河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题

绝密★启用前2016-2017学年度???学校3月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．U =R,A ={−3,−2,−1,0,1,2},B ={x|x ≥1}，则A ∩C U B = （ ） A. {1,2} B. {−1,0,1,2} C. {−3,−2,−1,0} D. {2}【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】C【解析】因为C U B ={x|x <1}，所以A ∩(C U B)={−3,−2,−1,0}，故选C ． 2．在复平面中，复数1(1+i)2+1+i 对应的点在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】D 【解析】因为1(1+i)2+1+i 4=11+2i+1=1−2i (1+2i)(1−2i)+1=65−25i 在复平面对应的点为(65,−25)，位于第四象限，故选D ．3．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sinA >sinB ”是“a >b ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】C【解析】设ΔABC 外接圆的半径为R ，若sinA >sinB ，则2RsinA >2RsinB ，即a >b ；若a >b ，则a2R >b2R ，即sinA >sinB ，所以在ΔABC 中，“sinA >sinB ”是“a >b ”的充要条件，故选C ．4．若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为 （ ） A. −4√29B. −2√29C.2√29D.4√29【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题试卷第2页，总15页…………○…………订…………○…………线…※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………订…………○…………线…【答案】A【解析】因为sin(π−α)=sinα=13，又π2≤α≤π，所以cosα=−2√23，所以sin2α＝2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29，故选A ．．5．执行下面的程序框图，则输出K 的值为 （ ）A. 98B. 99C. 100D. 101【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】B【解析】第一次循环，得S =lg2,K =2；第二次循环，得S =lg2+lg 32=lg3,K =3；第三次循环，得S =lg3+lg 43=lg4,K =4；第四次循环，得S =lg4+lg 54=lg5,K =5；…，第98次循环，得S =lg98+lg 9998=lg99,K =99；第99次循环，得S =lg99+lg10099=lg100=2，此时不满足循环条件，退出循环，输出K =99，故选B ．点睛：求解含有循环结构的程序框图问题，如果循环次数不多，则可考虑逐步写出每一次循环结果进行求解；如果循环次数较多时，则可试着写出前几次的循环结果，然后寻找其规律来求解．6．李冶（1192--1279 ），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）A. 10步，50步B. 20步，60步C. 30步，70步D. 40步，80步…………订…………○…………级：___________考号：___________…………订…………○…………【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】B 【解析】设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r +40)步，由题意，得(2r +40)2−3r 2＝13.75×240，解得r =10或r =−170（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B ．点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A. 16B. 20C. 52D. 60【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】B【解析】由三视图知，该几何体是一个底面直角边分别为3、4的直角三角形、高为6的三棱柱被截去两个等大的四棱锥，且四棱锥的底面是边长分别为2、5的矩形、高为125，所以该几何体的体积V =12×3×4×6−2×13×2×5×125=20，故选B ．8．已知函数f(x)=sin(2x +π12),f ′(x)是f(x)的导函数，则函数y =2f(x)+f ′(x)的一个单调递减区间是（ ）A. [π12,7π12] B. [−5π12,π12] C. [−π3,2π3] D. [−π6,5π6]【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】A【解析】由题意，得f ′(x)=2cos(2x +π12)，所以y =2f(x)+f ′(x)=2sin(2x +π12)＋2cos(2x +π12)＝2√2sin(2x +π12+π4)=2√2sin(2x +π3)．由2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2（k ∈Z ），得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12（k ∈Z ），所以y =2f(x)+f ′(x)的一个单调递减区间为(π12,7π12)，故选A ．