23)()41m m x m m y m +-+-=-与直线325x y +=垂直，求实数m 的值．。