第五讲函数的定义域
函数的定义域
0 x2 2
2 x 2
故 : f x 2 的定义域是 [ 2 ,
2]
(题型二) :已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5], 求f ( x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
练习2.若f ( x)的定义域是[0, 2], 求f (2 x 1)的定义域
解:
由题意知:
0 2x 1 2
1 3 x 2 2
1 3 故 : f ( 2 x 1)的定义域是 {x x } 2 2
练习 3Байду номын сангаас 若f ( x)的定义域是0,2, 求f ( x2 )的定义域
之剑乃是鞠言自身创造出来の法术.因此,呐壹法术在鞠言手中所爆发出来の威能,要比鞠言施展九天申吙可能还要恐怖.并且,混沌之剑还能融合枯树传承の历量.呐壹剑,撕裂空间,带着浩瀚の威压,转瞬间劈杀到了酉垅魔主の身前.酉垅魔主双臂展开,手掌在身前连连做出壹些细小の动作, 紧接着他の身体四周,壹层灰蒙蒙の屏障铺开.呐壹层屏障刚刚铺开,鞠言就从上面感应到极度邪恶の气息.浓郁の血腥气,似乎笼罩了整个白城.在灰蒙蒙の屏障光芒散开后,能够看到其中有血色光芒涌动.“轰隆！”壹声滔天巨响传出.混沌之剑,狠狠の击在灰色の屏障上.酉垅魔主の身体 壹颤,而后便是如流月壹般倒飞了出去.但是,他身体四周の灰色屏障并未破碎.混沌之剑の剑芒,也没能从外面渗透进去.鞠言盯着稳住身体の酉垅魔主,眉头微微皱起.他呐壹剑の威能,他自身很清楚.呐壹剑,便是放在整个法罗天,怕也没多少善尊能够凭借自身の历量抵挡下来.就算是远瞳 善尊,恐怕也挡不住.“好强の防御法术！”鞠言心头暗道.“小子,就凭你还嫩了点.”酉垅魔主以极快の速度叠新飞了过来.他说得轻松,
第五讲 函数(全科实验班)
第五讲函数1．【知识概要】函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性、凹凸性、最值等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.一、函数的概念二、函数的几个基本性质1．定义域2. 图像3．值域(最值)4. 单调性5．奇偶性6．周期性7．对称性8．反函数9．凹凸性10.连续性(极限)11.可导性(函数的变化率)三、数学思想、方法、观点1．一般与特殊 2.函数方程 3.数形结合 4.构造5.抽象与概括【例题及练习】1．设X={-1,0,1},Y={-2,-1，0,1,2},且对X的所有元素x+f(x)均为偶数.则从x到y的映射f的个数是( )A 7B 10C 12D 152. 已知f:A→B是从集合A到集合B的一个映射,b∈B,那么(1)存在a∈A,b,c∈B,且b≠c,使得f(a)=b,又f(a)=c;(2)存在a∈A,使f(a)∉B;(3)有且仅有a∈A,使f(a)=b;(4)至少有一个a∈A,使f(a)=b;以上命题中错误的个数为( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个3. 设A是有限集，对任何x,y∈A,若x≠y,则x+y∈A.那么，A中元素个数的最大值为_____4.设集合M＝{a,b,c,d}，而a,b,c,d两两之和构成集合S＝｛5,8,9,11,12,15｝.则M＝______5. 设集合{}{}RTSaxaxTxxS=+<<=>-=,8|,32|，则a的取值范围是A 13-<<-a B 13-≤≤-a C 3-≤a或1-≥a D 3-<a或1->a6．定义在R上的函数y=f(x)，它具有下述性质：①对任意x∈R,都有f(x3)=f3(x)②对任何x1,x2∈R,x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2)求f(0)+f(1)+f(-1)7.函数2()f x=的定义域为．8.已知函数f(x)=12||4-+x的定义域是[a,b],值域是[0,1].则满足条件的整数对(a,b)共有（）个A 2B 5C 6D 无数9．已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为 .10. 函数()()111<≤-=xxxf的反函数为()xf1-，则(A) ()xf1-在其定义域上是增函数且最大值为1(B) ()xf1-在其定义域上是减函数且最小值为0(C) ()xf1-在其定义域上是减函数且最大值为1(D) ()xf1-在其定义域上是增函数且最小值为011. 设函数y=f(x)存在反函数y=f－1（x）,且函数y=x-f(x)的图象过点(1,2).则函数y=f－1(x)-x的图象一定过点 .12.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<-≥)0(1)0(1xx,则不等式x+(x+2)f(x+2)5≤的解集为____13. 已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=011x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x14. 已知函数⎩⎨⎧<<≤=πx x x x x f 0,cos 20,)(2，若2))((0=x f f ，则=0x __15. 