四川省成都市2015届高三毕业班摸底测试理科数学试卷(解析版)

四川省成都市2015届高三毕业班摸底测试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设全集U ＝{1，2，3，4}，集合S ＝{1，3}，T ＝{4}，则()U S T ð等于（ ）A 、{2，4}B 、{4}C 、ΦD 、{1，3，4} 【答案】A 【解析】试题分析：因为全集U ＝{1，2，3，4}，集合S ＝{1，3}，故U S ð＝{2，4}，于是()U S Tð＝{2，4}，选A考点：集合的概念及基本运算，并集、补集. 2．已知命题:,25xp x R ∀∈=，则p ⌝为（ ） A 、,25x x R ∀∉= B 、,25xx R ∀∈≠ C 、00,25x x R ∃∈= D 、00,25x x R ∃∈≠【答案】D 【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选D 考点：全称命题的否定.3．计算664log log 4的结果是（ ）A 、6log 2B 、2C 、6log 3D 、3 【答案】B 【解析】试题分析：666664log log 4log 9log 4log 362=+==，选B 考点：对数基本运算.4．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z ＝4x ＋y 的最大值为（ ）A 、10B 、8C 、2D 、0 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划.5．已知,a b 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A 、若//,a b b α⊂，则//a α B 、若//,a b αα⊂，则//a b C 、若,a b αα⊥⊥，则//a b D 、若,a b b α⊥⊥，则//a α 【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，当//,a b b α⊂时，可能有a α⊂，故A 错误； 对于B ，//a α时，不能保证a 与α内任意的直线平行，故B 错误； 对于C ，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故C 正确； 对于D ，当,a b b α⊥⊥时，可能有a α⊂，故D 错误考点：空间直线与平面的位置关系，平行的判定.6．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，一般情况下PM2.5的浓度越大，大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数(单位：3/g m μ)，则下列说法正确的是（ ） A 、这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B 、这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C 、这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D 、这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等【答案】C 【解析】试题分析：甲的极差是98－43＝55，乙的极差是94－37＝57，两者不相等，A 错误； 甲的中位数是73752+＝74，乙的中位数是68，甲的中位数较大，B 错误；乙的众数为68，与中位数相同，C 正确；甲的平均数是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×110＝73.4乙的平均数是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×110＝68.1，可知D 错误考点：统计，茎叶图，极差，中位数，众数，平均数.7．已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ）A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦C 、42,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦ 【答案】A 【解析】试题分析：因为()cos 2sin()6f x x x x πωωω+=+最小值为－2，可知y ＝－2与f(x)两个相邻公共点之间的距离就是一个周期，于是2T ππω==，即ω＝2，即()2s i n (2)6f xxπ=+ 令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎣⎦，k ∈Z ，解得x ∈2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦，选A考点：三角函数恒等变形，三角函数的图象及周期、最值、单调性.8．已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x ∈(－1，3]时，f(x)＝2,(1,1]1cos ,(1,3]2x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩，则函数g(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 【答案】D 【解析】试题分析：由f(x)是定义在R 上的偶函数，知x ＝0是它的一条对称轴 又由f(4－x)＝f(x)，知x ＝2是它的一条对称轴 于是函数的周期为(2－0)×2＝4画出f(x)的草图如图，其中y ＝|lgx|在(1，＋∞)递增且经过(10，1)点函数g(x)的零点，即为y ＝f(x)与y ＝|lgx|的交点 结合图象可知，它们共有10个交点，选D.考点：函数的奇偶性、周期性，分段函数，函数的零点.9．