专题14 指数函数(讲)(解析版)
《指数函数》公开课课件
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数在科学研究中的应用举例 • 指数函数图像变换与性质变化规律 • 指数函数与其他知识点联系与拓展
01
指数函数基本概念与 性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
乘法法则
$a^m times b^m = (a times b)^m$，不同底数 幂相乘，指数不变，底数 相乘。
除法法则
$frac{a^m}{b^m}
=
left(frac{a}{b}right)^m$
，不同底数幂相除，指数
不变，底数相除。
幂的乘方法则
$(a times b)^n = a^n times b^n$，不同底数幂 的乘方，将每个底数分别 乘方。
在医学领域，指数函数可用于预 测肿瘤生长速度、评估治疗效果
等。
化学反应速率计算与分析
反应速率方程
化学反应速率与反应物浓度之间的关系可用指数函数表示。
速率常数计算
通过实验数据，利用指数函数拟合反应速率曲线，计算速率常数 。
反应机理研究
指数函数可用于分析化学反应机理，揭示反应过程中的速率控制 步骤。
物理学中波动现象描述
人口增长模型建立与预测
指数增长模型
人口增长可以采用指数增长模型进行 描述，即人口数量按照一定比例增长 ，增长速度随时间推移而加快。
预测应用
人口预测对于城市规划、资源分配、 环境保护等方面具有重要意义，可以 为政府和企业提供决策依据。
模型建立
根据历史人口数据和增长率，可以建 立出人口增长的指数模型，并预测未 来人口数量。
指数函数优秀课件
•指数函数基本概念•指数函数运算规则•指数函数在生活中的应用•指数函数与对数函数关系目•指数方程和不等式求解方法•指数函数在高级数学中的应用录指数函数的定义底数a的取值范围函数的单调性函数的值域函数的周期性030201指数函数的图像是一条从y轴上的点(0,1)出发的曲线。
当a>1时，曲线向上增长；当0<a<1时，曲线向下减少。
指数函数的图像关于y轴对称，即对于任意x值，f(-x)=f(x)。
指数函数的图像具有渐近线y=0，即当x趋近于负无穷大时，y趋近于0。
同时，当x趋近于正无穷大时，y趋近于正无穷大（a>1）或0（0<a<1）。
指数函数图像与特征同底数指数法则乘法法则除法法则幂的乘方法则不同底数指数法则乘法公式除法公式指数运算优先级01020304括号指数乘除加减复利计算复利公式A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A表示未来值，P表示本金，r表示年利率，n表示每年计息次数，t表示时间（年）。
该公式用于计算投资或存款在定期计息的情况下的未来值。
连续复利当计息次数趋于无穷大时，复利公式变为A = Pe^(rt)，其中e是自然对数的底数，约等于2.71828。
连续复利更精确地描述了资金在连续时间内的增长情况。
放射性物质衰变衰变公式半衰期细菌繁殖模型细菌增长公式N = N₀e^(kt)，其中N表示经过时间t后的细菌数量，N₀表示初始数量，k表示细菌增长率，t表示时间。
该公式用于描述在理想条件下细菌数量的指数增长。
细菌繁殖周期细菌从一个分裂成两个所需的时间称为繁殖周期。
在理想条件下，细菌数量每经过一个繁殖周期就会翻倍。
因此，细菌数量的增长与繁殖周期和经过的时间密切相关。
对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1），如果N （N>0）的a次幂等于X，那么X叫做以a 为底N的对数，记作X=logaN。
其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
对数函数的性质底数大于1时，函数是增函数；底数小于1时，函数是减函数。
人教版英语八年级下册专题14书面表达专练(解析版)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！八年级下学期期末重难知识点串讲+精练专题14 书面表达专练一、同步作文1．良好的习惯让人受益终身。
如何培养良好的习惯？请根据以下内容提示，以“How to develop a good habit”为题，用英语写一篇短文，可以适当发挥。
要点：1. 坚持锻炼，不要熬夜，睡眠充足；2. 多吃水果蔬菜，少吃垃圾食品；3. 努力学习，广泛阅读；4. 体贴父母，多做家务；……注意：要点齐全，条理清晰，语句通顺，不需逐条翻译；短文不少于80词。
____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ___________________________【答案】高分范文：How to develop a good habitIt’s very important for us to develop good habits. As teenagers, what should we do?In my opinion, it is a good habit to keep exercising and get enough sleep. Remember not to stay up late. What’s more, we should eat more fresh fruit and vegetables and less junk food. It’s necessary for us to study hard and read some books to get more knowledge. We should also care for parents and help them do more housework in our spare time. Always remember to wash our hands before meals to keep clean.I hope everyone can keep healthy and strong.【解析】【详解】1、题干解读：题目要求根据以下提示内容，以“How to develop a good habit”为题，写一篇短文，包括锻炼、饮食、学习、家庭生活等方面的内容，可适当发挥。
指数函数ppt课件
04
指数函数的应用
在金融领域的应用
复利计算
股票和期货价格预测
在金融领域，复利计算是评估投资回 报的重要方式。指数函数用于计算复 利，通过复利公式，可以计算出投资 的未来价值。
在股票和期货市场中，指数函数常用 于价格预测模型。通过分析历史数据 ，利用指数函数可以预测未来的价格 走势。
保险精算
在保险行业中，指数函数用于精算模 型，例如生命表和风险评估。通过指 数函数，保险公司可以预测未来的风 险和损失。
指数函数和三角函数在某些方面具有 相似性，例如在周期性和对称性方面 。
三角函数的图像具有对称性，例如正 弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称 ，而指数函数的图像则关于y=1对称 。
三角函数具有周期性，而指数函数在 形式上也可以表示为具有周期性的形 式。
06
练习题与答案解析
基础练习题
定义域和值域
指数函数的定Leabharlann 域和值域分别是什么？指数函数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古代数学家和天文学家的著作中，但现代意义上的指 数函数则是在17世纪由数学家约翰·纳皮斯和费马等人提出。
历史发展
随着数学和科学技术的不断发展，指数函数的概念和应用范围也在不断扩展和 深化。在复数、微积分、线性代数等领域中，指数函数都扮演着重要的角色。
