第十二章 动能定理
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第十二章---动能定理
又 Mz(F) = Mz(Ft) = Ft R = Mz
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
12：动能定理
设有矢量函数（向量场）：
v v v v F (x , y , z ) = Fx i + Fy j + Fz k
则“对坐标的曲线积分”是( M 1 和 M 2 分别是曲线上 的积分起点和终点)：
òM
M2
1
(Fx dx + Fydy + Fzdz )
它与“对弧长的曲线积分”之间的关系是( (a , b , g ) 是 点 (z , y, z ) 处切线的方向角)：
v v 求证： 2r ?dr
v v d (r r )
证：
v v v v 令 r = xi + yj + zk v v v v 那么：dr = (dx )i + (dy ) j + (dz )k
v v 左边= 2r ?dr 2xdx + 2ydy + 2zdz
d(x 2 + y 2 + z 2 ) = 2xdx + 2ydy + 2zdz
第十二章 动能定理
§12-1 力的功
功是度量力在一段路程上对物体作用的累积效 应，力作功的结果使物体的机械能发生变化。
1. 质点上力的功 一、功的一般表达式 定义：元功 W F dr
F cos ds Ftdt
r
O
dr
F
全功
W12 =
蝌 M
1
M2
F ?dr
M2 M1
Fx d x + Fy d y + Fz d z
F
FN
例12-2
均质杆OA＝l，重P，圆盘重Q，半径r，可绕A轴自 由旋转，初始时，杆垂直，系统静止，设 OA 杆无 初速度释放。求：杆转至水平位置时，杆的角速度、 角加速度。 解： 受力分析 运动分析：OA杆定轴 转动，圆盘平动。
第12章动能定理(删——新)
P 刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
思考：图示圆轮只滚不滑，此瞬时轮心速度为vO，则园 轮的动能T=?
1 1 2 T M O ＋ J O 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ＝ M O ＋ M O ＝ M O 2 4 4
O
vO
思考：图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面 上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位 于轮上最高点，则系统的动能T=? 1 1 1 2 2 T M A ＋ M O ＋ J O 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 ＝ M A ＋ M A ＋ M A ＝ M A 2 8 16 16 B vB AB杆瞬时平动
ω
3、平面运动刚体的动能
该瞬时瞬心为P，角速度为ω ，
· v· · v m ·· C · ·
i
i
c
1 2 2 T J P J P＝J C＋Md 2 1 1 2 2 2 T J P ＝ （J C＋Md ） 2 2 1 1 2 ＝ J C ＋ Md 2 2 2 2 1 1 2 2 ＝ J C ＋ M C 2 2
aA
P M
练习题:长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为 R、重为P 的均 质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦， 系统初始静止，θ0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速 度。 B D 解： T1 0
1 1 1Q 2 2 2 T2 J P P J C C vC 2 2 2 g 3 P 2 1 1 Q 2 vA 2 vA l ( ) 4g 2 12 g l sin vA 1 Q l vA 2 ( ) 2 g 2 l sin 1 2 3 P 1Q 1 v A[ ] 2 2 2 g 3 g sin l W Q (sin 0 sin ) 2
理论力学 第十二章动能定理
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对于转轴的转 动惯量与角速度平方乘积的一半
18
§12–2
3、平面运动刚体
T
动能
1 I P 2 （P为速度瞬心）I 为瞬轴的转动惯量 P 2
瞬轴：通过速度瞬心并与运动平面相垂直的轴。 它在刚体内的位置不断变化。 2
I P IC md
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 I m ( d ) m v I T （I C md ) C C C 2 2 2 2 2
