7年级数学下册第11章《三角形》章末复习(pdf版,含答案)
间的小三角形(如图 １)ꎻ对剩下的三角形再分别重复
以上做 法ꎬ ������ꎬ 将 这 种 做 法 继 续 下 去 ( 如 图 ２ꎬ 图 ３ꎬ
������) ꎬ则图 ６ 中挖去三角形的个数为
( Ｃ )
Ａ.１２１
Ｂ.３６２
Ｃ.３６４
Ｄ.７２９
∵ ∠１ 为△ＰＦＤ 的外角ꎬ ∴ ∠１ ＝ ∠α＋∠ＰＦＤ.∵ ∠２ 为△ＡＥＦ 的外角ꎬ ∴ ∠２＋∠Ａ ＝ ∠ＡＦＥꎬ ∵ ∠Ａ ＝ ６０°ꎬ∠ＡＦＥ ＝ ∠ＰＦＤꎬ ∴ ∠２ ＝ ６０°＋∠ＰＦＤꎬ ∴ ∠１－∠２ ＝ ∠α－６０°ꎬ ∴ ∠α＝ ∠１－∠２＋６０°ꎻ (３)如图(３)时:∠α＝ ∠２－∠１－６０°ꎻ 如图(４)时:∠α＝ ∠１－∠２＋６０°.
①判断三条线段能否组成三角形的依据ꎻ
②已知三角形的两边ꎬ求第三边的取值范围.
２.三角形三种重要的线段:
(１)三角形的高:如图ꎬＡＤ⊥ＢＣ 于点 Ｄꎬ
则线段 ＡＤ 是△ＡＢＣ 的高.
性质:
∵ ＡＤ 是△ＡＢＣ 的高ꎬ ∴ ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＤＣ ＝ ９０°.
(２) 三角形的中线:如图ꎬＤ 为△ＡＢＣ 的边 ＢＣ 的中点ꎬ
与三角形有关的角的性质及其应用
【 例 ２】 如图ꎬＢＤ 是△ＡＢＣ 的角平分线ꎬＥＤ∥ＢＣꎬ交 ＡＢ 于点 Ｅ. (１) 若∠Ａ ＝ ４４°ꎬ∠３ ＝ ６０°ꎬ求∠ＢＥＤ 的度数ꎻ
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八年级(上)册
(２) 若∠Ａ－∠２ ＝ ３１°ꎬ∠ＥＤＣ ＝ ７６°ꎬ求∠ＡＤＢ 的度数. 解:如图ꎬ∵ ∠３ ＝ ６０°ꎬ∴ ∠ＡＤＢ ＝ １２０°.
多边形的内角和及外角和的运用
【例 ３】在一个正多边形中ꎬ一个外角的度数等于一个内角
度数的
２ ７
ꎬ求这个正多边形的边数和它一个内角的度数.
分析:利用正多边形的特征ꎬ每个内角度数相同ꎬ每个
外角度数也相同ꎬ并且一个外角与一个内角互补ꎬ故可
设一个内角为 ｘꎬ然后据题意建立方程求解.
解:设这个正多边形的一个内角为 ｘꎬ则外角为 ２ ｘꎬ ７
答:这个三角形的三个内角分别为:１６° ꎬ９６° ꎬ６８° .
解:(１)∠Ｃ 的度数不会改变ꎬ为 ４５°.
(２)∠ＡＣＢ 的大小保持不变.理由:
∵ ∠ＡＢＮ ＝ ９０°＋∠ＯＡＢꎬ
ＡＣ 平分∠ＯＡＢꎬＢＤ 平分∠ＡＢＮꎬ
∴ ∠ＡＢＤ ＝ １ ∠ＡＢＮ ＝ １ (９０°＋∠ＯＡＢ)＝ ４５°＋ １ ∠ＯＡＢꎬ
１.一个三角形的三条边长分别为 １、２、ｘꎬ则 ｘ 的取值范围
是
( Ｄ )
Ａ.１≤ｘ≤３
Ｂ.１<ｘ≤３
Ｃ.１≤ｘ<３
Ｄ.１<ｘ<３
２.如图ꎬ已知 Ｄ、Ｅ 在△ＡＢＣ 的边上ꎬＤＥ
∥ＢＣꎬ∠Ｂ ＝ ６０°ꎬ∠ＡＥＤ ＝ ４０°ꎬ则 ∠Ａ
的度数为
( Ｃ )
Ａ.１００°
Ｂ.９０°
Ｃ.８０°
Ｄ.７０°
３.(１７������云南) 已知一个多边形的内角和是 ９００°ꎬ则这个
多边形是
( Ｃ )
Ａ.五边形 Ｂ.六边形 Ｃ.七边形 Ｄ.八边形
４.跟我学剪五角星:如图ꎬ先将一张长方形纸片按图①的
虚线对折ꎬ得 到 图 ②ꎬ 然 后 将 图 ② 沿 虚 线 折 叠 得 到 图
③ꎬ再将图③沿虚线 ＢＣ 剪下△ＡＢＣꎬ展开即可得到一
解:∵ ∠ＢＡＣ ＝ ５０°ꎬ∠Ｃ ＝ ５４°ꎬ ∴ ∠ＡＢＣ ＝ １８０°－∠Ｃ－∠ＢＡＣ ＝ ７６°ꎬ ∵ ＢＥ 平分∠ＡＢＣꎬ ∴ ∠ＡＢＥ ＝ １ ∠ＡＢＣ ＝ ３８°ꎬ ２ ∵ ＡＤ⊥ＢＣꎬ ∴ ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＡＤＢ ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＡＥＢ ＝ １８０°－∠ＢＡＣ－∠ＡＢＥ ＝ １８０°－５０°－３８° ＝ ９２°ꎬ ∠ＢＡＤ ＝ １８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ ＝ １８０°－７６°－９０° ＝ １４°ꎬ ∴ ∠ＡＯＢ ＝ １８０°－∠ＡＢＯ－∠ＢＡＯ ＝ １８０°－３８°－１４° ＝ １２８°ꎬ 即∠ＡＥＢ ＝ ９２°ꎬ∠ＡＯＢ ＝ １２８°.
则线段 ＡＤ 是△ＡＢＣ 的中线.
性质:
∵ ＡＤ 是△ＡＢＣ 的中线ꎬ
∴
ＤＢ ＝ ＤＣ ＝
１ ２
ＢＣꎬ
１ Ｓ△ＡＢＤ ＝ Ｓ△ＡＣＤ ＝ ２ Ｓ△ＡＢＣ .
(３)三角形的角平分线:如图ꎬ∠ＤＡＢ ＝ ∠ＤＡＣ ＝
１ ２
∠ＢＡＣꎬ
则线段 ＡＤ 是△ＡＢＣ 的角平分线.
性质:
∵ ＡＤ 是△ＡＢＣ 的角平分线ꎬ
钝角三角形 锐角三角形
(２)按边分类:
ìïï不等边三角形:三边互不相等
{
三角形 íï等腰三角形 î
腰≠底 腰 ＝ 底(等边三角形)
四.多边形
１.ｎ 边形的对角线:
①从一个顶点出发的对角线有 (ｎ－３) 条ꎬ分成的三
角形有 (ｎ－２) 个ꎻ
②ｎ 边形的对角线一共有
１ ２
ｎ( ｎ－３)
(提示:由图示规律容易知道从图 ２ 起ꎬ每个图中挖去的小三角形( 阴
影)个数均是上一个图形挖去的小三角形个数的 ３ 倍多 １ꎬ据此可选得
Ｃ.)
１２. 如 图ꎬ 在 △ＡＢＣ 中ꎬ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃꎬ
∠ＢＡＤ ＝ ４０°ꎬ 且 ∠ＡＤＥ ＝
２.注意到三角形的高线、中线、角平分线均是线段ꎬ要记 清它们分别的作用ꎬ特别注意中线对三角形的面积等 分作用ꎻ
３.利用三角形内角和定理及外角定理进行角度计算或推 理时ꎬ注意方程思想的运用ꎬ以及三角形外角与内角的 关系的运用ꎻ
４.记清多边形内角和及外角和ꎬ领悟推导它们的化归思 想.
Ａ 组 夯实基础
一.选择题:
第６题
第７题
三.解答题:
８.若三角形的一个内角是另一个角的 ６ 倍ꎬ而这两个角
的和比第三个角大 ４４°.求这个三角形的三个内角.
解:设另一个角为 ｘꎬ则这个角为 ６ｘꎬ第三个角:７ｘ－４４°ꎬ由题意得: ｘ＋６ｘ＋７ｘ－４４° ＝ １８０°ꎬ解得:ｘ ＝ １６° ∴ ６ｘ ＝ ９６°ꎬ７ｘ－４４° ＝ ６８°
第( ２) 题
第( ３) 题
分析:(１)注意到三角形三边关系定理的限制易得等
腰三角形的三边只能为 ７ꎬ７ꎬ３ꎬ故周长易得ꎻ(２) 由中线
的定义可知 △ＡＢＤ 与 △ＡＣＤ 的 周 长 之 差 体 现 为 ＡＢ 与
ＡＣ 的差ꎬ故易得ꎻ(３) 由高线定义可得.
解:(１)１７ꎻ(２)２ꎻ(３)ＨＤꎬＡＥ.
������
板的直角边和含 ４５° 角的三角板的一条直角边重合ꎬ 则∠１ 的度数为 ７５ 度.
６.如图ꎬ在四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬ∠Ａ ＝ ４５°.直线 ｌ 与边 ＡＢꎬＡＤ 分 别相交于点 ＭꎬＮꎬ则∠１＋∠２＝ ２２５° .
