1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教学设计(2)-人教B版高中数学必修第一册 Word版含解析
教学设计4：1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．2.过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．(三)教学过程一.复习引入我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p的否定（或非p），它们的真假性之间有何联系？二.思考分析观察下列命题：(1)被7整除的整数是奇数；(2)有的函数是偶函数；(3)至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”，对吗？提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称量词命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．问题2：命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”，对吗？提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题(3)的否定的真假．提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．三.例题分析及练习[例1]判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．[思路点拨]先判断命题的真假，再写出命题的否定．【解】(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．[感悟体会](1)全称量词命题的否定为存在量词命题．p：∀x∈M，p(x)成立⇒￢p：∃x0∈M，￢p(x0)成立．(2)命题p的否定为“非p”，二者真假性相反．当一个命题的真假不易判断时，可以通过“非p”的真假判断．训练题组11．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．【解析】“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，有￢p(x0)”．∴其否定为∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤0.【答案】∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤02．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a，b∈R，a2＋b2>0.(4)被5整除的整数，末位数字是0.【解】(1)是全称量词命题，其否定为存在一个素数，它不是奇数．因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．(2)是全称量词命题，其否定为存在一个矩形，它不是平行四边形．它是假命题．(3)是全称量词命题，其否定为∃a，b∈R，a2＋b2≤0.它是真命题．(4)是全称量词命题，其否定为存在被5整除的整数，末位不是0.因为15能被5整除，其末位为5，所以是真命题．[例2]写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.[思路点拨]写命题的否定时注意更换量词并否定结论．【解】(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x20＋1<0”，即“∀x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[感悟体会](1)存在量词命题的否定是全称量词命题，存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为对M 中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是“∀x∈M，￢p(x)”．(2)要证明存在量词命题是真命题，只需要找到使p(x0)成立的条件即可．训练题组23．命题“∃x0∈R，x30－x20＋1>0”的否定是()A．∀x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x0∈R，x30－x20＋1≤0C．∃x0∈R，x30－x20＋1<0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，x3－x2＋1>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．【答案】D4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∃x 0＞1，使x 20－2x 0－3＝0；(2)p ：若a n ＝－2n ＋10，则∃n 0∈N *，Sn 0＜0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 0＞2； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20＜0.【解】(1)￢p ：∀x ＞1，x 2－2x －3≠0.(假) (2)￢p ：若a n ＝－2n ＋10，则∀n ∈N *，S n ≥0.(假) (3)￢p ：∀x ∈R ，有x ≤2.(假) (4)￢p ：∀x ∈R ，x 2≥0.(真)[例3] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 因为此命题是全称量词命题，所以应满足在所给条件下恒成立．令f (x )＝x 2－2ax ＋2，只需当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ≥a 成立，可以利用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题．【解】法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)．令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，可转化为∀x ∈ [－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立．又f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，（1＋a ）2＋2－a 2，a <－1.因为f (x )的最小值f (x )min ≥a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，2－a 2≥a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，（1＋a ）2＋2－a 2≥a⇒－1≤a ≤1或－3≤a <－1，得a ∈[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0. 