1
第十二章
§12–1 力的功 §12–2 动能
动能定理
§12–3 动能定理 §12–4 势力场 势能 机械能守恒定律
§12–5 功率和功率方程
§12–6 普遍定理的联合应用
2
第十二章
动能定理
动量动量矩定理是用动量动量矩来度量质点系 的机械运动，用矢量的方法来研究。
而动能定理是用能量法来研究动力学问题。能 量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且 是沟通机械运动和其它形式能量转换的桥梁。从这 方面来说，动能比动量更具广泛性。 动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和 作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传 递的规律。
6
z2
§12–1 力的功
2、弹性力的功 弹簧原长为 r0 ，在弹性极限内 r F c(r r0 ) r c—弹簧的刚度系数。单位：N/m r dr d (r r ) W F dr c(r r0 ) r dr rdr r 2
2、不变质点系的内力功之和等于零。 3、刚体的内力功之和等于零。 问：什么时候内力功需考虑？
13
§12–1 力的功
七、约束力的功
理论力学第十二章 动能定理
解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r
第十二章动能定理
2
1
( k ) d
1 2
k ( 1 2 )
2 2
Part A 动能和功
8 作用在平移刚体上的力做功
W
FR
F dr
2
M
M1
i
C
M
2
M1
F R d rC
力系的主矢
Part A 动能和功
9 作用在定轴转动刚体上的力做功
z
F
d ' W F d s F r d
Байду номын сангаас
M
2
M1
( F1 F 2 F n ) d r
W1 W 2 W n
汇交力系合力作功等于各个分力的功的代数和。
Part A 动能和功
6 重力做功
z
F x 0 F y 0 F z mg
M1
W
M2
z2
z1
Fz dz
z2
( mg ) d z
第十二章 动能定理
PART B 动能定理
Part B 动能定理
1 质点的动能定理 质点的动能定理建立起了质点的动能和作用力之间的关系
v M a M1 F
ma F
m dv dt F
ma F
ds vdt
mv d v F d s
得到
1 2 d E k d mv d W 2
Part A 动能和功
10 平面运动刚体上力系的功
Fi
d W i F i d r F i d rC F i d riC F i d riC Fi cos q M i C d M C F i d
理论力学12—动能定理
解：滑块在任一瞬时受力如图。由于 P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们 所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。 先计算T 的功：
在运动过程中，T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为
δWT T cos d x
cos (20 x) (20 x)2 152
因此T在整个过程中所作的功为
T
A
vA2
(
1 2
l)2
2vA
1 2
l
cosj
vA2
1 4
l 22
lvA
cosj
则杆的动能
A
vA
jl
B
A
j
vA vCA vC
vA
B
T
1 2
mvC2
1 2
JC2
1 2
m(vA2
1 4
l 22
lvA
cosj)
1 2
(
1 12
ml2 )2
1 2
m(vA2
1 3
l
2
2
lvA
cosj)
12.3 动能定理
上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自 重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。
解:链条在初始及终了两状态的动能分 别为
T1 0
T2
1 2
lv22
在运动过程中所有的力所作的功为
l b b
由
W12
gb(l
b)
g(l
b)
1 2
(l
b)
1 2
g(l 2
b2 )
T2 T1 W12
质心转动的动能的和。
牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:
C
vC
在运动过程中，T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为
δWT T cos d x
cos (20 x) (20 x)2 152
因此T在整个过程中所作的功为
T
A
vA2
(
1 2
l)2
2vA
