学案39 函数的图像(1)
2023年人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案
新人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案学习目标：了解函数图象的意义，会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律，经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值。
学习重难点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
学习过程：一、预习引导：有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，如心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系。
即使能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么使函数关系更直观。
一、问题导学与合作探究：学生看P75---P79并思考以下问题：1、什么是函数图像?2、如何作函数图像？具体步骤有哪些？3、如何判定一个图像是函数图像，你判断的依据是什么?4、有哪些方法表示函数关系？各自的优缺点是什么？（自学检测）：例：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春某天气温T如何随时间t变化而变化，你从图中得到了哪些信息？（1）这一天中时气温最低；时气温最高；（2）从时到时气温呈下降趋势，从时到时气温呈上升趋势，从时到时气温又呈下降趋势；总结：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系1、函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。
2、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；3、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。
三、巩固练习：例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时 间？ （2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多 少时间？ （4）小明读报用了多长时间？（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 2、下列式子中，对于x 每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是x的函数，请画出这些函数的图象． 解：（1） 1、列表： x y2、描点：3、连线。
学案3：4.2.3 对数函数的性质与图像(一)
4.2.3对数函数的性质与图像(一)【课标要求】课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点.教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质.教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.【知识导学】知识点一对数函数的概念一般地，函数y＝log a x称为，其中是常数，>0且≠1.知识点二对数函数的图像与性质【新知拓展】1．对对数函数定义的理解同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝log a x(a>0且a≠1)才是．(1)观察图像，注意变化规律①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图像向右越靠近x轴．②左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．(2)对于对数函数图像性质的助记口诀对数增减有思路，函数图像看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降．无论函数增和减，图像都过(1,0)点．2．函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．()(2)对数函数的图像一定在y轴右侧．()(3)当0<a<1时，若x>1，则y＝log a x的函数值都大于零．()2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝(a2－4a＋4)log a x是对数函数，则a＝________.(2)对数函数f(x)＝log a x的图像过点(2,1)，则f(8)＝________.(3)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．【题型探究】题型一对数函数的概念例1已知下列函数：【规律方法】判断函数是对数函数的条件判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.【跟踪训练1】若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定题型二与对数函数有关的函数定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y＝1log2(x－1)；(2)y＝lg (x－3)；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．【规律方法】求函数的定义域应考虑的几种情况求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①1f(x)中f(x)≠0；②2nf(x)(n∈N*)中f(x)≥0；③log a f(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④log f(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．【跟踪训练2】求下列函数的定义域：(1)y＝lg x＋lg (5－3x)；(2)y＝1log0.5(4x－3).题型三对数函数的图像与性质例3(1)如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图像，则a，b，c，d,1,0的大小关系为()A．a>b>1>d>c>0B．b>a>1>c>d>0C．a>b>1>c>d>0D．b>a>1>d>c>0(2)函数y＝log a|x|＋1(0<a<1)的图像大致为()【规律方法】根据对数函数的图像判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图像相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．(1)已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图像可能是( )(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图像恒过点________．题型四 对数值的大小比较例4 比较下列各组中两个值的大小：(1)3log 45,2log 23；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log 0.20.1,0.20.1.【规律方法】比较对数值大小的常用方法(1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．(2)比较不同底数的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图像的位置关系比较大小．(3)比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量(如1,0，－1等)．(4)比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小即可．(5)比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件．