高等数学2.5函数的微分

y f ( x0 ) x ( x ), 0
f ( x 0 ) x
( x 0),
o( x ),
又 f ( x0 ) A, 与x 无关
f ( x ) 在 x0可微,
dy f ( x0 )x .
微分的定义 定义 设函数 y f ( x ) 在某区间内有定义 x0及x0 x 在此区间内，如果
定理
y f ( x)
在 x0 可微 可导 且
A
f ( x0 ).
可微的定义 y A x o( x ) 微分的定义 dy A x 证： (2) 充分性
f ( x ) 在 x0 可导, 且 A f ( x0 ).
y f ( x ) , y 0 lim f ( x0 ), 即 x 0 x x
0 0
(1)
( 2)
(1) x 的 线性函数， 且为 y 的主要部分。
(1)
( 2)
( 2) : x 的 高阶无穷小， 当 x 很小时可忽略.
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x )在某区间内有定义
(1) :
且为 A 的主要部分。 x 的 线性函数，
(1)
( 2)
( 2) : x 的 高阶无穷小， 当 x 很小时 可忽略.
一、问题的提出
3 y x 在 x0 的增量为 x 时 再例如, 设函数 求函数 y 的增量 y
y ( x0 x ) x
3
3 0
2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
例1 求函数 y x 当 x 2, x 0.02
3
解
2 dy ( x ) x 3 x x .
3
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
通常把自变量
x 的增量 x 称为 自变量的微分 记作 dx ,
dy dx
(3) A 0, dy ~ y ( x 0);
1 ( x 0).
y o( x ) o( x ) 1 1 dy dy A x
(4) A 是与 x
无关的常数, 但与f ( x )和x0 有关 即 用微分近似增量.
(5) 若 x 1, y dy
f ( x 0 ) x .
x
例1 半径10厘米的金属圆片,加热后，半径 伸长了0.05厘米，问面积增大了多少 解
1
A r ,
2
r 10
r 0.05
y dy
A dA 2 r r 2 10 0.05 (厘米 2 ).
六、微分在近似计算中的应用
u 2 x 1.
y sin u,
dy d (sin u) cos udu
cos( 2 x 1)d ( 2 x 1)
cos( 2 x 1) 2dx
2 cos( 2 x 1)dx .
微分形式的不变性
ax y e sin bx , 求dy . 例4 设
dy
y f ( x)
M
f ( x 0 ) x
T N P
f ( x 0 ) x
dy
x
y 是曲线的纵坐标增量 dy 是切线的纵坐标增量
o x 很小时 附近 在点 M 当
o( x )
dy y
D
）
x0
x0 x
x
切线段MP 可以近似代替 曲线段MN
五、微分的求法
(1)
( 2)
(1)
(2)
x 的 线性函数， 且为 y 的主要部分。
当 x 的 高阶无穷小，
x 很小时 可忽略.
2 y 3 x0 x .
既容易计算又是较好的近似值
实例:正方形金属薄片受热后面积的增量. 2 边长由 x0 变到 x0 x , 正方形面积 A x0 ,
1 3 x
1 3 x ) 3e , (cos x ) sin x .
dy cos x ( 3e1 3 x )dx e 1 3 x ( sin x )dx
e
1 3 x
(3cos x sin x )dx .
微分形式的不变性 设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
dy f ( x )dx .
(1) 若
x 是自变量时 dy f ( x ) dx ;
(2) 若 x 是中间变量时
y f ( t ) , ) 即y f ( x ), x ( t （可微函数）
dy dt f ( x ) ( t ) dt ; dx＝ ( t )dt , dy dt
三、可微的条件 可微的定义 y A x o( x ) f ( x0 x ) f ( x0 ) y 可导的定义 lim f ( x 0 ) lim x 0 x x 0 x 定理 y f ( x ) 在 x 可微 可导 且 A f ( x0 ).
2 2 2 ( x x ) x 0 2 x 0 x ( x ) . A 0
3 y x 在 x0 的增量为 x 时 函数 求函数 y 的增量 y 3 3 3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3 . 0 0 y ( x x ) x
dy f ( x )dx .
微分形式的不变性 设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
dy f ( x )dx .
(1) 若
x 是自变量时 dy f ( x ) dx ;
(2) 若 x 是中间变量时 即y f ( x ), x ( t ); y f ( t ) ,
dy f ( x )dx .
结论： 无论 x 是自变量 还是中间变量， 函数 y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx 微分形式的不变性
微分形式的不变性 例3 设 y sin(2 x 1), 求dy . 解
dy f ( x )dx . d ( uv ) vdu udv
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d (C ) 0
d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc 2 xdx
d (sin x ) cos xdx
dx x . dy f ( x )dx .
导数也叫微商
f ( x ).
函数的微分dy 与自变量的微分 dx 之商 等于该函数的导数，
四、微分的几何意义 几何意义:(如图)
PD tan x
y
y f ( x 0 ) x o( x ) dy o( x )
d (tan x ) sec 2 xdx
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
五、微分的求法
1.基本初等函数的微分公式 d (a x ) a x ln adx d (e x ) e x dx 1 1 d (log a x ) dx d (ln x ) dx x ln a x 1 1 d (arcsin x ) dx d (arccos x ) dx 2 2 1 x 1 x arc 1 1 d (arctan x ) dx d ( arc cot x ) dx 2 2 1 x 1 x 2. 函数和、差、积、商的微分法则
e ax ( b cos bx a sin bx )dx .
六、微分在近似计算中的应用
1.计算函数增量的近似值
dy f ( x0 )x
dy f ( x )dx
如果 f ( x ) 在 x0 处的导数 f ( x0 ) 0, 且 x 1
y
x x0
dy
x x0
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 则称 y f ( x ) (其中A是与 x 无关的常数）
可微 并且称 A x 为函数 y f ( x ) 在 x0 相应于自变量增量 x 的微分, 记作 dy ,
即dy
A x . A f ( x0 ).
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
(其中A 是与 x 无关的常数）
则称 y f ( x )在 x0可微, 并且称 A x 为函数
x0及x0 x 在此区间内，如果
y f ( x ) 在 x0 相应于自变量增量 x 的微分, 记作 dy , 即dy A x .
dy f ( x )dx .
cos x 3e 1 3 x cos x e 1 3 x sin x
1 3 x
dy e
解法2
(3cos x sin x )dx .
1 3 x cos x d ( e ) e1 3 x d (cos x ) dy
(e
0
证:
(1) 必要性 f ( x ) 在 x0 可微 o( x ) y y A x o( x ), x A x ,
y o( x ) lim A lim x 0 x x 0 x
A.
且 A f ( x0 ). 即 f ( x ) 在 x0 可导，
dy f ( x )dx
d ( u v ) du dv
d ( uv ) vdu udv
d (Cu) Cdu u udv vdu d( ) v v2