02
指数函数与幂函数的关系
指数函数和幂函数具有相似的 形式，即y=a^x和y=x^a。
当a>0时，指数函数和幂函数 的图像都是单调递增的；当 a<0时，指数函数和幂函数的 图像都是单调递减的。
指数函数和幂函数的定义域都 是全体实数集R，值域都是正 实数集(0,+infty)。
指数函数与三角函数的关系
《指数函数》课件
应用广泛
指数函数是数学、物理、金融、 生物、化学等领域中的重要概 念，可应用于许多实际问题。
引领未来
了解和熟练掌握指数函数是探 索自然、认识世界和关注未来 的重要个人能力。
指数函数的导数可以通过 导数公式进行易解，使得 它在实际应用中更加方便。
指数函数和常见函数的比较
对数函数
指数函数和对数函数是一对互 为反函数的函数，它们在实际 应用中经常一同出现。
幂函数
幂函数是与指数函数类似的一 般形式函数，但其中自变量与 常数的次数可以不相等。
三角函数
三角函数是解析几何和物理学 中不可缺少的一部分，它们与 指数函数密切相关的。
指数增长可以应用于股票、金融市场的分析，为财 务规划和决策提供参考。
人口增长中的指数增长
应用于人口、社会发展的研究，探索城市规划、资 源分配等关键问题。
指数函数的特性
1 指数增长特性
指数函数的特殊增长和减 小特性使得它在许多现象 中都有着广泛的应用。
2 图像特性
3 求导特性
指数函数的图像特性是理 解和应用指数函数的关键， 因此必须加以理解。
指数函数PPT课件
欢迎来到《指数函数》PPT课件，我们将探讨指数函数的定义、性质和应用。 让我们开始吧！
指数函数是什么？
定义
指数函数的数学表达式是 $f(x)=a^x$，其中$a$是常数， $x$是自变量，$a>0$且 $a≠1$。
图像
当$a>1$时，函数增长迅速， 当$0<a<1$时，函数递减， 特殊情况：$a=1$时，函数 值恒为1。
基于指数函数的优化算法可以在数学和计算机应用领域中得到广泛应用。
梯度下降算法
梯度下降算法是使用最广泛的优化算法之一，它可以运用于指数函数的数据建模。
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。
指数函数及其性质课件
目录
• 指数函数简介 • 指数函数性质 • 指数函数与其他数学知识的结合 • 指数函数在实际问题中的应用 • 指数函数的扩展与深化理解
01
指数函数简介
定义与特性
定义
指数函数是一种数学函数，其形 式为 y = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量，y 是因变量。
3
应用
复合指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
自然指数函数与欧拉数
定义
自然指数函数是指数函数 (e^x) 的反函数，也称 为欧拉数。
性质
自然指数函数具有连续、可导、可微等性质，且 (e^x) 的导数等于自然指数函数。
应用
自然指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
指数函数的周期性
根据周期函数的定义，判断指数函 数的周期性，并举例说明。
周期性的应用
介绍周期性在数学、物理等领域的 应用，如三角函数的周期性等。
有界性
有界函数的定义
如果存在两个常数M和m，使得对于定义域内的每一个x，都有m≤f(x)≤M，则称 f(x)为有界函数。
指数函数的有界性
根据有界函数的定义，判断指数函数的有界性，并举例说明。
特性
指数函数具有非线性特性，随着 x 的增大或减小，y 的值会以指数 速度增长或减小。
历史背景与发展
历史背景
指数函数的概念可以追溯到古代数学 ，但直到17世纪科学革命时期，数 学家们才开始深入研究指数的性质和 应用。
发展
随着微积分和复数理论的发展，指数 函数的理论基础不断完善，应用领域 也得到了极大的拓展。
04
指数函数(解析版)
考点14 指数函数【命题解读】在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。
重点考查与此有关的性质。
【基础知识回顾】 ．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 (5)当x ＜0时，y ＞1；当x ＞0时，0＜y ＜1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c. 2、函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0【答案】D【解析】由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1. 函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.3、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A. 1<a< 2B. －2<a<－1C. 1<a<2，或－2<a<－1D.22<a<1，或1<a< 2【答案】C【解析】由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，即1<a<2或－2<a<－1.∴数a的取值范围是1<a<2或－2<a<－1.故选C.4、已知函数f(x)＝a x－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为．【答案】(3，3)【解析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)． 5、函数的值域为（ ）A ．B ．C ．（0，]D ．（0，2]【答案】A【解析】令t （x ）＝2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+1≤1 ∵单调递减∴即y故选：A ．考向一 指数函数的性质与应用例1、（1）．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0．53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c ．（2）．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为（ ） A ．3 B ．13 C ．-5 D ．3或13．（3）．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 【解析】（1）．B 由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，其图象过原点，且关于y 轴对称， 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又a ＝f (log 0．53)＝f (－log 23)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)， c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25，所以c ＜a ＜b ．（2）．D 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2．当a ＞1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13．（3）令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．