最新2019高中数学 课时分层作业9 椭圆的标准方程及性质的应用 新人教A版选修2-1
椭圆及其标准方程+学案- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【学习目标】1.能通过实际绘制椭圆的过程,认识椭圆上点的几何特征，给出椭圆的定义；2.能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件推导出椭圆的标准方程；3.会求给定条件的椭圆方程.【学习重点】椭圆的标准方程的推导及求解【学习难点】椭圆的标准方程的推导【学习过程】【活动1】探究:椭圆的定义实验材料：两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，一把直尺.方法步骤：1.细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2；2.套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖；3.画出轨迹，测量并记录绳子的长度以及F1，F2两定点间的距离.讨论：问题1：画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足什么条件？问题2：如果改变F1，F2两点间的距离，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？问题3：你能类比圆的定义用精确的数学语言给出椭圆、焦点、焦距的定义吗？<学以致用1>（1）若两定点A、B间的距离为6，动点M到A、B的距离之和为10，则动点M的轨迹是_________;（2）若两定点A、B间的距离为10，动点P到A、B的距离之和为10，动点P的轨迹是_________;（3）若两定点A、B间的距离为6，动点Q到A、B的距离之和为4，动点Q的轨迹是_________.【活动2】推导椭圆的标准方程．问题4：类比利用圆的标准方程的建立过程，你能根据椭圆的几何特征选择适当的坐标系，求出它的方程吗？提示(1)建系：如图所示，以F1F2所在直线x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点；(3)列式；(4)化简；(5)得出椭圆的标准方程.问题5：椭圆方程中参数a，b，c之间的关系是什么？几何意义分别是什么？问题6：椭圆的标准方程是如何定义的？(焦点在x轴上？焦点在y轴上？)<合作学习1>围绕问题4，小组研讨，展示评析：建立椭圆的标准方程步骤与关键点．<学以致用2>写出下列椭圆的a,b,c 及焦点坐标: （1）x 25+y 23=1 （2）x 29+y 225=1<合作学习2>围绕练习运用2，小组研讨，展示评析：如何判断椭圆焦点在哪个轴上【活动3】求椭圆的标准方程 <学以致用3>椭圆的两个焦点坐标分别是)0,2(),0,2(-，并且经过点)23,25(-，求它的标准方程．<合作学习3> 围绕练习运用2，独立思考后，同桌交流，展示评析：确立椭圆的标准方程的方法．【活动4】求与椭圆有关的轨迹问题<典例分析4>在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？<学以致用4>1.若把上题中的“求线段PD 的中点M 的轨迹是什么？”改为“求线段PD 的三等分点M （靠近点P ）的轨迹是什么？”结果会是怎样？2.如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32.当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.yxMOBA<典例分析5>如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．<合作学习>针对例题，围绕以下问题，进行小组研讨：1.一个动点与两个定点的连线的斜率之积是-1，则动点的轨迹是什么？2.一个动点与两个定点的连线的斜率之积是不为-1的负常数，则动点的轨迹是什么？(椭圆的第三定义)<学以致用5>设A，B的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率的商是2，求点M的轨迹方程．二、课后作业：1．动点P 到两定点)0,4(),0,4(21F F -的距离之和是8，则动点P 的轨迹是（ ） A 、椭圆 B 、线段21F F C 、直线21F F D 、不确定2.命题甲:动点P 到两定点A,B 的距离和a PB PA 2=+(a a 且,0>为常数). 命题乙:动点P 的轨迹是椭圆.则甲是乙的( ) A 、充分不必要条件 B 、 必要不充分C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3.“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若方程3x 2＋ky 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的可能取值为( ) A.1 B.3 C.0 D.－25.已知椭圆x 29＋y 25＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( )A.1B.4C.3D.25－26.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( )A.(0，π4]B.(π4，π2)C.(0，π4)D.[π4，π2)7.设B (－4，0)，C (4，0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 216＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)8.已知圆122=+y x ，从这个圆的任意一点P 向y 轴作垂线'PP ，则线段'PP 的中点M 的轨迹方程（ ）A. 1422=+y xB. 1422=+y xC. 1422=+y xD. 1422=+x y9.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10.若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________.11.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(0,-4),(0,4),a =5； (2)a+c=10，a -c=4.12.求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.13.已知P 是椭圆14522=+y x 上的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标.14.设A ，B 的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率的商是2，求点M 的轨迹方程．15.如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32.当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.。
2019高中数学 课时分层作业9 椭圆的标准方程及性质的应用 新人教A版选修2-1
课时分层作业(九) 椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43，B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )【导学号：46342083】A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3,0)D ．(1,3)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.]3．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32A [设椭圆的右焦点为F 2，则原点O 是线段F 1F 2的中点，从而OM 綊12PF 2，则PF 2⊥F 1F 2，由题意知F 2(3,0)，由912＋y 23＝1得y 2＝34解得y ＝±32，从而M 的纵坐标为±34.] 4．椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是( ) A.22 B.233 C ．922 D.2327A [联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝nm ＋n，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝mm ＋n.∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A.] 5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( )A. 2 B ．2 C ． 3D ．3A [设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1， ∴右焦点F (1,0)．由FA →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|A F →|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2.] 二、填空题6．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________.【导学号：46342084】13[结合条件利用椭圆的性质建立关于a ，b ，c 的方程求解． 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 由PF ⊥x 轴得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 设E (0，m )，又PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a. ①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a. ②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.]7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．53[由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．6 [由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝－2时，OP →·FP →取得最大值6.] 