第二章传递函数案例

绘制上式各子方程的方框图
Ur(s) Ur(s)-Uc(s) Ur(s)-Uc(s) 1 R Uc(s) I(s) I(s)
1 Cs
Uc(s)
将方框图连接起来,得出系统的动态结构图。
Ur(s) Ur(s)-Uc(s) 1 R I(s)
-
1 Cs
Uc(s)
例 已知两级 RC 网络如图所示，作出该系 统的结构图。
C
uc(t)
拉氏变换为：
LCUc (s)s 2 RCUc (s)s Uc (s) Ur (s)
U c ( s) 1 传递函数为： G( s) U r ( s) LCs 2 RCs 1
六、比例微分环节 （P-D）
定义：环节输出响应既正比于输入信号，也正比
于输入信号对时间的微分。
系统微分方程
初始条件为零时，拉氏变换为
§2.4
传递函数
1. 传递函数的定义 2. 列写传递函数 3. 典型环节的传递函数 4. 系统的传递函数
1.传递函数的定义
在零初始条件下，系统或环节输出信号的 拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，称为系 统或环节的传递函数
则输出的拉氏变换为
传递函数的表示形式
解：
系统的结构图为
3. 结构图化简 (结构图的等效变换）
化简目的：
将结构图化简为一个方块，即传递函数。
化简原则：
保证化简前后的代数等价关系不变
等效变换法则
环节串联
环节并联
反馈回路化简
负反馈
正反馈
相加点移动
分支点移动
前移
后移
信号的分支点与相加点不可以互换
例：化简结构图，求取传递函数
多项式形式
零极点形式
只适用于线性定常系统 是在零初始条件下定义的 只表示系统的端口关系
输入输出之 间关系
2. 控制系统的传递函数
复数阻抗 （广义欧姆定律）
例： RLC 网络如图，试采用复数阻抗法求取 该网络的传递函数。
解： 传递函数为
电网络系统的传递函数可直 接由复数阻抗写出
例: 有源网络（比例积分PI）如图所示， 求传递函数。
电压的传递函数
1 U2 ( s) Cf s 1 1 U1 ( s ) R1 R1Cf s Ti s
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率。
dr ( t ) 微分方程 c( t ) TD dt 传递函数 G( s) TD s
测速发电机
u( t ) K t ( t ) U ( s) Kt s ( s)
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
C s Gm s E s

——称为前向主通传递函数
2、由系统输出信号到反馈信号的信号传递通路定义 为系统主反馈通路，简称反馈通路。
f s H s ——称为反馈传递函数 c s
网络的微分方程
ur ( t ) Ri ( t ) uc ( t ) duc ( t ) i (t ) C dt
对上式进行拉氏变换，得
1 U r ( s ) U c ( s ) RI ( t ) I ( s ) U r ( s ) U c ( s ) R I ( s ) CsU ( s ) U ( s ) 1 I ( s ) c c Cs
H 1(s )
R(s)
G1(s)
G 2(s )
C(s)
-
-
H 1(s )
R(s)
G1(s)
G 2(s )
C(s)
-
1 G1(s)
1 G 2(s)
R(s )
G1(s )
G 2( s )
C(s )
1 1 H 1( s ) G1( s ) G 2( s )
系统的传递函数为：
G1 ( s )G2( s ) C( s ) R( s ) 1 G1( s ) G2( s ) G1( s )G2( s )H1( s )
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而
最终趋于稳定值。
微分方程
传递函数
d 2 c( t ) d 2 2 2 c ( t ) c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
2 n G( s ) 2 2 s 2n s n
例 两级RC滤波网络的结构图如图所示，试采 用结构图等价变换法化简结构图。
解：
R1
C2 s
令 T1 R1C1 , T2 R2C2 , T3 R1C2
例：化简结构图求系 统传函。
R(s)
G 4(s)
+
G1(s)
G 2(s) G 3(s)
C(s)
-
-
H 2(s)
H 1(s)
4.梅逊公式 （Mason）
基于信号流图理论(Signal Flowing Chart) 不必化简，可将传递函数一次写出 信号流图由节点和支路组成 O ：节点，表示信号 ：支路，有向线段，连接节点，上写传
函
结构图
信号流图
前向通路：从输入到输出沿着信号传递方向， 且通过任一环节的次数不多于一次。 闭合回路：通道的起点就是它的终点，且与 任一环节相交的次数不多于一次。
式中: ——相对阻尼比(无量纲) n——无阻尼自然频率（s-1）
1 G( s) 2 2 T s 2 Ts 1
如图RLC电路，求系统传递函数。 解: 系统微分方程为：
i(t) R L
d 2 uc ( t ) duc ( t ) ur(t) LC RC uc ( t ) u r ( t ) 2 dt dt
dr ( t ) c( t ) K r ( t ) TD d t
微分方程
传递函数
G( s)
c s r s
K 1 TD s
在放大器上加以 RC 网 络 反 馈 , 当 增益K足够大时
U 2 ( s) U1 ( s ) K 1 1 K RCs 1 K RCs 1 RCs 1 K RCs 1 RC 1 s 1 K K RCs 1 s1
解：
3 典型环节的传递函数 一、比例(放大)环节
定义：任何瞬时输出正比于瞬时输入的环节。
其微分方程为
c( t ) Kr ( t )
比例环节方块图
K为常数，称比例系数或增益。 传递函数为
G( s ) K
特点：无超前，无滞后，响应及时，无惯性。
运算放大器：
U2 Rf K U1 R1
电位器：
系统的结构图
§2.5
动态结构图
1．结构图的组成 2．结构图的建立 3．结构图的等效变换
4．梅逊公式
1.动态结构图(或称方块图、方框图)
（1）. 定义 动态结构图是表示组成控制系统的各个元 件之间信号传递动态关系的图形。 （2）. 组成 ①信号线：带有箭头的直线， 箭头表示信号传递方向，信 号线上标信号的原函数或象 函数。
4、开环传递函数中所有有限比例系数之乘积，定
义为系统的开环放大系数，记为K0。
G0 ( s) K 0
( s 1) (T s 1)
j 1 j i 1 n i
m
K 0 lim s G0 ( s )
s 0

