第一章常用逻辑用语基础大题20道

第一章常用逻辑用语基础大题20道一、解答题1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.（1）平面直角坐标系下每条直线都与x 轴相交；（2）2,10x R x x ∃∈-+= ；（3）存在一个无理数，它的立方根是有理数.3．写出下列命题的否定，并判断其真假．（1）有些素数是奇数；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）不论m 取何实数，方程220x x m +-=都有实数根；（4）∃x ∈R ，2250x x ++>．4．下列命题中，判断p 是q 的什么条件，并说明理由.（1）p ：x y =，q ：x y =；（2）p ：ABC 是直角三角形，q ：ABC 是等腰三角形；（3）p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形.5．已知命题():340p a m a a <<> ，命题3:12q m <<，且q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.6．已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根.（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围.7．已知命题:p 不等式2(1)10x a x -++>的解集是R . 命题:q 函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数.若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.8．已知命题p ：方程210x mx -+=有实数解，命题q ：31,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，m x ≥. （1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 为假命题，且q 为真命题，求实数m 的取值范围.9．已知命题[]:1,3p x ∈；命题:23q m x m <≤+.（1）若命题p 是命题q 的充分条件，求m 的取值范围；（2）当2m =时，已知p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求x 的取值范围.10．已知:p 2230{|}A x x x =--≤，:q {}22|,0B x x m m =≤>.（1）若2m =，求A B ；（2）若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围.11．（1）已知命题p ：1a x a ≤≤+，命题q ：240x x -<，若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围；（2）已知命题p ：“[]0,1x ∀∈，x a e ≥”；命题q ：“0x R ∃∈，使得20040x x a ++=”，若命题“p q ∧”是真命题，求实数a 的取值范围.12．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}2|10B x x m x m =+++=； （1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值.13．设命题p ：方程221225x y a a +=+-表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题2:,10q x R x ax ∀∈-+>，.若“p q ∧⌝”为真命题，求实数a 的取值范围.14．已知p :方程2211012x y k k -=--表示双曲线；2q :?2x 9x k 0-+<在()2,3内恒成立，若p q ∨是真命题，求实数k 的取值范围.15．已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．16．已知命题p ：方程22167x y m m-=+-表示椭圆，命题2:,2210q x R mx mx m ∃∈++-≤.（1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真，p ⌝为真，求实数m 的取值范围.17．已知0c >且1c ≠，设命题p ：函数x y c =在R 上单调递减，命题q ：对任意实数x，不等式20x c +>恒成立.（1）写出命题q 的否定，并求非q 为真时，实数c 的取值范围；（2）如果命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数c 的取值范围.18．已知命题p ：“方程210x mx ++=有两个不相等的实根”，命题p 是真命题．（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a ---<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的充分条件，求a 的取值范围．19．已知p ： 3x a -<（a 为常数）； q ()lg 6x -有意义．（1）若1a =，求使“p q ∧”为真命题的实数x 的取值范围；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20．已知p ： 3x a -<（a 为常数）； q ()lg 6x -有意义．（1）若1a =，求使“p q ∧”为真命题的实数x 的取值范围；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．参考答案1．（1）全称量词命题，p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，假命题；（2）存在量词命题，q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”，真命题．【分析】（1）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假； （2）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；【详解】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x ∈R ，使210x x ++=成立，即p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，因为=30∆-<，所以方程210x x ++=无实数解，此命题为假命题．（2）由于“x R ∃∈”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x ，都有2350x x ++>成立．即q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”．因为=110∆-<，所以对x R ∀∈，2350x x ++>总成立，此命题是真命题．2．（1）假命题.命题的否定见解析；（2）假命题.命题的否定见解析；（3）假命题.命题的否定见解析.【分析】（1）根据全称命题的否定为特称命题，即可写出命题的否定；（2）根据特称命题的否定为全称命题，即可写出命题的否定；（3）根据特称命题的否定为全称命题，即可写出命题的否定；【详解】（1）假命题.命题的否定：平面直角坐标系下存在一条直线不与x 轴相交；（2）假命题.命题的否定：2,10x R x x ∀∈-+≠；（3）假命题.命题的否定：任意一个无理数，它的立方根不是有理数.3．答案见解析.【分析】根据特称命题与全称命题的否定依次书写每个命题的否定并判断真假即可.【详解】解：（1）所有素数都不是奇数，假命题；（2）有些矩形不是平行四边形，假命题；（3）存在实数m ，使得方程220x x m +-=没有实数根，真命题；（4）∀x ∈R ，2250x x ++≤，假命题．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定及真假判断，是基础题.4．