７.如图ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬ点 ＭꎬＮ 分别在 ＡＢꎬＢＣ 上ꎬ 将 △ＢＭＮ 沿 ＭＮ 翻折ꎬ得△ＦＭＮꎬ若 ＭＦ∥ＡＤꎬＦＮ∥ＤＣꎬ 则∠Ｂ ＝ ９５ °.
条.
２.ｎ 边形的内角和为 (ｎ－２)������１８０° .
３.ｎ 边形的外角和为 ３６０° .
五.三角形的稳定性:
三角形具有稳定性ꎬ而四边形或以上的多边形不具有
稳定性.
与三角形有关的线段的运用
【例 １】填空题: (１)一个等腰三角形的两边长分别是 ３ 和 ７ꎬ则它的周 长为 . (２)如图ꎬＡＤ 是△ＡＢＣ 的边 ＢＣ 上的中线ꎬ已知 ＡＢ ＝ ５ｃｍꎬ ＡＣ ＝ ３ｃｍꎬ则△ＡＢＤ 与△ＡＣＤ 的周长之差为 ｃｍ. ( ３ ) 若 Ｈ 是 △ＡＢＣ 三 条 高 ＡＤ、 ＢＥ、 ＣＦ 的 交 点ꎬ 则 △ＨＢＣ 中 ＢＣ 边上的高是 ꎬ△ＢＨＡ 中 ＢＨ 边上的高 是 .
由题意得:ｘ＋
２ ７
ｘ ＝ １８０°ꎬ
解得:ｘ ＝ １４０°ꎬ
故每一个外角为:１８０°－１４０° ＝ ４０°ꎬ
正多边形的边数为:３６０÷４０ ＝ ９.
答:这个正多边形的边数为 ９ꎬ每一个内角的度数为 １４０°.
１.(１７������金华) 下列各组数中ꎬ不可能成为一个三角形三
边长的是
( Ｃ )
Ａ.２ꎬ３ꎬ４
— ２１ —
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������
八年级(上)册
Ｂ 组 提高巩固
１１.(１７������德州) 观察下列图形ꎬ它是把一个三角形分别
连接这个三角形的中点ꎬ构成 ４ 个小三角形ꎬ挖去中
２
２
２
即∠ＡＢＤ ＝ ４５°＋∠ＣＡＢꎬ
又∵ ∠ＡＢＤ ＝ ∠Ｃ＋∠ＣＡＢꎬ
∴ ∠ＡＣＢ ＝ ４５°ꎬ
故∠ＡＰＢ 的大小不发生变化ꎬ且始终保持 ４５°.
９.如图ꎬＡＤ 是 △ＡＢＣ 的高ꎬＢＥ 平分 ∠ＡＢＣ 交 ＡＤ 于 Ｏꎬ ∠ＢＡＣ ＝ ５０°ꎬ∠Ｃ ＝ ５４°. 求:∠ＡＥＢ 和∠ＡＯＢ 的度数.
二.与三角形有关的角:
１.三角形的内角和定理: 三角形内角和等于 １８０° ꎻ
应用:
①已知两内角的度数ꎬ求第三个内角的度数ꎻ
②根据内角和 １８０°度列方程.
２.三角形的外角性质: 任一个外角都等于不相邻的两内角之和 .
三.三角形的分类:
(１)按角分类:
ìïï直角三角形
{
三角形 íï斜三角形 î
个五角星.若想得到一个正五角星( 如图④ꎬ正五角星
的 ５ 个角都是 ３６°) ꎬ则在图③中应沿什么角度剪? 即
∠ＡＢＣ 的度数为
( Ａ )
Ａ.１２６°
Ｂ.１０８° Ｃ.９０°
Ｄ.７２°
二.填空题:
５.如图ꎬ将一副直角三角板如图放置ꎬ使含 ３０° 角的三角
������
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人教版 八年级数学 第11章 三角形 章末复习 (含答案)
人教版八年级数学第11章三角形章末复习（含答案）一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC中，AC边上的高是()图A．线段DA B．线段BAC．线段BC D．线段BD2. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是()A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性3. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为()A．7 B．8 C．9 D．104. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°5. 如图，为估计池塘岸边A，B两地之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝8米，那么A，B两地之间的距离可能是()A．2米B．15米C．18米D．28米6. 若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是()A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形7. 将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形8. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为()A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或99. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图所示是一幅电动伸缩门的图片，则电动门能伸缩的几何原理是__________________________．12. (2019•怀化)若等腰三角形的一个底角为72 ，则这个等腰三角形的顶角为___ _______．13. 有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A 处行走的路程是.14. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.16. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°.三、解答题（本大题共5道小题）17. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．18. 等面积法如图，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N.求证：AM＝AN.19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．20. 如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求∠C的度数．21. 已知：如图11－Z－12，在△ABC中，∠ABC＝∠C，D是AC边上一点，∠A ＝∠ADB，∠DBC＝30°.求∠BDC的度数．人教版八年级数学第11章三角形章末复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】D3. 【答案】C[解析] 设第三边的长为x，由三角形三边关系可得，4－1＜x＜4＋1，即3＜x＜5.由于第三边长为整数，因此x＝4，所以该三角形的周长为9.4. 【答案】A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC 可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.5. 【答案】B[解析] 设A，B两地之间的距离为x米．依据题意，得10－8＜x ＜10＋8，即2＜x＜18，所以A，B两地之间的距离可能是15米．6. 【答案】A [解析] 由于正多边形的外角和为360°，且每一个外角都相等，因此边数＝360°40°＝9.7. 【答案】C[解析] 如图①，沿虚线剪开即可得到两个直角三角形．如图②，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图③，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．8. 【答案】D[解析] 设内角和为1080°的多边形的边数为n ，则(n －2)×180°＝1080°，解得n ＝8.则原多边形的边数为7或8或9.故选D.9. 【答案】C10. 【答案】C[解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP ＝∠1＋∠BCP ＝∠ACB ＝70°. ∴∠BPC ＝180°－∠2－∠BCP ＝180°－70°＝110°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】四边形具有不稳定性12. 【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．13. 【答案】30米 [解析] 360°÷24°=15，利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A 处时，恰好沿着正十五边形的边走了一圈，即可求得路程为15×2=30(米).14. 【答案】75【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.15. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.16. 【答案】(m22020)三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】解：设这个多边形的边数是n.依题意，得(n －2)×180°＝3×360°－180°， 解得n ＝7.∴这个多边形的边数是7.18. 【答案】证明：∵BE ，CF 均是△ABC 的中线， ∴S △ABE ＝S △ACF ＝12S △ABC .∵BE ＝CF ，AM ⊥CF 于点M ，AN ⊥BE 于点N ， ∴12AM·CF ＝12AN·BE. ∴AM ＝AN.19. 【答案】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A ＝50°. ∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠CBD ＝65°. (2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE ＝65°， ∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.20. 【答案】解：∵∠NBC＝60°，∠NBA＝∠BAS＝45°，∴∠ABC＝∠NBC－∠NBA＝60°－45°＝15°.又∵∠BAC＝∠BAS＋∠SAC＝45°＋30°＝75°，∴在△ABC中，∠C＝180°－(75°＋15°)＝90°.21. 【答案】解：设∠C＝x°，则∠ABC＝x°，∠ABD＝x°－30°.∵∠ADB是△DBC的外角，∴∠ADB＝30°＋x°，于是∠A＝30°＋x°.在△ABD中，2(30＋x)＋(x－30)＝180，解得x＝50.故∠BDC＝180°－(30°＋50°)＝100°.。
部编数学八年级上册第十一章三角形章末检测卷(解析版)含答案
第十一章三角形章末检测卷（人教版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）下列图形具有稳定性的是（）A．①②B．③④C．②③D．①②③【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C．【点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．2．（2022·绵阳市·八年级课时练习）刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（）A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行【答案】B【分析】利用三角形的三边关系可得答案．【详解】解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．3．（2022•甘井子区期末）在△ABC中，画边BC上的高，正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．【解答】解：A ．此图形中AD 是BC 边上的高，符合题意；B ．此图形中CE 不是BC 边上的高，不符合题意；C ．此图形中BE 是AC 边上的高，不符合题意；D ．此图形中BG 是△BCG 中BC 边上的高，不符合题意；故选：A ．【点评】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点4．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）给出下列命题：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③三角形的外角等于两个内角的和；④三角形的角平分线是射线；⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据等边三角形的性质可以判断①，根据三角形重心的定义可判断②，根据三角形内角和定理可判断③，根据三角形角平分线的定义可以判断④，根据三角形的内角的定义可以判断⑤，根据三角形的高的定义以及直角三角形的高可以判断⑥．【详解】①等边三角形是等腰三角形，①正确；②三角形的重心是三角形三条中线的交点，②正确；③三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故③不正确；④三角形的角平分线是线段，故④不正确；⑤三角形相邻两边组成的角且位于三角形内部的角，叫三角形的内角，⑤错误；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内或在三角形外或者在三角形的边上．正确的有①②，共计2个，故选B【点睛】本题考查了命题的判断，等边三角形的性质，三角形的重心，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，三角形的内角的定义，三角形垂心的位置，掌握相关性质定理是解题的关键．5．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图，1Ð为ABC V 的一个外角，点E 为边AB 上一点，延长CA 到点F ，连接EF ，则下列结论错误的是（ ）A ．23Ð>ÐB ．12B Ð=Ð+ÐC ．F B Ð>ÐD ．13FÐ>Ð+Ð【答案】C 【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可．【详解】∵23F Ð=Ð+Ð，∴23Ð>Ð，故A 选项正确，不符合题意；由三角形外角性质即可直接得出12B Ð=Ð+Ð，故B 选项正确，不符合题意；没有条件可以证明出B Ð和F Ð的关系，故C 选项错误，符合题意；∵12B Ð=Ð+Ð，23F Ð=Ð+Ð，∴13F B Ð=Ð+Ð+Ð，∴13F Ð>Ð+Ð，故D 选项正确，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本题的关键．6．（2021·重庆南岸·八年级期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图ABC V 的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．26C ．30D ．