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5 B【答案】C 【解析】试题分析：由已知，|OA|＝a设OA 所在渐近线的方程为y ＝kx(k ＞0)，于是A 点坐标可表示为A(x 0，kx 0)(x 0＞0) 于是0，即A()，进而AB 的一个三分点坐标为()该点在椭圆C 1上，有222119(1)111119(1)k k k ++=+，即2211119(1)k k +=+，得k ＝2即b a ＝2，于是c，所以离心率c e a=C考点：圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.二、填空题10．已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-=_____________.【答案】35【解析】试题分析：因为α是锐角所以sin(π－α)＝sin α35考点：同角三角函数关系，诱导公式.11．当1x >时，函数11y x x =+-的最小值是_______________.【答案】3 【解析】试题分析：因为1x >，11(1)11311y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当111x x -=-，且x ＞1，即x ＝2时等号成立，故函数y 的最小值为3. 考点：均值不等式求最值.12．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是____________【答案】28＋ 【解析】试题分析：这是一个侧放的直三棱柱，底面是等腰直角三角形，侧棱长为6故表面积为2×(12×2×2)＋(2＋2＋)×6＝28＋.考点：三视图，几何体的表面积.13．运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是_____________【答案】45【解析】试题分析：因为211(1)i i i i =++第一次进入循环，运算后S ＝12，i ＝1＜4第二次进入循环，运算后S ＝111223+⨯⨯，i ＝2＜4第三次进入循环，运算后S ＝111122334++⨯⨯⨯，i ＝3＜4第四次进入循环，运算后S ＝111112233445+++⨯⨯⨯⨯，i ＝4≥4跳出循环输出S ＝11111411223344555+++=-=⨯⨯⨯⨯.考点：算法，框图，数列求和，裂项法.14．已知直线1()4y k x =+与曲线y k 的所有可能取值构成集合A ；P(x ，y)是椭圆221169y x +=上一动点，111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称，记114y -的所有可能取值构成集合B ，若随机的从集合A ，B 中分别抽出一个元素12,λλ，则12λλ>的概率是___________【答案】34【解析】1()4k x +，当x ≥0时，显然k ＞0，两边平方得2222216k k x k x x =++，即2222(1)0216k k k x x +-+=由题意，该方程有两个不相等的正实数根即22222102(1)40216k k k k ⎧-<⎪⎨⎪--⋅>⎩即221210k k ⎧<⎪⎨⎪-+>⎩结合k ＞0解得k ∈(0，1)，即A ＝(0，1) 对于椭圆221169y x +=，由于原点关于y ＝x ＋1的对称点为(－1，1)所以，椭圆关于y ＝x ＋1的对称椭圆为22(1)(1)1169y x -++=，111(,)P x y 在改椭圆上，可知y 1－1∈[－4，4]于是114y -∈[－1，1]，即B ＝[－1，1] 【方法一】由12,A B λλ∈∈，分别以12,λλ为横坐标和纵坐标， 可知点(12,λλ)构成一个面积为2的矩形 其中满足12λλ>的是图中阴影部分，面积为32所以，满足12λλ>的概率是34【方法二】当12,[1,0]A λλ∈∈-时，此事件发生的概率为12，此时必有12λλ>当12,(0,1]A λλ∈∈时，此事件发生的概率为12，此时12λλ>与12λλ≤概率相等，各占12，于是此时满足12λλ>的概率为14.以上两事件互斥，且[－1，0]与(0，1]的区间长度相等，故满足12λλ>的概率为311244+=.考点：直线与曲线的交点，轴对称图形，坐标的取值范围，几何概型.三、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*273,49,a S n N ==∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)2n n n a b n -+⋅=，求数列{}n b 的前n 项和T n .【答案】(1)21n a n =-;(2)122n n T +=- 【解析】试题分析：(1)根据等差数列的性质以及*273,49,a S n N ==∈可以求出首项和公差，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）结合（1）可得{}n b 是一个等比数列，利用等比数列求和公式可以求得T n .试题解析：(1)设公差为d ，则113767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ 3分 解得：{112a d == ∴*1(1)21()n a a n d n n N =+-=-∈所以数列{}n a 的通项公式为*21()n a n n N =-∈; 6分1(2)由(1)得11(1)2(211)22n n n n n a n b n n --+⋅-+⋅===, 9分∴11*(1)2(12)22()112n n n n b q T n N q +--===-∈--. 12分 考点：等差数列，等比数列，通项公式，前n 项和公式.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量(,)m a b c a =--，(,)n a b c =+，且0m n ⋅=(1)求角B 的大小；(2)求函数()sin()6f x A π=+的值域.【答案】(1)3B π=；(2)1(,1]2【解析】试题分析：(1)由已知，利用向量的数量积，结合余弦定理可得角B 的大小；(2)利用B 的大小，得到6A π+的取值范围，进而可求得函数f(x)的值域.