八年级上数学《第一章》检测卷和答案

第一章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项)1．下列各组数，能构成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．12，16，20C．5，10，13 D．8，39，402．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝，AC＝，则AB的长为( )A． B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，有一块边长为24米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是( )A．3米 B．4米 C．5米 D．6米4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积为( )A．96 B．120 C．160 D．2005．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为( )A．12cm cm cm cm6．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，……，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( )A．2 B．4 C．8 D．16二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，则AB＝________．8．如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________m.9．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADB的度数是________．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB 于点D，则BD＝__________．11．如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________．12．在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求：(1)AO，FO的长；(2)图中半圆的面积．14．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多远？15．已知一个直角三角形的周长是12cm，两直角边长的和为7cm，则此三角形的面积是多少？16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16cm，正方形BCEF的面积为144cm2，BD⊥AC于点D，求BD的长．17．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)在图②中画出一个面积为10的正方形．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B.已知AD＝15km，BC＝10km，现要在铁路AB旁建一个货运站E(A，E，B在同一条直线上)，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多少千米处？19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD 中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°，连接AC.(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？20．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．22．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；(3)图乙中①②面积之和为__________；(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？六、(本大题共12分)23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2＋b2＞c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.在Rt△ADC 中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.所以小明的猜想是正确的．(1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC边上的高)；(2)证明你猜想的结论是否正确．参考答案与解析1．B6．B 解析：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16……第n个正方形的面积是642n－1，∴正方形⑤的面积是6424＝4.故选B.7．15 °≤h≤4cm12．32或42 解析：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，∴AD2＝AC2－CD2，即AD＝9，BD2＝BC2－CD2，即BD＝5.如图①，CD在△ABC内部时，AB＝AD＋BD＝9＋5＝14，此时，△ABC的周长为14＋13＋15＝42；如图②，CD在△ABC外部时，AB＝AD－BD＝9－5＝4，此时，△ABC的周长为4＋13＋15＝32.综上所述，△ABC的周长为32或42.13．解：(1)∵在Rt△ABO 中，∠B ＝90°，BO ＝3cm ，AB ＝4cm ，∴AO 2＝BO 2＋AB 2＝25，∴AO ＝5cm.(1分)在Rt△AFO 中，由勾股定理得FO 2＝AO 2＋AF 2＝132，∴FO ＝13cm.(3分) (2)图中半圆的面积为12π×⎝⎛⎭⎫FO 22＝12π×1694＝169π8(cm 2)．(6分) 14．解：作出图形，因为东北和东南方向的夹角为90°，所以△ABC 为直角三角形．(2分)在Rt△ABC 中，AC ＝16×＝8(km)，BC ＝30×＝15(km)，则AB 2＝AC 2＋BC 2＝172，解得AB ＝17km.(5分)答：它们离开港口半小时后相距17km.(6分)15．解：设两条直角边长分别为a cm ，b cm ，斜边长为c cm.由题意可知a ＋b ＋c ＝12①，a ＋b ＝7②，a 2＋b 2＝c 2③，(2分)∴c ＝12－(a ＋b )＝5，(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝49，2ab ＝49－25＝24，∴ab ＝12，(4分)∴S ＝12ab ＝12×12＝6(cm 2)．(6分) 16．解：∵正方形BCEF 的面积为144cm 2，∴BC ＝12cm.∵∠ABC ＝90°，AB ＝16cm ，∴AC ＝20cm.(3分)∵BD ⊥AC ，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12BD ·AC ，∴BD ＝485cm.(6分) 17．解：(1)如图①，连接AC ，由勾股定理，得AB 2＝32＋22＝13，BC 2＝42＋62＝52，AC 2＝12＋82＝65，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC .(3分)(2)∵面积为10的正方形可以表示为32＋12＝10，∴四边形ABCD 即为所求，如图②所示．(6分)18．解：设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x )km.(2分)根据题意列方程，得152＋x 2＝(25－x )2＋102，解得x ＝10.(7分)故E 站应建立在离A 地10km 处．(8分)19．解：(1)在Rt△ABC 中，∵AB ＝3m ，BC ＝4m ，∠B ＝90°，AB 2＋CB 2＝AC 2，∴AC ＝5m.(2分)在△ACD中，AC ＝5m ，CD ＝12m ，DA ＝13m ，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°.(4分)(2)∵S △ABC ＝12×3×4＝6(m 2)，S △ACD ＝12×5×12＝30(m 2)，∴S 四边形ABCD ＝6＋30＝36(m 2)，(6分)费用为36×100＝3600(元)．故铺满这块空地共需花费3600元．(8分)20．解：(1)如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 交BC 于点Q ，连接AQ ，蚂蚁沿着A →Q →G 的路线爬行时，路程最短．(5分)(2)∵在Rt△A ′EG 中，A ′E ＝2AB －AE ＝80cm ，EG ＝60cm ，∴由勾股定理得A ′G ＝100cm ，(7分)∴最短路线长为AQ ＋QG ＝A ′Q ＋QG ＝100cm.(8分)21．解：(1)∵在Rt△ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝102－62＝64，∴BC ＝8cm.(2分)(2)由题意知BP ＝2t cm ，分两种情况进行讨论：①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，如图①，BP ＝BC ＝8cm ，即t ＝4；(4分)②当∠BAP 为直角时，如图②，BP ＝2t cm ，CP ＝(2t －8)cm ，AC ＝6cm.在Rt△ACP 中，AP 2＝62＋(2t －8)2，在Rt△BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，(6分)∴102＋[62＋(2t －8)2]＝(2t )2，解得t ＝254.故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.(9分) 22．解：(1)a b c c (2分) (2)a 2b 2c 2(4分) (3)a 2＋b 2(5分)(4)由图乙和图丙可知大正方形的边长为a ＋b ，则面积为(a ＋b )2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a 的正方形，边长为b 的正方形，还有两个长为a 、宽为b 的长方形，(7分)根据面积相等得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，由图丙可得(a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .所以a 2＋b 2＝c 2.(9分) 23．(1)解：当△ABC 为钝角三角形时，a 2＋b 2与c 2的大小关系为a 2＋b 2＜c 2.(3分)(2)证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(5分)设CD ＝x .在Rt△ADC 中，AD 2＝b 2－x 2，在Rt△ADB 中，AD 2＝c 2－(a ＋x )2，∴a 2＋b 2＝c 2－2ax .(8分)∵a ＞0，x ＞0，∴2ax ＞0，∴a 2＋b 2＜c 2，∴当△ABC 为钝角三角形时，a 2＋b 2＜c 2.(12分)。