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称量词命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥0成立． 所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f （－1）≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2. 所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．[感悟体会] 全称量词命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，而恒成立问题往往借助于函数思想或数形结合思想最终归结到函数的最值问题上． 训练题组35．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－2,2)【解析】ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即不等式ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1对∀x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋(a －1)≥0.当a ＋2＝0时，不符合题意．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ≤0，解得a ≥2. 【答案】B6．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0. 当a >0时，需满足Δ＝4－4a 2>0，得－1<a <1， 故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)． 【答案】(－∞，1) 四.课堂小结与归纳1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．3．常用词语的否定如下表：五.1．已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则( )A ．￢p ：∃x 0∈R ，cos x 0≥1B ．￢p ：∀x ∈R ，cos x ≥1C ．￢p ：∃x 0∈R ，cos x 0>1D ．￢p ：∀x ∈R ，cos x >1【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1.【答案】C2．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数【解析】只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．【答案】A3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)【解析】由题意知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．【答案】C4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2x m＋1＝0.若命题￢p是假命题，则实数m的取值范围是()A．[－2,2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)【解析】因为￢p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．由4x＋2x m＋1＝0，得－m＝4x＋12x＝2x＋12x≥2.∴m≤－2.【答案】C5．命题“∀x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．【解析】“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，￢p(x0)”，∴其否定为：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0.【答案】∃x0∈R，x20－x0＋4≤06．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．【解析】命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称量词命题，其否定为存在量词命题“有的向量与零向量不共线”．【答案】有的向量与零向量不共线7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)有些四边形存在外接圆．(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．【解】(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解】对于命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0恒成立，即a≤1；对于命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0成立，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.若p且q为真，则a≤－2或a＝1.故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．。
人教B版必修第一册1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学案
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定学习目标1.能正确写出一个命题的否定,并判断其真假.理解含有一个量词的命题的否定的意义.会对含有一个量词的命题进行否定.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象的核心素养.2.掌握全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理的核心素养.1.命题的否定一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“﹁p”,读作“非p”或“p的否定”.思考1:一个命题与其否定命题之间的真假关系如何?答案:一个命题与其否定命题之间的真假关系是一真一假.思考2:命题“若p,则q”的否定是什么?答案:“若p,则q”的否定是“若p,则﹁q”.2.存在量词命题的否定3.全称量词命题的否定(1)“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析①一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.