例如：比较log a (b 2－b ＋1)与log a 12的大小时，要注意隐含条件：b 2－b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b －122＋34≥34>12.比较下列各组对数值的大小：题型五 解简单的对数不等式例5 解不等式：(1)log 2(2x ＋3)≥log 2(5x －6)；(2)log a (x －4)－log a (2x －1)>0(a >0且a ≠1)．【规律方法】求解简单对数不等式的一般方法解对数不等式时应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件．常见对数不等式的类型如下：log a f (x )>log a g (x )a >1,)⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0，f (x )>g (x ).log a f (x )<log a g (x )0<a <1,)⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0，f (x )>g (x ).已知f(x)＝lg (x＋1)，若0<f(1－2x)－f(x)<1，求x的取值范围．题型六与对数函数有关的单调性问题例6求函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间，并说明在每一个区间上的单调性．【规律方法】有关对数函数单调性问题的求解思路(1)特别注意要在u(x)>0所确定的定义域上来讨论复合函数f(x)＝log a u(x)的单调性．(2)对于形如f(x)＝log a u(x)(a>0且a≠1)的一类复合函数的单调性，有a>1时与函数u(x)的单调性相同，0<a<1时与函数u(x)的单调性相反．(3)求复合函数f(x)＝log a g(x)的单调区间的步骤：①求f(x)的定义域；②将函数f(x)＝log a g(x)分解成u＝g(x)，f(u)＝log a u两个函数；③在f(x)的定义域上求u的单调区间并判断f(x)的单调性；④利用同一区间上“同增(减)则f(x)增，异增减则f(x)减”得出结论．【跟踪训练6】函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是________．题型七有关对数函数的值域与最值问题例7求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；【规律方法】有关对数函数的值域的求法(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．【跟踪训练7】(1)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 (2)求函数y ＝log 2(2－x )＋log 2(x ＋2)的值域．【随堂达标】1．函数f (x )＝11－x＋lg (1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2．函数y ＝log a (x －2)＋5(a >0且a ≠1)的图像过定点( )A ．(1,0)B ．(3,1)C ．(3,5)D ．(1,5)3．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 3<x 1B ．x 1<x 3<x 2C ．x 1<x 2<x 3D ．x 3<x 2<x 15．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．【参考答案】【知识导学】知识点一 对数函数的概念对数 a a a【评价自测】1．答案 (1)√ (2)√ (3)×2．答案 (1)3 (2)3 (3)(－∞，0)【题型探究】题型一 对数函数的概念例1[解析] 对于①，真数是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且真数是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，真数是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．[答案] ③【跟踪训练1】答案 A解析 设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2.∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x .题型二 与对数函数有关的函数定义域问题例2[解] (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1且x ≠2. ∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1且x ≠2}． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4. ∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}．(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3且x ≠2}．【跟踪训练2】解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，x >0，5－3x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，∴1≤x <53.∴原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫1，53. (2)由题意得log 0.5(4x －3)>0，可得0<4x －3<1，即3<4x <4，解得34<x <1. 所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫34，1.题型三 对数函数的图像与性质例3[解析] (1)由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ，显然b >a >1>d >c >0.故选D.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A.[答案] (1)D (2)A【跟踪训练3】答案 (1)B (2)(0，－2)解析 (1)解法一：若0<a <1，则函数y ＝a x 的图像下降且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x )的图像上升且过点(－1，0)，以上图像均不符合．若a >1，则函数y ＝a x 的图像上升且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x )的图像下降且过点(－1,0)，只有B 中图像符合．解法二：首先指数函数y ＝a x 的图像只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图像只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图像符合．解法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图像关于y 轴的对称图像为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图像关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.(2)因为函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像恒过点(1,0)，则令x ＋1＝1，得x ＝0，此时y ＝log a (x ＋1)－2＝－2，所以函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图像恒过点(0，－2)． 题型四 对数值的大小比较例4[解] (1)∵3log 45＝log 4125,2log 23＝log 29＝log 481，且函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3log 45>2log 23.(2)∵0>log 0.23>log 0.24，∴1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2. (3)∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log 3π>log 33＝1. 