变式1、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为 ．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞) f (－4)＞f (1)（3）13或3【解析】（1）设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝12a⎛⎫⎪⎝⎭在R 上为减函数，∴函数f (x )＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．（2）因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．（3）令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式23122x x --<的解集为_______. 【答案】(﹣1，2) 【解析】由题23122x x --<则2311222x x ---<=，故23112x x x --<-⇒-<< 故填(﹣1，2)变式3、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x ≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是 ；【答案】(－3，1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－7<1，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<8，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<312-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1.∴0≤a <1， 综上，a 的取值范围为(－3，1)．变式4、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______. 【答案】12.【解析】(1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12.方法总结： 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解考向二 指数函数的图像与性质例2、如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________． 【答案】(1,2)．【解析】设C (a,4a )，则A (a,2a )，B (2a,4a )．又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝4a2a ，故4a ＝2·2a ，所以2a ＝0(舍去)或2a ＝2，即a ＝1，所以点A 的坐标是(1,2)．变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点O 的直线与函数3x y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A的横坐标是 【答案】3log 2【解析】根据题意，可设点(),3a A a ，则(),9a C a ,由于BC ∥x 轴，故9aC B y y ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OA OB k k =，即392a a a a=，解得 3log 2a =.变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】在同一直角坐标系内，作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图像如下：因为31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a 是13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =交点的横坐标；b 是3x y =与13log y x =交点的横坐标；c 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与13log y x =交点的横坐标；由图像可得：b c a <<. 故选：C.变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】当a >1时，y ＝a x－1a 是增函数．当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足． 当0<a <1时，y ＝a x－1a 在R 上是减函数．当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足． 变式4、 已知f(x)＝|2x －1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x ＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x 2的零点的个数．【解析】 (1)由f(x)＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x ，x<0可作出函数的图像如图所示．因此函数f(x)的单调减区间是(－∞，0)上，单调增区间是(0，＋∞)． (2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x ＋1)的图像如图所示．由图像知，当012x +－1＝1－02x ，即x 0＝log 223时，两图像相交，当x<22log 3时，f(x)>f(x ＋1)； 当x ＝22log 3时，f(x)＝f(x ＋1)；当x>22log 3时，f(x)<f(x ＋1)．(3)将g(x)＝f(x)－x 2的零点个数问题转化为函数f(x)与y ＝x 2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)＝|2x －1|和y ＝x 2的图像(如图所示)，有四个交点，故g(x)有四个零点．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考向三 指数函数的综合运用例3、关于函数f (x )＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形 【答案】 ACD【解析】 函数f (x )＝14x ＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为⎝⎛⎭⎫0，12，所以方程f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确； 因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，∴f (x )关于⎝⎛⎭⎫12，14对称，所以D 正确．变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数(),413,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若16f f a =，则实数a = _____．