第二章推理与证明综合检测.1

1 第二章 推理与证明综合检测 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半,直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( ) A．三段论推理 B．假言推理 C．关系推理 D．完全归纳推理 2．数列1,3,6,10,15，„的递推公式可能是( )

A. a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*) B. a1＝1，an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)

C. a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*) D. a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2) 3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．不是以上错误

4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋„＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( ) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )

A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．－12＜a＜32 D．－32＜a＜12

6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋„＋1n2，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 2

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14 7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( ) A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a、b大小不定 9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于( )

A．f(k)＋π2 B．f(k)＋π C．f(k)＋32π D．f(k)＋2π

10．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是( ) A．等边三角形 B．有一个内角是30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的等腰三角形

11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab·ba的大小关系是( ) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2( ) A.1 B．2 C．4 D．5 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，

你所写的式子可用语言叙述为__________________________．

14．已知f(n)＝1＋12＋13＋„＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________. 15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；

②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．

x 1 2 3 4 5

f(x) 4 1 3 5 2 3

16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题： ①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

17．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ

＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了( )

A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．以上都不是 18．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0计算a2、a3，猜想an＝( ) A．n B．n2 C．n3 D.n＋3－n 19．异面直线在同一平面内的射影不可能是( ) A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．一点与一直线 D．同一条直线 20．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)„(n＋n)＝2n·1·3·„·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为( )

A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.2k＋1k＋1 D.2k＋3k＋1 21．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( ) A．a⊥b B．a∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|b| 二、填空题 22对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“____________________________”，这个类比命题是________命题(填“真”或“假”)． 23推理某一三段论，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断：该三段论的另一前提必为________判断． 24如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________________；f(n)＝______________.(答案用数字或n的解析式表示) 4

1[答案] D [解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理． 2[答案] B [解析] 记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，„，可

知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系 a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)． 3[答案] C [解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4[答案] D [解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋„＋(1＋3)＝1＋2＋„＋4，故应选D. 5[答案] C [解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)⊗(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围． (x－a)⊗(x＋a)<1⇔(x－a)(1－x－a)<1 即x2－x－a2＋a＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0 即4a2－4a－3<0

解得－126[答案] D [解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D. 7[答案] D [解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，

∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0. 解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D. 5

8[答案] B [解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，

b＝c－c－1＝1c＋c－1，

因为c＋1>c>0，c>c－1>0， 所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a9[答案] B [解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 10[答案] C

[解析] ∵sinAa＝cosBb＝cosCc，由正弦定理得， sinAa＝sinBb＝sinCc，∴sinBb＝cosBb＝cosCc＝sinCc，

∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 11[答案] A

若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1； 若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1； 若a＝b，则pq＝1， ∴p≥q. 12[答案] C [解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，„，数列{xn}是周期为4的数列，

所以x2011＝x3＝4，故应选C. 6

13[答案] 43πR3′＝4πR2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 14[答案] 12k＋1＋12k＋2＋„＋12k＋1 [解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋„＋12k＋1 f(2k)＝1＋12＋13＋„＋12k

f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋„＋12k＋1.

15[答案] sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34 [解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：

sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34. 可以证明此结论是正确的，证明如下： sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)

＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)

－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12 ＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16[答案] ③④ [解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．

①整数a＝2，b＝4，ab不是整数； ②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b∉M； ③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，„，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．

④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、b∈Q}