(*)
2. 化一般控制系统为单位反馈系统
U(s)
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
R(s) G(s) C(s)
③引出点 ( 测量点 ) ：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
U(s) U(s)
④比较点 ( 综合点 ) ：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
• 1、定义法： （1）、求取系统的时域模型 （2）、在零始条件下进行拉式变换
（3）、求得输出象函数与输入象函数之比，得 到系统传递函数。
• 2、G S L h t
r t t
• 3、运用算子阻抗法（针对电路网络）
• 4、框图代数法
4. 系统传递函数的建立
G2 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) 1 2G1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语
误差传函
扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
梅逊公式
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
回路总增益 (闭环传函) 特征式
例：三级RC滤波网络如 图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条
独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路
特征式
余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
G1 ( s )G3 ( s ) G2 ( s )G3 ( s ) G1 ( s )G4 ( s ) G (s) 1 H ( s )G1 ( s ) H ( s )G2 ( s )
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程 传递函数
dc( t ) T c( t ) Kr ( t ) dt
K G( s) Ts 1
运算放大器
1 1 Rf Rf Cf s Cf s U 2 ( s) U1 ( s ) R1 Rf R1 K Rf Cf s 1 Ts 1

3、反馈信号与误差信号之比，定义为系统开环传递 函数。
f s G0 s Gm s H s E s
说明：
（1）、开环点是位于反馈环节输出端 ，即 f s 上。
开环传函与 关：
G1 s , G2 s 无关，但主通路传函必与其相
Gm s G1 s G2 s G3 s
（2）当用系统开环传函表达系统闭环传函时， 有：
G( s) Gm Gm c( s ) r ( s) 1 Gm H ( s) 1 G0 ( s)
当 H (s) 1 单位反馈系统时， 传递函数为
G( s) Gm G0 (s) c( s ) r (s) 1 Gm 1 1 G0 (s)
U(s) U(s) B(s) B(s)
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2.结构图的建立
(1) 建立系统各元部件（或典型环节） 的微分方程。 (2) 对各微分方程在零初始条件下进行拉 氏变换，并做出各元部件的方框图。 (3) 按照系统中各变量的传递顺序，依次 用信号线将各元件的方框图连接起来。系 统的输入变量在左端，输出变量（即被控 量）在右端，便得到系统的动态结构图。
阶跃响应曲线
七、比例积分环节 （P-I）
定义：环节输出正比于输入信号和它对时间的积分。
微分方程
1 c( t ) K r t Ti
0 r t dt
t
传递函数
1 G( s) K 1 T s i
阶跃响应曲线
八 、延迟环节
U s Em K s m
二、积分环节
定义：环节的输出响应正比于输入对时间的积分。
微分方程为 传递函数为 积分器框图
1 t c(t ) r (t )dt Ti 0 c( s ) 1 G(s) r ( s) Ti s
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
方框图： 微分方程： 传递函数：
R（s）
e
s
C（s）
c(t ) r (t )
C ( s) e
s
R(s)
• 特点：输出与输入完全相同（大小相同、形状相同），但 输出在时间上有滞后。 • 延迟环节存在于大多数系统中，只是程度问题，延迟大， 则容易造成系统振荡甚至不稳定。
传递函数求取方法
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
R(s) + + G1(s) + + G2(s) C(s) ++
解：前向通路4条 独立回路3个
p11 p2 2 p3 3 p4 4 G2 ( s) G1 ( s)G2 ( s) G1 ( s) G1 ( s) G (s) 1 G1 ( s ) G1 ( s)G2 ( s) G1 ( s)