同理，1＝log ππ>log π3，所以log 3π>log π3.(4)∵函数y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，∴log 0.20.1>log 0.20.2＝1. ∵函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，且0<0.1，∴0.20.1<0.20＝1，∴log 0.20.1>0.20.1.【跟踪训练4】解题型五 解简单的对数不等式例5[解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3≥5x －6，解得65<x ≤3.(2)原不等式化为log a (x －4)>log a (2x －1)．当a >1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －4>0，2x －1>0，x －4>2x －1，解得x ∈∅. 当0<a <1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －4>0，2x －1>0，x －4<2x －1，解得x >4.综上可知，当a >1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为{x |x >4}．【跟踪训练5】解 因为f (x )＝lg (x ＋1)，所以f (1－2x )－f (x )＝lg (2－2x )－lg (x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg (2－2x )－lg (x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10(x ＋1)，所以－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13. 所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－23，13. 题型六 与对数函数有关的单调性问题例6[解] 由8－2x －x 2>0得函数f (x )的定义域是(－4,2)，令u ＝8－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋9，可知当x ∈(－4，－1]时，u 为增函数，x ∈[－1,2)时，u 为减函数， ∵f (u )＝log 0.4u 在u >0上是减函数，∴函数f (x )＝log 0.4(8－2x －x 2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)， 且在(－4，－1]上是减函数，在[－1,2)上是增函数．【跟踪训练6】答案 [1,3)解析 函数的定义域为(－1,3)，原函数可看作由y ＝log 2t ，t ＝－x 2＋2x ＋3复合而成，其中函数y ＝log 2t 是增函数，t ＝－x 2＋2x ＋3在区间[1,3)上是减函数，所以原函数的单调递减区间为[1,3).题型七 有关对数函数的值域与最值问题例7[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R .因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u >0，所以0<u ≤4.【跟踪训练7】答案 (1)B (2)见解析解析 (1)当0<a <1时，因为y ＝a x 在[0,1]上为减函数，y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上也是减函数，所以f (x )在[0,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (1)＝a ＋log a 2，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12；同理，当a >1时，f (x )在[0,1]上为增函数，所以f (x )max ＝f (1)＝a ＋log a 2，f (x )min ＝f (0)＝1，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12，与a >1矛盾．综上，a ＝12. (2)要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋2>0，所以－2<x <2， 又y ＝log 2(2－x )＋log 2(x ＋2)＝log 2[(2－x )(x ＋2)]＝log 2(4－x 2)，x ∈(－2,2)， 令u ＝4－x 2(－2<x <2)，则当x ＝0时，u max ＝4，得u ∈(0,4]，又因为y ＝log 2u 是增函数，所以y max ＝2，即函数的值域为(－∞，2]．【随堂达标】1．答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x ≠0，解得x >－1，且x ≠1. 2．答案 C解析 ∵log a 1＝0，∴当x ＝3时，y ＝log a 1＋5＝5，即函数图像过定点(3,5)．3．答案 A解析 分别作出三个函数的大致图像和直线y ＝a ，如图所示． 由图可知，x 2<x 3<x 1.4.答案 {x |－1<x <1}解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，3－x >0，x ＋1<3－x ，解得－1<x <1. 5．解 (1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)．当a <0时，显然不可能；当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a >0时，u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)，则Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1.(2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.。
高中数学单个函数图像教案
高中数学单个函数图像教案
一、教学内容：数学-函数图像
二、教学目标：学生能够通过学习本节课的内容，理解函数图像的表示方法，掌握函数图像的基本特征和性质。
三、教学重点：函数图像的基本特征和性质。
四、教学难点：理解函数图像的概念和表示方法。
五、教学准备：
1. 教师准备PPT课件和教学素材。
2. 学生准备笔记本和作业本。
六、教学过程：
1.导入：通过展示一道关于函数图像的问题引入本节课的内容。
2.讲解：教师介绍函数图像的概念和表示方法，讲解函数图像的基本特征和性质。
3.示范：通过展示一个函数的图像，让学生理解函数图像的意义和表现形式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学的知识。
5.讨论：让学生讨论不同类型的函数图像可能的特征和性质。
6.总结：总结本节课的内容，强调函数图像的重要性和应用。
七、课后作业：
1.完成课后练习题。
2.总结本节课所学的知识，写一篇小结。
八、教学反馈：
1.检查学生的课后作业，给予及时的反馈。
2.收集学生的学习反馈，查看学生对本节课的理解和掌握情况。
以上就是本节课的教学内容，希望学生能够认真学习，掌握函数图像的基本特征和性质，提高数学学习的能力和水平。
愿学生在学习过程中取得更好的成绩！。
人教a版必修4学案：1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象(1)(含答案)