三、解答题9．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.【导学号：46342085】[解] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. ∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5.∵－52≤m ≤52，∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k2， 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k21＋2k 2， 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.[能力提升练]1．设F 1，F 2为椭圆x24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，则PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2D [由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.故选D.]2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )【导学号：46342086】A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 D [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a 2＝18，故选D.]3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．823[设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.∴|F 1A |＋|F 1B |＝4a －|AB | ＝42－423＝823.]4．已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有________．(填上直线的代号)①y ＝3x －2；②y ＝3x ＋1；③y ＝－3x －2；④y ＝－3x ＋2；⑤y ＝－3x .①③④ [椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y ＝3x ＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y ＝3x ＋2关于原点对称的直线为y ＝3x －2，关于x 轴对称的直线为y ＝－3x －2，关于y 轴对称的直线为y ＝－3x ＋2，故应填①③④.]5．如图228，已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .图228(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且|AF 2|＝2|F 2B |，求椭圆的方程.【导学号：46342087】[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c ， 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由|AF 2|＝2|F 2B |，得AF 2→＝2F 2B →，即(1，－b )＝2(x －1，y )， 解得x ＝32，y ＝－b2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，所以b 2＝2， 故椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。
高中数学课时提升作业九2.1.1椭圆及其标准方程含解析新人教A版选修1
课时提升作业九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【解析】选 D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O 为坐标原点,那么线段ON的长是( )A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为△MEF的中位线,所以|ON|=|ME|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即= c.①又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,②联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选 C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是. 【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|·|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2= .【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(x P,y P),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以x P=x,且y P=y. 因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.m<2B.1<m<2C.m<-1或1<m<2D.m<-1或1<m<【解析】选D.由题意得即所以1<m<或m<-1.2.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=.所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以△PF1F2是直角三角形,所以=·|F1F2|·|PF2|=.答案:4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=【解题指南】设出A点的坐标,利用=3求出A点坐标,即可求出||的大小.【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),所以||==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程.(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆标准方程为+=1.(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=,|PF2|=,|F1F2|=2,cos∠F1PF2==.6.(2016·连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得x0=,y0=-.又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,C异于B点,故λ=1舍去.所以λ=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.。
19-20人教A版数学选修1-1(导学案课时分层作业)：第2章 2.1 2.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1. 2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．思考： (2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 23＝1有怎样的位置关系？ [提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则下列说法正确的是( ) A ．点(－2,3)在椭圆外 B ．点(3,2)在椭圆上 C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上D [由题意可知4m 2＋9n 2＝1，∴点(2，－3)在椭圆上，故选D.] 2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]3．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝54[(x1＋x2)2－4x1x2]＝54(4＋24)＝35.]【例1】对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x4＋y2＝1的位置关系．[思路点拨]联立两个方程―→消去y得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离.提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.1．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63B ．－63 C ．±63 D ．±33C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0，解得k ＝±63.]2．直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P (1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m ≤1，即m ≥54，又0<m <5，故m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5.]【例2】 过椭圆x 16＋y 4＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．[思路点拨] (1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解． [解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解之得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成的方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，①②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.3．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为________．