39【答案】B 【分析】正ABC D 中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正ABC D 全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：13678´=（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：264104´=（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5630´=（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：781043013225+++=（个），∴图中阴影部分面积为：787526225´=，故选：B．【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．7．（2022春•秦淮区期中）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）A．57°B．60°C．63°D．70°【分析】由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，依据∠BDG是△BDF是外角，即可得到∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进而得到原三角形的∠B为63°．【解答】解：如图，由折叠可得，∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG ，∵∠BDG 是△BDA 是外角，∴∠DBA ＝∠BDG ﹣∠A ＝82°﹣40°＝42°，∴∠ABE ＝∠ABE ＝21°，∴∠ABG ＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B 为63°，故选：C ．【点评】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠FBE ＝∠ABE ＝∠ABG 是解答此题的关键．8．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD Ð=°，则A B D E Ð+Ð+Ð+Ð=（ ）A ．220°B ．240°C ．260°D ．280°【答案】D 【分析】连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∵∠BCD =100°，∴∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∴∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．9．（2022春•宜兴市校级月考）如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）个．A．0B．1C．2D．3【分析】延长EP交AB于G，根据角平分线的定义可得∠1＝∠AEP=12∠AEB，∠2＝∠PFD=12∠AFD，再根据邻补角的定义求出∠BCF＝45°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别用∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可判断出①②正确，再求出∠PEB+∠PFD＝45°，判断出③正确．【解答】解：如图，延长EP交AB于G，∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠AEP=12∠AEB，∠2＝∠PFD=12∠AFD，∵∠BCD＝135°，∴∠BCF＝180°﹣135°＝45°，在△AEG中，∠EGB＝∠A+∠AEP＝45°+∠1，在△BCF中，∠EBG＝∠AFD+∠BCF＝2∠2+45°，在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG＝180°，即∠1+45°+∠1+2∠2+45°＝180°，解得∠1+∠2＝45°，在△GFP中，∠EPF＝∠EGB+∠2＝45°+∠1+∠2＝45°+45°＝90°，∴EP⊥FP，故①正确；∠AEB+∠AFD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝90°＝∠P，故②正确；∵∠PEB+∠PFD＝∠1+∠2＝45°，∴∠A＝∠PEB+∠PFD＝45°，故③正确．综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选：D．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出三角形并求出∠1+∠2＝45°是解题的关键．10．（2022·浙江杭州·七年级阶段练习）如图，已知长方形ABCD，连接BD，P是BD上的一点，连接AP，CP ，1S ，2S ，3S ，4S 分别表示ABP △，ADP △，BCP V ，CDP V 的面积，则下列等式不正确的是（ ）．A ．3142S S S S =B ．1423S S S S =C ．1432S S S S +=+D ．1234S S S S +=+【答案】B【分析】根据题意得：△ABP 和△ADP 的高相等，△ABD 和△BCD 的面积相等，从而得到12S BP S DP =，1234S S S S +=+，故D 正确，43S BP S DP =，可得3124S S S S =，故B 错误，从而得到312411S S S S +=+，可得341224S S S S S S ++=，进而得到24S S =，可得到3142S S S S =，1432S S S S +=+故A 、C 正确，即可求解．【详解】解：根据题意得：△ABP 和△ADP 的高相等，△ABD 和△BCD 的面积相等，∴12S BP S DP=，1234S S S S +=+，故D 正确，不符合题意；同理43S BP S DP=，∴3124S S S S =，故B 错误，符合题意；∴312411S S S S +=+，∴341224S S S S S S ++=，∵1234S S S S +=+，∴24S S =，∴13S S =，∴3142S S S S =，1432S S S S +=+故A 、C 正确，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了长方形分割多个三角形的关系，等式基本性质，熟练掌握长方形分割多个三角形的关系，等式基本性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·湖南·师大附中一模）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是点 。
第11章三角形-2020-2021学年上学期八年级数学期末复习冲刺(人教版)(解析版)
第11章三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数＝3608 45︒=︒，∴这个正多边形的边数是8．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为360°是解题关键．2．如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）A．1根B．2根C．3根D．4根【答案】A【解析】【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可．【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条．故选A ．【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．3．如图,△ABC 中,AE ⊥BC 于点E,AD 为BC 边上的中线,DF 为△ABD 中AB 边上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,△ABC 的面积为12cm 2.求△ABD 与△ACD 的周长的差( )A ．3B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】根据中线的性质得到BD=CD ，根据周长的计算公式计算即可；【详解】∵AD 为BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△ABD 与△ACD 的周长的差=(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB −AC=2cm.故选择C.【点睛】本题考查三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质.4．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别为,BC AD 的中点，2EF FC =，若ABC ∆的面积为a ，则BEF ∆的面积为（ ）A ．6aB ．4aC ．3aD ．38a 【答案】C【解析】【分析】根据高相同，底成比例的两个三角形的面积也成比例即可得出答案.【详解】∵ABC ∆的面积为a ，D 为BC 的中点 ∴11S S S 22ABD ACD ABC a === ∵E 为AD 的中点 ∴11S S S 24ABE BED ABD a ===同理：11SSS 24ACE CED ACD a === ∴1S S S 2CBE BED CED a =+= ∵EF=2FC∴S2S BEF BFC = 即21S 33BEF BEC S a == 故答案选择C.【点睛】本题考查的是三角形的基本概念.5．下列命题中：①长为5cm 的线段AB 沿某一方向平移10cm 后，平移后线段AB 的长为10cm ；②三角形的高在三角形内部；③六边形的内角和是外角和的两倍；④平行于同一直线的两直线平行；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等，真命题个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】利用平移的性质、三角形高的定义、多边形的外角与内角、平行线的性质分别判断出正确答案的个数，即可得出答案.【详解】①：平移不改变图形的形状和大小，故选项①错误；②：直角三角形的高在三角形的边上，钝角三角形的高在三角形的外面，故选项②错误；③：六边形的外角和360°，六边形的内角和720°，故选项③正确；④：平行于同一条直线的两条直线平行，故选项④正确；⑤：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故选项⑤错误.因此正确的个数有两个，答案选择A.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平移的性质、三角形的高的定义、多边形的外角与内角、平行线的性质等知识，难度不大.6．如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（）①②③④A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】【分析】根据角平分线性质，即可得到DE=DC；根据全等三角形的判定与性质，即可得到BE=BC，△BDE≌△BDC．【详解】解：∵∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，故①正确；又∵∠C=∠BEC=90°，BD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正确；∴BE=BC，故②正确；∵Rt△ADE中，AD＞DE=CD，∴AD=DC不成立，故③错误；故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．7．等腰直角三角形的腰长为2，该三角形的重心到斜边的距离为（）A．223B．23C．23D．13【答案】D【解析】【分析】作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出．【详解】如图,根据三线合一的性质,底边上的中线CD=2sin45°=1，∵三角形的重心到三角形顶点的距离等于中点距离的2倍，∴重心到AB 的距离=1×13=13. 故选D.【点睛】此题考查等腰直角三角形，三角形的重心，解题关键在于画出图形8．如图，△CEF 中，∠E=70°，∠F=50°，且AB ∥CF ，AD ∥CE ，连接BC ，CD ，则∠A 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．【详解】连接AC 并延长交EF 于点M ．∵AB CF ，∴31∠=∠，∵AD CE ，∴24∠∠=，∴3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵180180705060FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴60BAD FCE ∠=∠=︒，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．9．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ）A ．8B ．9.6C ．10D ．12【答案】B【解析】【分析】如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ⊥与E.AD 是ABC ∆的中线,BC =12,∴BD=6,10,8,6,AB AD BD ===∴ 222AB AD BD =+,90,ADB ∴∠=,AD BC ∴⊥ 11,22ABC S BC AD AB CE ∆== 1289.6.10CE ⨯∴== 故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.10．一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将A ．增加 180°B ．减少 180°C ．不变D ．不变或增加 180°或减少 180°【答案】D【解析】【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．【详解】∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，∴内角和为180°或360°或540°．故选D【点睛】本题考查了多边形．能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 11．下列说法中不正确的是（ ）A ．内角和是1080°的多边形是八边形B ．六边形的对角线一共有8条C ．三角形任一边的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形D ．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°【答案】B【解析】【分析】根据各选项逐个判断说法是否正确即可.