②与一般命题的否定相同,对含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.(2)对全称量词命题的否定以及特点的理解①全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称量词命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.②对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.(3)对存在量词命题的否定以及特点的理解由于全称量词命题的否定是存在量词命题,而命题p与﹁p互为否定,所以存在量词命题的否定就是全称量词命题.(4)常见词语的否定如表所示:全称量词命题的否定与其真假判断[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)∀x ∈R,x 2-x+14≥0; (2)所有的正方形都是菱形;(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.解:(1)该命题的否定:∃x ∈R,x 2-x+14<0.由于x 2-x+14=(x-12)2≥0,所以为假命题.(2)该命题的否定:存在一个正方形不是菱形.假命题.(3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.假命题.全称量词命题的否定形式与判断真假的方法(1)全称量词命题的形式是“∀x ∈M,p(x)”,其否定形式应该是既对全称量词否定,又对命题p(x)进行否定,即“∃x ∈M,﹁p(x)”,所以全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)若全称量词命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,其否定命题就是真命题.(3)由于有些全称量词命题省略了全称量词,要注意先改写后,再进行否定,如本题(3)中省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”.针对训练:写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)p:对所有正数x,√x>x+1;(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数;(3)r:所有能被5整除的整数都是奇数;(4)s:任意两个等边三角形都相似.解:(1)﹁p:存在正数x,√x≤x+1.例如当x=1时,√x<x+1,所以﹁p是真命题.(2)﹁q:存在一个实数除以1,不等于这个数.由q是真命题可知﹁q是假命题.(3)﹁r:存在一个能被5整除的整数不是奇数.例如10是能被5整除的整数,且不是奇数,所以﹁r是真命题.(4)﹁s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知﹁s是假命题.[备用例1] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)所有的正比例函数都是一次函数;(2)每个二次函数的图像都开口向下.解:(1)存在一个正比例函数不是一次函数,为假命题.(2)存在一个二次函数的图像开口不向下,为真命题.存在量词命题的否定与其真假判断[例2] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)四边形的对角线不都互相垂直;(2)有一个点(x,y),满足y=2x+1.解:(1)命题的否定:任意四边形的对角线都互相垂直,是假命题. (2)命题的否定:对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1,是假命题.存在量词命题的否定形式与判断真假的方法(1)存在量词命题的形式是“∃x∈M,q(x)”,其否定形式是对存在量词进行否定,变为全称量词,再对命题q(x)进行否定,即“∀x∈M,﹁q(x)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题.(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题的相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.针对训练:写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)∃x∈R,x+2≤0;(2)有一个偶数是素数.解:(1)该命题的否定:∀x∈R,x+2>0,为假命题.(2)该命题的否定:任意一个偶数都不是素数,为假命题.[备用例2] 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定.(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)一元二次方程不总有实数根.解:(1)任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定为存在一个平行四边形,其对角线不互相平分.(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数.命题的否定为存在三个连续整数的乘积不是6的倍数.(3)存在三角形不是中心对称图形.命题的否定为任意三角形都是中心对称图形.(4)存在一元二次方程没有实数根.命题的否定为任意一元二次方程总有实数根.求含量词的命题参数的取值范围[例3] (1)若命题“∀x ∈[-178,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.(18,+∞) B .[18,+∞) C.(-∞,-18] D.(-∞,-18) (2)若命题“∃x ∈[1,5],x 2-5a>0”为假命题,则a 的取值范围是. 解析:(1)因为命题“∀x ∈[-178,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则a ≤x+2在x ∈[-178,+∞)上恒成立,则a ≤-178+2,即a ≤-18.故选C. (2)因为命题“∃x ∈[1,5],x 2-5a>0”为假命题,所以命题“∀x ∈[1,5],x 2-5a ≤0”为真命题,即∀x ∈[1,5],5a ≥x 2恒成立,由于y=x 2(x ∈[1,5])的最大值为25,所以5a ≥25,即a ≥5.答案:(1)C (2)[5,+∞)由于全称量词命题的否定是存在量词命题,并且原命题与其否定形式真假相对,因此涉及存在量词命题为假命题时,常转化为全称量词命题为真命题后求解.针对训练:若命题“∃x<2 019,x>a”是假命题,则实数a的取值范围是.解析:由于命题“∃x<2 019,x>a”是假命题,则其否定“∀x<2 019,x ≤a”是真命题,所以a≥2 019.答案:[2 019,+∞)易错辨析——忽视否定的对象以及否定词而致误<0,则﹁p:.[典例] 若命题p:∀x∈R,2x-3错解:命题p是一个全称量词命题,它的否定是存在量词命题.﹁p:∃x ≥0.