x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.]4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2a 2＝12，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y 224＝1， ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)8＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)8(y 1＋y 2)＝－12·x M y M . 又k OM ＝y M x M，∴k AB ·k OM ＝－12.∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？提示：直线x ＝ky ＋1表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0.2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ 提示：(1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝12|AB |， (2)OA →·OB →＝0.【例3】 如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．[思路点拨] (1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d <r ，则点G 在圆内．法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →<0，则点G 在圆内．[解] (1)由已知得， ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝m m 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外．法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.5．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．[解] (1)由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，代入方程x 2b 2＋3＋y 2b 2＝1，又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，得1b 2＋3＋34b 2＝1，解得b 2＝1，∴a 2＝4. ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2,0)， y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，y 1＋y 2＝12k5(k 2＋4)， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0， 即可得∠MAN ＝π2. ∴∠MAN 的大小为定值π2.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．判断正误(1)若点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，则有x 204＋y 23<1.( ) (2)直线y ＝x 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)不一定相交． ( ) (3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆x 29＋y 216＝1相切． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．相切或相交C [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0x 24＋y 2＝1，得5x 2－24x ＋32＝0，Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， 因此直线与椭圆相离．]3．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.553 [因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1,0)，且斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(1＋22)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.] 4．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．[解] 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为x 1＋x 22＝12，所以6b 2a 2＋9b 2＝12.所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.课时分层作业(八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43， B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(－3,0) D ．(1,3)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点， 则⎩⎨⎧3＋m ≠0，Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0， 解得⎩⎨⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.]3．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34A [设椭圆的右焦点为F 2，则原点O 是线段F 1F 2的中点，从而OM 綊12PF 2，则PF 2⊥F 1F 2，由题意知F 2(3,0)，由912＋y 23＝1得y 2＝34，解得y ＝±32，从而M 的纵坐标为±34.]4．椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是( )A.22B.233C.922D.2327A [联立方程组⎩⎨⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1， 得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝nm ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝mm ＋n .∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A.]5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3F B →，则|A F →|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3 A [设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1,0)．由F A →＝3F B →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1， 解得n 2＝1，∴|A F →|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2.]二、填空题6．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 27 [设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋3y ＋4＝0，得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0.由Δ＝0可得，192b 4－4(a 2＋3b 2)(16b 2－a 2b 2)＝0，又b 2＝a 2－4，∴a 2＝7，即2a ＝27，即长轴长为27.]7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．53 [由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．6 [由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.]三、解答题9．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[解] (1)联立方程组⎩⎨⎧ 4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得： 5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0，∴－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52，∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2， 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2， 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2， 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.[能力提升练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1D [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a 2＝18，故选D.]2．经过椭圆x 2＋2y 2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM →·ON →等于( )A ．－3B ．±13C ．－13D ．－12C [由题意可知焦点F (±1,0)，不妨设直线l 过点(1,0)，故l ：y ＝x －1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧ y ＝x －1，x 2＋2y 2＝2，得3x 2－4x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝43. 