函数f x x x Px x M(),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅③若P M R ⋃=，则f P f M R ()()⋃= ④若P M R ⋃≠，则f P f M R ()()⋃≠其中正确判断有（A ） 3个 （B ） 2个 （C ） 1个 （D ） 0个16．已知f(x)=(31)4,1log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是（－,∞+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A （0,1）B （0，13）C [17,1)3D [17,1)17. f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间（0,6）内解的个数的最小值为（ ） A 3 B 5 C 6 D 718. 定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(99)f =（A ）13 （B ）2 （C ）132（D ）21319. 已知函数f (x )=x 2-cos x ,对于［－22ππ，］上的任意x 1,x 2,有如下条件： ① x 1>x 2; ②x 21>x 22; ③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)> f (x 2)恒成立的条件序是 .20. 设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ，， 21. 若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ）A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<22. 函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-223. 若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是 (A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数 (C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数24. 设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f 3()4x x ++的所有x 之和为 (A )-3 (B )3 (C )-8 （D ）8 25. 若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 26. 在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。
函数的定义域及其求法(知识点)(教师版)
函数的定义域及其求法（知识点）一．定义域定义域、值域、对应法则合称为函数的三要素．本词条主要介绍函数定义域的概念及其求法.二．函数定义域的概念函数的定义域就是指自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分．定义域必须是非空数集，且必须写成区间或集合的形式．例如：一次函数()(0)f x kx b k =+≠的定义域为(或写成(,)-∞+∞)．三．函数定义域的求法在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种．四．具体函数的定义域对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．常见情形如下：1. 若函数()f x 为整式，则其定义域为实数集． 例如，二次函数2()1f x x x =++的定义域为． 2. 若函数()f x 是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数的集合. 例如，函数1()1f x x =-的定义域为{1}x x ≠． 3. 若函数()f x 是偶次根式，则其定义域是使得根号内的式子大于或等于零的全体实数构成的集合.例如，函数()f x =[1,)-+∞.4. 若函数()f x 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使是使各部分都有意义的实数的集合， 即交集.例如，函数1()1f x x =-[1,1)(1,)-+∞. 5. 若函数0()f x x =，则其定义域是{0}x x ∈≠． 注：除了上述情形，还应注意指数函数和对数函数均需满足底数大于零且不等于1，对数函数的真数必须大于零，以及三角函数的定义域，如正切函数的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭例：求下列函数的定义域：①y =2310x y x x --；③()f x =. 解：①由80,30,x x +⎧⎨-⎩≥≥得83x -≤≤．所以原函数的定义域为[]8,3-． ②由220,3100,x x x +⎧⎪⎨--≠⎪⎩≥解得()() 2250x x x -⎧⎪⎨+-≠⎪⎩≥所以2,2,5,x x x -⎧⎨≠-≠⎩≥即25x -<<或5x >．所以原函数的定义域为()()2,55,-+∞．