∈R,2x-3纠错:对于全称量词命题的否定不但要转换量词,而且还要否定结论,本题中的结论2<0本身隐含x-3≠0,因此在否定时还要写上x-3=0.x-3≥0或x=3.正解:∃x∈R,2x-3≥0或x=3答案:∃x∈R,2x-31.下列说法中正确的有( C )(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的;(2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题;(3)命题﹁p的否定是p;(4)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:只有(2),(3),(4)正确.故选C.2.命题“∀x∈{x|x≥0},x2+x≥0”的否定是( C )A.∀x∈{x|x≥0},x2+x<0B.∃x∈{x|x<0},x2+x<0C.∃x∈{x|x≥0},x2+x<0D.∃x∈{x|x≥0},x2+x≥0解析:命题“∀x∈{x|x≥0},x2+x≥0”为全称量词命题,则命题的否定为∃x∈{x|x≥0},x2+x<0.故选C.3.命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( A )A.存在一个四边形,它的四个顶点不共圆B.存在一个四边形,它的四个顶点共圆C.所有四边形的四个顶点共圆D.所有四边形的四个顶点都不共圆解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形,它的四个顶点不共圆”.故选A.4.命题“正多边形的内角都相等”的否定是.答案:有的正多边形内角不相等。
《 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式；2. 学会运用否定符号对全称量词命题和存在量词命题进行否定；3. 了解否定的性质，掌握其逻辑规则。
二、作业内容：1. 判断下列命题是否正确，并给出理由：(1)所有的正方形都是矩形；(2)任意一个三角形有一个外角；(3)所有的等边三角形都是等腰三角形。
2. 针对以下情境，写出相应的全称量词命题和存在量词命题，并给出否定的形式。
情境：一个班级中，至少有两个同学在某科目上得分相同。
(1)全称量词命题：____________；(2)存在量词命题：____________。
3. 根据自己的理解和掌握的知识，设计一个题目，考察学生对全称量词命题和存在量词命题否定知识的掌握情况。
三、作业要求：1. 学生需独立完成作业，并在完成过程中准确运用所学知识；2. 需认真阅读情境，准确把握题意；3. 需根据题目要求，写出完整的命题和否定的形式，并给出合理的解释。
四、作业评价：1. 学生提交作业后，教师将进行批改和评分，并给出反馈意见；2. 评价标准包括学生对命题的判断是否正确、否定的形式是否符合逻辑、是否能根据情境设计合理的题目等；3. 对于完成情况好的学生，给予表扬和鼓励，对于有疑问的地方，给予指导和帮助。
五、作业反馈：1. 学生根据教师批改和评分情况，了解自己的掌握情况，对于不足之处，及时进行修正和提升；2. 对于有疑问的地方，学生可以向教师请教或与同学讨论，寻求更好的理解和掌握方式；3. 通过作业反馈，教师也可以了解学生的学习情况，对于普遍存在的问题，可以在下次上课时进行重点讲解和指导。
通过这次作业的设计，我们希望能够帮助学生更好地理解和掌握全称量词命题、存在量词命题及否定等概念，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过作业评价和反馈，我们可以及时了解学生的学习情况，以便更好地指导他们的学习。
人教B版(2019)数学必修(第一册)：1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学案
全称量词命题与存在量词命题的否定【学习目标】1．能正确写出一个命题的否定，并判断其真假。
2．理解含有一个量词的命题的否定的意义。
3．会对含有一个量词的命题进行否定。
（重点）4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。
（重点、难点）【学习重难点】1．通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的数学素养。
2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的数学素养。
【学习过程】1．命题的否定（1）一般地，对命题p 加以否定，就得到一个新的命题，记作“p”，读作“非p”或p 的否定”。
（2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然。
常见的命题的否定形式有：2一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：? x∈M，p（x），它的否定p：? x∈M，p（x）；存在量词命题p：? x∈M，p（x），它的否定p：? x∈M，p（x）。
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。
初试身手1．有以下命题：∈没有男生爱踢足球；∈所有男生都不爱踢足球；∈至少有一个男生不爱踢足球；∈所有女生都爱踢足球。
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是（）A．∈B．∈C．∈D．∈C[ 所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”。
]2．命题“ ? x∈R，? n∈N*，使得n≥x1 2 3 4”的否定形式是（）A．? x∈R，? n∈N*，使得n<x2B．? x∈R，? n∈N*，使得n<x2C．? x∈R，? n∈N*，使得n<x2D．? x∈R，? n∈N*，使得n<x2D[ 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D]3．命题“ ? x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是（）A．? x∈R，x2＋2x＋2>0 B．? x∈R，x2＋2x＋2≤0C．? x∈R，x2＋2x＋2>0 D．? x∈R，x2＋2x＋2≥0A[ 由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“ ? x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定为?x∈R，x2＋2x＋2>0]4．命题“任意x∈R ，若y> 0，则x2＋y>0”的否定是____ 。