试题解析：(1)由0m n ⋅=，得222a c b ac +=+根据余弦定理，有2221cos 22a cb B ac +-== 4分又因为(0,)2B π∈，所以3B π=； 6分 (2)由(1)得2(0,)33A C πππ=--∈∴5(,)666A πππ+∈ 8分∴1sin()(,1]62A π+∈∴函数()sin()6f x A π=+的值域为1(,1]2. 12分考点：平面向量的数量积，余弦定理，三角函数的值域.17．某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本.统计数据如下：(1)已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在A ，B ，C ，D ，E ，F 六名学生中，仅有A ，B 两名学生认为作业多.如果从这六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率. 【答案】(1)7650名；(2)35【解析】试题分析：(1)利用样本估计总体，可求得喜欢电脑游戏并认为作业不多的人数；(2)用列举法，并利用古典概型即可求得至少有一名学生认为作业多的概率 试题解析：(1)36425007650200⨯=(名) 5分(2)【方法一】从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}，{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}共15个 7分其中至少有一个学生认为作业多的事件有{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}共9个 9分 ∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35. 12分【方法二】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种， 7分 其中至少有一名学生认为作业多的选法有112242C C C +＝9种， 9分∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35. 12分【方法三】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种， 7分 其中没有人认为作业多的选法有246C =种 9分 ∴693115155P =-==即至少有一名学生认为作业多的概率为35. 12分考点：统计，随机抽样，用样本估计总体，古典概型.18．如图，已知O 的直径AB ＝3，点C 为O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC ＝2，点M 为线段VB 的中点. (1)求证：BC ⊥平面VAC ；(2)若AC ＝1，求二面角M －VA －C 的余弦值.【答案】(1)见解析；【解析】 试题分析：(1)证明直线与平面垂直的关键是证明该直线与平面内两条相交直线都垂直；(2)求二面角可以利用几何法，先找出二面角的平面角，也可以利用空间坐标系，找出平面的法向量求解.试题解析：(1)∵VC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴VC BC ⊥ 2分∵点C 为O 上一点，且AB 为直径 ∴AC BC ⊥ 4分又,VC AC ⊂平面VAC ，VC AC C = ∴BC ⊥平面VAC ； 6分(2)由(1)得，,,BC VC VC AC AC BC ⊥⊥⊥分别以CA ，CB ，CV 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C －xyz 如图所示. 7分则A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，，0)设平面VAC 的法向量为(0,0)m CB == 8分VA ＝(1，，，，－2)，AB ＝(－1，，0)设平面VAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z) 由00n VA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20x x -⎧⎨-+=⎩取y x ＝4，z ＝2即(4,2)n = 9分∴cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 11分∴二面角M －VA －C . 12分考点：空间直线与平面垂直的判定，二面角的计算，空间直角坐标系，空间向量的应用. 19．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆224x y +=上一动点，PD ⊥x 轴于点D.记满足1()2OM OP OD =+的动点M 的轨迹为Γ.(1)求轨迹Γ的方程；(2)已知直线:l y kx m =+与轨迹Γ交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹Γ于点Q ，且,OQ OG R λλ=∈.①证明：22241m k λ=+②求△AOB 的面积S(λ)的解析式，并计算S(λ)的最大值.【答案】(1)2214x y +=；(2)max ()(1),1S S λλ>= 【解析】试题分析：(1)由已知M 是PD 的中点，利用P 点在圆上，可以求出M 的点轨迹方程为2214x y +=；(2)点Q 在(1)中的椭圆上，G 是OQ 上的分点，利用直线与椭圆的关系，可以找到λ与m 和k 的关系，并进一步将三角形AOB 的面积表示成λ的函数关系式，再求出它的最大值.