1 2
l
cosj
vA2
1 4
l 22
lvA
cosj
则杆的动能
A
vA
jl
B
A
j
vA vCA vC
vA
B
T
1 2
mvC2
1 2
JC2
1 2
m(vA2
1 4
l 22
lvA
cosj)
1 2
(
1 12
ml2 )2
1 2
m(vA2
1 3
l
2
2
lvA
cosj)
12.3 动能定理
上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自 重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。
解:链条在初始及终了两状态的动能分 别为
T1 0
T2
1 2
lv22
在运动过程中所有的力所作的功为
l b b
由
W12
gb(l
b)
g(l
b)
1 2
(l
b)
1 2
g(l 2
b2 )
T2 T1 W12
质心转动的动能的和。
牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:
C
vC
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积分，得
质点系动能定理的 积分形式
T2－T1 = ∑WF
在理想约束条件下，质点系在运动的某过程中， 其动能的改变量等于作用在质点系上的所有主动力 所作功的代数和。
δWN = 0
• 理想约束举例：
N
dr
dr N
1)光滑支撑面; * 一端固定的绳子
*光滑轴承或光滑铰支座
2)光滑铰链联接
*不可伸长的柔索
1 T总 9M 4m v 2 12
[例5]求椭圆规的动能，其中 OC、 AB为均质细杆，质量为 m 和2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度 为， = 60°。
解：在椭圆规系统中滑块 A和B作平动，曲柄 OC 作定轴转动，规尺 AB 作平面运动。首先 对运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因: A vA
W=F· S=FScosφ F
φ S
力矢量与位移矢量的数量积。
v
二、变力的功
• 质点M在力F的作用下 作曲线运动， M→M'，ds = MM'，dr = MM' 力F与质点的无限小位移 dr 的数量积，称为力的元功。 i x
z M1
M ds
φ
M' dr
k o j
r
F
τ M
2
y
δW =F·dr =Fdscosφ
2
结论：
作平面运动的刚体的动能，等于随质 心平动的动能与绕质心转动的动能的和。
2 2 1 1 T mvC J C 2 2
例 计算下列各物体的动能。
• 均质圆轮质量为m，半径为r ；绕O轴转动，角速度 为ω，求其动能。 ω r m
O
C
• 均质圆轮质量为 m ，半径为 r ； 在水平面上纯滚动 ，轮心速 度为v，求其动能。
rA
rB O
即
δW = － FAdAB
内力的功之和不 一定等于零。
内力的功不为零的实例
P F N
ω
ω
• 摩擦力作负功。
例
位于水平面内的机构如图。已知曲柄OA=r，重P， 受常力矩 M 作用；连杆 AB=l ，重 Q ；滑块 B 重 G 。当 AO⊥OB时， A点的速度为u。求曲柄OA转至与连杆 AB成一直线时，A点的速度。 A
u
B
M
O M O A
B
vA
解：初始位置时，AB杆作瞬时平动! A 系统的动能为：
u
vC
B
vB
O
1 1Q 2 1G 2 2 T1 J O OA vC vB 2 2 g 2 g
1 Pr u 1Q 2 1G 2 u u =2 ug 2 3g r= u/r2 g
M=Fr
δW = Fds+F’ · 0 = Fr d
即力偶M的元功为
当刚体转过角时, 力偶M的功为
δW = Md
W12 Md
0
§2 质点和质点系的动能
一、质点的动能
Kinetic energy
与动量比较?
设质点的质量为m，某瞬时速度为v，则其动能为
1 2 T mv 2
恒正的标量， 与速度的方向无关。
二、质点系的动能定理
质点系中任一质点质量为mi，速度为vi， 1、受力：主动力Fi 、约束反力Ni， 则
约束反力的元功
2 1 d mi vi WiF WiN 2
n个质点，n个方程∑：
n n
主动力的元功
n
2 1 d mi vi WiF WiN 2 i 1 i 1 i 1
特点：重力的功只与重心的起止位置的高度差有关 而与路径无关。
⒉ 弹性力的功
1 2 2 W k (1 2 ) 2
式中1-----初始位置弹簧变形量； 2 -----末了位置弹簧变形量；
• 弹性力的功的特点 弹性力的功只与起止位置弹簧的变形 量有关,而与路径无关。
⒊定轴转动刚体上作用力的功
2 u P 3Q 3G 6g
2
2
=u
当OAB成直线时， 系统的动能为：
O
2
M
A
B vC ωAB
vA
2