【详解】A 根据正多边形的内角和计算公式可得：(82)1801080︒︒-⨯=，因此A 说法正确;B 选项说法不正确，六边形的对角线有18条；C 正确，因为每个边上的高是相等的，只要边上的中线则分成的两个三角形的面积相等;D 正确，根据多边形的内角和的计算公式可得每增加一条边，正多边形的内角增加180°.故选B.【点睛】本题主要考查正多边形的性质，这些选项都是基本性质，必须掌握.12．有两条线段长度分别为：2cm ，5cm ，再添加一条线段能构成一个三角形的是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】D【解析】【分析】先根据三角形的三边关系确定第三边的范围，再判断各选项即可.【详解】解：∵有两条线段长度分别为：2cm ，5cm ，∴设第三条边长为acm ，故5﹣2＜a ＜5+2，则3＜a ＜7，故再添加一条线段长为4cm 时，能构成一个三角形．故选D ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.二、填空题13．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，且ACB BAD ∠=∠，AE 平分CAD ∠，交BC 于点E ，过点E 作EF AC ，分别交AB 、AD 于点F 、G ．则下列结论：①90BAC ∠=︒；②AEF BEF ∠=∠；③BAE BEA ∠=∠；④2B AEF ∠=∠，其中正确的有_____．【答案】①③④【解析】【分析】利用高线和同角的余角相等，三角形内角和定理即可证明①，再利用等量代换即可得到③④均是正确的，②缺少条件无法证明．【详解】由已知可知∠ADC=∠ADB=90°, ∵∠ACB ＝∠BAD∴90°-∠ACB=90°-∠BAD ，即∠CAD=∠B, ∵三角形ABC 的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°，∴∠CAB=90°，①正确，∵AE 平分∠CAD ，EF ∥AC ，∴∠CAE=∠EAD=∠AEF ，∠C=∠FEB=∠BAD ，②错误，∵∠BAE=∠BAD+∠DAE ，∠BEA=∠BEF+∠AEF,∴∠BAE ＝∠BEA ，③正确，∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF ，④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了三角形的综合性质，高线的性质，平行线的性质，综合性强，难度较大，利用角平分线和平行线的性质得到相等的角，再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键．14．如图，E ∠是六边形ABCDE 的一个内角.若120E ∠=︒，则A B C D F ∠+∠+∠+∠+∠的度数为________.【答案】600︒【解析】【分析】根据多边形的内角和=（n-2）x180求出六边形的内角和，把∠E =120°代入，即可求出答案.【详解】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180=720° ∵∠E=120°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F=720°-120°=600° 故答案为600°【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能知道多边形的内角和公式是解此题的关键，边数为7的多边形的内角和=（n-2）×180°. 15．如图，直线12l l ，1110∠=︒，2130∠=︒，那么3∠的度数为___________度.【答案】60【解析】【分析】如图利用平行线的性质求出∠4，再根据三角形的外角的性质解决问题即可．【详解】解：∵l 1∥l 2，∴∠1＋∠4＝180°，∵∠1＝110°，∴∠4＝70°，∵∠2＝∠3＋∠4，∠2＝130°，∴∠3＝130°−70°＝60°，故答案为60．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．，点E是AC中点，若△CDE面积为1，则△ABC的16．如图，△ABC中，点D在BC上，且BD2DC面积为____.【答案】6【解析】【分析】根据等底同高的两个三角形的面积公式得到△ADC的面积，然后根据△ABC与△ADC的底边的数量关系来求△ABC．【详解】∵△CDE面积为1，点E是AC中点，∴S△ADC=2S△CDE=2．又∵BD=2DC，∴S△ABC=3S△ADC=6．故答案是：6．【点睛】考查了三角形的面积，熟记等底同高、同底等高三角形面积间的数量关系即可解答.三、解答题17．（1）如图，△ABC, ∠ABC、∠ACB 的三等分线交于点E、D，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数．（2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若∠1=110°，∠2=130°，求∠A 的度数．【答案】（1）∠A=60°，（2）∠A=60°【解析】【分析】(1)由三角形内角和及三等角平分线的定义可得到方程组，则可求得∠ABC+∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠A．（2）由三角形外角可得∠DBC=20°由三等角平分线的定义可得∠ABC=60°，三角形内角和可得∠ECB=30°，角平分线的定义可得∠ACB=60°，由三角形内角和可得∠A=60°．【详解】解：（1）∵∠ABC、∠ACB 的三等分线交于点E、D设∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=;ABE EBD DBC x ACE ECD DCB y，, ∠ABC=3x，∠ACB=3y∴∠=∠=22EBC x ECB y∠∠+∠=∠+∠+∠=1+180,2180EBC DCB ECB DBC130+2x+y=180110+2y+x=180⎧∴⎨⎩①②①+②得：240°+3x+3y=360° 即3x+3y=120°∴∠ABC+∠ACB=120°∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-120°=60° （2）∵∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点 D,E;ABD DBE EBC x ACE DCB y ∴∠=∠=∠=∠=∠=设32ABC x ACB y ∴∠=∠=，710879=1209÷ 【点睛】掌握三角形内角和和外角和以及角的三等分线及角平分线是解题的关键．18．如图是某厂生产的一块模板，已知该模板的边//AB CF ，//CD AE ，按规定AB ，CD 的延长线相交成70︒角，因交点不在模板上，不便测量，这时师傅规定徒弟只需测一个角，便知道AB ，CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.【答案】测A ∠或C ∠的度数，只需110A ∠=︒或110C ∠=︒，见解析.【解析】【分析】连接AF ，由AB ∥CF 可证明360BAE E EFC ∠+∠+∠=︒，设AB ，CD 延长线交于点M ，若∠M =70°，则在五边形AEFCM 中，∠C =540°－360°－70°=110°，即当∠C =110°时，可知AB ，CD 的延长线的夹角合乎规定，再按此思路整理写出即可.【详解】解：测A ∠或C ∠的度数，只需110A ∠=︒或110C ∠=︒，即知模板中AB ，CD 的延长线的夹角是否符合规定，理由如下：连接AF .因为//AB CF ，所以180BAF AFC ∠+∠=︒.又因为180EAF E AFE ∠+∠+∠=︒，所以360BAE E EFC ∠+∠+∠=︒.若110C ∠=︒，则AB ，CD 延长线的夹角∠M 54036011070=︒-︒-︒=.即符合规定；同理，若连接CE ，当110A ∠=︒时，也可说明AB ，CD 延长线的夹角为70°，符合规定.【点睛】此题考查了多边形的内角和和平行线的性质的实际应用，解题的关键是通过连接AF 架起已知和所求的桥梁，进而解决问题.19．（1）如图，四边形ABCD 中，30A ∠=︒，60B ∠=︒，20C ∠=︒，则ADC ∠=________. （2）对于任意的凹四边形ABCD ，猜想A ∠，B ，C ∠与ADC ∠的大小关系，并证明.（3）一个零件的形状如图所示，按规定，A ∠应等于40︒，B 与C ∠应分别是70︒和25︒，工人检验140ADC ∠=︒，就断定这个零件不合格，请你运用上述结论，说明零件不合格的理由.【答案】（1）110︒；（2）ADC A B C ∠=∠+∠+∠，见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）延长AD 交BC 于E ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ADC ； （2）连接BD 并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ADC.（3）延长AD 交BC 于E ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ADC ，然后即可判断．【详解】（1）延长AD 交BC 于E ，∵∠A=30°,∠B=60°，∴∠AEC=∠A+∠B=30°+60°=90°，∵∠C=20°，∴∠ADC=∠C+∠AEC=20°+90°=110°. （2）ADC A B C ∠=∠+∠+∠.证明：连接BD 并延长，如图所示.在ABD △中，13∠=∠+∠A ，在BCD 中，24C ∠=∠+∠，1234A C ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠，即ADC ABC A C ∠=∠+∠+∠.（3）延长AD 交BC 于E ，∵∠A=40°,∠B=70°，∴∠AEC=∠A+∠B=40°+70°=110°，∵∠C=25°，∴∠ADC=∠C+∠AEC=25°+110°=135°. 又∵∠ADC=140°，∴这个零件不合格.【点睛】此题考查多边形内角与外角了，三角形的外角性质，解题关键在于作辅助线.20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD折叠得到△AED，点E落在CD上，∠B=50°，∠C=30°．（1）填空：∠BAD= 度；（2）求∠CAE的度数．【答案】（1）40；（2）20°【解析】【分析】（1）直接根据三角形内角和定理求出∠BAD的度数；（2）先根据图形折叠的性质求出∠AED的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∵AD是BC边上的高，∠B=50°，∴∠BAD=180°-90°-50°=40°．故答案为40；（2）∵△AED是由△ABD折叠得到，∴∠AED=∠B=50°，∵∠AED是△ACE的外角，∴∠AED=∠CAE+∠C，∴∠CAE=∠AED-∠C=50°-30°=20°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．21．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm2.（1）求△ABD与△BEC的面积；（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？【答案】（1）10，10；（2）相等，理由，见解析【解析】【分析】（1）要计算△ABE与△BCE的面积，可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12BD·h，S△ACD=12CD·h；再根据中点的定义得BD=CD，然后利用等量代换即可得到S△ABD=S△ACD，同理S△ABE=S△BCE，再结合△ABC的面积即可解决；（2）结合上面的推理可得S△ABE=S△ABD，再根据图形可知S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，【详解】（1）可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12BD·h，S△ACD=12CD·h，∵点D是BC边的中点，∴BD=CD.∴S△ABD=S△ACD，同理S△ABE=S△BCE，∴S△ABD=S△BCE=12S△ABC=12×20=10（cm2）.（2）△AOE与△BOD的面积相等，理由如下.根据（1）可得：S△ABE=S△ABD，∵S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴S△AOE=S△BOD.【点睛】此题考查中点的定义和三角形面积的计算方法，掌握定义及公式是解题的关键；22．如图为一个正n 边形的一部分，AB 和DC 延长后相交于点P ，若∠BPC=120°，求n ．【答案】n=12．【解析】试题分析:因为是正多边形,所以外角相等,根据∠BPC =120°,利用三角形内角和可求出正多边形的外角,再利用多边形外角等于360°,即可求出正多边形的边数. 试题解析:∵PB =PC ,∠BPC =120°, ∴∠PBC =∠PCB =12（180°﹣∠BPC ）=30°, 即正n 边形的一个外角为30°, ∴n =36030︒︒=12． 23．已知，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，A(a ，b)满足64a b -+-＝0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．OA ∥CB ．（1）填空：a ＝_______，b ＝_______，点C 的坐标为_______；（2）如图1，点P(x ，y)在线段BC 上，求x ，y 满足的关系式；（3）如图2，点E 是OB 一动点，以OB 为边作∠BOG ＝∠AOB 交BC 于点G ，连CE 交OG 于点F ，当点E 在OB 上运动时，OFC FCG OEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【答案】（1）()6,4,0,4-；（2）2312x y -=；（3）不变，2OFC FCG OEC∠+∠=∠． 【解析】【分析】（14b -=0，可得,a b 的值，再根据AB=OC ，且C 在y 轴负半轴上，可得C 的坐标； （2）过点P 分别作P M ⊥x 轴于点M ，P N ⊥y 轴于点N ，连接OP ，根据BOC POB POC SS S =+，可得,x y 满足的关系式；（3）由//BC OA ，证明,AOB OBC ∠=∠结合已知条件可得,BOG CBO ∠=∠ 再利用三角形的外角的性质证明∠OGC=2∠OBC ，∠OFC=∠FCG+∠OGC ，得到∠OFC+∠FCG =2∠OEC ，从而可得结论．