③由函数的解析式有意义，得240,210,x x x +>⎧⎪⎨-->⎪⎩即()()4,2110,x x x >-⎧⎪⎨+->⎪⎩∴4,11,2x x x >-⎧⎪⎨<->⎪⎩或∴142x -<<-或1x >．∴所求函数的定义域为()14,1,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．五．抽象函数的定义域求抽象函数的定义域时，应充分理解定义域的含义，即：函数()f x 的定义域是指x 的取值范围，具体如下：1. 若已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，则其复合函数(())f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出．例如：已知函数()f x 的定义域为[1,2]，则函数(1)f x +的定义域为[0,1]．2. 若已知函数(())f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]x a b ∈上的值域.例如：已知函数(1)f x +的定义域为[1,2]，则函数()f x 的定义域为[2,3]．六．实际问题中函数的定义域在实际问题中求函数()f x 的定义域，除了考虑解析式本身有意义外，还应该考虑自变量x 所代表的具体量的实际取值范围．例如：圆的面积S 与圆的半径r 之间的函数关系式为2πS r =，其定义域为{0}r r >．。
暑假初升高数学衔接讲义 第5讲 函数的概念及定义域(教师版)
第五讲 函数的概念及定义域一、【知识梳理】知识点一 函数的概念1、函数的概念：设,A B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：()y f x =，x A ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有函数值y 的集合B 叫做函数的值域。
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素。
两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可。
（2）对应法则f ，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量x 只能是数。
（3）()f x 与()f a 的关系：()f x 是自变量x 的函数，()f a 表示x a =时()f x 的函数值。
2、区间与“无穷大”：设,a b 是两个实数，而且a b <，则（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足不等a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b ；（4）实数集R 也可以用区间表示为(,)-∞+∞，其中“∞”读作“无穷大”。
（5）若x a ≤，可表示为],(a -∞,x a ≥ ,可表示为[),a +∞； （6）若a x <,可表示为(,)a -∞,a x > ,可表示为(,)a +∞。
知识点二 映射的概念1、映射的概念：设,A B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →2、若:f A B →，且,a Ab B ∈∈,如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a 叫做元素b 的原象。
第5讲 函数的定义域和值域
纽威教育6T 教材系列函数专题 第五讲 函数的定义域和值域时间：年 月 日 陈老师 电话：66006266一、兴趣导入清朝名士纪晓岚,有一天和朋友一起上街.走在街上,看见前面有一家小店,店里的老板娘正忙着. 纪晓岚就和他的朋友打赌,"我会一句话,让老板娘笑,再一句话,让老板娘闹." 朋友们不相信,决定以一桌酒席为赌.只见纪晓岚走向小店,向店门前的看门狗鞠了一躬,叫 道"爹!", 老板娘"噗"地一声乐了.纪晓岚转过身又冲老板娘叫了一声"娘!".顿时,老板娘勃然大怒,直骂纪晓岚. 于是,纪晓岚赢得了一桌酒席........ 思考：由此你得到什么启示？二、知识梳理（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. （二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。
②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。
③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。
④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。
⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。
函数的定义域及求法讲解