此时y 1＝－1，y 2＝13，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－13，故选C.]3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________． 823 [设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. ∴|AB |＝423，∴|F 1A |＋|F 1B |＝4a －|AB |＝42－423＝823.]4．已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有________．(填上直线的代号)①y ＝3x －2；②y ＝3x ＋1；③y ＝－3x －2；④y ＝－3x ＋2；⑤y ＝－3x .①③④ [椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y ＝3x ＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y ＝3x ＋2关于原点对称的直线为y ＝3x －2，关于x 轴对称的直线为y ＝－3x －2，关于y 轴对称的直线为y ＝－3x ＋2，故应填①③④.]5．如图所示，已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且|AF 2|＝2|F 2B |，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c ，所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由|AF 2|＝2|F 2B |，得AF 2→＝2F 2B →，即(1，－b )＝2(x －1，y )，解得x ＝32，y ＝－b 2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a2＝3，所以b2＝2，故椭圆的方程为x23＋y22＝1.。
2019高中数学 课时分层作业7 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修1-1
课时分层作业(七) 椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 A [由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝10c ＝25c 2＝a 2－b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4因此所求椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.]2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距D [由25－9＝(25－k )－(9－k )知，两椭圆有相等的焦距．]3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )【导学号：97792065】A.12 B.13 C.14D.22A [由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A.22B.32 C.3－12D.5－12D [在Rt△ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.] 5．如图216，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝( )图216A ．35B ．30C ．25D ．20A [设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性，知|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，所以原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋|P 4F |＝7a ＝35.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.] 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．x 245＋y 236＝1 [设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2＋16b 2＝1c a ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45b 2＝36因此所求椭圆方程为x 245＋y 236＝1.]8．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________.【导学号：97792066】[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]三、解答题9．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．[解] 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b2a ＝b2－b23b＝223. 10．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程．(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.【导学号：97792067】[解] (1)因为a ＝2，c ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又因为x 204＋y 2＝1，所以x －24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1，即为中点M 的轨迹方程． [能力提升练]1．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x轴，若|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14B.34C.12D.32 B [由于PF ⊥x 轴，则令x ＝－c ，代入椭圆方程，解得，y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b4a2，y ＝±b 2a ，又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，即有4(a 2－c 2)＝a 2＋ac ， 即有(3a －4c )(a ＋c )＝0，则e ＝c a ＝34，故选B.]2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．]3．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．12 [由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12.] 5．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：97792068】[解] (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x－922＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝92时，d取最小值为15.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 椭圆的简单几何性质分层作业
解
2 =(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=02 -c2+02 .
因为
20
P(x0,y0)在椭圆上,所以 2
2
所以02 =b2 1- 02
所以1 ·2 =
解得02 =
+
20
2 =1.
,
2
02 -c2+b2 1- 02
=c2,
(32 -2 )2
.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为( AD )
2
A. 8
2
C.
12
+
2
=1
9
2
B. 6
2
=1
12
+
+
2
=1
6
2
D.
9
2
+ =1
8
π = 6 2π,
解析 由题意可知,
又 a2=b2+c2,
1
2 = 3 × 2,
解得 a=3,b=2
2
2,c=1,所以椭圆的标准方程为
+
2
2
=1 有相同的离心率且长轴长与 8
3
圆的标准方程为
解析
2
椭圆 4
=
2
8
2
2
+ =1 或
6
8
2
+ 3 =1 的离心率为
2
+ =1
6
1
2
e=2,椭圆 8
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2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业9椭圆的简单几何性质(含解析)新人教A版选修2_1