【详解】解：（1）∵ 40b -=，∴60,40a b -=⎧⎨-=⎩∴6,4a b =⎧⎨=⎩ 4,6,AB OB ∴==由平移得：4,OC =且C 在y 轴负半轴上，()0,4,C ∴-故答案为：()6,4,0,4-；（2）如图，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，连接OP ．∵AB ⊥x 轴于点B ，且点A ，P ，C 三点的坐标分别为：()()()6,4,,,0,4,x y -∴OB=6，OC=4，,,PM y PN x =-= ∴()1111462222BOC POC POB S S S OC PN OB PM x y =+=•+•=⨯+⨯⨯- 23x y =-，而116412,22BOC S OB OC =•=⨯⨯=2312,x y ∴-=∴,x y 满足的关系式为：2312,x y -=（3） OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2． 理由如下：∵线段OC 是由线段AB 平移得到，∴//,OA CB ，∴∠AOB=∠OBC ，又∵∠BOG=∠AOB ，∴∠BOG=∠OBC ，根据三角形外角性质，可得∠OGC=2∠OBC ，∠OFC=∠FCG+∠OGC ，,OEC FCG OBC ∠=∠+∠∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC =2（∠FCG+∠OBC ） =2∠OEC ，∴22OFC FCG OEC OEC OEC∠+∠∠==∠∠； 所以：OFC FCG OEC ∠+∠∠的值不变，值为2．【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，三角形的外角的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解． 24．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三条边，且满足23a b c +=-，26a b c -=-，a b >． （1）求c 的取值范围．（2）若ABC ∆的周长为12，求c 的值．【答案】（1）36c <<；（2）5c =．【解析】【分析】(1)根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解；(2)根据23a b c +=-得三角形的周长为33-c 等于12，即可求出c 的值．【详解】解：（1）∵a ，b ，c 分别为ABC ∆的三条边，且23a b c +=-，26a b c -=-，∴23,26,c c c c ->⎧⎨-<⎩ 解得36c <<．故答案为：36c <<．（2）∵ABC ∆的周长为12，23a b c +=-，∴3312a b c c ++=-=，解得5c =．故答案为：5c =．【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《第11章 三角形》期末综合复习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《第11章三角形》期末综合复习题（附答案）一．选择题（共9小题）1．若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1B．5C．7D．92．图中三角形的个数是（）A．8B．9C．10D．113．如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．下列图中具有稳定性的是（）A．B．C．D．5．下列说法中错误的是（）A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的外角和都是360°C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．平行于同一直线的两条直线互相平行6．四边形的内角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．现有长度分别为20cm，30cm的两根木条，从下面四根木条中选取一根，首尾相接能连成一个三角形木架，则应选取的是（）A．10cm B．20cm C．50cm D．60cm8．已知直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角的度数为（）A．25°B．65°C．75°D．不能确定9．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°二．填空题10．在△ABC中，∠A＝52°，∠B＝102°，则∠C＝．11．正五边形的内角和为°，外角和为°．12．如图，有下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠B+∠ACB＝180°﹣∠A；③∠A+∠ACB＜180°；④∠HEC＞∠B．其中，正确的是（填上你认为正确的所有的序号）．13．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B ＝．14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．15．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC＝．三．解答题16．如图，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠2，∠3＝∠4，IE⊥BC于点E，（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，则∠5＝，∠6＝．（2）猜想∠5、∠6的数量关系是：．（3）请对你的猜想进行证明．17．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80度．（1）如图1，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．18．已知，如图，△ABC中，点D在BC上，且∠1＝∠C，∠2＝2∠3，∠BAC＝70°．（1）求∠2的度数；（2）若画∠DAC的平分线AE交BC于点E，则AE与BC有什么位置关系，请说明理由．19．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，则∵∠ACD﹣∠ABD＝∠∴∠ACD﹣∠ABD＝°∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1CD﹣∠A1BD＝（∠ACD﹣∠ABD）∴∠A1＝°；（2）根据①中的计算结果写出∠A与∠A1之间等量关系；（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、A n，请写出∠A6与∠A的数量关系；（4）如图，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．20．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：根据三角形的三边关系，得：第三边＞两边之差，即4﹣3＝1，而＜两边之和，即4+3＝7，即1＜第三边＜7，∴只有5符合条件，故选：B．2．解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形．故选：B．3．解：∵直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，∴∠1＝∠4＝40°，∠2＝∠5＝75°，∴∠3＝65°．故选：C．4．解：因为三角形具有稳定性，而只有C是全部由三角形结构组成．故选C．5．解：A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段说法正确，故此选项不符合要求；B、任意三角形的外角和都是360°说法正确，故此选项不符合要求；C、两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时，内错角才能相等，此说法错误，故此选项符合要求；D、平行于同一直线的两条直线互相平行，说法正确，故此选项不符合要求；故选：C．6．解：四边形的内角和＝（4﹣2）•180°＝360°．故选：B．7．解：设第三根木条的长为lcm，∵△的另外两边分别为20cm，30cm，∴30cm﹣20cm＜l＜20cm+30cm，即10cm＜l＜50cm．∴四个选项中只有B符合题意．故选：B．8．解：∵直角三角形的两个锐角互余，而一个锐角为25°，∴另一个锐角的度数为90°﹣25°＝65°．故选：B．9．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．故选：B．二．填空题10．解：∵∠A＝52°，∠B＝102°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣52°﹣102°＝26°．故答案为26°．11．解：∵n边形的内角和公式（n﹣2）•180°，∴正五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，外角和为360°，故答案为540°；360°．12．解：①∠A＜∠ACD，故①错误；②∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，故②正确；③∠A+∠ACB＜180°，故③正确；④∠HEC＝∠AED＞∠ACD＞∠B，则∠HEC＞∠B，故④正确．故答案为：②③④．13．解：∵∠ACD＝∠A+∠B，∠A＝80°，∠ACD＝150°，∴∠B＝70°．故答案为：70°．14．解：第一个是1×3，第二个是2×4，第三个是3×5，…第n个是n•（n+2）＝n2+2n故答案为：n2+2n．15．解：如图，连接AO并延长，∵∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，∴∠BOC＝∠A+∠1+∠2，＝80°+15°+40°，＝135°．故答案为：135°．三．解答题16．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠BAD＝20°+30°＝50°，同理可得∠6＝50°，故答案为：50°，50°；（2）猜想∠5＝∠6；（3）证明：∵∠5＝∠BAD+∠1＝（∠A+∠B）＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，∠6＝90°﹣∠3＝90°﹣∠C，∴∠5＝∠6．17．解：（1）因为∠A+∠B+∠C+∠D＝360，∠B＝∠C，所以∠B＝∠C＝．（2）∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°．又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°，∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣40°﹣80°＝60°．或解：∵BE∥AD，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝80°，∴∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠A﹣∠D＝60°．（3）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣140°﹣80°＝140°．∵∠EBC＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD，∴∠E＝180﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣×140°＝110°．18．解：（1）∵∠1＝∠C，∠2＝2∠3，∴∠C＝∠1＝∠2+∠3＝2∠3+∠3＝3∠3，∵∠BAC+∠2+∠C＝180°，即70°+2∠3+3∠3＝180°，∴∠3＝22°，∴∠2＝2∠3＝44°；（2）AE⊥BC，∵∠DAC＝∠BAC﹣∠3＝70°﹣22°＝48°，又∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝24°∴∠1＝3∠3＝66°，∴∠AED＝180﹣∠1﹣∠DAE＝180°﹣66°﹣24°＝90°，即AE⊥BC．19．解：（1）∠A；70°；35°；（2）∠A＝2∠A1；（3）∠A＝64∠A6；（4）∵∠ACD﹣∠ABD＝∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD 的平分线∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠BAC，∵∠AEC+∠ACE＝∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，∴∠QEC+∠QCE＝（∠AEC+∠ACE）＝∠BAC，∴∠Q＝180°﹣（∠QEC+∠QCE）＝180°﹣∠BAC，∴∠Q+∠A1＝180°．因此①∠Q+∠A1的值为定值正确．20．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°．∵∠A＝∠AOC，∴∠B＝∠BOC；（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°，∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA．∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，∴∠DOB＝30°，∴∠A＝30°；（3）∠P的度数不变，∠P＝30°，∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC，∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM＝∠AOM＝（90°﹣∠AOC）＝45°﹣∠AOC，∠PCO＝∠BCO＝（∠A+∠AOC）＝∠A+∠AOC．∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）＝45°﹣∠A＝30°．。
七年级数学下册第11章三角形复习课件
章末复习
一、三角形知识结构图
三角形的边 与三角形有 关的线段 高线 中线 角平分线 三边之间的关系 性质 尺规作图
作三 角形
三 角 形
三角形内角和
内角与外角关系
直角三角形两锐角互余
定义
对应边相等 三角形全等
性质
对应角相等 SSS SAS
叛定方法
ASA AAS HL
公理 定理 定理
（4）三角形角平分线的定义：
三角形一个角的平分线与它的对边相交， 这个角的 顶点与交点 之间的线段叫做三角形的 角平分线。
（5）三角形的中线定义
连结三角形一个 顶点与它对边中点 的 线段叫做三角形的中线。
（6）全等图形的定义:能完全重合的图形叫全等图形
（7）全等三角形的定义： 能完全重合的三角形是 全等三角形.
