基于微分方程与博弈论的打假策略分析
微分博弈理论[优质PPT]
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经典案例：囚徒困境
• 一个案子的两个嫌疑 犯被分开审讯，警官 分别告诉两个囚犯， 如果你招供，而对方 不招供，则你将被立 即释放，而对方将被 判刑十年；如果两人 均招供，将均被判刑 两年。如果两人均不 招供，将最有利，只 被判刑半年。
经典案例：囚徒困境
• 两人同时陷入招供还 是不招供的两难处境。 但两人无法沟通，于 是从各自的利益角度 出发，都依据各自的 理性而选择了招供， 这种情况就称为纳氏 均衡点。
• 每一个局中人，不管他选 择什么方案，另一局中人 总希望使对方损失最大化， 也就是每个局中人将选择 使另一局中人把对方损失 最大化的企图最小化的策 略，这就是博弈论的最佳 策略准则。
纳什均衡点
• 纳什平衡，又称为非 合作赛局平衡，是博 弈论的一个重要概念， 以约翰·纳什命名。如 果某情况下无一参与 者可以独自行动而增 加收益，则此策略组 合被称为纳什均衡点。
• 方程（3）将这一微分博弈描述成最小最大值优化问题。
• L被设为在一个给定的仿真周期中，汽车侧翻角绝对值的 最大值，如方程（4）所示。
纳什均衡解
• 分析可得存在纳什均衡解(u*,w*)，使得鞍点不等式 （5）：
成立 • 纳什均衡解的含义是在最坏扰动W*（试图使Ｌ最大）
工况下，最好的控制器输入是Ｕ*（试图使L最小）；反 之亦然。
纳什均衡解
• 其均衡解是通过进化遗传算 法得到的，对进化遗传算法 的适应性估计是在汽车仿真 软件Carsim上进行的。来自进化遗传算法的适应性估计
进化遗传算法流程图
数值仿真及结论
• 通过分析伯德图和在 Carsim中的仿真结 果，证明它设计的控 制器保证了在最坏的 转向角输入工况下最 坏防侧翻性能，同时 分别通过抵抗路面扰 动以及侧向加速度， 提供了良好的乘坐质 量以及防侧翻性能。
博弈论无名氏定理
博弈论无名氏定理引言：博弈论是研究决策制定和行为选择的数学模型，并在许多领域发挥重要作用。
在博弈论中，无名氏定理是一项非常重要的结论，它对于理解玩家之间的互动和找到最佳策略提供了指导。
本文将就博弈论无名氏定理展开详细阐述。
一、博弈论基本概念博弈论研究决策者在决策制定中的相互影响，主要分为以下几个基本概念：1.玩家：参与博弈的个体或群体，每位玩家需根据自身利益作出决策。
2.策略：玩家在博弈中可采取的行动方案。
每位玩家需从多个策略中选择一个。
3.收益：玩家基于自己的策略和其他玩家的策略，所获得的结果。
4.纳什均衡：指在博弈中各个玩家选择了最佳策略，无法通过单方面改变策略来获得更好结果。
二、无名氏定理的内容无名氏定理由约翰·纳什于1950年提出，它在博弈论中具有重要意义。
该定理的内容可以概括为：在任意有限次博弈中，至少存在一个纳什均衡。
也就是说，在博弈中，无论玩家有多少，无论策略有多复杂，至少会有一个纳什均衡点。
这意味着无论其他玩家选择什么策略，玩家都无法通过单方面改变自己的策略来获得更好的结果。
三、无名氏定理的证明无名氏定理的证明过程比较复杂，需要运用到博弈论中的一些数学理论和方法。
在证明过程中，通常会利用到反证法、最优响应函数、偏微分方程等工具。
具体证明过程如下：1.反证法：首先假设不存在纳什均衡点，即每个玩家都能通过改变自己的策略来获得更好结果。
2.最优响应函数：然后，分别对每个玩家的每种策略进行最优响应函数的计算，即找到玩家最好的策略选项。
3.偏微分方程：最后，通过偏微分方程等工具推导，得出存在纳什均衡的结论，从而证明无名氏定理。
