微分方程的算子算法
微分方程的算子算法【精选】
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x
cos x P(2 )
(P(2 )
0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
§2.8 用算子符号表示微分方程
当求系统的零状态响应时，则要解r(t)=H(p)e(t)的非齐次方 当求系统的零状态响应时，则要解r )=H 程。 由上述可以看出：在时域分析中， 由上述可以看出：在时域分析中，算子符号形式提供了简 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同， 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同，而形 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 返回
e(t)
-
i(t) 1
1H
i(t) 2
1
i(t) 3
1F
用算子符号建立微分方程（续2） 用算子符号建立微分方程（
di di di 3 1 − 2 − 3 =0 dt dt dt di di − 1 + 2 + i 2 − i 3 = e( t ) dt dt − di 1 − i + di 3 + i + t i dt = 0 2 3 ∫− ∞ 3 dt dt
− p p + 3
−1
e ( t ) 0
( 2 p 2 + 10 p + 3 )i 2 = pe ( t )
d 2 i2 即： 2 2 + 10 di 2 + 3i 2 = d e ( t ) dt dt dt
1H 1H
+
例2-8-2：如图所示电路，激 如图所示电路， 励电压为e ),请用算子符号列 励电压为e(t),请用算子符号列 写求电流i 的微分方程。 写求电流i1(t)的微分方程。 解：列出3个网孔的回路方程 列出3
( C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n − 1 p + C n )r ( t ) = ( E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m )e ( t ) D ( p ) = C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n −1 p + C n N ( p ) = E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法摘要：一、微分算子法的概念1.微分算子的定义2.微分算子在数学中的应用二、多项式除法的基本原理1.多项式的表示方法2.多项式除法的步骤3.多项式除法的应用三、微分算子法在多项式除法中的应用1.微分算子法的基本思想2.微分算子法在多项式除法中的具体应用3.微分算子法与传统多项式除法的比较四、微分算子法在实际问题中的应用1.微分算子在微分方程求解中的应用2.微分算子在数据处理和机器学习中的应用正文：微分算子法是一种在数学领域广泛应用的方法，它涉及到微分算子的定义及其在各种问题中的应用。
其中，多项式除法是微分算子法的一个重要应用方向。
本文将首先介绍微分算子法的相关概念，然后阐述多项式除法的基本原理，接着分析微分算子法在多项式除法中的应用，最后讨论微分算子法在实际问题中的具体应用。
一、微分算子法的概念微分算子是一种在数学中广泛应用的算子，它可以用于表示各种变化率和导数。
给定一个函数f(x)，我们可以定义微分算子Df(x) 为：Df(x) = f"(x)。
其中，f"(x) 表示函数f(x) 在点x 处的导数。
微分算子可以用于表示各种变化率和导数，例如，一阶导数、二阶导数等。
二、多项式除法的基本原理多项式除法是一种基本的数学运算，它可以用于计算两个多项式相除的结果。
给定两个多项式P(x) 和Q(x)，多项式除法的步骤如下：1.将除数Q(x) 的最高次项与被除数P(x) 的最高次项相除，得到商的常数项。
2.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从被除数P(x) 中减去得到一个新的多项式。
3.将新多项式的最高次项与除数的次高次项相除，得到商的次高次项。
4.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从新多项式中减去得到一个新的多项式。
5.重复上述过程，直到除数的次数小于被除数的次数，此时多项式除法结束。
三、微分算子法在多项式除法中的应用微分算子法在多项式除法中的应用主要体现在利用微分算子表示多项式的导数，从而简化多项式除法的计算过程。
张宇讲的微分算子法
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
微分方程的算子算法
微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。
下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。
1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。
通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。
2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。
主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。
有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。
3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。
通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。
4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。
通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。
求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。
算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。
但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。
总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。
通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。
算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。
高阶常微分方程的微分算子法