1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)自主学习知识梳理用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为__________，最大值为______，最小值为______．4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．y ＝sin x 的图象――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位__________的图象()10w w>−−−−−−−−→横坐标变为原来的倍纵坐标不变____________的图象――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变____________的图象．自主探究如何由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 对点讲练知识点一 周期、振幅变换的应用例1 由函数y ＝sin 32x 的图象经过怎样的变换得到y ＝12sin 23x 的图象，试写出这一过程．回顾归纳 研究y ＝sin x 与y ＝A sin x (A >0且A ≠1)，y ＝sin ωx (ω>0且ω≠1)的图象间伸缩关系，要明确伸缩的方向是横向，还是纵向，及伸还是缩的倍数．变式训练1 叙述函数y ＝2sin x 的图象如何由y ＝sin x2的图象得到？知识点二 相位变换的应用例2 要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位回顾归纳 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin (ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构．(2)找到ωx ↔ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位． (3)明确平移的方向．变式训练2 为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度知识点三 图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．回顾归纳 已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．变式训练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π21．由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图象变换称为相位变换，由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 图象的变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 图象的变换称为振幅变换．2．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．3．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.课时作业一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 4．为了得到函数y ＝sin (2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度5．把函数y ＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|≤π)的图象向左平移π6个单位，再将图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y ＝3sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π3二、填空题6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6，所得函数的解析式为____________． 7．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．8．某同学给出了以下论断①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(所有正确的结论的序号都要填上)．三、解答题9．请叙述函数y ＝cos x 的图象与y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2的图象间的变换关系．10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)答案知识梳理1．向左 向右 |φ|2．缩短 伸长 1ω不变3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ) 自主探究解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为12倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为12倍y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 对点讲练例1 解 由y ＝sin 32x 的图象纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的94倍，得到y ＝sin 23x 的图象；由y ＝sin 23x 的图象，横坐标保持不变，把纵坐标缩短到原来的12倍，就得到y ＝12sin 23x的图象．变式训练1 解 y ＝2sin x 的图象可以看作由y ＝sin x2图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y ＝sin x 的图象，再把该图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)而得到．例2 A [y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6――→向右平移π6个单位y ＝sin x ．] 变式训练2 C [∵y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2， 又x －π2＋5π6＝π3＋x ，∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度，便可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象．] 例3 解 y ＝2sin ⎝⎛⎫12x ＋π332−−−−−−−→纵坐标伸长到原来的倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π312−−−−−−−→横坐标缩短为原来的倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π36π→向左平移个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x . 变式训练3 C课时作业 1．C 2.D3．C [函数y ＝sin x 10π−−−−−−−→向右平移个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.] 4．B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π64π−−−−−−−→向右平移个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.] 5．B [y ＝3sin x ――→横坐标压缩到12倍y ＝3sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝3sin2⎝⎛⎫x －π6＝3sin ⎝⎛⎫2x －π3， ∴ω＝2，φ＝－π3.]6．y ＝cos 2x 7.3π2解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是3π2.8．①③9．解 ∵y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋76π＋2 ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x ＋712π＋2 先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，则得到y ＝cos 2x的图象．再将y ＝cos 2x 的图象向左平移7π12个单位，则得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋7π12，即y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象，再将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象． 最后，沿y 轴向上平移2个单位所得图象即是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2的图象． 即得到函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2的图象． 10．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．。