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．2.2全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题的否定(1)定义:对命题p 加以否定,就得到一个新的命题,记作“p”,读作“非p”或“p的否定”.(2)结论:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是假命题;反之亦然.2.存在量词命题的否定存在量词命题pp 结论∃x∈M,p(x) ∀x∈M,p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题3.全称量词命题的否定全称量词命题q q 结论∀x∈M,q(x) ∃x∈M,q(x)全称量词命题的否定是存在量词命题用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)命题p的否定是p. ()(2)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,p(x)的真假性相反. ()(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定. ()提示:(1)√.命题p与p互为否定.(2)√.存在量词命题p与其否定p一真一假.(3)×.尽管存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.2.命题p:∀x∈N,|x+2|≥3的否定为 ( )A.∀x∈N,|x+2|<3B.∀x∉N,|x+2|<3C.∃x∈N,|x+2|≥3D.∃x∈N,|x+2|<3【解析】选D.命题p:“∀x∈N,|x+2|≥3”的否定为:∃x∈N,|x+2|<3.3.(教材例题改编)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2【解析】选D.∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n<x2.类型一存在量词命题的否定(逻辑推理)【典例】1.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p为 ( )A.∃x>2,x3-8≤0B.∀x>2,x3-8≤0C.∃x≤2,x3-8≤0D.∀x≤2,x3-8≤02.已知命题p:存在k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像不经过定点M,若命题p是假命题,则点M的坐标为.3.写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:有些实数的绝对值是正数.(2)q:某些平行四边形是菱形.(3)r:∃x∈R,x2+1<0.(4)s:∃x,y∈Z,使得x+y=3.【思路导引】1.量词和结论都改变.2.依据原命题和其否定一真一假解答.3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.【解析】1.选B.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p是∀x>2,x3-8≤0.2.因为命题p是假命题,所以p是真命题,即任意k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像经过定点M,易知点M的坐标为(-1,3).答案:(-1,3)3.(1)p:“所有实数的绝对值都不是正数”,由p是真命题可知p是假命题.(2)q:“每一个平行四边形都不是菱形”.由q是真命题可知q是假命题.(3)r:“∀x∈R,x2+1≥0”.因为∀x∈R,x2≥0,所以x2+1≥0”,所以r是真命题.(4)s:“∀x,y∈Z,x+y≠3”,由s是真命题可知s是假命题.1.对存在量词命题否定的两个步骤(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.2.存在量词命题否定后的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.1.写出这些命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:某些梯形的对角线互相平分.(2)q:存在一个x∈R,使=0.(3)r:在同圆中,有的等弧所对的圆周角不相等.(4)s:存在k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而减小.【解析】(1)p:任意一个梯形的对角线都不互相平分.由p是真命题可知p是假命题.(2)q:任意x∈R,使≠0,由q是假命题可知q是真命题.(3)r:在同圆中,任意等弧所对的圆周角相等.由r是假命题可知r为真命题.(4)s:任意k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而增大或不变.当k<0时,函数y=kx+b随x的值增大而减小,所以s是真命题,s是假命题.2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除.(2)∀x∈Z,x2与3的和不等于0.(3)有些三角形的三个内角都为60°.(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解析】(1)是存在量词命题,否定为:每一个奇数都能被3整除.(2)是全称量词命题,否定为:∃x∈Z,x2与3的和等于0.(3)是存在量词命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.类型二全称量词命题的否定(逻辑推理)【典例】1.命题“∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0”的否定为( )A.∀x∈[-1,2],x2+2x-1≥0B.∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0C.∃x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x+1≥0D.∀x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x-1≥02.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:对所有正数x,>x+1.(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数.(3)r:所有被5整除的整数都是奇数.(4)s:任意两个等边三角形都相似.【思路导引】1.∀x∈M,p(x)的否定为∃x∈M,p(x).2.全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.【解析】1.选B.根据全称量词命题的否定是存在量词命题,知∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0的否定为∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0.2.(1)p:存在正数x,≤x+1.例如当x=1时,<x+1,所以p是真命题.(2)q:存在一个实数除以1,不等于这个数.由q是真命题可知q是假命题.(3)r:存在一个被5整除的整数不是奇数. 例如10是能被5整除的整数且不是奇数,所以r是真命题.(4)s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知s是假命题.1.