试题解析：(1)设00(,),(,)M x y P x y ，则点0(,0)D x ，且22004x y += (1) ∵1()2OM OP OD =+ ∴{002x x y y== (2) 将(2)代入(1)，得2244x y +=∴轨迹Γ的方程为2214x y +=； 5分 (2)①令1122(,),(,)A x y B x y由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-= 6分 ∴2221222122(8)4(14)(44)08144414km k m km x x k m x x k ⎧⎪=-+->⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+△，即221222122148144414m k km x x k m x x k ⎧⎪<+⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+ (3) ∴121222(8)2()221414k km my y k x x m m k k-+=++=+=++ 又由中点坐标公式，得224(,)1414kmmG k k-++ 根据OQ OG λ=，得224(,)1414kmm Q k k λλ-++ 将其代入椭圆方程，有22222222241(14)(14)k m m k k λλ+=++化简得：22214m k λ=+ (4) 9分②由(3)(4)得0,1m λ≠>∵12||x x - (5) 在△AOB 中，121||||2AOB S m x x =-△ (6)∴由(4)(5)(6)可得()(1)S λλ> 12分(0,)t ∈+∞则222111t S t t t==++(当且仅当t ＝1时，即λ)∴当λ()S λ取得最大值，其最大值为1. 13分 考点：动点轨迹，直线与椭圆的位置关系，中点坐标，平面向量的坐标运算，基本不等式，范围与最值.20．已知函数21()ln ,()3f x x xg x ax bx ==-，其中a ，b ∈R (1)求函数f(x)的最小值；(2)当a ＞0，且a 为常数时，若函数h(x)＝x[g(x)＋1]对任意的x 1＞x 2≥4，总有1212()()0h x h x x x ->-成立，试用a 表示出b 的取值范围； (3)当23b a =-时，若3(1)()2f xg x +≤对x ∈[0，＋∞)恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)1e -；(2)1016a <<时，(,b ∈-∞，116a ≥时，1(,2]8b a ∈-∞+；(3)1 【解析】试题分析：(1)利用导数判断出函数()f x 的单调性，即可求出()f x 的最小值；(2)解决本题的关键是由“对任意的x 1＞x 2≥4，总有1212()()0h x h x x x ->-成立”得出“()h x 在[4,)x ∈+∞上单调递增”，从而再次转化为导函数大于0的问题求解；(3)通过构造函数231()(1)()(1)l n (1),[0,)22G x f x g x x x ax ax x =+-=++--∈+∞，转化为()0Gx ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，于是转化为求()G x 在[0,)x ∈+∞上的最大值问题求解.解题过程中要注意对参数的合理分类讨论.试题解析：(1)∵'()ln 1,(0,)f x x x =+∈+∞，令'()0f x =，得1x e= ∴()f x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，＋∞)上单调递增 ∴()f x 在1x e=处取得最小值即min 1111[()]()ln f x f e e e e===-； 4分 (2)由题意，得321()()3h x xg x x ax bx x =+=-+在[4,)x ∈+∞上单调递增 ∴2'()210h x ax bx =-+≥在[4,)x ∈+∞上恒成立 ∴2112ax b ax x x+≤=+在[4,)x ∈+∞上恒成立 5分 构造函数1()(0),(0,)F x ax a x x=+>∈+∞ 则22211'()axF x a x x-=-=∴F(x)在(0,上单调递减，在,)+∞上单调递增(i)4，即1016a <<时，F(x)在[4,上单调递减，在,)+∞上单调递增∴[]min ()F x F ==∴[]min 2()b F x ≤，从而(,b ∈-∞ 7分(ii)4，即116a ≥时，F(x)在(4，＋∞)上单调递增 12(4)44b F a ≤=+，从而1(,2]8b a ∈-∞+ 8分综上，当1016a <<时，(,b ∈-∞，116a ≥时，1(,2]8b a ∈-∞+； 9分 (3)当23b a =-时，构造函数 231()(1)()(1)ln(1),[0,)22G x f x g x x x ax ax x =+-=++--∈+∞ 由题意，有()0G x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立∵'()ln(1)1,[0,)G x x ax a x =++--∈+∞(i)当0a ≤时，'()ln(1)1(1)0G x x a x =++-+>∴()G x 在[0,)+∞上单调递增∴()(0)0G x G >=在(0,)+∞上成立，与题意矛盾. 11分(ii)当0a >时，令()'(),[0,)x G x x ϕ=∈+∞ 则1'()1x a x ϕ=-+，由于1(0,1)1x ∈+ ①当1a ≥时，1'()01x a x ϕ=-<+，()x ϕ在[0,)x ∈+∞上单调递减 ∴()(0)10x a ϕϕ≤=-≤，即'()0G x ≤在[0,)x ∈+∞上成立∴()G x 在[0,)x ∈+∞上单调递减∴()(0)0G x G ≤=在[0,)+∞上成立，符合题意 12分②当01a <<时，1[(1)]1'(),[0,)11a x a x a x x x ϕ---=-=∈+∞++ ∴()x ϕ在1[0,1)x a ∈-上单调递增，在1(1,)x a∈-+∞上单调递减 ∵(0)10a ϕ=->∴()0x ϕ>在1[0,1)x a ∈-成立，即'()0G x >在1[0,1)x a ∈-成立 ∴()G x 在1[0,1)x a ∈-上单调递增∴()(0)0G x G >=在1(0,1)x a ∈-上成立，与题意矛盾 13分 综上，a 的最小值为1 14分考点：导数，函数的单调性，范围与最值，分类与整合.。