9．若a =2∫(x +|x|)dx 3−3，则在(√x √x3)a 的展开式中，x 的幂指数不是整数的项试卷第4页，总15页外…………○…………※※请※※不※内…………○…………共有（ ）A. 13项B. 14项C. 15项D. 16项【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】C 【解析】因为a =2∫(x+|x|)dx 3−3=2[∫(x +x)dx +∫(x −x)dx 0−3]=32x 2|03=18，所以该二项式展开式的通项公式T r+1=C 18r(√x)18−r √x3)r=(−1)r C 18r x 9−56r(0≤r ≤18)，当r =0,6,12,18时展开式中x 的幂指数为整数，所以该二项式展开式中x 的幂指数不是整数的项有19−4=15项，故选C ．点睛：求解二项式展开式中某项问题求解通法是利用通项整理出方程（组），或不等式（组）再求解，除此之外就是等价变形之后再利用通项公式求解或直接运用二项式定理，可以更快更准确求解．10．在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≤0x −y ≤0x 2+y 2≤r 2（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若x,y 满足上述约束条件，则z =x+y+1x+3的最小值为 （ ）A. -1B. −5√2+17C. 13D. −75【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr 2=π，解得r =2．因为目标函数z =x+y+1x+3=1+y−2x+3表示区域内上的点与点P(−3,2)连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y −2=k(x +3)，即kx −y +3k +2=0，则有√k 2+1=2，解得k =−125或k =0（舍），所以z min =1−125=−75，故选D ．11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，若ΔPQF 2的周长为12，则ab 取得最大值时双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C.2√33D.3√22【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题【答案】C【解析】由题意，得|AF1|+|BF1|=|AB|=2b2a①，且P,Q分别为AF2,BF2的中点．由双曲线定义，知|AF2|−|AF1|=2a②，|BF2|−|BF1|=2a③，联立①②③，得|AF2|+|BF2|=4a+2b2a ．因为ΔPQF2的周长为12，所以ΔABF2的周长为24，即4a+4b2a=24，亦即b2=6a−a2，所以(ab)2=6a3−a4．令f(a)=6a3−a4，则f′(a)=18a2−4a3=4a(92−a)，所以f(a)在(0,92)上单调递增，在(92,+∞)上单调递减，所以当a=92时，f(a)取得最大值，此时b2=6×92−(92)2=274，所以c=√a2+b2=3√3，所以e=ca=2√33，故选C．点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式，求值问题就是建立关于a,b,c的等式，求取值范围问题就是建立关于a,b,c的不等式．12．已知函数f(x)=e2x−ax2+bx−1，其中a,b∈R,e为自然对数的底数.若f(1)=0,f′(x)是f(x)的导函数，函数f′(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是（）A. (e2−3,e2+1)B. (e2−3,+∞)C. (−∞,2e2+2)D. (2e2−6,2e2+2)【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题【答案】A【解析】由f(1)=0，得e2−a+b−1=0，所以b=a−e2+1，又f′(x)＝2e2x−2ax+ b，令g(x)=2e2x−2ax+b，则g′(x)=4e2x−2a，x∈(0,1)，所以4<4e2x<4e2，所以：（1）若a≥2e2时，则g′(x)<0，函数g(x)在(0,1)内单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；（2）若a≤2时，则g′(x)>0，函数g(x)在(0,1)内单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；（3）若2<a<2e2时，当0<x<12ln a2时，g′(x)<0，当12ln a2<x<1时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(0,12ln a2)上递减，在(12ln a2,1)上递增，所以g(x)min=g(12ln a2)=a−aln a2+b＝2a−aln a2−e2+1．令ℎ(x)=2x−xln x2−e2+1＝2x−xlnx+xln2−e2+1（2<x<2e2），则ℎ′(x)=−lnx+1+ln2，当x∈(2,2e)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数，当x∈(2e,2e2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数，所以ℎ(x)max=ℎ(2e)=2e−e2+1<0，即g(x)min<0恒成立，所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点，则{g(0)=2+a−e2+1>0g(1)=2e2−2a+a−e2+1>0，解得e2−3<a<e2+1．综上所述a的取值范围为(e2−3,e2+1)，故选A．