【答案】1-【解析】∵函数(),413,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩,16f f a =, ∴当1a ≥时,44a f a ＝,4(())4416aa f f a f ,解得12a =,不合题意． 当1a <时, 3f a a = , 当31a 时,33416af f a f a ==,解得1a =-,当31a 时,33316f f a f a a ==,解得10a =,不合题意．综上,实数1a =-． 故答案为：1-．变式2、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1) 求a ，b 的值；(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【解析】 (1) ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1.又由f (1)＝－f (－1)，得1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. 经检验知，a ＝2，b ＝1为所求．(2)(方法1)由(1)得f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)． ∴t 2－2t >k －2t 2，即对一切t 有3t 2－2t －k >0.∴Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.(方法2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1， ∴222211222ttt t --+-+＋222211222tkt k --+-+<0，即(2212t k -+＋2)(1－222t t -)＋(2222t t -+＋2)(1－222t k -<0，即2322t t k --1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.变式3、设a 是实数，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )． (1) 试证明对于任意a ，f (x )都为增函数； (2) 试确定a 的值，使f (x )为奇函数． 【证明】 (1)设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1221x a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭－2221x a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21222121x x -++＝()()12122(22)2121x x x x -++. 由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，∴12x <22x ，即1222x x -<0.又由2x>0，得12x ＋1>0，22x ＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∵此结论与a 的取值无关，∴对于a 取任意实数， f (x )均为增函数．(2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x＋1，变形得2a ＝2·2x （2－x ＋1）·2x ＋22x ＋1＝2·（2x ＋1）2x ＋1＝2，解得a ＝1. 方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间1、(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x x e e f x x的图像大致为【答案】B【解析】当0<x 时，因为0--<x x e e ，所以此时2()0--=<x x e e f x x，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e ，故排除C ，选B ．2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】 由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5x y =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3x y =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,故选：A 3、（2017北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】11()3()(3())()33x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．4、（2012山东）若函数在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(0,1)x f x a a a =>≠()(14g x m =-在上是增函数，则a ＝ ．【答案】 【解析】 当时，有，此时，此时为减函数，不合题意．若，则，故，检验知符合题意． 5、已知函数f (x )＝3x－13|x |． (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围． 【解析】：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，不满足f (x )＝2．当x >0时，f (x )＝3x－13x ，令3x －13x ＝2． 03 1.x x >∴>，∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2．∵3x >1，∴3x ＝1＋2．∴x ＝log 3(1＋2)．0x >，1=33x x f x ∴-函数可化为（）. (2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x －13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (t )＝3t －13t >0．∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t⎝⎛⎭⎫32t －132t ＋m ⎝⎛⎭⎫3t －13t ≥0， 即3t⎝⎛⎭⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1． 令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减， ∴g (x )max ＝－4．∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．[0,)+∞141a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==。