对全称量词命题否定的两个步骤(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.2.全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.1.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:∈(A∪B),则命题p 是.【解析】因为p:∈A∪B,所以p:∉A且∉B,即p:∈(∁U A)∩(∁U B).答案:∈(∁U A)∩(∁U B)2.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.(2)q:∀x∈R,x3+1≠0.(3)r:所有分数都是有理数.(4)s:每一个四边形的四个顶点共圆.【解析】(1)p:∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.例如当x=2时,|x-2|=0<2,p是真命题.(2)q:∃x∈R,x3+1=0.例如当x=-1时,x3+1=0,所以q是真命题.(3)r:存在一个分数不是有理数.由r是真命题可知r是假命题.(4)s:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.例如两组对角分别为30°和150°的菱形的四个顶点不共圆,所以s是真命题.【补偿训练】写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:被8整除的数能被4整除.(2)q:所有二次函数的图像关于y轴对称.(3)r:实数都能写成小数形式.(4)s:方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.【解析】(1)p:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.由p是真命题可知p是假命题.(2)q:存在一个二次函数,它的图像不关于y轴对称.例如二次函数y=x2+x的图像不关于y轴对称,所以q是真命题.(3)r:存在一个实数不能写成小数形式.由r是真命题可知r是假命题.(4)s:方程x2-8x-10=0至少有一个根是奇数.方程x2-8x-10=0的两个根都是无理数,不是奇数,所以s是真命题,s是假命题.1.(2021·太原高一检测)设命题p:所有正方形都是平行四边形,则p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形【解析】选C.“所有”改为“存在”(或“有的”),“都是”改为“不都是”(或“不是”),即p为有的正方形不是平行四边形.2.(教材习题改编)已知命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x,则命题p的否定为( )A.p:∀x∈(1,+∞),x3+16≤8xB.p:∀x∈(1,+∞),x3+16<8xC.p:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8xD.p:∃x∈(1,+∞),x3+16<8x【解析】选C.命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x的否定是:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8x.3.命题“∃x∈R,x2+2 019x+2 020<0”的否定为( )A.∀x∈R,x2+2 019x+2 020<0B.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≤0C.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0D.∃x∈R,x2+2 019x+2 020≥0【解析】选C.命题的否定为“∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0”.4.若命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0,则p为.【解析】命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0的否定是p:∀x∈R,使得x2-x-2≠0.答案:∀x∈R,使得x2-x-2≠05.命题“∃x∈R,|2-x|+|x+3|>4”的否定是.答案:∀x∈R,|2-x|+|x+3|≤4。
《 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人
《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念；2. 掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式的表达方式；3. 培养逻辑推理和问题解决的能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式；2. 教学难点：在实际问题中灵活运用否定概念进行推理。
三、教学准备：1. 准备教学PPT，包含图片、案例和相关概念的解释；2. 准备练习题，供学生课堂练习；3. 准备实物或模型（如果有的话），帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程：1. 引入(1)回顾全称量词命题与存在量词命题的概念。
(2)通过实例让学生感受否定命题的含义和作用。
(3)讲解本节课的目的和要求，让学生明确学习目标。
2. 讲授新课(1)举例说明全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
(2)通过具体的例子，让学生掌握否定命题的书写格式。
(3)引导学生自己举出一些全称量词命题和存在量词命题的例子，并给出它们的否定形式。
(4)强调否定命题的书写规范和注意事项。
3. 实践操作(1)给学生一些练习题，让他们自己动手书写否定命题的答案。
(2)教师对典型错误进行讲解，强调易错点。
(3)鼓励学生相互讨论，交流自己的解题心得。
4. 课堂小结(1)让学生自己总结本节课的主要内容，包括全称量词命题、存在量词命题和否定命题的书写格式、注意事项等。
(2)教师对学生的总结进行补充和完善。
5. 布置作业(1)给学生布置一些与本节课内容相关的练习题，让他们巩固所学知识。
(2)鼓励学生通过查阅资料或相互讨论，解决作业中遇到的问题。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念。
2. 掌握否定命题的逻辑性质，理解否定命题与原命题之间的差异。
3. 培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解否定命题的逻辑性质，掌握否定命题的表示方法。
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定-高一数学课件(人教B版2019必修第一册)
（3）:至少有一个直角三角形不是等腰三角形;
（4） t：∃ ∈ ,一次函数 = + 的图像经过原点.