函数一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、定义域的相关求法：利用函数的图象或数轴法；利用其反函数的值域法；6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．例题：1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lgmx2-4mx+m+3的定义域为R,求实数m的取值范围．解析：利用复合函数的定义域进行分类讨论当m=0时,则mx2-4mx+m+3=3,→ 原函数的定义域为R；当m≠0时,则 mx2-4mx+m+3＞0,①m＜0时,显然原函数定义域不为R；②m＞0,且△＝-4m2-4mm+3<0 时,即０＜m＜１,原函数定义域为R, 所以当m∈0,1 时,原函数定义域为R．4、求函数y=logx + 1 x≥4 的反函数的定义域．2解析：求原函数的值域由题意可知,即求原函数的值域,x≥2∴y≥3∵x≥4,∴log2所以函数y=logx + 1 x≥4 的反函数的定义域是3,+∞．2x的定义域．5、函数f2x的定义域是-1,1,求flog2解析：由题意可知2-1≤2x≤21→ fx定义域为1/2,2→ 1/2≤logx≤2→ √￣2≤x≤4．2x的定义域是√￣2,4．所以flog2二、函数的值域及求法1、一次函数y=kx+bk≠0的值域为R；2、二次函数的值域：当a＞0时,y≥-△/4a ,当a＜0时,y≤-△/4a ；3、反比例函数的值域：y≠0 ；4、指数函数的值域为0,+∞；对数函数的值域为R；5、正弦、余弦函数的值域为-1,1即有界性；正切余切函数的值域为R；6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．例题：：求下列函数的值域解析：1、利用求反函数的定义域求值域先求其反函数：f-1x=3x+1/x-2 ,其中x≠2,由其反函数的定义域,可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}2、利用反比例函数的值域不等于0由题意可得,因此,原函数的值域为1/2,+∞4、利用分离变量法和换元法设法2x＝t,其中t＞0,则原函数可化为y=t+1/t-1 → t=y+1/y-1 ＞０∴y>1或y<-1 5、利用零点讨论法由题意可知函数有3个零点-3,1,2, ①当x<-3时,y=-x-1-x+3-x-2=-3x ∴y>9 ②当-3≤x<1时,y=-x-1+x+3-x-2=-x+6 ∴5<y≤9 ③当1≤x<2时,y=x-1+x+3-x-2=x+4 ∴5≤y<6 ④当x ≥2时,y=x-1+x+3+x-2=3x ∴y≥6 综合前面四种情况可得,原函数的值域是5,+∞6、利用函数的有界性三、函数的单调性及应用1、 A为函数fx定义域内某一区间,2、单调性的判定：作差fx1-fx2判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：fx,gx 同增、同减,fgx 为增函数,fx,gx一增、一减,fgx 为减函数．例题：2、设a＞0且a≠1,试求函数y=loga4+3x-x2的单调递增区间．解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可得原函数的定义域是－１,４,设u=4+3x-x2 ,其对称轴是 x=3/2 ,所以函数u=4+3x-x2 ,在区间－１,3/2 上单调递增；在区间3/2 ,4上单调递减．u 在其定义域内为增函数,由x↑→u↑→y↑ ,得函数①a＞１时,y=loga4+3x-x2的单调递增区间．u=4+3x-x2的单调递增区间－１,3/2 ,即为函数y=loga②０＜a＜１时,y=logu 在其定义域内为减函数,由x↑→u↓→y↑ ,得a4+3x-x2的单调递增区间．函数u=4+3x-x2的单调递减区间3/2 ,4,即为函数y=loga2-ax 在0,1上是x 的减函数,求a的取值范围;3、已知y=loga解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可知,a＞０．设u＝gx=2－ax,则gx在０,１上是减函数,且x=１时, =2-a ．gx有最小值umin=2-a＞０则可,得a＜２．又因为u＝gx＝2－ax＞０,所以, 只要 umin又y=log2-ax 在0,1上是x 减函数,u＝gx在０,１上是减函数,au是增函数,故a＞１．即x↑→u↓→y↓ ,所以y=loga综上所述,得１＜a＜2．４、已知fx的定义域为０,＋∞,且在其上为增函数,满足fxy=fx+fy,f2=1 ,试解不等式fx+fx-2<3 ．解析：此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值由题意可得,f4=f2+f2=2 ,3=2+1=f4+f2=f4×2=f8又fx+fx-2=fx2-2x所以原不等式可化成fx2-2x<f8所以原不等式的解集为｛x|2<x<4｝四、函数的奇偶性及应用1、函数fx的定义域为D,x∈D ,f-x=fx → fx是偶函数；f-x=-fx→是奇函数2、奇偶性的判定：作和差f-x± fx=0 判定；作商fx/f-x= ±1,fx≠0 判定3、奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、函数的图象关于原点对称奇函数；函数的图象关y轴对称偶函数5、函数既为奇函数又为偶函数 fx=0,且定义域关于原点对称;6、复合函数的奇偶性：奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇．例题：解析：①利用作和差判断由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,即,fx = -fx ,∴原函数是奇函数．②利用作商法判断由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,２∵fx 的图象关于直线x=1对称,∴ f1-1-x＝f1+1-x ,x∈R ,即fx ＝f2-x ,又∵ fx在R上为偶函数,→ f-x＝fx＝f2-x＝f2+x∴ fx是周期的函数,且2是它的一个周期．五、函数的周期性及应用1、设函数y=fx的定义域为D,x∈D,存在非0常数T,有fx+T=fx → fx为周期函数,T为fx的一个周期；2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π,函数y=Asinωx+φ和y=Acosωx+φ的最小正周期是T = 2π/|ω| ；3、正切、余切函数的最小正周期为π,函数y=Atanωx+φ和y=Acotωx+φ的周期是T=π/|ω| ；4、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；5、一般地,sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半,tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ,y=|cotx|的周期是π．例题：1、求函数 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期．解析：利用周期函数的定义y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cosx + π/2|+|sinx + π/2|即对于定义域内的每一个x,当x 增加到x + π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2 ．3、 求函数y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期．解析：最小公倍数法和公式法,设fx 、gx 是定义在公共集合上的两上三角周期函数,T 1、、T 2分别是它们的周期,且T 1≠T 2,则fx± gx 的最小正周期等于T 1、、T 2的最小公倍数．注：分数的最小公倍数 = 分子的最小公倍数/分母的最大公约数．由题意可知,sin3x的周期是T1= 2π/3,tan2x/5的周期是T2=5π/2,∴原函数的周期是T=10π/1 =10π ．4、求函数y=|tanx|的最小正周期．解析：利用函数的图象求函数的周期函数y=|tanx|的简图如图：由函数y=|tanx|的简图可知,其最小正周期是π．5、设fx是-∞,+∞上周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=x,求f解析：利用周期函数的定义由题意可知,f2+x = fx∴ f ＝f ＝f ＝－f ＝－０.５。
函数的定义域和值域3
函数的定义域和值域3第五讲函数的定义域和值域知识点：1.确定函数定义域的主要依据：(1)当f (x )是整式时，定义域为R ；(2)当f (x )是分式时，定义域是使分母不等于0的x 取值的集合；(3)当f (x )是偶次根式时，定义域是使被开⽅式取⾮负值的x 取值的集合；(4)当f (x )是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数⾮零或⼤于0的x 取值范围；（值域）(1)观察法(2)换元法 y x =+ y x =+(3)中间变量法 y =)1()1(22x x +-(4)配⽅法 y = 232y x x =-+，[1,3]x ∈(5)数形结合法 |1||4|y x x =-++；(6)判别式法∵210x x ++>恒成⽴，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时⽅程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-?-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．⼀、典型解析例1、求下列函数的定义域⑴ x x y ---+=331 ⑵ )3)(3(++=x x y ⑶ 831522-+-=x x x y 分析：对于⑴因偶次根式的根号内的值⾮负，所以?≥-≥-0303x x 解得3=x 故定义域为{}3，对于⑵因幂指数为零时，底数不可以为零，所以03≠+x 故函数定义域为 ),3()3,(+∞---∞ ，对于⑶因分式函数分母不可以为零，，并且偶次根式的根号内的值⾮负，所以?≠-+≥--08301522x x x 解得 -≠≠≥-≤11553x x x x 或或故其定义域 (]),5(3,11)11,(+∞----∞说明：对于给定解析式的函数的定义域的求法，通常考虑偶次根式的根号内的值应当⾮负，分式函数的分母不能为零，幂指数为零时，底数不为零等。
函数的定义域知识点及例题解析
函数的定义域知识点及例题解析函数是数学中的一种基本概念，是一种特殊的关系，它将某个集合的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在定义函数时，我们需要确定函数的定义域，即函数的输入值所属的集合。