三角形的一个外角大于与它不相邻 的任何一个内角。
三角形的一个外角与它相邻的内角互为 邻补角。 （3）直角三角形性质：
直角三角形两锐角互余。
（4）. 三角形的三条高线所在直线交于一点 锐角三角形三条高线交于三角形内 部一点, 直角三角形三条高线交于直角顶点， 钝角三角形三条高线所在直线交于 三角形外部一点。 （5）三角形的三条中线交于三角形内部一点。 （6）三角形的三条角平分线交于三角形 内部一点。
2、基本性质
（1）. 三角形的三边关系:
三角形两边之和大于第三边 三角形两边之差小于第三边
例1： 判断三条已知线段a、b、c能否 组成三角形.
当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形.
例2： 确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和.
（2）. 三角形的外角与内角的关系
(完整word版)北师大版数学七年级下三角形练习题含答案
全等三角形001（总分：171.0 考试时间：132分钟）一、判断题：1、如图, △ABC中AB＞AC, AD是角平分线, P为AD上任意一点. 则: AB-AC＞PB-PC. ( )2、角平分线上的点到角两边的距离相等 ( )3、如果△ABC≌△Ａ'B'C',D在BC上, D'在B'C'上,∠BAD＝∠B'A'D',那么一定有AD＝A'D' ( )4、已知: 如图分别以△ABC的每一条边, 在三角形外作等边三角形, △ABD、△BCE、△ACF,则CD＝AE＝BF. ( )5、如图, 已知: △ABC中, D是BC的中点, DE∥AB,且交AC于E, DF∥AC,且交AB于F,则DE＝BF, DF＝CE. ( )二、单选题：6、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为 1 , 则不正确的结论是[ ]A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等C．三对角对应相等D．△ABC与△A'B'C'不全等7、若三角形中一角的平分线是它对边的中线 , 则这个三角形一定是______三角形．[ ]A.等腰B.直角C.等边D.等腰直角8、已知：如图 , △ABC是等边三角形 , D、E、F分别是三边上的中点 , 则和△ABD全等的三角形有_______个（除去△ABD）[ ]A.3 B.4 C.5 D.69、下列条件：①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已知底边和底边上的高, 能确定一个等腰三角形的是[ ]A.①和②B.③和④C.②和④D.①和④10、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误的是[ ]A.AC=EDB.AC⊥EDC.∠C+∠E=90°D.∠D+∠C=90°11、在△ABC和△A'B'C'中, 若∠A∶∠B∶∠C＝∠A'∶∠B'∶∠C' , 且AB＝A'B'下面的结论不成立的是[ ]A．△ABC≌△A'B'C' B．∠A＝∠A ', ∠B＝∠B' , ∠C＝∠C'C．AC≠A'C' D．AC＝A'C', BC＝B'C'．12、如图等边△AEB和等边△BDC在线段AC的同侧, 则下列式子中错误的式子是[ ]A.△ABD≌△EBCB.△NBC≌△MBDC.NBE≌△MBAD.△ABE≌△BCD13、已知：如图,在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中,有三个三角形全等,在图中全等三角形的组数是[ ]A.5 B.4 C.3 D.214、若△ABC中, 有AB∶BC∶CA=2∶3∶4 , △A'B'C'中必有A'B'∶B'C'∶C'A'=2∶3∶4且周长不同, 则下面结论成立的是[ ]A．AB=A'B' , AC=A'C' , BC=B'C'B．∠A=∠A' , AB=A'B' , AC=A'C'C．△ABC≌△A'B'C'D．△ABC不全等于△A'B'C'15、已知：如图, AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是[ ]A.∠Ａ与∠Ｄ互为余角B.∠A=∠２C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠２三、填空题：16、如图, 已知：AB=AC , D是BC边的中点, 则∠1＋∠C=_________度．17、已知：如图,AB=DE,AC=DF,要证△ABC≌△DEF,所缺一个条件是__________或__________．18、有一边相等的两个等边三角形_________________________．19、在括号里加注理由．已知：△ABC中, AB=AC , BD=DC , B、D、C在同一条直线上．求证：AD⊥BC．证：在△ABD和△ACD中20、三角形全等的四种判定方法是：①________②_______③________④_________．21、已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则∠A=__________,AD=_______．22、已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥ EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是______,另外两组对应角是_____．23、能够完全重合的两个图形叫做_________．24、完成下面的证明．已知：如图AB=CD , BE=CF , AF=DE．求证：△ABE≌△DCF证明：∵AF=DE(已知)∴AF-EF=DE-EF( ) 即AE=DF在△ABE和△DCF中∵AB=CD , BE=CF( )AE=DF( )∴△ABE≌△DCF( )25、被等腰直角三角形斜边上的高分成的两个等腰直角三角形___________．26、已知:如图,AB=BE,∠1=∠2,∠ADE=120°,AE、BD相交于F,求∠３的度数为______．27、已知：如图, AC⊥BC于C , DE⊥AC于E , AD⊥AB于A , BC=AE．若AB=5 , 则AD=___________．29、30、等腰三角形两腰上的高_______________．四、证明题：31、已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF32、求证：全等三角形的对应角平分线相等．33、已知:如图,AB⊥CD,垂足为D,AD=BD．求证:AC=BC．34、已知：四边形ABCD中, AC、BD交于O点, AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．求证：AD=BC35、已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，连结AO，∠1=∠2，求证：∠B=∠C36、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE37、已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D38、已知：如图, A、E、F、B在一条直线上, AC=BD , AE=BF , CF=DE．求证：AD=BC．39、如果两个三角形有两个角和第三个角的平分线对应相等,那么这两个三角形全等．40、已知：如图,AD＝AE,AB＝AC,BD、CE相交于O.求证：OD＝OE．全等三角形001 试卷标准答案（总分：171 考试时间：132分钟）一、判断题：本大题共5小题，从第1小题到第5小题每题 2.0分小计10.0分；共计10.0分。
北师大版七年级下册数学[《三角形》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和【与三角形有关的角练习（3）】1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.（2016春?故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c﹣a|+|b﹣c ﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【答案与解析】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．举一反三【变式】（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．【答案】8．解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8.3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．【答案与解析】解：（1）1+1+2=4，180×24=90°∴该三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×25=72°∵最大角为72度，是锐角，∴该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；综上所述：该三角形是直角三角形或锐角三角形．【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠ B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°．即∠FCD =16°．【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠D AE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6. （2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【答案与解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．类型五、全等三角形判定的实际应用7. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D?两点，?使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．?你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知AB的距离．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．类型六、用尺规作三角形8.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】首先画线段AC=2a，再以A为圆心，a长为半径画弧，再以C为圆心，b长为半径画弧，两弧交于点B，连接AB、BC即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。
七年级(下)数学 第11讲 全等三角形的概念和性质及判定(解析版)
本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．全等形、全等三角形及其相关的概念（1）全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：内容分析知识结构全等三角形的概念性质和判定模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲AB CDE F步同级年七2 / 41已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点)对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的数学语言：三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等． 全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； 画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.【例1】 下列说法正确的是（）A ．全等三角形是指形状相同的三角形B ．全等三角形是指面积相等的三角形C ．全等三角形的周长和面积都相等D ．所有的等边三角形都全等例题解析【难度】★【答案】C【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高的三角形；D错，大小不一定相等．【总结】本题主要考查全等三角形的概念．【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等【难度】★【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．【例3】如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．AC＝BC【难度】★【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．【例4】下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边【难度】★【答案】C【解析】C选项是边边角，不能作为全等的判定条件．【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．21AB CD【例5】 练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=； （2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===； （3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒； （4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒． 【难度】★【答案】略【解析】略．【例6】 下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对； （4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．【例7】 下列说法中错误的是（ ）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边 【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．【例8】 如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ） A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°【答案】A【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，则36180x =，解得：5x =． 1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒， 22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．【例9】 如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF⊥BEα321ABCDEP步同级年七6 / 41交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒， DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等） （2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=．AD BC =， DE AD BC ∴==．【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．【例10】 如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长． 【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =． 【解析】（1）ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，155A F ∴∠=∠+∠=︒； （2）ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．【例11】 如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数．【答案】40︒．【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=， 则18180x =， 解得：10x =， ∴110BCA ∠=，70BCB '∠=．110A CB ''∠=， 40BCA '∴∠=．【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．【例12】 如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数．1ABEFABCA ’B ’【答案】∠DFB =85︒，∠AGB =45︒． 【解析】证明：ABC ADE ≅，25ADE ABC ∴∠=∠=︒，50CAB EAD ∠=∠=︒， 10502585DFB ∴∠=︒+︒+︒=︒， 1801102545AGB ∠=︒-︒-︒=︒．【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合 运用．ABC DEF G【例13】 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ， ∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【答案】（1）AED A ED '≅，A A '∠=∠， AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠； （2）11802x ∠=-，21802y ∠=-； （3）()1122A ∠=∠+∠． 【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+，1+2=3602()x y ∠∠-+， ∴()1122A ∠=∠+∠． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和 定理的运用．【例14】 如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．