高阶常微分方程的微分算子法摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,xxe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解3123xxy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())nn n L y D a x Da x y -≡+++()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+=特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1s i n ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
微分方程算子法
微分方程算子法微分方程算子法是微分方程求解的一种重要方法。
它通过引入算子的概念，将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。
微分方程是描述自然界中各种变化规律的重要数学工具。
它包含了未知函数及其导数之间的关系，一般形式为：F(x, y, y', y'', ...) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y'、y''等表示y的一阶、二阶导数等。
求解微分方程的目标就是找到满足这个方程的未知函数y。
常见的微分方程求解方法有分离变量法、变量替换法、常系数线性微分方程求解法等。
而微分方程算子法是其中的一种，它主要用于求解线性微分方程。
所谓线性微分方程，是指未知函数及其导数之间的关系式为线性关系。
对于形如：L(y) = f(x)的线性微分方程，其中L是一个微分方程算子，f(x)是已知函数。
我们的目标是求解出未知函数y。
微分方程算子法的基本思想是引入一个算子D，使得D(y) = y'。
这样，原微分方程L(y) = f(x)就可以转化为：L(D)(y) = f(x)其中L(D)是一个算子，它作用在y上得到一个新的函数。
通过将微分方程转化为代数方程，我们就可以利用代数方法求解。
具体来说，我们可以将微分方程L(D)(y) = f(x)展开为：a0*y + a1*D(y) + a2*D^2(y) + ... + an*D^n(y) = f(x)其中a0、a1、...、an是常数，D^k表示算子D作用k次。
然后，我们可以将未知函数y表示为算子D的多项式形式：y = c0 + c1*D(y) + c2*D^2(y) + ... + cn*D^n(y)将这个表达式代入原微分方程，我们可以得到关于c0、c1、...、cn的代数方程组。
通过求解这个方程组，我们就可以得到未知函数y的表达式。
微分方程算子法的优势在于，它将微分方程转化为代数方程，避免了直接求解导数的麻烦。
此外，它还可以简化一些复杂的非线性微分方程的求解过程。
微分方程算子法总结
1 1 1 f ( x) = f ( x) f ( x) = F(D) F2 (D) • F1 ( D) F1 (D) • F2 ( D)
(6)性质六:
1 1 1 f1 ( x) + f 2 ( x) ( f1 ( x) + f 2 ( x)) = F(D) F(D) F(D)
三、例题练习 例 1.
n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3
记 F(D)=D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an 规定特解：y 3、
*
= F(D)
1
f ( x)
1 的性质 F(D)
(1)性质一：
kx 1 F(D)
e = F(k) ekx
1
1
(F(k) 不等于 0）
取实部为特解 四）
1
1
y*= 4 (xcosx+x2sinx)
1
(性质二、三、
6
2
x d2y +4y = dx 2
e
则(D +4)y=e
(4)
x
,特解 y*=
1 D2
x x x 1 e = e = e (性质一) 5 1 +4 +4
2
4
1
例 2、 y +y=2cos(3x） ，则(D +1)y= 2cos(3x） 特解 y
*
=
1 D 4 +1
2cos(3x）= 2 cos(3x）=
e
-y=sinx
ix 1 3 D -1
,则(D -1)y=sinx ,特解 y*=
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(b) 当P(0) 0时, 设P(D) Dr P(D), 其中P(0) 0,则
y*
1 P(D)
fk (x)
1 Dr
[1 P(D)
fk ( x)]
1 Dr
[Qk (D) fk ( x)]
13
常系数线性微分方程的D2 D) y x2 1的特解。
e x[( x2 sin 2x x cos 2x) i( x2 cos 2 x x sin 2 x)]
8
16
8
16
y1*
ex
(
x2 8
cos
2x
x 16
sin
2x)
19
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1 L pn1D pn
方程的算子表示
P(D) y f (x)
P(D) y 0
2
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
P(D2)
P(2 )
11
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
1 P(D)
fk (x)
ln(1
x)
(1)n1(n 1)! (1 x)n
8
常系数线性微分方程的算子解法
8．算子 P(D) 的运算公式
(1) P(D)ex ex P() (2) P(D2 ) sin x sin xP(2 ) (3) P(D2 ) cos x cos xP(2 ) (4) P(D)[exv( x)] ex P( D)v( x)
P(D)
P1(D) P2 (D)
P2 (D) P1(D)
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(1)
1 ex ex (P() 0)
P(D)
P()
(2)
1 sin x sin x (P(2 ) 0)
P(D2)
P(2 )
(3)
1 cos x cos x (P(2 ) 0)
若函数F ( x)使得P(D)F ( x) f ( x)，则 1 f ( x) F ( x)
1 D
f
(x)
f (x)dx,
1 Dn
P(D)
f (x) L f (x)(dx)n
将D与P(D)类比，将
f (x)dx与 1 f (x)类比 P(D)
4
常系数线性微分方程的算子解法
4．思维方法
Qk (D)
fk ( x), 其中Qk (D)是P(D)
按D升幂排列后去除1在第k 1步所得的商。
12
常系数线性微分方程的算子解法
11．特解的算子解法及例题
类型1 f ( x) fk ( x)
解法
(a)
当P(0) 0时,
y*
1 P(D)
fk ( x) Qk (D) fk ( x),
(2) Dn sin x sin( x n ), D2m sin x (1)m sin x
2
(3) Dn cos x cos( x n ), D2m cos x (1)m cos x
2
(4) Dn x ( 1)L ( n 1) x n
(5)
Dn
条件是：y*j (x)是P(D) y f j (x)的特解,j 1, 2.