四、无名氏定理的应用无名氏定理在经济学、政治学、生物学等多个领域有广泛的应用。
它可以帮助人们理解玩家之间的互动关系，揭示各种冲突与合作的策略选择。
无名氏定理的应用举例：1.在市场竞争中，企业可以利用无名氏定理来确定最佳的定价策略，以获取最大利润。
2.在国际关系中，国家之间的冲突和合作可以通过博弈论无名氏定理来研究和解析。
微分博弈理论ppt课件
鞍点（Saddle point）
• 在微分方程中，沿着某一 方向是稳定的，另一条方 向是不稳定的奇点，叫做 鞍点。
• 在泛函中，既不是极大值 点也不是极小值点的临界 点，叫做鞍点。
• 在矩阵中，一个数在所在 行中是最大值，在所在列 中是最小值，则被称为鞍 点。
• 方程（3）将这一微分博弈描述成最小最大值优化问题。
• L被设为在一个给定的仿真周期中，汽车侧翻角绝对值的 最大值，如方程（4）所示。
纳什均衡解
• 分析可得存在纳什均衡解(u*,w*)，使得鞍点不等式 （5）：
成立 • 纳什均衡解的含义是在最坏扰动W*（试图使Ｌ最大）
工况下，最好的控制器输入是Ｕ*（试图使L最小）；反 之亦然。
• 在数学中，把函数上具有上 述“极大一极小”性质的点 称为鞍点(Sadd了lePoint)。 把同鞍点有关的数学问题称 为鞍点问题。
形象地说，鞍点就是处于 “马鞍中央的点”，从纵向 看取极小值，从横向看取极 大值。
鞍点的含义
• 下面用二元函数z=f(x，y)来说明鞍点的含义： 对于二元函数z=f(x，y)，(x*，y*)为其上一点。若 在邻域|x-x*|<￡，|y-y*|<￡内
纳什均衡解
• 其均衡解是通过进化遗传算 法得到的，对进化遗传算法 的适应性估计是在汽车仿真 软件Carsim上进行的。
进化遗传算法的适应性估计
进化遗传算法流程图
数值仿真及结论
• 通过分析伯德图和在 Carsim中的仿真结 果，证明它设计的控 制器保证了在最坏的 转向角输入工况下最 坏防侧翻性能，同时 分别通过抵抗路面扰 动以及侧向加速度， 提供了良好的乘坐质 量以及防侧翻性能。
博弈论及经典案例简介
博弈论及经典案例简介博弈论及经典案例简介一、博弈论1.1 定义与简介1.2 博弈论的发展历程1.3 博弈论的基本概念1.3.1 策略和策略组合1.3.2 纳什均衡1.3.3 康托尔集合理论1.3.4 微分博弈1.3.5 合作博弈1.3.6 零和博弈与非零和博弈1.4 博弈论的应用领域1.4.1 经济学中的博弈论1.4.2 政治学中的博弈论1.4.3 生物学中的博弈论1.4.4 计算机科学中的博弈论1.4.5 社会科学中的博弈论二、经典案例介绍2.1 互惠博弈案例：囚徒困境2.1.1 案例描述2.1.2 策略分析2.1.3 纳什均衡的存在与稳定性 2.1.4 应用实例2.2 合作博弈案例：国际气候谈判 2.2.1 案例描述2.2.2 合作与各方利益2.2.3 策略分析与合作方案2.2.4 实际应用与效果评估2.3 非零和博弈案例：市场竞争2.3.1 案例描述2.3.2 战略选择与竞争均衡2.3.3 市场行为分析2.3.4 合作与竞争策略2.4 洞察博弈案例：拍卖机制2.4.1 案例描述2.4.2 不完全信息与最优出价2.4.3 纳什均衡分析2.4.4 拍卖机制的优化附件：1.博弈论相关研究文献2.相关案例数据和分析报告3.附录：博弈论的数学模型和计算方法法律名词及注释：1.康托尔集合理论：康托尔集合理论是博弈论中用来描述博弈参与者可行策略的集合关系的一种数学模型。