解：（1）¬p:∃ ∈ , 2 < −1.由p真可知¬p假.
1
（2）¬q:∃ ∈ 1,2,3,4,5 , ≥ .当 = 1时，不等式成立，因此¬q真.
（3）¬s：所有直角三角形都是等腰三角形.有一个内角为30°的直角三角形不
R,使2ax 2
3
8
+ ax − > 0,若命题p是假命题，
.
【解析】因为命题是假命题，
3
2
所以¬p: ∀∀x ∈ R, 22ax + ax − ≤ 0①是真命题.
8
当 = 0时，①成立；
当 ≠ 0时，要使①成立，需满足
<0
∆= 2 + 3 ≤ 0
解得−3 ≤ < 0
综上，实数a的取值范围是 −3,0
的否定
全称量词命题的否定
综合应用
存在量词命题的否定
原命题：∃ ∈ , ()
¬
否定: ∀ ∈ , ()
（1）中命题s真t假，（2）命题s假t真.s与t一真一假
命题的否定
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作
“¬p”，读作“非p”或“p的否定”.
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；
反之，如果一个命题是假命题，那么这个命题的否定就是一个
真命题.
探究点2 存在量词命题的否定
¬
与 一真一假
“存在性命题”
的否定是“全
称命题”.
探究点 全称量词命题的否定
思考1：若命题 s ：“每一个有理数都是实数”，那它的否定 ¬s 是什么？
《 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》作业设计方案-高中数学人教B版2019必修第一册
《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解全称量词命题与存在量词命题的否定概念；2. 能够正确地判断全称量词命题与存在量词命题的否定；3. 了解否定一个命题与否定多个命题的区别。
二、作业内容1. 判断下列命题的否定是否正确：(1)所有的正方形都是矩形；（原命题：全称命题）（否定：存在一个正方形不是矩形）；(2)所有的直角三角形都只有一个角是30度；（原命题：存在量词命题）（否定：存在一个直角三角形，至少有两个角是30度）；(3)任意一个自然数都有算术平方根；（原命题：全称命题）（否定：存在一个自然数没有算术平方根）；(4)有些实数是无理数；（原命题：存在量词命题）（否定：存在一个实数是有理数）。
2. 请自行举出几个全称量词命题与存在量词命题的例子，并写出它们的否定。
3. 请自行设计一道综合性题目，包含多个知识点，并尝试解答。
三、作业要求1. 独立完成作业，确保正确性；2. 认真阅读教材和相关资料，确保理解作业目标；3. 书写规范，思路清晰，逻辑严谨；4. 作业完成后，与同学交流，互相学习，共同进步。
四、作业评价1. 本次作业应在规定时间内完成，作业提交方式自定（如：提交至学习平台）；2. 教师应根据学生的作业情况，进行批改和评分，并及时反馈；3. 学生应根据教师的反馈，认真总结自己的完成情况，查漏补缺，提高学习效果。
五、作业反馈1. 作业反馈应包括学生的自我反思和总结，以及与教师交流和讨论的问题；2. 学生应积极提出自己在完成作业过程中遇到的问题和困惑，寻求教师的帮助和支持；3. 教师应及时回复学生的反馈，提供指导和建议，促进师生之间的交流和互动。
通过以上作业方案，可以帮助同学们更好地理解全称量词命题与存在量词命题的否定概念，正确地判断全称量词命题与存在量词命题的否定，了解否定一个命题与否定多个命题的区别。
同时，通过独立完成作业和与同学交流，可以提高学生的自主学习能力和合作精神。
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第一章集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定教学设计
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。
本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
【教学目标】
1、辨析命题是全称量词命题还是存在量词命题.
2、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法.
3、正确地判断否定命题真假性.
【核心素养】
1、数学抽象：判断命题是全称量词命题还是存在量词命题.
2、逻辑推理:全称量词与存在量词的否定.