21AB CDE A ’ABC DE（1）ABCD （2）A BCDE（3）ABC（4）DEF【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换． 【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象．本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．【例15】 如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【解析】证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠． 在ABC 和DAE 中，B DBAC DAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．模块二：全等三角形的判定知识精讲例题解析 21AB CDE【例16】 如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么?【解析】证明：在ABE 和ADC 中，A A C E BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ADC ∴≅（A.A.S ）， AB AD ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．ABCDEF【例17】 如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．【解析】证明：AD BC =，AE BE =，DE CE ∴=．在ACE 和BDE 中，AE BE = AEC BED ∠=∠， CE DE =ACE BDE ∴≅（S.A.S ）AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例18】 如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【解析】证明：连接BD 在ABD 和CDB 中，AB CD AD BC BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABD CDB S S S ∴≅ A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例19】 如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由．A BCDEABCDEFAB CD【解析】//AE CF ， E EFC ∴∠=∠．∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．在ADE 和CDF 中，E EFC ADE FDC AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE CDF ∴≅（A.A.S ）． 【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．【例20】 如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由．【解析】证明：（1）//AC BD ，C D ∴∠=∠．在AOC 和BOD 中，C DAOC BOD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOC BOD ∴≅（A.A.S ）； （2）AOC BOD ≅， CO DO ∴=．在CEO 和DFO 中，C D CO DOCOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CEO DFO ASA ∴≅， EO FO ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例21】 如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．ABCDEFOADEO【解析】CD AB BE AC ⊥⊥，， 90BDC DEC ∴∠=∠=︒． 在BDO 和CEO 中，BDC BEC DO EODOB COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)BDO CEO A S A ∴≅． DO EO ∴=，B C ∠=∠，BO CO =， BE CD ∴=．在ABE 和ACD 中，A A BE CDBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE ≌ACD （A.S.A ）， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等．【例22】 如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2） 说明AB =CD 的理由； （3） 图中有哪几对全等三角形?【解析】证明：（1）全等， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠．//BF DE ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED 和BFC 中，DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADE CBF A S A ∴≅； （2）ADE CBF ≅， AD BC ∴=．在ABC 和ADC 中AD BC DAC ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABC ADC S A S ∴≅， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；（3）AED CFB ≅；DEC BFA ≅；ABC CDA ≅． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．【例23】 如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．ABCDMABCDEF【解析】在ABC 和BCD 中，AB CD AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABC DCB S S S ∴≅， ABC BCD ∴∠=∠， 在ABM 和DCM 中，AB CD ABC BCD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABM DCM S A S ∴≅， AM DM ∴=． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明． 【例24】 如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由．【解析】12∠=∠， CAB DBA ∴∠=∠．在CAB 和DBA 中，AC BDCAB DBA AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)CAB DBA S A S ∴≅， CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠，CAD DBC ∴∠=∠．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．【例25】 如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理21ABC DEF由． 【答案】见解析【解析】证明：在ABE 和ACE 中，AB AC BE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ABE ACE S S S ∴≅， BAD CAD ∴∠=∠．在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABD ACD S A S ∴≅， 90ADB ADC ∴∠=∠=， AD BC ∴⊥．【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直．ABCDE【例26】 如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【解析】证明：在ADC 和AEB 中， AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ADC AEB S A S ≅ B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） AB CA =，AD AE =，BD CE ∴=．在BDO 和CEO 中， DOB COE ∠=∠ B C ∠=∠ BD CE =(..)BDO CEO A A S ∴≅， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用．【例27】 如图，已知AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ．试说明：AC ⊥CE ，若将CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变，结论AC 1⊥C 2E 还成立吗?请说明理由． ABCD EMAB C 2D EC 1AB C 1D EM AB C 2 DEM C 1MAB C 1D EC 2ABCDEO【解析】证明：（1）AB BD ⊥，DE BD ⊥， 90B D ∴∠=∠=︒在ABC 和CDE 中，AB CDB D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABC CDE S A S ∴≅， A ECD ∴∠=∠．90A ACB ∠+∠=，90ACB ECB ∴∠+∠=， 即AC CE ⊥．（2）12ABC C ED ≅， 2A E CD ∴∠=∠．190A AC B ∠+∠=，2190EC D AC B ∴∠+∠=， 1290C MC ∴∠=， 12AC C E ∴⊥．【总结】本题主要考察全等三角形的判定及垂直的综合运用，说理时注意分析．【例28】 如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由； （2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状． 【答案】（1）BD AE =，（2）等边三角形． 【解析】（1）∵等边三角形ABC 和 等边三角形DCE ， ∴BC AC =，CD CE =， BCA DCE ∠=∠=60°．BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠．在BCD 和ACE 中，BC ACBCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCD ACE ∴≅（S.A.S ），BD AE ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）BCD ACE ≅， DBE EAC ∴∠=∠．M 、N 分别为BD 、AE 的中点， BN ND ∴=，AM ME =， BD AE =， BN AM ∴=．2121A BD Q PABCDEMNPQ在BCN 和ACM 中，BC AC CBN CAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCN ACM ∴≅（S.A.S ），CM CN ∴=，BCN ACM ∠=∠，60NCM BCA ∴∠==︒， CM CN =， ∴△CMN 是等边三角形．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意在复杂的图形中准确的找出全 等三角形及其对应条件．【例29】 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD ．（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）AF BD =，AF BD ⊥；（2）成立．【解析】证明：（1）△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，CF CD ∴=，AC BC =，90DCF ACB ∠=∠=， FCA DCB ∴∠=∠．在FCA 和DCB 中，CF CDFCA DCB AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FCA DCB SAS ∴≅．AF DB ∴=，DBC FAC ∠=∠．90DBC ABD BAC ∠+∠+∠=， 90FAC ABD BAC ∴∠+∠+∠=，AF BD ∴⊥．（2）成立，证明过程同（1）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意根据旋转图形的不变性进行解 题．随堂检测ABC DE F【习题1】下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】A错，全等三角形对应边上的高相等；B错，全等三角形对应边上的中线相等；C错，全等三角形对应角的平分线相等；D对．【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解．【习题2】 如图，△ABD ≌△CDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）A ．△ABD 和△CDB 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等C ．∠A +∠ABD =∠C +∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD =BC 【答案】C【解析】C 错，正确答案是∠A +∠ABD =∠C +∠CDB ，A ，B ，D 均对． 【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解．【习题3】 如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘米，DM =5厘米，∠DAM =390，则AN =______厘米，NM =___________厘米，∠NAB =_______． 【答案】7；5；12°．【解析】由翻折的性质，可得：ADM ANM ≅，则7AN AD ==厘米，5MN DM ==厘米，39MAN MAD ∠=∠=， 故9023912NAB ∠=-⨯=． 【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用．ABCDA BCDMN【习题4】 尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS【答案】D【解析】∵AC AD =，PC PD =，OP OP =，(..)DCP ODP S S S ∴≅【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握．ABCDPO【习题5】 如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC //DB ，且AC =DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________； （2）若AC //DB ，且AE =BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________； （3）若AE =BF ，且CE =DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________； （4）若AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．则△ACE ≌△BDF ，根据_________． 【答案】（1）A.A.S ；（2）A.S.A ；（3）S.A.S ；（4）S.S.S ． 【解析】//AC BD ，A B ∴∠=∠，C D ∠=∠，则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握．【习题6】 如图，已知△ABC ≌△ADE , ∠CAD =150，∠DFB =900，∠B =250．求∠E 和∠DGB 的度数． 【答案】105E ∠=︒，65DEG ∠=︒． 【解析】AD BG ⊥，90AFB ∴∠=︒（垂直的意义）15DAC ∠=︒，75FCA ∴∠=︒（互余的意义） 105ACB ∴∠=︒（邻补角的意义）ACB AED ≅，105E ACB ∴∠=∠=︒，25B D ∠=∠=︒ 902565DGB ∴∠=︒-︒=︒（互余的意义）【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌 握并应用．【习题7】 如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、ABCEDF ABCDE F G ABCEFGDF ⊥AC ，且AB ∥CD ，AB =CD ．试说明：BD 平分EF ．【解析】//AB CD ，A C ∴∠=∠，ABD CDB ∠=∠在ABG 和CDG 中，ABD CDB AB CD A C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABG CGD ASA ∴≅，AG CG ∴=，AE CF =， EG GF ∴=，BD ∴平分EF ．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用．【习题8】 如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°，（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB 'C '的顶点C '与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上?（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C '在同一直线上? 【答案】（1）110︒；（2）70︒．【解析】（1）1803040110CAB ∠=︒-︒-︒=︒； （2）18011070︒-︒=︒．【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性．【习题9】 已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ．试说明：△AGE ≌△DAC ． 