2.纳什均衡：纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈参与者选择最优策略的情况下，没有人可以通过单方面改变策略来获取更好收益的状态。
3.微分博弈：微分博弈是一种对动态博弈进行数学建模的方法，通过微分方程来描述博弈参与者的策略演化。
4.合作博弈：合作博弈是指博弈参与者通过合作达到一种互利的状态，合作结果通常由各方自愿通过谈判达成。
5.零和博弈与非零和博弈：零和博弈是指博弈参与者的收益总和为零，互相之间存在完全的对立；非零和博弈指的是博弈参与者的收益总和可以不等于零，互相之间可以存在合作和竞争。
hjb方程 微分博弈
HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation）是一种偏微分方程，用于描述最优控制问题。
在微分博弈中，每个参与者的决策策略可以通过一个控制变量表示，而HJB方程则用于寻找每个参与者的最优控制变量。
具体而言，对于一个参与者，假设其效用函数为J(x,u,t)，其中x表示状态变量，u表示控制变量（决策策略），t表示时间。
HJB方程可以表示为：
[\frac{{\partial J}}{{\partial t}} + \min_u{\mathcal{L}(J, x, u) + f(x, u)} = 0]
其中，[\frac{{\partial J}}{{\partial t}}]表示效用函数J对时间t的偏导数，[\min_u{\mathcal{L}(J, x, u) + f(x, u)}]表示在所有可能的控制变量u中取最小值。
[\mathcal{L}(J, x, u)]和f(x, u)分别是关于状态变量x和控制变量u的函数。
通过求解HJB方程，可以找到每个参与者的最优控制变量，从而实现最优控制。
这种方法在多个领域都有应用，如经济学、金融学、工程学等。
博弈论案例分析报告(2篇)
第1篇一、案例背景博弈论是一种研究具有冲突和合作行为的决策制定过程的数学理论。
它广泛应用于经济学、政治学、军事学、生物学等多个领域。
本报告将以一场经典的博弈论案例——“囚徒困境”为基础，分析其背后的决策逻辑和结果。
二、案例描述“囚徒困境”是一个经典的博弈论模型，描述了两个犯罪嫌疑人被分别关押在两个不同的房间里，他们无法沟通。
警方告诉他们，如果两人都保持沉默，他们将各被判刑1年；如果两人都认罪，则各被判刑2年；如果一人认罪而另一人保持沉默，则认罪者将被释放，而保持沉默者将被判刑3年。
三、博弈论分析1. 收益矩阵| 行动 | A（沉默） | B（认罪） || ---------- | -------- | -------- || A（沉默） | (1, 1) | (3, 0) || B（认罪） | (0, 3) | (2, 2) |在这个收益矩阵中，行代表A的选择，列代表B的选择。
括号中的第一个数字代表A的收益，第二个数字代表B的收益。
2. 纳什均衡纳什均衡是指在博弈中，每个参与者都选择了最优策略，且任何参与者单独改变策略都不会得到更好的结果。
在这个案例中，(认罪，认罪)是唯一的纳什均衡。
3. 个人理性与集体理性从个人理性的角度来看，每个囚徒都倾向于选择认罪，因为这样可以确保自己被判刑2年，而不是3年。
然而，从集体理性的角度来看，如果两个囚徒都选择沉默，他们将各被判刑1年，这是一个更好的结果。
四、案例分析1. 信任与背叛在“囚徒困境”中，信任是关键因素。
如果两个囚徒之间有信任，他们可能会选择沉默，从而实现集体理性。
然而，由于他们无法沟通，信任难以建立，导致双方都选择认罪，实现了个人理性。
2. 合作与竞争在博弈中，合作和竞争是两种基本策略。