点睛：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．判断函数零点的个数的方法：(1)直接法：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)画图法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可．(3)定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决．试卷第6页，总15页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设样本数据x 12,⋯,x 2017的方差是4，若y i =x i −1(i =1,2,⋯,2017)，则y 1,y 2,⋯,y 2017的方差为__________．【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】4【解析】设样本数据的平均数为x̅，则y i =x i −1的平均数为x̅−1，则新数据的方差为12017[(x 1−1−x̅+1)2+(x 2−1−x̅+1)2+⋯+(x 2017−1−x̅+1)2]＝12017[(x 1−x̅)2＋(x 2−x̅)2＋⋯+(x 2017−x̅)2]＝4．14．在平面内将点A(2,1)绕原点按逆时针方向旋转3π4，得到点B ，则点B 的坐标为__________．【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】(−3√22,√22) 【解析】由题意，知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，则x 2+y 2=5 ①，又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y ＝|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4，即2x +y =−5√22②．联立①②解得x =−3√22,y =√22，所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√22,√22)，所以点B 坐标为(−3√22,√22)． 点睛：一题多解.由三角函数的定义，得tan∠AOx =12，所以tan∠BOx =tan(∠AOx +π4)＝tan∠AOx+tanπ41−tan∠AOxtanπ4=−13，所以点B 在第二象限．设B(x,y)，则x 2+y 2=5 ①且x ︰y ＝−3︰1 ②，联立①②解得x =−3√22,y =√22，所以点B 坐标为(−3√22,√22)． 15．设二面角α−CD −β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC =450，则AB 与平面β所成的角的大小为__________．【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题【答案】30°【解析】如图，作AE ⊥平面β于点E ，在平面β内过E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF ，由三垂线定理得AF ⊥CD ，所以∠AFE 为二面角α−CD −β的平面角，所以∠AFE =45°，又∠ABC =45°，所以∠BAF =45°．连接BE ，则∠ABE 为AB 与平面β的所成角．设AE =a ，则EF =a ，AF =√2a ，BF =√2a ，AB =2a ，所以sin∠ABE =AEAB =12，所以∠ABE =30°．…线…………○………线…………○……点睛：做二面角的平面角主要有：（1）定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则即为该∠ACB 二面角的平面角．16．非零向量m,n 的夹角为π3，且满足|n|=λ|m|(λ>0)，向量组x 1,x 2,x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1,y 2,y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ=__________．【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】83【解析】由题意，x 1⋅y 1+x 2⋅y 2+x 3⋅y 3的运算结果有以下两种可能：①m ⃗⃗ 2+m ⃗⃗ ⋅n ⃗ +n ⃗ 2＝m ⃗⃗ 2+λ|m ⃗⃗ ||m ⃗⃗ |cos π3+λ2m ⃗⃗ 2=(λ2+λ2+1)m ⃗⃗ 2；②m ⃗⃗ ⋅n ⃗ +m ⃗⃗ ⋅n ⃗ +m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =3λ|m ⃗⃗ ||m ⃗⃗ |cos π3＝3λ2m ⃗⃗ 2，又λ2+λ2+1−3λ2=λ2−λ+1=(λ−12)2+34>0，所以3λ2m ⃗⃗ 2=4m ⃗⃗ 2，即3λ2=4，解得λ=83．点睛：本题主要考查向量的数量积，以集平面向量为载体，通过向量的数量程式，考查运算能力．解答本类题目应首先读懂题意，根据所陈述的运算法则进行计算，然后将本题转化为所熟悉的知识，本题中要注意两种情况的可能，不能丢掉. 三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−4,S m =0,S m+2=14(m ≥2,且m ∈N ∗).（1）求m 的值；（2）若数列{b n }满足an 2=log 2b n (n ∈N ∗)，求数列{(a n +6)·b n }的前n 项和. 