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《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》专题14指数函数（讲）知识点课前预习与精讲精析1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量.[知识点拨]指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示：a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数[知识点拨](1)a >1是“一撇”，0<a <1是“一捺”；(2)图象位于x 轴上方；(3)当x ＝0时，y ＝1；(4)在y 轴右侧，a 越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．3．比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．4．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域．求形如y ＝a f (x )的函数的值域，应先求出u ＝f (x )的值域，再由单调性求出y ＝a u 的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如y ＝f (a x )的函数的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域．(2)判断复合函数的单调性令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，那么复合后的函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f (x )与f (－x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．1．若指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()3,8，则()142f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】由题知()338f a ==，解得2a =，()2x f x ∴=，因此，()14214222f f ⎛⎫⋅=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为.2．若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上最大值是最小值的2倍，则a =______.【答案】2或12【解析】当01a <<时，函数()x f x a =为R 上的减函数，故()()122f f =，即22a a =，解得12a =.当1a >时，函数()xf x a =为R 上的增函数，故()()221f f =，即22a a =，解得2a =.故a 的值为2或12.故填：2或12.3．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____．【答案】（2，+∞）【解析】∵指数函数f（x）=（a﹣1）x 在R 上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a 的取值范围是（2，+∞），故答案为（2，+∞）．4．已知函数()3x f x a -=+的图像经过第二、三、四象限，()()(1)g a f a f a =-+，则()g a 的取值范围是_______．【答案】(2,)+∞【解析】因为函数()3x f x a -=+的图像经过第二、三、四象限，所以()00310f a a -=+=+<，解得：1a <-又()()12()()(1)3333a a a g a f a f a a a -+--⎡⎤=-+=+-+=⨯⎣⎦又1a <-，所以1a ->，所以()33,a -∈+∞所以()232,3a -⨯∈+∞，所以()g a 的取值范围是()2,+∞5．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】∵a 2＋a ＋2＝217()124a ＋+>，∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数．∴x >1－x ，即12x >.x 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.典型题型与解题方法重要考点一：指数函数的概念【典型例题】已知函数2()(1)(1)x f x a a a =+-+为指数函数，则a =.【答案】1【解析】函数()()()211x f x a a a =+-+为指数函数，21110a a a ⎧+-=∴⎨+>⎩解得1a =【题型强化】下列函数是指数函数的是________(填序号)．①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝(－4)x ；④y ＝4x 2.【答案】①【解析】形如(0x y a a =>且1a ≠)的函数，叫指数函数.由指数函数定义，只有①是指数函数；②y ＝x 4是幂函数；③y ＝(－4)x ，由于底数4(0,1)(1,)-∉+∞ ，所以③不是指数函数；④y ＝4x 2不是指数函数.故答案为：①【收官验收】已知指数函数图像经过点(1,3)p -，则(3)f =_____.【答案】127【解析】设指数函数为()x f x a =（0a >且1a ≠），由题意得13a -=，解得13a =，所以1()()3x f x =，故311(3)()327f ==．答案：127．【名师点睛】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．重要考点二：指数函数的图象【典型例题】如图，是指数函数①x y a =、②x y b =、③x y c =、④x y d =的图象，则（）A ．1a b c b<<<<B ．1b a d c <<<<C ．1a b c d<<<<D ．1a b d c<<<<【答案】B【解析】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知x y c =、x y d =为增函数，则,c d 大于1.x y a =、x y b =为减函数，则a b ，大于0小于1.当1x =时，对应的函数值依次为①y a =、②y b =、③y c =、④y d =，由图知，当1x =时，对应函数值由下到上依次是②①④③，得1b a d c <<<<，所以正确选项为B故选:B ．【题型强化】函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)xy a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数xy a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确；故选：C【收官验收】在同一直角坐标系中，函数()a f x x =与()x g x a -=在[)0,+∞上的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()a f x x =为幂函数，()1()-==x x g a a x 为指数函数A.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象符合，故可能.B.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象不符合，故不可能.C.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知11a>，01a ∴<<，()a f x x =的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A【名师点睛】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．