在“囚徒困境”中，竞争策略（即选择认罪）在短期内可能带来更好的结果，但在长期内可能导致双方都受损。
合作策略（即选择沉默）虽然短期内可能受损，但长期来看更有利于双方。
基于博弈论的国家战略利益冲突分析
立 了 动 态 博弈 模 型 ， 据 极 值 原 理 进 行 分 析 ， 出均 衡 策 略 ， 而 讨 论 了不 同 情 况 下 国 家 战 略选 择 的最 优 控 制 。 根 得 进 关键词
中 图分 类 号
Ｃｏ ｆｉｔ ａ ｙ ｉ ｆＮａ ｉ ｎ ｌＳ ｒ ｔ ｇ ｃ Ｉ ｔ ｒ ｓ ｓＢａ ｅ ｎ ｔ ｅ Ｇａ ｅ Ｔｈ ｏ ｙ ｎ ｌｃ ｓＡｎ ｌ ｓ ｓｏ ｔｏ ａ ｔａ ｅ ｉ ｎ ｅ ｅ ｔ ｓ ｄ ｏ ｈ ｍ ｅ ｒ
相 互 毁 灭 情 况 的可 能 性 ， 以不 会 导 致 ｚ Ｏ或 Ｘ Ｏ 所 ｚ 。
３ 博 弈 解 析
利用微分对策 中的极值原理分析上述模 型可能 的最 优 解， 首先构造 Ｈａ ｌ ｎ函数 ｌ ｍｉｏ ｔ ６ ］
首先 给出崛起 国家与 霸权 国家 的动 态对 策模 型， 后 然 解释各变 量含义与参数 限制条件 。
建立 系 统 方 程 ：
』一 １ ｚ ＼ 《
２一 ｍ ２ ２一 ｚ ｃ２ ｚ １
（ １ ）
（） ２
设 性 能指 标 为
１ ）霸权 国家和崛起 国家作为博弈 双方 ， 决策者 均为 理 性行 为主体 ， 国家 间不会发生相互毁 灭事 件 ； ２ 面对 国家战略利 益冲突时 的策略选择 ， ） 以对本 国经 Ｊ “ ）一 ｌｆ １ ） ｚ （ 一Ｕ Ｘ ］ （， － 一Ｖ Ｘ 一 １ ） １ （ 初始条件 为 ， （ ） ｌ， ２ Ｏ —ｚｏ 其 中 Ｏ Ｘｏ ７ Ｏ — ０ ． （ ） ２， ２ ｌ ２ ２ ％ ｌ＜
Ｃｌｓ ｍ ｂ Ｆ２ ４ ａ ｓ Ｎｕ ｅｒ ２
１ 引 言
纵 观历 史 ， 国际政 治格局 的发 展演 变时 刻伴 随着 国家 间崛起 与遏 制的战略利益博弈 。霸权 国家为维 护其 主导 构 建 的国际体 系 ， 不惜消耗 巨大 的政 治、 经济 、 军事 资源 ， 力 竭 遏制崛起 国家的发展 。崛起国家往往因为霸权 国家 的遏 制
平均场随机控制与动态博弈相关问题
不完全信息动态博弈
至少有一个参与人在某个阶段不知道其他参与人的类型或 决策。
重复博弈
一系列具有相同结构、相同参与者和相同规则的多个博弈 的序列。
扩展型博弈
一种表达动态博弈的方式，其中每个参与者的决策依赖于 其之前的决策和观察到的其他参与者的决策。
动态博弈的解的概念与分类
感谢观看
与领域内其他研究方向的联系与区别
与机器学习的联系
平均场随机控制和动态博弈理论与机器学习有密切的联系，可以借鉴和使用机器学习的方法和工具。
与优化控制的区别
平均场随机控制可以看作是优化控制的一种特殊形式，但又有区别，平均场随机控制更加关注概率统 计性质，而优化控制更加关注确定性的最优解。
THANKS
平均场随机控制的发展历程与现状
平均场随机控制的思想起源于20世纪50年代，随着计算机科学和金融学的发展，该 领域逐渐受到广泛关注。
目前，平均场随机控制已经在金融、经济、生物、能源等领域取得了广泛应用，为 实际问题的解决提供了有效的方法和工具。
未来，随着大数据和人工智能技术的发展，平均场随机控制有望在更多领域发挥重 要作用，如预测金融市场走势、优化能源分配等。
平均场随机控制的稳定性分析
稳定性是评估控制系统性能的重要指标之一。在平均场随机控制中，稳定性分析有助于判断所设计的控制策略是否能够有效 地应对不确定性干扰，并保持系统的稳定运行。