1G 2 1 1 Pr v A 2 vB T2 J B AB 瞬 2 2 g 2 3g r 心 2 P 2 1 1 Q 2 vA vA2 vA l ( P Q) 6g 2 3 g l 6g r WF M 2 ( P Q) 2 代入 T2－T1 = ∑WF
α
B
A
3)固定面上只滚不滑的轮子，不计滚动摩阻（太小） :
δW = F'· drD =F · vD dt=0 • drD----接触点的位移；
ω C
纯滚动刚体上滑动摩 擦力不作功。
4)固定端约束：作用点无位移
G
F
D
T
N
瞬心
问
题
• 在非理想约束条件下，如何应用动能定理？
将摩擦力、弹簧内力等非理想约束的 约束反力划入主动力计算功。
ω
Jz
o ri
vi
riω
即
2 1 T J z 2
⑶平面运动刚体的动能
2 1 T J P 2
JP ----刚体对瞬心的转动惯量
根据计算转动惯量的平行轴定理，有
J P J C md vc ∴ T 1 ( J C md 2 ) 2 vi mi C 2 d ω 2 2 1 1 riP J C m( d ) 2 2 P 2 (瞬心) 即 vC 2 2 1 1 T mvC J C 2 2
4 ma 2 2 3
vB B
TAB J O1AB
2
1 2
O
系统的总动能为：
T TA TB TOC TAB ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2
1 2 3 2 1 6 4 3 7 2
(1)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B 沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能 TB。（ D ） A. T m v 2 m v 2 B 1 2 2 2 B. TB m v 2 2 C. T m (v v ) 2 B 1 2 2 m D. TB [( v1 v2 cos ) 2 v2 2 sin 2 ]
解： T
总
TA TAB
3 TA Mv 2 4
P 为AB杆的瞬心
C v
v PA
1 2 l 1 2 J P ml m ml 12 2 3
2
A
TAB
v l sin
2 1 mv 1 2 2 J P AB mv 2 6sin 2 3
AB
O1
vC O1C AB OC AB vA O1 A AB 2a cos a
1 ma 2 2 2 TA mAvA 2 2
vC
C
O vB B
vB O1B AB 2a sin 3a
2 2 1 3 ma 2 TB mB vB 2 2
W12
M2 M1
F dr
M2
M1
F cosds
ds 与 dr为同阶无穷小!
若将F与r沿坐标轴分解，则
F=Xi+Yj+Zk ， dr =dxi+dyj+dzk ，
δW = F·dr = Xdx+Ydy+Zdz
元功的解析表达式
W12
M2
M1
( Xdx Ydy Zdz )
功的解析表达式
三、几种常见力的功
⒈重力的功 X=0，Y=0，Z=－P
W12 ( Xdx Ydy Zdz ) z Pdz
M2 M1
1
z2
W12 P( z1 z2 )
对于质点系，有
W m g(z
12 i
i1
zi 2 )
W
12
mg ( zC 1 zC 2 )
T 2m 9m1 (r1 r2 em of kinetic energy
一、质点的动能定理
1 mv 2 1 mv 2 W 2 1 12 2 2
质点动能定理的 积分形式
质点在运动的某过程中，其动能 的改变量等于作用在质点上的力（或 力系）作的功。
2、若将作用于质点系上的力分为外力和内力
dT Wi e Wi i
积分形式：
T2 T1
W W
i e
i
i
质点系内力的功 δW = FA· drA + FB· drB A
drA A
FA
FB
B drB B
= FA· drA － FA· drB = FA· d (rA－rB) ∵ rA +AB= rB ， rA － rB = －AB ∴δW = － FA· dAB
2 1 d m v W W i i iF iN 或 2
• 对理想约束， ∑
所以，
T
WiN = 0
dT = ∑WF
在理想约束条件下，质点系动 能的增量等于作用在质点系上的主 动力的元功之和。
质点系动能定理的 微分形式
对式
dT = ∑WF
r
m C
v
ω
2 2 1 1 T mvC J C 2 2 2 2 2 v 1 1 1 mv mr 2 2 2 r 2 3 mv 2 1 4 或 T J P 2
P 瞬心
=？
[例3] 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中 心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水 平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。 P B