【解析】ABC 是等边三角形．AB AC BC ∴==，60BAC ACB B ∠=∠=∠=（等边三角形的性质） //DG BC ，60ADG B ∴∠=∠=°，60AGD ACB ∠=∠=°， ADG AGD ∴∠=∠．ED DB =，又DG AD =， DE DG DB AD ∴+=+，ABCDE FG即AB EG =．AB AC =，AC EG ∴=．在ADG 和ADC 中，AG AD AGE DAC EG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AGE DAC S A S ∴≅∠．【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用．【习题10】 在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．（1）若∠A ＝∠B ，PA ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由； （2）若OA ＝OB ，PA ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由．【解析】（1）在ADP 和BCP 中，A BPA PBDPA CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADP BCP A S A ∴≅，DP CP ∴=（全等三角形对应边相等）． AP BP =， AC BD ∴=（等式性质）． 在OAC 和ODB 中，O OA B AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AOC BOD A A S ∴≅，AO BO ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）连接OP在AOP 和BOP 中，OA OBPA PB OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)AOP BOP S S S ∴≅，A B ∴∠=∠，AP = BP （全等三角形的对应角相等、对应边相等）． 在ADP 和PCB 中，A BAP PB APD CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(..)ADP PCB A S A ∴≅，A BCDP OABCDPOPC PD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用．【习题11】 如图，△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，绕着顶点A 旋转后位置如下：（1） 当C 、A 、D 在同一直线上，说明CE 与BD 有何关系?为什么?（2） 当△ADE 再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE 与BD 又有何关系． 【答案】（1）CE BD =，CE BD ⊥；（2）CE BD =，CE BD ⊥．【解析】（1）证明：△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，AD AE ∴=，AC AB =，90BAD CAB ∠=∠=︒（等边三角形的性质）在ADB 和AEC 中，AD AE DAE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ADB AEC S A S ∴≅，CE BD ∴=，ACE ABD ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）90ACE BCE CBE ∠+∠+∠=， 90ABD BCE CBE ∴∠+∠+∠=，CE BD ∴⊥．（2）CE BD =，CE BD ⊥，证明过程同上．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用， 注意认真分析题目中的条件．ABCD E （1）（2）ABDCE（3） （4）AB CE DABCDE步同级年七34 / 41【作业1】 如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，则AD 的长为_________cm ． 【答案】5【解析】全等三角形的对应边相等，5AD AC ==． 【总结】本题主要考查全等三角形的性质．课后作业ABCD【作业2】 如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有 （ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 【答案】C【解析】（1）S.S.S ；（2）S.A.S ；（3）A.S.A ；（4）S.S.A 不符合，所以正确答案 是（1）、（2）、（3），故选C ．【总结】考察学生对全等三角形的判定定理的掌握．【作业3】 下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 【答案】C【解析】边边角不能作为全等三角形的判定条件．AB C DEF【作业4】 已知△ABC ≌△DEF ，若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，DE =_______，DF =_______，EF = _______．【答案】8；12；12． 【解析】△ABC ≌△DEF ，8DE AB ∴==，3212812DF AC ==--=，12EF BC ==． 【总结】本题主要考察全等三角形的性质的运用．【作业5】 如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由． 【答案】（1）5；（2）见解析． 【解析】（1）△ACE ≌△DBF ，AC BD ∴=（全等三角形对应边相等）AB BC CD BC ∴+=+（等式性质），即AB CD =． 8AD =，2BC =，3AB CD ∴==， 5AC ∴=；（2）△ACE ≌△DBFECA DBF ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） //CE BF ∴（内错角相等，两直线平行）【总结】考察学生对全等三角形的性质的掌握及运用．【作业6】 如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ，∠D -∠E =200，∠BAC =600，求∠C 的度数． 【答案】70︒．【解析】设E x ∠=，20D x ∠=+，△ABC ≌△AED ， 60BAC EAD ∴∠=∠=︒，C D ∠=∠2060180x x ∴+++=︒，50x ∴=，70D ∴∠=︒， 70C ∴∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解和运用，注意利用设未知数解题．ABCDEABCDEF【作业7】 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；②CM =CN ；③AC =DN ．其中正确的结论是_______________，证明正确的结论．【答案】①和②正确．【解析】①△DAC 和△EBC 均是等边三角形， ∴AC DC =，BC EC =，60ACD BCE ∠=∠=︒， ACE DCB ∴∠=∠．在ACE 和DCB 中，AC CD ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ACE DCB S A S ∴≅；（2）ACE DCB ≅， CAE CDB ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）60ACD BCE ∠=∠=︒， 60DCE ACD ∴∠=∠=︒．在ACM 和DCN 中，AC DC ACD DCE CAE BDC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，ACM DCN ∴≅（A.A.S ）CM CN ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业8】 如图，AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ．试说明：DC ＝BE ，DC ⊥BE ．ABCD E M NA BCDEF G【解析】 AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，90DAB EAC ∴∠=∠=︒（垂直的意义） DAC BAE ∴∠=∠（等式性质）在DAC 和BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)DAC ABE S A S ∴≅DC BE ∴=，B D ∠=∠（全等三角形的对应角相等，对应边相等）设BE 与DC 交于点F ，DGA BGC ∠=∠，90D DGA ∠+∠=，90B BGC ∴∠+∠=，90BFG ∴∠=︒，DC BE ∴⊥（垂直的意义）． 【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定及三角形内角和定理的综合运用，注意归 纳总结证明垂直的方法．E【作业9】如图，已知AE=CF，∠DAF=∠BCE，AD=CB．（1）问△ADF与△CBE全等吗?请说明理由；（2）如果将△BEC沿CA边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变，结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由．【答案】（1）全等；（2）成立，全等．【解析】（1）AE CF=，AE EF CF EF∴-=-，即AF CE=（等式性质）．在ADF和BCE中，AF CEA CAD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ADF BCE S A S∴≅；（2）成立，证明过如（1）．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业10】如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，BE 与CD相交于点F．（1）请说明△ABE≌△ADC的理由；（2）求∠1的度数．【答案】（1）见解析；（2）1120∠=︒．【解析】（1）证明：在等边△ABD和等边△ACE中，AD AB=，AC AE=，60DAB CAE∠=∠=︒，AB CDEFAB CDEFAB CDEFC（A）B DDAB BAC CAE BAC∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE∠=∠即．在ABE和DAC中，AD ABDAC BAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(..)ABE ADC S A S≅；（2）ABE ADC≅，DCA BEA∴∠=∠（全等三角形对应角相等）1DCE BEC∠=∠+∠，又DCA BEA∠=∠1ACE AEB BEC∴∠=∠+∠+∠6060120=︒+︒=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，综合性较强，注意利用外角进行适当的转化，把未知的角度转化为和题目有关的已知角，从而进行解题．。
北师大版数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案(2021年整理)
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北师大版数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案1、认识三角形一、单选题1.下列长度的各组线段为边能组成一个三角形的是( ）A。
9，9,1 B。
4，5,1 C. 4，10，6 D. 2，3,62. 如果CD平分含30°三角板的∠ACB，则∠1等于（）．A。
110° B。
105° C. 100° D。
95°3。
下列说法正确的是（ )A. 在一个三角形中至少有一个直角 B。
三角形的中线是射线C。
三角形的高是线段 D. 一个三角形的三条高的交点一定在三角形的外部4. 一个三角形的内角中，至少有( ）A。
一个钝角 B. 一个直角 C。
一个锐角 D. 两个锐角5。
如图，△ABC中BC边上的高为（）A.AEB.BFC.ADD。
CF6. 满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ）A. ∠B+∠A=∠C B。
∠A：∠B：∠C=2：3：5C。
∠A=2∠B=3∠C D. 一个外角等于和它相邻的一个内角7.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）A. 11平方厘米B. 12平方厘米 C。
2021年上海市七年级数学期末复习-第11章图形的运动精讲精练(教师版)
第11章图形的运动精讲精练一、图形的平移1、平移将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做平移．2、平移的特征图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小都相等，图形平移后，图形的形状、大小都不变．3、平移距离平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离．二、图形的旋转1、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转过的角称为旋转角．从以下几点理解定义：①旋转中心在旋转过程中保持不变；②图形的旋转是由旋转中心，旋转角度和旋转方向决定的；③旋转角度一般小于360°．2、旋转的特征（1）旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度；（2）旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化．3、旋转对称图形的定义把一个图形绕着一个顶点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形．这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角0360α<<）．如电风扇、五角星、圆等都是旋转对称图形，对旋转对称图形可从以下几个方面理解：（1）旋转中心在旋转的图形上；（2）旋转的角度小于360°．4、图形的旋转与旋转对称图形的区别和联系（1）图形的旋转是指一个图形从一个位置旋转到另一个位置，即同一个图形在位置上的变化；旋转对称图形，是指一个图形所具有的特性，即旋转一定角度后位置没有变化，仍与自身重合；（2）图形的旋转随着旋转角度的不同从一个位置旋转到不同位置；旋转对称图形旋转一定角度后仍在原处与自身重合．图形的旋转与旋转对称图形都是绕旋转中心旋转．5、中心对称的概念把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．6、中心对称图形的特征中心对称是旋转对称的特例，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分，关于对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连接成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称，这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．7、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是两个图形而言的，指两个图形间的关系；而中心对称图形是对一个图形而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形．三、图形的的翻折1、翻折与轴对称图形（1）把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．（2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称．2、轴对称（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称．（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．【考点1】图形的平移例题1. 一个水平放置的半圆，直径为10cm，向上平移6cm，如图所示，求阴影部分面积.cm.【答案】602【解析】将上面的半圆移到下面空白部分的半圆，这样阴影部分拼成了下个矩形，阴影部分cm.注意：在求图形面积的时候常常可以应用平移，使问题的计算变得非常简＝10×6＝602单.【考点2】图形的旋转例题2 （静安2017期末18）如图，在ABC 中，113ABC ∠=︒，将ABC 绕着点B 顺时针旋转一定的角度后得到DBE ∆（点A 与点D 对应），当A 、B 、E 三点在同一直线上时，可求得DBC ∠的度数为 .【答案】46︒.【解析】因为旋转角为ABD CBE ∠∠或，而18011367ABD CBE ∠∠︒︒︒＝＝－＝，所以46DBC ∠︒︒︒＝113－67＝图形的旋转一定要准确找到旋转角，找旋转角的关键是找到对应边的夹角.例题3 如图，直角三角形ABC 中，30,90,60A C B ∠=︒∠=︒∠=︒，将三角形的斜边AB 放在定直线L 上，将点A 按顺时针方向在L 上转动两次，转动到''''''A B C ∆的位置，设BC ＝1，ACAB ＝2，则点A 所经过的路线长是 .【答案】43π+. 【解析】点A 的路线是由以B 为圆心AB ＝2为半径，圆心角为120度所对的弧与以''C 为圆心，AC为半径的四分之一圆弧长之和，即12090222360360π⨯⨯+⨯43π+. 在图形的旋转过程中，不但要找到旋转角，更要知道在旋转过程中对应边的大小不变.【变式1】（闵行2018期末6）如图，五角星绕着它的旋转中心旋转,使得ABC ∆与 DEF ∆重合，那么旋转角的度数至少为（ ）LC''B''A''A'CB A（A ）60︒； （B ）120︒； （C ）72︒； （D ）144︒．【答案】D.【解析】旋转的角度为36021445︒⨯=︒.因此选D. 【变式2】（闵行2018期末18）如图，将三角形AOC 绕点O 顺时针旋转120°得三角形BOD ，已知4OA =，1OC =，那么图 中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）【答案】5π．【解析】根据题意，将三角形BOD 逆时针旋转120度可与三角形AOC 重合，因此阴影部分就是圆环的一部分。