常用的稳定性分析方法包括李雅普诺夫方法和均方根方法等。通过分析系统的稳定性，可以进一步优化控制策略，提高系统 的性能和鲁棒性。
01
模型复杂性
02
计算效率
现有的平均场随机控制和动态博弈模 型往往基于简单的假设和模型，不能 充分考虑现实世界中的复杂性和不确 定性，因此其预测能力和解释能力有 限。
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经济与管理基于微分方程与博弈论的打假策略分析李龙杰（华南师范大学数学科学学院，广东广州510631）摘要：打击假货，是政府维护社会经济秩序的责任，也是企业维护自身利益的行为。
然而，打假应投入多少才合理、何时应改变打假的力度、怎么样的打假策略最佳等等问题直接关系到政府与企业的工作效益与经济收益。
本文通过建立微分方程模型，以及通过打假者-制造者之间的博弈，找出达到纳什均衡的条件等等的方式，从而得出假货产生与增长的规律，同时为打假提出若干意见。
关键词：假冒伪劣；微分方程；纳什均衡；打假策略中图分类号：O225；O175文献标志码：A 文章编号：1672-6138（2014）01-0038-05DOI：10.3969/j.issn.1672-6138.2014.01.009收稿日期：2013-09-08作者简介：李龙杰（1990—），男，广东佛山人，华南师范大学硕士研究生，研究方向：数理金融、计量统计。
1已有研究与问题提出假冒伪劣产品严重地侵害了消费者与被假冒企业的合法权益。
而因为生产假冒伪劣品的巨大经济利益驱动以及消费者对低价品的需求巨大，假冒品依然在市场上占有不少的份额。
打击假冒伪劣产品，不仅仅是政府维系经济秩序的责任，更是企业维护自身品牌的必要举措。
然而，打假要怎么打？具体投入多少人力物力才能达到最好的经济效益、采取何种打假策略才合理等等的问题引起了关注。
谢识予[1]通过经济博弈论的分析，认为即使不发生假冒伪劣行为，但只要存在假冒伪劣潜在的威胁，就可能对市场效率造成损害。
而且假冒伪劣现象长期存在，并且具有稳定性。
项保华[2]通过建立数学模型，从边际效率递减等等的角度出发，发现加重刑罚可以收到急剧减少造假行为。
而王晓东[3]通过消费者-造假者、管理者-造假者这两组博弈，发现造假的根本原因是大量低收入者的存在，而政府的寻租行为以及监管能力低下则是更深层次的原因。
本文基于前人的研究，引入微分方程，考虑时间因素在打假策略中的影响。
再同时建立假货制造者-监管者的博弈，为企业打假提供建议与意见。
为此，本文建立两种模型拟解决以下问题：1）名牌厂商每年为维护其知识产权，投入不少经费进行调查打假，建立相关的模型，判断投入多大的打假力度才相对合理；2）何时改变打假力度，以谋求更高经济效率的最佳时间；3）对于更新换代较快的产品，应该采取何种打假策略；4）在打假过程中，采取什么样的打假方式更为有效？（行政查处和刑事查处）2模型一基于微分方程的打假策略分析设N （t ）为t 时刻，市场上的假货数量；Nm 为市场达到饱和，能容纳最多的假货数量；ɑ为单位时间内假货的增长数量，即增长率；b 为打假的力度；c 为1/Nm 。
（所有变量均大于0）2.1模型假设假设一：在t =0时，即产品刚刚推出市场，市场上不存在假货。
38假设二：因为有限的资源、激烈的竞争、有限的需求等等原因，假货在市场上存在一个最大的数量Nm 。
假货数量达到了Nm 后，我们称为假货市场饱和了，假货数量不再增长。
假设三：每一个单位时间内，假货增加的数量是一定的。
常数ɑ表示为假货的增长率。
假设四：每一个单位时间内，一定的打击力度b 下，打掉的假说数量与该时间的假货数量正相关。