【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】(1)5;(2) T n =(n −1)2n−1+12(n ∈N ∗)【解析】试题分析：（1）结合已知两个条件，采用方程思想，求解a m 与公差点d ，从而利用等差数列的通项公式求解m ；（2）借助第一问结论，化简an 2=log 2b n 求得b n ，明确所求数列的通项公式{(a n +b)b n }，采用错位相减法求和. （Ⅰ）由已知得a m =S m −S m−1=4，试卷第8页，总15页………外…………○※………内…………○且a m+1+a m+2=S m+2−S m =14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m +3d =14， ∴d =2由S m =0，得ma 1+m(m−1)2×2=0，即a 1=1−m ，∴a m =a 1+(m −1)×2=m −1=4 ∴m =5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 1=−4,d =2，∴a n =2n −6 ∴n −3=log 2b n ，得b n =2n−3．∴(a n +b)b n =2n ×2n−3=n ×2n−2． 设数列{(a n +b)b n }的前n 项和为T n∴ T n =1×2−1+2×20+⋯+(n −1)×2n−3+n ×2n−2 ① 2T n =1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1② －②，得−T n =2−1+20+⋯+2n−2−n ×2n−1=2−1(1−2n )1−2−n ×2n−1=2n−1−12−n ×2n−1∴T n =(n −1)2n−1+12(n ∈N ∗)点睛：本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式、错位相减法求数列的和，以数列为 载体，通过利用错位相减法求和，考查逻辑思维能力、运算能力．形如{a n ·b n }的数列，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则可在求和等式两边同乘{b n }的公比，然后两等式错位相减，即如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列，求此数列的前n 项和可利用．18．如图，三棱柱ABC −DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE =π3,BC =√212.四棱锥F −ABED 的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上，点M 是在线段CF 上，且CM =14CF .（1）证明：直线GM//平面DEF ； （2）求二面角M −AB −F 的余弦值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题…○…………装…………○…………线……学校:___________姓名：___________…○…………装…………○…………线……【答案】(1)详见解析；（2）7√8585【解析】试题分析：（1）通过构造辅助线FH ，证明GHFM 为平行四边形，即借助线线平行证明线面平行；（2）借助底面四边形的对角线互相垂直，建立空间直角坐标，利用向量方法求解二面角.（Ⅰ）解析：因为四棱锥F −ABED 的体积为2，即V F−ABED =13×√34×4×2×FG =2，所以FG =√3 又BC =EF =√212，所以EG =32即点G 是靠近点A 的四等分点，过点G 作GK//AD 交DE 于点K ，所以GK =34AD =34CF ， 又MF =34CF ，所以MF =GK 且MF//GK ， 所以四边形MFKG 为平行四边形，所以GM//FK ，所以直线GM//平面DEF . （Ⅱ）设AE,BD 的交点为O ，OB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABED 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：A(0,−1,0),B(√3,0,0),F(0,−12,√3),M(3√34,−54,√3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√34,−54,√3),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−12,√3) 设平面ABM,ABF 的法向量为m ⃗⃗ ,n ⃗ ，{m ⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则m ⃗⃗ =(1,−√3,−1)， {n ⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则n ⃗ =(1,−√3,12)cosθ=m⃗⃗⃗ ·n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=7√8585，即为所求. 点睛：本题主要考查直线与平面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用，以三棱柱试卷第10页，总15页为载体，考查借助空间想象能力、逻辑推证、转化能力、运算能力．线面平行的判定方法一是线面平行的判定定理，二是证面面平行，其解题的关键是在面内找到一线与面外一线平行，或由线面平行导出面面平行，性质的运用一般要利用辅助平面；求二面角通常通过建立空间直角坐标系利用空间夹角公式求解．19．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a =950.记X 为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题【答案】（1）942；（2）50万元 【解析】试题分析：（1）根据题意，首先确定X 的所有可能取值，然后利用统计表格，借助古典概型的公式计算对应的概率，进而利用期望公式求解；（2）利用独立重复实验的概率计算公式求解满足条件的概率，明确Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润的可能性，得到分布列和利润期望值.