重要考点三：指数函数中忽视对底数的分类讨论致误【典型例题】已知函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2，求实数a 的值.【答案】2【解析】函数()(),1x f x a a =>∴函数()f x 在[]1,2单调递增即()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a ==又 函数()(),1x f x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2.∴()()2212f f a a -=-=，解得2a =或1a =-（舍去）综上所述：2a =【题型强化】已知函数()x f x a=(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24，．（1）求a 的值；（2）若2131x x a a +-<，求x 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）()2,+∞【解析】（1）∵()x f x a =(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24，∴24a =,由0a >，且1a ≠可得2a =（2）由（1）得2a =若2131x x a a +-<,代入2a =可得213122x x +-<由指数函数的单调性可知满足2131x x +<-解得2x >,即()2,x ∈+∞【收官验收】已知函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大3a ，求实数a 的值.【答案】43a =或23【解析】1a >时，x y a =是增函数，则23a a a -=，解得43a =（0a =舍去）；01a <<时，x y a =是减函数，则23a a a -=，解得23a =（0a =舍去）．综上，43a =或23．重要考点四：指数型函数图象过定点问题【典型例题】函数1()3x f x a -=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是______．【答案】(1,4)【解析】()13x f x a -=+由x y a =向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，x y a =过定点()0,1，则()13x f x a -=+过定点()1,4.【题型强化】函数223x y a =+﹣（0a ＞且1a ≠）的图象恒过定点_______________.【答案】()14，【解析】根据题意，数223x y a -=+中，令220x -=，解可得1x =，此时22134f a -=+=（），即函数的图象恒过定点14（，），故答案为：14（，）.【收官验收】已知函数1()4x f x a -=+（其中0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 坐标是_________.【答案】(1,5)【解析】解：令10x -=，此时1x =，101x a a -==，此时()15f =，所以图象恒过()1,5P .故答案为:(1,5).【名师点睛】指数型函数过定点的求法：求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图象所过的定点．重要考点五：指数型函数的定义域与值域【典型例题】设()2121x f x =-+.（1）求()f x 的值域；（2）证明()f x 为R 上的增函数.【答案】（1）()1,1-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为20x >，所以20221x <<+，所以211121x -<-<+，即()f x 的值域为(1,1)-；（2）任取1x 、2x ，且12x x <．则21212121222(22)()()1102121(21)(21)x x x x x x f x f x --=--+=>++++所以21()()f x f x >所以()f x 为R 上的增函数【题型强化】求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.（1）()f x =（2）121()3xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）223()2x x f x --+=；（4）121()1,[2,3]933x x f x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）定义域：(,2]-∞-，值域：[0,1)，减区间：(,2]-∞-；（2）定义域：(,2)(2,)-∞⋃+∞，值域：(0,1)(1,)⋃+∞，减区间：(,2)-∞和(2,)+∞；（3）定义域：R ，值域：(0,16]，增区间：(,1]-∞-，减区间：[1,)-+∞；（4）值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间：[2,1]-，增区间：[1,3]【解析】（1）由2130x +-≥得2x -≤，所以定义域为(,2]-∞-，又230x +>，所以20131x +≤-<，01y ≤<，所以值域中[0,1)，213x u +=-在R 上是减函数，所以()f x =的减区间是(,2]-∞-；（2）由20x -≠得2x ≠，所以定义域是(,2)(2,)-∞⋃+∞，又102x ≠-，所以值域是(0,1)(1,)⋃+∞，12u x=-在(,2)-∞和(2,)+∞上都是增函数，所以121()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的减区间是(,2)-∞和(2,)+∞；（3）定义域是R ，又2223(1)44x x x --+=-++≤，所以值域中(0,16]，2(1)4u x =-++在(,1]-∞-上递增，在[1,)-+∞上递减，所以223()2xx f x --+=的增区间(,1]-∞-，减区间是[1,)-+∞；（4）定义域是[2,3]-，令1()3xt =，由[2,3]x ∈-，所以1[,9]27t ∈，222181()339y t t t =-+=-+，所以876]9y ≤≤，值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又222181()339y t t t =-+=-+在11[,273上递减，在1[,9]3上递增，而1(3x t =是减函数，所以121()1,[2,3]933xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的减区间是[2,1]-，增区间[1,3]．【收官验收】求下列函数的定义域、值域.（1）y ＝313xx+；（2）y ＝4x －2x ＋1.【答案】（1）定义域为R ；值域为(0，1)；（2）定义域为R ；值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）∵对一切x ∈R ，3x ≠－1；∴函数的定义域为R；∵y ＝13113x x+-+＝1－113x +；又∵3x >0，1＋3x >1；∴0<113x +<1，∴－1<－113x+<0；∴0<1－113x+<1，∴值域为(0，1).