变量bN （t ）表示为假货的减少率。
2.2对企业总体而言——模型的建立与结论对于企业总体而言，从企业成立到发展的过程中，如果不加控制，市场上存在的假货数量N （t ）会随着企业的发展壮大而增多。
假货的数量将会影响到企业产品的销售盈利。
以下将通过建立微分方程，讨论公司成立时间t 、公司打假力度b （先假设打假力度恒定不变）以及市场上的假货数量N （t ）之间的关系。
2.2.1模型的建立根据假设三以及假设四，可以知道：单位时间△t 内，如果市场上的假货不受竞争、用户数量等等的限制，那么假货的增加ɑ△t ，减少b N （t ）△t ，即增加可以表示为：（ɑ-b N （t ））△t ，增长率记为（ɑ-b N （t ））。
基于假设二，因为假货数量的增加收到竞争、用户数量等等的限制，当假货数量达到一定程度时，假货的增长数量会放缓。
所以，合理的增长率可以记为（1-c N （t ））（ɑ-b N （t ）），即单位时间内△t ，假货数量增加为：（1-c N （t ））（ɑ-b N （t ））△t 。
单位时间Δt 时间内，假货的增加量可以表示成：（）（）（１（））（（））ＮｔｔＮｔｃＮｔａｂＮｔｔ+D -=--D （1）Δt 趋向于0，可以得到微分方程：（）（１（））（（））ｄＮｔｃＮｔａｂＮｔｄｔ=--（2）求解以上微分方程，可以得到：１１（）（（））（）（１（））（（））ｄｃＮｔｂａｃｄｔａｃｃＮｔｃＮｔｂ--=---（3）两边取积分，常数k 1取决于初值条件。
可以得到：１１（）ｌｎ（）（）ｃＮｔｂａｃｔｋａｃｃＮｔｂ-=-+-（4）常数k 取决于初值条件，变换方程（4），可以得到最终解：（）１（）（）ｂａｃｔｂａｃＮｔａｂｋｅｃ--=--（5）其中k 取决于初值条件，可以表示为＇ｂａｃｋｃａｂＮ-=+-，其中N '为t =0时假货的数量。
有假设条件，可以知道k =b /ɑ。
由式（5），已经可以得到公司成立时间t 、公司打假力度b 以及市场上的假货数量N （t ）之间的关系。
对式（5）求导，可得：２（）（）２（）＇（），（）ｂａｃｔｂａｃｔｂａｃｂＮｔｋｅｋｋｅｃａ---==-（6）由式（6），可见，无论如何，当打假力度恒定时，假货数量一定会随着时间的增长而增长。
对式（5），t 取向正无穷，可得：1）当b -ɑc <0时，当t 趋向于正无穷，有N 达到1/c （即为Nm 值）。
2）当b -ɑc =0时，由L'Hospital 法则6可得，N （t ）=bt /（c （1+bt ））。
即当t 趋向于正无穷，有N 达到1/c （即为Nm 值）。
3）当b -ɑc >0时，当t 趋向于正无穷，有N 达到ɑ/b 。
（显然有ɑ/b 小于1/c ，即小于Nm ）2.2.2结论在恒定的打击力度之下，N'（t ）恒大于0。
即N （t ）随着t 单调递增。
于是可以得到：结论一：在给定任意的打击力度之下，假货的数量都将不断地增长。
而当打击力度达不大于一定程度时（即b ≤ɑc ），无论打击力度是多少，最终假货的数量都会达到市场饱和状态下的最大值。
但当b 越大，假货数量增长越慢，达到市场饱和需要越多时间。
结论二：当打击力度大于一定程度时（即b >ɑc ），虽然假货的数量会随时间增加而增加，但最李龙杰：基于微分方程与博弈论的打假策略分析39第1期顺德职业技术学院学报第12卷终假货的数量都不会达到市场饱和状态下的最大值，而会稳定在ɑ/b 。
也就是说，当打击力度越大时，假货总数量可达到的最大值就越小。
2.3对企业总体而言——模型的优化与结论对于企业总体而言，从企业成立到发展的过程中，打击的力度一般不会一直保持在一定程度，也就是说打击的力度一般来说是会变化的。