（Ⅰ）由题意可知X 的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a ，试卷第11页，总15页由统计数据可知:P(X =0.9a)=16,P(X =0.8a)=112,P(X =0.7a)=112,P(X =a)=13，P(X =1.1a)=14,P(X =1.3a)=112.所以EX =0.9a ×16+0.8a ×112+0.7a ×112+a ×13+1.1a ×14+1.3a ×112=119a 12=1130512≈942.（Ⅱ） ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P =(1−13)3+C 3113(23)2=2027. Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为−5000,10000.所以EY =−5000×13+10000×23=5000.所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100×EY =50万元.20．设M 、N 、T 椭圆x 216+y 212=1上三个点，M 、N 在直线x =8上的射影分别为M 1,N 1.（1）若直线MN 过原点O ，直线MT 、NT 斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值； （2）若M 、N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3,0)，ΔM 1N 1L 与ΔMNL 面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】（1）k 1k 2=−34（2）(x −1)2+4y 23=1(x >0)【解析】试题分析：（1）设出各点坐标，利用斜率公式表示，然后借助点差法求解为定值；（2）根据ΔM 1N 1L 与ΔMNL 面积之比为5，进行转化为直线MN 经过点定点F(2,0).然后分直线MN 是否垂直于x 轴两种情况讨论，进而采用将直线与椭圆的方程联立，消y 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系得到中点的坐标满足的等量关系，通过消去法明确轨迹方程.同时注意范围的限制.（Ⅰ）设M(p,q),N(−p,−q),T(x 0,y 0)，则k 1k 2=y 02−q 2x 02−p 2，试卷第12页，总15页又{p 216+q 212=1x 0216+y 0212=1两式相减得x 02−p 216+y 02−q 212=0，即y 02−q 2x 02−p 2=−34，k 1k 2=−34.（Ⅱ）设直线MN 与x 轴相交于点R(r,0),S ΔMNL =12|r −3|·|y M −y N |，S ΔM 1N 1L =12·5·|y M 1−y N 1|，由于S ΔM 1N 1L =5S ΔMNL 且|y M 1−y N 1|=|y M −y N |，得12·5·|y M 1−y N 1|=5·12|r −3|·|y M −y N |,r =4（舍去）或r =2. 即直线MN 经过点F(2,0).设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),K(x 0,y 0)， 直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为F(2,0)；直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y =k(x −2)，则{x 216+y 212=1y =k(x −2)⇒(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−48=0. x 1+x 2=16k 23+4k2,x 1x 2=16k 2−483+4k 2.x 0=8k 23+4k 2,y 0=−6k 3+4k 2.消去k ，整理得(x 0−1)2+4y 023=1(y 0≠0).综上所述，点K 的轨迹方程为(x −1)2+4y 23=1(x >0).点睛：本题主要考查直线的斜率、直线与椭圆的位置关系、轨迹方程，以椭圆为载体，通过利用设而不求法，考查逻辑推证能力、运算能力以及分类讨论思想、设而不求的思想．定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．在求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现． 21．已知函数f(x)=mln(x +1),g(x)=xx+1(x >−1).（1）讨论函数F(x)=f(x)−g(x)在(−1,+∞)上的单调性；（2）若y =f(x)与y =g(x)的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题【答案】（1）当m ≤0时，F(x)的单减区间是(−1,+∞)；当m >0时，F(x)的单减区间是(−1,−1+1m )，单增区间是(−1+1m ,+∞)（2）1【解析】试题分析：（1）通过求导和对参数m 进行讨论求解函数的单调性；（2）利用转化思想，要保证y =f(x)与y =g(x)的图象有且仅有一条公切线，需要分别求解两个函数的切线方程，借助直线相同建立等量斜率相等和截距相等的关系，化简方程组，确定含有参数b 和m 的方程有唯一解，进而明确含有m 的函数关系式，利用导数为工具求解函数的单调性进而确定m 的值. （Ⅰ）F ′(x)=f ′(x)−g ′(x)=mx+1−1(x+1)2=m(x+1)−1(x+1)2,(x >−1)当m ≤0时， F ′(x)<0，函数F(x)在(−1,+∞)上单调递减；试卷第13页，总15页当m >0时，令F ′(x)<0⇒x <−1+1m ，函数F(x)在(−1,−1+1m )上单调递减；F ′(x)>0⇒x >−1+1m ，函数F(x)在(−1+1m,+∞)上单调递增，综上所述，当m ≤0时，F(x)的单减区间是(−1,+∞)； 当m >0时，F(x)的单减区间是(−1,−1+1m )， 单增区间是(−1+1m ,+∞)（Ⅱ）函数f(x)=mln(x +1)在点(a,mln(a +1))处的切线方程为y −mln(a +1)=m a+1(x −a)，即y =m a+1x +mln(a +1)−maa+1，函数g(x)=xx+1在点(b,1−1b+1)处的切线方程为y −(1−1b+1)=1(b+1)2(x −b)，即y =1(b+1)2x +b 2(b+1)2.y =f(x)与y =g(x)的图象有且仅有一条公切线.