高中数学学案：《函数的概念和图象(1)》必修一
备
注
【问题情境】 1. 函数是如何定义的？
2. 函数的三要素分别是什么？值域与函数定义中的集合 B 有什么关 系？什么是相同函数？
3、如何求函数的定义域?可以归纳为哪几种情况？
【我的疑问】
第 1 页共 4 页
1
【自主探究】 例 1 判断下列对应是否为函数： （1） x
备 （2） x Biblioteka y, 这里 y x, x N , y R
2
注
2 , x 0, x R ； x
例 2 已知函数 f ( x) 3x 5 x 2 ，求 f (3), f ( 2 ), f (a), f (a 1) 。
2
例 3 求下列函数的定义域： （1） f ( x)
x 1
（2） g ( x)
1 x 1
第 2 页共 4 页
3、判断下列对应是否为函数： （1） x
1 x, x R 2
（2） x y, 其中 y x , x R, y R （3） t s ，其中 s t , t R, s R
2
（4） x y ，其中 y 为不大于 x 的最大整数， x R, y Z
4、求下列函数的定义域： （1） f ( x) 1 3x （2） f ( x) （3） f ( x) 【回标反馈】
1.5
（2） 若购票钱款为输入值，儿童身高 h 为输出值，则 （3）分别说明（1） 、 （2）中的对应是否为“单值对应” 。 2、判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数： （1） A 为正实数集， B R ，对于任意的 x A, x x 的算术平方 根； （2） A = 1,2,3,4, 5 ， B = 0,2,4,6, 8，对于任意的 x A, x 2 x 。
导学案009(函数的图像)
济宁学院附属高中高三数学第一轮复习教学案 班级：高三（ ）班 姓名： 编号010函数的图像一、考纲要求1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法 二、复习目标1、根据函数解析式画出函数图像。
2、掌握函数图像的平移与对称变换。
3、数形结合思想的应用。
三、重点难点1、 平移变换、对称变换2、数形结合思想的应用。
四、要点梳理 1、函数图像的定义 2、描点法描点法画函数的图像，其基本步骤是列表、描点、连线。
首先：（1）确定函数的 ；（2）化简函数的 ；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；其次：列表（尤其注意特殊点如：最高点、最低点、与坐标轴的交点）；最后描点，连线。
3：图像的变换（1） 平移变换①水平变换：()(0)y f x a a =±>的图像，可由()y f x =的图像向（+）或向（-）平移 单位而得到。
②竖直平移：()(0)y f x b b =±>的图像，可由()y f x =的图像向 （+）或向 （-）平移 单位而得到。
（2）对称变换①()()y f x y f x =-=与的图像关于 对称 ②()()y f x y f x =-=与的图像关于 对称 ③()()y f x y f x =--=与的图像关于 对称④()y f x =的图像可由()y f x =的图像在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴 ，其余部分不变而得到。
⑤为得到()y f x =的图像，可将()y f x =, x ≥0的图像作出，再利用偶函数的图像关于对称，作出x<0的图像五、基础自测 1、函数22log 2x y x -=+的图象关于 对称． 2、若函数()y f x =的值域为[]1,2，则()y f x a =+的值域为3、若函数()y f x =的图象过点(1,1)，则函数(4)y f x =-的图 象一定经过点4、若函数xy a b =+的图象如图所示，则a ，b 的取值范围 分别为 ；若(2,0)A ，(0,2)B -，则 a b +的值为___________． 5、方程lg sin x x =的实根个数为六、典例精讲例1、作出下列函数的图像 (1) 21xy x -=- (2) 122log y x= (3) |21|x y =- (4) 12log ()y x =-例2、函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是( )．例 3 函数244,1,()43,1x x f x x x x -⎧=⎨-->⎩≤的图象和函数2()log g x x =图象交点个数为 ．例4.已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．。
正弦余弦函数图像1
• 第三级
– 第四级 1» 第五级
P 1
6
学习过程
2. 函数
y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1
(3) 平移 (4) 连线
2
o1
M -1 1
A
o
-1 -
6
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
•π 第三级-2π -4
1 -π
O
π
2π
3π
4π
-5π
– 第四级 -3π » 第五级
5π 6π x
-1
‹#›
二、学习探究
– 第二级
单击此处编辑母版标题样式
学习过程
数学必修4—第一章
• 单击此处编辑母版文本样式 比较思考 利用单位圆中的正弦线作 y sin x, x R 的图象与列表描点法作该函数的
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级 cos x sin( x 2．根据关系
3.通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作 精神；
2 – 第四级 作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； » 第五级
) ，作出 y cos x, x R 的图象；用“五点法”
号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读） 、小组讨 论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “听” 、 “问” 、 “通” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
学案3：1.3.1 正弦函数的图象与性质（一）
1.3.1 正弦函数的图象与性质（一）新知初探1．正弦函数的图象及作法(1)“正弦线”作图．①利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．②要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”.五点法作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．2．正弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个，使得定义域内的x值，都满足，那么函数f(x)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的中存在一个，那么这个就叫做它的最小正周期．点睛对周期函数的两点说明①并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．②如果T是函数ƒ(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ(x)的周期．(2)正弦函数的性质R错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍． 小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)画正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) 2．