以下将讨论打击力度变化，对市场上假货数量的影响，以及讨论相对于打假力度恒定，改变力度会有什么样不同的效果。
针对这种影响，本文将给与企业关于何时改变打假力度的建议。
为了简化这个过程，假设企业的打假力度只会变化一次，企业在t 0提高打击力度。
提高前打假力度记为b 1，提高后记为b 2。
2.3.1模型的优化在t 0提高打击力度，记［0，t 0］中，打击力度为b 1。
而t 0以后打击力度为b 2。
由式（5），改变初值条件，可以得到以下模型：１２０１０（）１１２０（）（）２（１，（）１（），ｂａｃｔｂａｃｔｔｂａｃａｔｔｂｂｅａｃＮｔｂａｃａｔｔｂｋｅｃ---- -£ - = - -> - （7）上述，有１０２１（）２１１＝＝（１）＇ｂａｃｔｂａｃｂａｃａｋｃＮ＇ａｂＮｂｂｅａｃ---+---，。
对N （t ）求导，可以得到：１１２０２０２（）１１（）２１２（）（）２（）（）２（）（）＇（）（），（）ｂａｃｔ０ｂａｃｔｂａｃｔｔ０ｂａｃｔｔｂｂａｃｅｔｔｂａｅｃＮｔａｂａｃｋｅｔ＞ｔｋｅｃ------ -£ -= - -，（8）2.3.2结论当b 1较小（小于ɑc ），t 0时刻加大打击力度，但b 2依然较小（小于ɑc ），则依然有t 趋向于正无穷时，N 达到Nm 。
结论三：改变前，打击力度较小，改变后打击力度依然不大，那么对最终假货数量依然会达到市场饱和。
这种改变没有意义。
当N '较大，则t >t 0时，会有N'（t ）小于0。
即当假货增加到一定数量（大于ɑ/b 2），再加大打击力度时，N （t ）会随着时间的减少而减少，最终达到稳定（稳定时数量为ɑ/b 2）。
结论四：假货数量多到一定数量时，厂商才意识到增大打击力度。
较大幅度增加打击力度后，从长远来看，的确能达到较少假货数量的效果。
但这种效果并不是立竿见影的，市场需要一定时间去调整。
而这段调整的时期，很可能会使得企业受到较大损失。
2.4对单个产品而言——模型的再优化现实中，当iphone5推出的时候，苹果公司已经不需要为iphone1的打假投入资源了，因为5代推出的时候1代已经不再具有市场了。
可见，对于像手机这一类更新换代快的产品，因为同一产品本身在市场上没有长时间的需求，所以对同一产品并不需要持续长时间的打假投入。
由式（5）可以知道，这类更新换代快的产品在仿冒品数量逼近1/c 前也许已经没有多大的市场，因此一定时间后，就可以减少打假力度，甚至不需要对打假行为。
所以，对于更新换代快的产品，只需要在一定时间内，将假货的数量控制在一定范围即可。
也就是说，如果iphone5推出到iphone7推出这个时间内，需要投入资源打击5代的假货，我们需要找出多大的打击力度。
可见，在一定时间内控制假货数量应该采取多大的打假力度，是一个值得探讨的问题。
这里，假设产品推出时，市场上没有假货，此产品在［0，t'］收到市场欢迎，t'后此产品在市场上就不再吃香了。
需要在这个时间段内控制假货的数量，同时，假货数量达到yNm 是可以接受的（y 为小于1，大于0的常数）。
那么，有：（）＇（＇）（１）ｂａｃｔｙａｂａｃＮｔｃｂｂｅａｃ--==--（9）这里，得到市场的具体数据后，可以通过二分法以及计算机模拟的计算b 的近似解。
3模型二基于博弈论的打假策略分析设P 为制造者生产假货所获得的利润；P'为制造40者生产正货所获得的利润；I 为制造者造假的重置成本；F 1为行政查处给打假者的打击；F 2为刑事查处给打假者的打击；M 为监管者的打击动力，包括奖励、失职成本、职业道德等；C 为打击假货的成本；R 为政府监管部门寻租收益。