函数的定义域知识点1. 函数的定义域是指函数的输入值所属的集合。
2. 函数的定义域可能包含实数集、整数集、有理数集或其他特定的数集。
3. 函数的定义域在确定函数的合法输入范围时起到关键作用。
4. 当函数存在分式、根式或对数等特殊形式时，需要注意定义域中不可取的值。
例题解析例题1：已知函数 f(x) = x^2 + 5，求函数 f(x) 的定义域。
解析：函数 f(x) = x^2 + 5 的定义域是所有实数集，因为任意实数都可以作为该函数的输入值。
例题2：已知函数g(x) = √(x + 3)，求函数 g(x) 的定义域。
解析：函数g(x) = √(x + 3) 的定义域需要满足√(x + 3) 中的被开方数 x + 3 大于等于 0，即x + 3 ≥ 0。
解这个不等式得到x ≥ -3。
所以函数g(x) 的定义域为x ≥ -3。
例题3：已知函数 h(x) = 1/(2x - 4)，求函数 h(x) 的定义域。
解析：函数 h(x) = 1/(2x - 4) 中的分母 2x - 4 不可以等于 0，否则会导致分母为零的情况。
所以要排除 2x - 4 = 0 的解。
解这个方程得到 x ≠ 2。
所以函数 h(x) 的定义域为x ≠ 2。
以上是关于函数的定义域知识点及例题解析。
通过理解函数的定义域，我们可以更好地掌握函数的性质和特点，从而更好地解决与函数相关的数学问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1) f(x+2)
2) f(3x)
3) f(x2)
4) f(lgx+5) 5) g(x)=f(-x)+f(x) 实质：已知中间变量u=g(X)的值域， 求x的 范围。 练习：已知函数f(x)的定义域为［－1,1），则 F(x)=f(1―x)+f(1―x2)的定义域为＿＿。
例3、函数f(2x)的定义域是［－1,1］，则 f(log2x)的定义域为______ 例4、已知函数f(x)=1/(x+1)，则f[f(x)]的定义 域为_____ 由值域求定义域：
1、y lg( x 2) x 1
x2 2、y (5x 4) 0 lg(4 x 3)
3、y
7 | x 2 |
lg(9 3 x )
2 4、f ( x) log( 2 x1) 3 3x 2 5、y 25 x lg cos x
5、用长为l的铁丝弯成下部的矩形，上部 分为半圆的框架（如图），若矩形的底边 长为2x，求此框架围成面积y与x的函数， 写出的定义域。
⑵问f(x)是否存在最大值和最小值？如果存在， 请把它写出来；如果不存在，说明理由。
四：定义域为R的数学问题
等价于对于一切实数恒成立问题 ax 1 例7：若函数y 的定义域为R, 3 ax2 4ax 3 则实数a的取值范围。
例8、若函数y=lg(4－a•2x)的定义域为R，
则实数a的取值范围是_______
课堂回顾：
求定义域的几种类型：
一类重要的数学问题：
例6、已知函数f(x)的定义域是(0,1], 求g(x)=f(x+a)+f(x-a)(其中-1/2<a≤0) 的定义域。
？把2改写成 以a为底的指 数和对数
综合2：
设函数
f ( x) log 2
x 1 log 2 ( x 1) log 2 ( p x) x 1
⑴求f(x)的定义域；
综合3： 已知函数f(x)=lg(mx2－4mx+m+3) 1）若f(x)的定义域为R，则实数m的取 值范围是_______ 2）若f(x)的值域为R，则实数m的取值 范围___________
候车亭|/
例9、渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保 证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最 大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼 群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率 成正比，比例系数为k(k＞0)。 ⑴写出y关于x的函数关系式并指出这个函数 的定义域；⑵求鱼群年增长量的最大值；⑶ 当鱼的年增长量达到最大值时，求实数k的取 值范围。
y
函数 此函数的定义域是＿＿＿＿＿
2x 5 x 3 的值域是{y|y≤0或y≥4}则
三、含参的函数的定义域
注意
2 a loga 2 log a a 2
例5、求函数f(x)=lg(ax－k•2x)(a>0且a≠1，
a≠2)的定义域。
D 2x
C
A
B
综合1：
x2 2 1）使解析式 log 2 x 4 x 3 无意 4 x 义
的x的取值范围是______________ 2）已知y是x的函数x=2t+2-t,y=4t+4-t-2t+2-22-t, 其中t∈R，求y=f(x)的函数解析式及其定义域
二、由y=f(x)的定义域，求复合函数 y=f(g(x))的定义域；或者反过来。 例2、设函数f(x)的定义域为[-2，9），求下 列函数的定义域：
认真听讲，及时总结，温故旧知
第十讲
函数的定义域
函数的独立元素：解析式；定义域
值域，性质
一、由函数解析式求定义域
明晰函数的约束条件→细致 求下列函数的定义域：
非空 数集
1、 y=lg(4x+3)
3、y=(5x-4)0
2、y=1/lg(4x+3)
4、y=x2/lg(4x+3)+(5x-4)0
例1、求下列函数的定义域