课时作业9 椭圆的简单几何性质[基础巩固]一、选择题1．椭圆x 225＋y 216＝1的短轴长为( )A ．8B ．10C ．5D ．42．已知以椭圆的一个焦点和短轴的两个端点为顶点恰好构成正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.34 B.12C.32D.34 3．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等4．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12 C.1＋54 D.3＋14二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 7．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．8．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．三、解答题9．求椭圆9x 2＋25y 2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. [能力提升] 11．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e 的取值范围．( )A ．0，22 B.22，1 C ．0，22 D.22，1 12．将椭圆x 225＋y 216＝1的长轴(线段AB )分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线，分别交椭圆于P 1，P 2，P 3，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.13．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．14．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．课时作业9 椭圆的简单几何性质1．解析：椭圆x225＋y216＝1，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆x225＋y216＝1的短轴长为8.答案：A2．解析：由题意，因为椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形，所以3b ＝c,3b2＝c2，因为a2＝b2＋c2＝43c2，所以e＝ca＝34＝32.答案：C3．解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.答案：D4．解析：椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，当0＜m＜4时，4－m2＝12，得m＝3，当m＞4时，m－4m＝12，得m＝163，即“m＝3”是“椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12”的充分不必要条件．故选A.答案：A5．解析：由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e ＝－1±52，又e＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.故选B.答案：B6.解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4，所以b2＝8.所以椭圆的方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝17．解析：由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝3x，又|F1F2|＝2c，所以x＝2c3.即|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c3＋4c3＝2a，即e＝ca＝33.答案：338．解析：由题意得∠F1F2P＝90°，∠PF1F2＝45°，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，设点P(c，h)，则c2a2＋h2b2＝1，h2＝b2－b2c2a2＝b4a2，所以|h|＝b2a，Rt△PF1F2中，tan 45°＝1＝|PF2||F1F2|＝|PF2|2c＝|h|2c＝b22ac＝a2－c22ac，所以a2－c2＝2ac，ca2＋2×ca－1＝0，所以ca＝2－1.答案：2－19．解析：将椭圆的方程化为标准形式，得x225＋y29＝1，所以a＝5，b＝3，则c＝25－9＝4.因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝ca＝45，焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)，顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．10．解析：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为椭圆过点A(2,0)，所以4a2＝1，a＝2.因为2a＝2•2b，所以b＝1，所以方程为x24＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，因为椭圆过点A(2,0)，所以4b2＝1，所以b＝2，因为2a＝2•2b，所以a＝4，所以方程为y216＋x24＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x24＋y2＝1或y216＋x24＝1.(2)由已知a＝2c，a－c＝3，所以a＝23，c＝3，从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.11．解析：方法一设M(x0，y0)，则|x0|＜a.∵F1(－c,0)，F2(c,0)，∴MF1→＝(－c －x0，－y0)，MF2→＝(c－x0，－y0)．∵∠F1MF2＝90°，∴MF1→•MF2→＝0，∴x20＋y20＝c2.又y20＝b2－b2a2x20，∴x20＋y20＝b2＋c2a2x20∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴c2a2≥12，∴e≥22.又0<e<1，故椭圆的离心率e的取值范围是22，1.方法二设点M的坐标是(x0，y0)，则x20a2＋y20b2＝1，x20＋y20＝c2，消去y0，得x20＝a2c2－b2c2.∵0≤x20≤a2，∴a2c2－b2c2≥0 ①，a2c2－b2c2≤a2 ②.由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2＝c2a2≥12.又0＜e＜1，∴e∈22，1.由②得c2－b2≤c2，此式恒成立．综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是22，1.秒杀法设椭圆与y轴的一个交点为P，∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，∴c2a2≥12，∴e≥22，又e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围为22，1.答案：D12．解析：由椭圆的对称性及定义易知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a，因为a＝5，所以所求式子的值为35.答案：3513．解析：(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝35.(2)由题意可得椭圆C2的标准方程为y2100＋x264＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝35.14．解析：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝22.(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝a2－b2，设B(x，y)．由AF2→＝2F2B→⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c2，y＝－b2，即B3c2，－b2.将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1，即9c24a2＋14＝1，解得a2＝3c2.①又由AF1→•AB→＝(－c，－b)•3c2，－3b2＝32⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆方程为x23＋y22＝1.。
人教新课标版数学高二选修2-1课时作业9椭圆标准方程及性质的应用
一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.【答案】 A2．(2013·潍坊高二检测)直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断【解析】 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19＜1，∴P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】 B3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 A4．(2013·大庆高二检测)椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327【解析】 联立方程组可得⎩⎨⎧ y ＝1－x mx 2＋ny 2＝1⇒(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n， y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n. ∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A. 【答案】 A5．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．m ≥1或0＜m ＜1C ．0＜m ＜5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m ＝1，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立，即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0，亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，而m ≠5.【答案】 D二、填空题6．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．【解析】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎨⎧ x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B (43，13)．又由x 22＋y 2＝1知左焦点F 1(－1,0)，则|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823.【答案】 8237．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A 、B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为________．【解析】 由点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为y －1＝－32(x －2)．化简得：3x ＋2y －8＝0.