（1）必要不充分条件，理由见解析；（2）既不充分也不必要条件，理由见解析；（3）必要不充分条件，理由见解析.【分析】（1）根据x y =与x y =的关系以及充分条件、必要条件的定义即可得出结果.（2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.（3）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【详解】（1）∵x y =x y =，但x y x y =⇒=，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件.（2）∵ABC 是直角三角形ABC 是等腰三角形， ABC 是等腰三角形ABC 是直角三角形，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，即既不充分也不必要条件.（3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件.【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 5．1338a ≤≤ 【分析】即p 所对应的集合是 q 所对应集合的真子集.【详解】 q 是p 的必要不充分条件,31342a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩且不能同时取等，得1338a ≤≤. 【点睛】此题考查命题条件间的关系，注意“必要不充分条件”对应两集合的包含关系但不能取等. 6．（1）14a ≤；（2）124a << 【分析】（1）关于x 的方程x 2﹣x+a=0有实数根，则△=1﹣4a≥0，解得a 的范围．（2）由题意得p 为真命题，q 为假命题求解即可.【详解】（1）方程20x x a -+=有实数根，得：:140q a ∆=-≥得14a ≤； （2）p q ∨为真命题，q ⌝为真命题∴ p 为真命题，q 为假命题，即2214a a -<<⎧⎪⎨>⎪⎩得124a <<. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假的判断方法，考查了推理能力，属于基础题．7．(3,0][1,)-⋃+∞【分析】若命题p 为真命题，在一元二次不等式中由判别式求出此时参数范围；若命题q 为真命题，由指数函数底数大于1则函数单调递增求出此时参数范围，又因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 两命题一真一假，最后分类讨论p 真q 假与p 假q 真，求出答案.【详解】若命题p 为真命题，则()2140a ∆=+-<，解得31a -<<；若命题q 为真命题，则11a +>，0a ⇒>.因为 p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 两命题一真一假（1）p 真q 假，则310a a -<<⎧⎨≤⎩，30a ⇒-<≤ （2）p 假q 真，则310a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或，1a ⇒≥ 综上所述，a 的取值范围是(3,0][1,)-⋃+∞.【点睛】本题考查由逻辑联结词连接命题的真假求参数取值范围，还考查了一元二次不等式恒成立与指数函数的单调性，属于基础题.8．（1）2m ≥或2m ≤-；（2）322m ≤< 【分析】（1）由方程有实数根则0∆≥，可求出实数m 的取值范围.(2) q 为真命题,即max m x ≥从而得出m 的取值范围,由（1）可得出p 为假命题时实数m 的取值范围.即可得出答案.【详解】解：（1）方程210x mx -+=有实数解得，0∆≥，解之得2m ≥或2m ≤-；（2）p 为假命题，则22m -<<，q 为真命题时，m x ≥，31,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，则max m x ≥ 故32m ≥.故p 为假命题且q 为真命题时，322m ≤<. 【点睛】 本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题. 9．（1）01m ≤<；（2）{12x x ≤≤或}37x <≤.【分析】（1）根据命题p 是命题q 的充分条件，即p 集合包含于q 集合，然后根据集合的关系求解即可;（2）根据p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，分别求出满足条件的x 的取值范围，然后取交集即可.【详解】（1）由题知命题p 是命题q 的充分条件，即p 集合包含于q 集合， 有[](]11,3,2301233m m m m m <⎧⊆+⇒⇒≤<⎨+≥⎩； （2）当2m =时，有命题[]:1,3p x ∈，命题(]:2,7q x ∈，因为p q ∧是假命题，即(](),23,x ∈-∞⋃+∞，因为p q ∨是真命题，即[]1,7x ∈，综上，满足条件的x 的取值范围为{12x x ≤≤或}37x <≤【点睛】本题考查了命题与集合的关系，根据命题真假求参数范围，属于基础题.10．（1）{}12A B x x ⋂=-≤≤； （2）[)3,+∞．【分析】（1）先求出集合A ，再把2m =代入求出集合B ，再根据交集的定义求出A B ； （2）由p 是q 的充分条件得A B ⊆，再根据子集的定义求解．【详解】解：（1）由题意，得{}13A x x =-≤≤，当2m =时，{}22x x B =-≤≤， ∴{}12A B x x ⋂=-≤≤；（2）由已知，p 是q 的充分条件，则A B ⊆， 又{}B x m x m =-≤≤， ∴13m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得：3m ≥， ∴实数m 的取值范围是[)3,+∞．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查集合的包含关系的判定及应用，属于基础题． 11．（1）0<<3a （2）e 4a ≤≤.【分析】（1）求出命题q 的不等式解集，p 是q 的充分不必要条件，转化为命题p 的数集是命题q 解集的在真子集，即可求解；（2）分别求出命题p 和命题q 为真时，实数a 的范围，再根据“p q ∧”是真命题，即可求解.【详解】解：（1）令{}|1M x a x a =≤≤+， {}{}2|40|04N x x x x x =-<=<<.∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴014a a >⎧⎨+<⎩，解得0<<3a . （2）若命题“p q ∧”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由[]0,1x ∀∈，x a e ≥，得a e ≥；由0x R ∃∈，使20040x x a ++=，知1640a ∆=-≥，得4a ≤，因此e 4a ≤≤.【点睛】本题考查命题充分不必要与集合的关系，考查复合命题的真假，属于基础题.12．（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m =【分析】（1）解方程求集合A ，（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数.【详解】（1）()()2320120x x x x ++=⇒++= 即1x =-或2x =- ，{}1,2A =--；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=解得1x =- 或x m =-，当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆，所以1m =或2m =.【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.13．522⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】求出命题p 成立的a 的范围，再求出命题q 成立a 的范围，利用“p q ∧⌝”为真命题列不等式组即可得解。