3、数学运算:对否定命题判断真假.
4、数据分析:结合集合列举法来考察.
【教学重点】
1、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法.
2、判断否定命题的真假.
【教学难点】
1、辨析命题是全称量词命题还是存在量词命题.
2、正确地对命题进行否定.
教师通过复习上节的内容，回忆如何判断全称量词命题与存在量词命题的真假(举例子),并引出本节内容.
一、命题
【课前导读】
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。
一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。
”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。
本小节我们要学习的是与命题的否定有关的知识。
一、命题的否定
【尝试与发现】
你能说出命题S：“3的相反数是-3”和t：“3的相反数不是-3”这两个命题之
间的关系吗？它们的真假性如何？
【新课讲授】
可以发现，命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定。
而且，s是真命题，t是假命题。
-般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p"，读作“非p”或“p 的否定”.
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题：反之亦然.
例如，9＝3是一个真命题，那么9≠3就是一个命题。
二、全称量词命题与存在量词命题的否定
【新课讲授】
下面我们来探讨如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定。
若记s：“存在整数是自然数”，则不难看出，这个命题的否定是s：“不存在整数是自然数"。
这里的命题s实际上是个存在量词命题，而且可以用符号表示为
S：∃x∈Z，x∈N；
而命题s可以表述为“每一个整数都不是自然数”，因此s是一个全称量词命题，可以用符号表示为：
s：x∈Z，x∉N
显然，这里的s是一个真命题，而s是一个假命题.
若记r：“存在实数的平方小于0"，则不难看出，这个命题的否定是r:“不存在实数的平方小
于0"，这里的命题r 也是个存在量词命题，而且可以用符号表示为
r ：
而命题r 可以表述为“每一个实数的平方都不小于0"，因此r 是一个全称量词命题，可以用符号表示为
r:
显然，这里的r 是一个 命题，而r 是一个 命题
一般地，存在量词命题“∃x ∈M,p(x ）"的否定是全称量词命题
若记s ：“每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是s ：“不是每一个有理数都是实数”，这里的命题，实际上是个全称量词命题，而且可以用符号表示为
s ：
x ∈Q,x
∈R 而命题s 可以表述为“存在一个有理数不是实数"，因此s 是一个存在量词命题，可以用符号表示为
s:∃x ∈Q,x ∉R
显然，这里的s 是一个真命题，而s 是一个假命题.
【尝试与发现】
若用A 表示所有素数组成的集合，B 表示所有奇数组成的集合，则
r ：
x ∈A ，x ∈B ， r ：∃x ∈A ，x ∉B
因为2是素数且2不是奇数，所以r 是假命题，r 是真命题.
一般地，全称量词命题"
x ∈M,q （x ）”的否定是存在量词命题
【典型例题】 例1写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）p ：x ∈R ，x 2≥-1 （2）q ：x ∈{1,2,3,4,5}，x 1＜x
(3) s:至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
解 (1)p ：：∃x ∈R ，x 2＜-1，由p 是真命题可知p 是假命题. (2)q ：∃x ∈{1,2,3,4,5}，x 1≥x.将集合中的元素逐个验证，当x=1时不等式成立，因此q
x ∈M,p （x ）
记r ：“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r 和r 的关系、符号表示以
及真假性.
∃x ∈M,q （x ）
是真命题.
(3)s：所有直角三角形都是等腰三角形，因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以s是假命题.
例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p:∃a∈R，一次函数y=x+a的图像经过原点
(2)q：x∈（-3，+00），x2>9.
解（1）p：a ∈R，一次函数y=x+a的图像不经过原点，因为当a=0时，一次函数y=x+a 的图像经过原点，所以p是命题.
（2）q：∃x ∈（-3，+00），x2≤9.因为x=0时，x2=0<9，所以q是真命题.
本节内容学生容易感到混淆,首先要判断该命题是全称量词命题还是存在量词命题,然后否定条件和结论,最后得出真假性的判断.。