【答案】 3x ＋2y －8＝0 8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1y ＝2x －2解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.【答案】 53三、解答题图2－2－49．如图2－2－4所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【解】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上，∴112a 2＋4.52b 2＝1.①又b ＝h ＝6，代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)，因此隧道的拱宽约为33.3米．10．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消y 整理得：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52，∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.11．已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，C 在直线l ：y ＝x ＋2上，且AB ∥l .(1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；(2)当∠ABC ＝90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【解】 (1)∵AB ∥l ，且AB 边通过点(0,0)，∴AB 所在直线的方程为y ＝x .设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x ，得x ＝±1， ∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝22，又∵AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，∴h ＝2，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝2.(2)设AB 所在直线方程为y ＝x ＋m .由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x ＋m ，得4x 2＋6mx ＋3m 2－4＝0. ∵A ，B 在椭圆上，∴Δ＝－12m 2＋64＞0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1·x 2＝3m 2－44，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝32－6m 22. 又∵BC 的长等于点(0，m )到直线l 的距离，即|BC |＝|2－m |2. ∴|AC |2＝|AB |2＋|BC |2＝－m 2－2m ＋10＝－(m ＋1)2＋11. ∴当m ＝－1时，AC 边最长．(这时Δ＝－12＋64＞0) 此时AB 所在直线方程为y ＝x －1.。
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课时分层作业(九) 椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43，B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )【导学号：46342083】A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3,0)D ．(1,3)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.]3．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34A [设椭圆的右焦点为F 2，则原点O 是线段F 1F 2的中点，从而OM 綊12PF 2，则PF 2⊥F 1F 2，由题意知F 2(3,0)，由912＋y 23＝1得y 2＝34解得y ＝±32，从而M 的纵坐标为±34.]4．椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn的值是( ) A.22 B.233 C ．922 D.2327A [联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝nm ＋n，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝mm ＋n.∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A.] 5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( )A. 2 B ．2 C ． 3D ．3A [设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1， ∴右焦点F (1,0)．由FA →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|A F →|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2.] 二、填空题6．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________.【导学号：46342084】13[结合条件利用椭圆的性质建立关于a ，b ，c 的方程求解． 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 由PF ⊥x 轴得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 设E (0，m )，又PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a. ①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a. ②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.]7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．53[由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．6 [由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝－2时，OP →·FP →取得最大值6.] 三、解答题9．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.【导学号：46342085】[解] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. ∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52， ∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x－1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k2， 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k21＋2k 2， 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.[能力提升练]1．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，则PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2D [由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.故选D.]2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )【导学号：46342086】A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 D [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a 2＝18，故选D.]3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．823[设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.∴|AB |＝423，∴|F 1A |＋|F 1B |＝4a －|AB | ＝42－423＝823.] 4．已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有________．(填上直线的代号)①y ＝3x －2；②y ＝3x ＋1；③y ＝－3x －2；④y ＝－3x ＋2；⑤y ＝－3x .①③④ [椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y ＝3x ＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y ＝3x ＋2关于原点对称的直线为y ＝3x －2，关于x 轴对称的直线为y ＝－3x －2，关于y 轴对称的直线为y ＝－3x ＋2，故应填①③④.]5．如图228，已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .图228(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且|AF 2|＝2|F 2B |，求椭圆的方程.【导学号：46342087】[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c ， 所以a ＝2c ，e ＝ca ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由|AF 2|＝2|F 2B |，得AF 2→＝2F 2B →，即(1，－b )＝2(x －1，y )， 解得x ＝32，y ＝－b2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，所以b 2＝2， 故椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。