所以{ma+1=1(b+1) ①mln(a +1)−maa+1=b 2(b+1)2 ②有唯一一对(a,b)满足这个方程组，且m >0.由（1）得： a +1=m(b +1)2代入（2）消去a ，整理得：2mln(b +1)+2b+1+mlnm −m −1=0，关于b(b >−1)的方程有唯一解.令g(b)=2mln(b +1)+2b+1+mlnm −m −1，g(b)=2m b+1−2(b+1)2=2[m(b+1)−1](b+1)2方程组有解时，m >0，所以g(b)在(−1,−1+1m )单调递减，在(−1+1m ,+∞)单调递增，所以g(b)min =9(−1+1m )=m −mlnm −1， 因为b →+∞,g(b)→+∞,b →−1,g(b)→+∞， 只需m −mlnm −1=0，令σ(m)=m −lnm −1、 σ′(m)=−lnm 在m >0为单减函数，且m =1时， σ′(m)=0，即σ(m)max =σ(1)=0，所以m =1时，关于b 的方程2mln(b +1)+2b+1+mlnm −m −1=0有唯一解 此时a =b =0，公切线方程为y =x .22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =a +acosβy =asinβ（a >0,β为参数）.以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π3)=32. （1）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；（2）A,B 为曲线C 上的两点，且∠AOB =π3，求ΔOAB 的面积最大值. 【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题试卷第14页，总15页【答案】（1）a =1（2）3√3a 24【解析】试题分析：（1）将曲线C 的参数方程和直线l 的极坐标方程化为普通方程，然后利用圆心到直线的距离为半径建立等量关系，求解参数a 的值；（2）借助极坐标方程中极角的几何意义和三角变换，将ΔOAB 的面积公式转化为含有一个角的一个三角函数，利用三角函数的图象探求最值问题.（Ⅰ）曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆； 直线l 的直角坐标方程为x +√3y −3=0． 由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|a−3|2=a ，解得： a =−3（舍），a =1． 所以：a =1（Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为ρ=2a cos θ,(a >0)， 设A 的极角为θ， B 的极角为(θ+π3)，则S ΔOAE =12|OA|·|OB|sin π3=√34|2a cos θ|·|2a cos (θ+π3)|=√3a 2|cos θcos (θ+π3)|，cosθcos(θ+π3)=12cos 2θ−√32sinθcosθ=12cos 2θ+12−√34sin2θ=12(12cos2θ−√32sin2θ)+14=12cos(2θ+π3)+14所以当θ=−π6时，12cos (2θ+π3)+14取得最大值34．ΔOAB 的面积最大值3√3a 24.解法二：因为曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB =π3由正弦定理得：|AB|sinπ3=2a ，所以|AB|=√3a ．由余弦定理得|AB|2=3a 2=|OA|2+|OB|2−|OA|·|OB|≥|OA|·|OB|， 所以S ΔOAB =12|OA|·|OB|sin π3≤12×3a 2×√32=3√3a 24， 所以ΔOAB 的面积最大值3√3a 24． 23．选修4-5：不等式选讲设函数f(x)=|x −1|−|2x +1|的最大值为m . （1）作出函数f(x)的图象；（2）若a 2+2c 2+3b 2=m ，求ab +2bc 的最大值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学（理）试题 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）采用零点分段法，去掉函数中的两个绝对值，转化为分段函数，从而画出函数图象；（2）借助拆分思想，得到a 2+2c 2+3b 2=(a 2+b 2)+2(c 2+b 2)然后利用基本不等式探求最大值，注意等号成立的条件.（Ⅰ）f(x)={x +2,x ≤−12−3x,−12<x <1−x −2,x ≥1（如果没有此步骤，需要图中标示出x =−12,x =1对应的关键点，否则扣分） 画出图象如图，试卷第15页，总15页……线…………○…………线…………○……（Ⅱ）由（Ⅰ）知m =32．∵32=m =a 2+2c 2+3b 2=(a 2+b 2)+2(c 2+b 2)≥2ab +4bc ，∴ab +2bc ≤34，∴ab +2bc 的最大值为34，当且仅当a =b =c =12时，等号成立．。