函数y ＝sin 12x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4πD ．6π3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )4．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表.①________；②课堂讲练题型一 用“五点法”作简图典例 作函数y ＝3tan x cos x 的图象．类题通法用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0,2π])的图象．题型二 正弦函数的周期性、奇偶性典例 (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)函数f (x )＝|sin x |的最小正周期为________．(3)定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值．一题多变1．[变条件]若本例(3)中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值．2．[变设问]若本例(3)条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6的值．3．[变条件]若本例(3)条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 类题通法求三角函数周期和判断奇偶性的方法(1)求三角函数周期的方法①定义法：即利用周期函数的定义求解． ②图象法：即通过观察函数图象求其周期．(2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系． 题型三 正弦函数的单调性典例 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间． 类题通法与正弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦函数的图象，熟记其单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数． 活学活用1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°3．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调区间． 参考答案新知初探1．(1)②沿x 轴平移±2π，±4π，… (2) (0,0) (π，0) (2π，0)2．(1)①非零常数T 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) 非零常数T ②所有周期 最小的正数 最小正数 (2) [－1,1] 奇函数 小试身手1．【答案】(1)√ (2)√ (3)√ 2．【答案】C【解析】∵sin ⎣⎡⎦⎤12x ＋4π＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期为4π，故选C. 3．【答案】C 4．【答案】π 0 1 课堂讲练题型一 用“五点法”作简图典例 解：由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z )，于是函数y ＝3tan x cos x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .又y ＝3tan x cos x ＝3sin x ，即y ＝3sin x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 3sin x3－3先作出y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π2，k ∈Z 的点，得到y ＝3tan x cos x 的图象． 活学活用 解：(1)列表：x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)题型二 正弦函数的周期性、奇偶性 典例 【答案】 (1)A (2)π 【解析】 (1)∵f (x )的定义域是R .且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． (2)法一：∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π.法二：∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.(3)解：∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. 一题多变1．解：ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．解：ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．解：∵ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1.题型三 正弦函数的单调性典例 解：∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )． 活学活用 1．【答案】B【解析】∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]，∴－2sin x ＋1∈[－1,3]． 2．【答案】C【解析】sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.根据正弦函数的单调性知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 3．解：由－π2＋2k π≤2x ＋3π4≤π2＋2k π，k ∈Z得－5π8＋k π≤x ≤－π8＋k π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π8＋k π，－π8＋k π(k ∈Z )． 由π2＋2k π≤2x ＋3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．。
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研学案39 变量与函数（1）
班级： 姓名 ： 学号： 一、基础回顾
1. 叙述函数的定义.
2.已知三角形底边长为6，高为h ，三角形的面积为s ，则s 与h 的函数关系式为_________，其中自变量是____，函数是___ _，自变量的取值范围是___ _.
思考：心电图中心脏生物电流与时间的函数关系能用解析式表示吗？能不能用图象表示呢？已知一个函数的解析式，你会画它的图象吗？（学习本节课后你将会明白） 二、合作探究
请认真阅读课本P 75至P 76第一自然段的内容，回答下列问题: 1.函数图象有什么作用？
2.如何作函数图象？具体步骤有哪些？请结合下列例子进行探究. 例如 正方形面积S 与边长x 的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是_____.下面利用在坐标系中画图的方法来表示S 与x 的关系。
想一想：在直角坐标系中，自变量的一个确定的值与它所对应的函数值S ，是否能确定一个点（x ，S ）呢？ （2）描点：（建立直角坐标系，以自变量的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） （0,0）、 、 、 、 、 、 、 、 （3）连线：用 表示不在曲线上的点，在函数图象上的点要描成 点，然后用 连接这些点.
三、例题讲解
画出下列函数的图象：
（1）y ＝ x ＋ 0.5；
(2) y ＝ x
6
(x ＞0)
小结归纳：画函数图象的方法，可以概括为三步，通常称为描点法．
四、学以致用
2:
2．下列各点不在函数y＝x+2的图象上的是（）.
A（1，3） B（－2，0） C（0，2） D（－5，3）3．当a＝时，点（a，1）在函数y＝－3x－5的图象上，若函数y＝2x ＋n的图象经过点（－2，1），则n＝ .
4．函数
y x的取值范围是．
5.用描点法画出下列函数的图象：
（1）y ＝x-1； (2) y＝－4
x
(x＞0)。