（2）函数的定义域为R ；y ＝(2x )2－2x＋1＝122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋34；∵2x >0，∴2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34；同时y 可以取一切大于34的实数；∴值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】1.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则f (a )≤f (x )≤f (b )，值域为[f (a )，f (b )]．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则f (a )≥f (x )≥f (b )，值域为[f (b )，f (a )]．2．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．(2)值域．①换元，令t ＝f (x )；②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ；③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．重要考点六：幂式大小的比较【典型例题】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（）A ．a b c ＜＜B ． a c b ＜＜C ．b a c ＜＜D ．b c a＜＜【答案】C 【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .【题型强化】若a <0，则0.5a,、5a 、5－a 的大小关系是（）A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a【答案】B 【解析】因为0a <，故可得0.51a >，50.21a a -=>，51a <；再结合指数函数的图像关系，则0.20.5a a >.故50.55a a a ->>.故选：B.【收官验收】已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】根据函数0.3x y =单调递减知：0.60.503..03a b <==；根据函数0.5y x =单调递增知：0.50.503.4.0c b =<=，故c b a >>.故选：D .【名师点睛】比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．重要考点七：指数型函数的奇偶性【典型例题】设函数()xxf x a mb =+，其中,,a m b ∈R ．（1）若2a =，12b =且()f x 为R 上偶函数，求实数m 的值；（2）若4a =，2b =且()f x 在R 上有最小值，求实数m 的取值范围；（3）() 0,1a ∈， 1b >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）1m =；（2）0m <；（3）答案见解析.【解析】解：（1）()122xxf x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()1121222m f f m =+=-=+，所以1m =，检验，此时()122x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()122xx f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以()()f x f x -=，()f x 为偶函数；（2）()4·2xxf x m =+，令20x t =>，则()2g t t mt =+在()0,∞+上有最小值，所以02m->，得0m <；（3）()0xxf x a mb =+>，所以xxa mb >-，所以xx x a a m b b ⎛⎫=>- ⎪⎝⎭，因为()0,1a ∈，1b >，所以()0,1ab∈．①0m -≤，即0m >，解集为R ；②0m ->，即0m <，解集为(),log a b m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【题型强化】已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）若对于任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．【答案】（1）1a =，1b =；（2）证明见解析；（3）1(,)3-∞-.【解析】解：（1）()f x 为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，可得1b =又(1)f f -=- （1）∴11121222a a----=-++，解之得1a =经检验当1a =且1b =时，12()21xx f x -=+，满足()()f x f x -=-是奇函数．（2）由（1）得122()12121x x x f x -==-+++，任取实数1x 、2x ，且12x x <则21121212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++12x x < ，可得1222x x <，且12(21)(21)0x x ++>12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）根据（1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数．∴不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，即222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+也就是：2222t t t k ->-+对任意的t R ∈都成立．变量分离，得232k t t <-对任意的t R ∈都成立，2211323()33t t t -=-- ，当13t =时有最小值为13-13k ∴<-，即k 的范围是1(,3-∞-．【收官验收】已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；1b =（2）13k <-【解析】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =.从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =.经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意（2）由（1）知12111()22221x x xf x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.重要考点八：指数型函数的单调性【典型例题】（1）求函数261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调区间；（2）求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间．【答案】（1）单调递增区间为(),3-∞，单调递减区间为()3,+∞（2）单调递增区间为()2,-+∞，单调递减区间为(),2-∞-。