3
常系数线性微分方程的算子解法
3．类比对象的确定
特殊情况 y f (x),其通解y f (x)dx C, y* f (x)dx
类似于原函数的概念，定义算子： 1
P(D) 1 f ( x)表示这样函数：用P(D)作用它的结果是f ( x)，即 P(D)
n
n
k
(4) ( pnk Dk )[u( x)v( x)] pnk[ Ckm (Dmu(x))(Dkmv(x))]
k0
k0
m0
(5) P(Dx ) f (ax b) [P(aDu ) f (u)]uaxb
7
常系数线性微分方程的算子解法
7．n阶导数的求导公式
(1) Dne x e x
9
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1
11
11
f (x)
[
f ( x)]
[
f ( x)]
解 y* 1 （x2 1）= 1 [ 1 ( x2 1)]
D2 D
D D 1
1 [(1 D D2 )( x2 1)] D
1 ( x2 2 x 3) D
1 x3 x2 3x
3
14
常系数线性微分方程的算子解法
11．特解的算子解法及例题
类型2 解法
(2) Dn f ( x) Dnk[Dk f ( x)]
n
(3) Dn[u( x)v( x)] Cnm[Dmu( x)][Dnmv( x)] m0 uax b
(4) Dxn f (ax b) an[Dun f (u)]uaxb
6
常系数线性微分方程的算子解法
6．算子 P(D) 的基本性质及运算法则
x3 3!
15
常系数线性微分方程的算子解法
11．特解的算子解法及例题
类型3 f ( x) fk ( x)ex cos x或f ( x) fk ( x)ex sin x
解法 考虑方程P(D) y e(i)x fk ( x)特解的实、虚部 例3 求(D2 2D 5) y xe x sin 2x的特解。
导数
求
的性
导
质及
公
求导 法则
式
原函 数的 性质 及积 分法
积 分 公 式
计 算 原 函 数
P(D)
运
的性
算
质及
公
运算
式
法则
1
P(D)
运
的性
算
质及
公
运算
式
法则
计 算 特 解
5
常系数线性微分方程的算子解法
5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式 (1) Dn[ f1( x) f2 ( x)] Dn f1( x) Dn f2 ( x)
➢类比法
➢ 常系数线性微分方程的算子解法
常系数线性微分方程的算子解法
1．n阶常系数线性微分方程
非齐次方程 齐次方程 微分算子
dny dx n
d n1 y p1 dxn1
L
pn y
f (x)
(1)
dny dx n
p1
d n1 y dx n1
L
pn y 0
(2)
D
d , D2 dx
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
是（2）的通解，y *(x)是（1）的特解。
定理2 设y*j (x)是P(D) y f j (x)的特解,j 1, 2,L , m,则
m
m
y *( x) y j *( x)是P(D) y f j ( x)的特解。
j
j
定理3 y1*( x) iy2*( x)是P(D) y f1( x) if2 ( x)的特解的充分必要
解 考虑(D2 2D 5) y e(12i) x x的特解
y*
(D2
1 2D
5)
e(12i ) x
x
16
精品课件！
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常系数线性微分方程的算子解法
11．特解的算子解法及例题
e(12i ) x
1
x
(D 1 2i)2 2(D 1 2i) 5
e(12i) x ( x2 i x ) 8 16
f (x) ex fk (x)
y*
1 [ex P(D)
fk ( x)] ex
1
P( D)
fk (x)
例2 求(D2 2D 1) y xe x的特解。
解 y*
1
（xe x）
(D2 2D 1)
ex
(
D
1）2
1 （2 D
1）
1
x
ex
1 D2
x
ex