第二章 传递函数资料
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第2章 2.3传递函数
K ∏ (τ i s + 1) ∏ τ i2 s 2 + 2ρiτ i s + 1
i =1 i =1 l 1 ( m−l ) 2
G(s ) =
(
)
∏ (T s +1) ∏ (T
h j j =1 j =1
1 ( n −h ) 2
2 2 j
s + 2ξ jT j s + 1
)
注意！
K 传递系数或 静态增益，常 数项归一
C (s) (s G( s ) = R(s)
C(s) b0 s + b1s + ⋯ + bm−1s + bm = n n −1 R(s) a0 s + a1s + ⋯ + an−1s + an
m
m−1
2.3传递函数
一 定义与性质 [性质] （1）传递函数的概念只适用于线性定常 系统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函 数，即： ≥ m；各系数均为实数。 n 是系统元件参 数的函数 物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
C (s) 1 = 2 2 传递函数： G ( s ) = R ( s ) T s + 2ξ Ts + 1
ω n2 1/T 2 = = 2 2ξ 1 s + 2ξω n s + ω n2 2 s + s+ 2 T T
R(s)
ωn ：无阻尼 无阻尼
ζ ：阻尼比
22
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
振荡环节方框图
C(s)
自然振荡频率
2.3传递函数
i =1 i =1 l 1 ( m−l ) 2
G(s ) =
(
)
∏ (T s +1) ∏ (T
h j j =1 j =1
1 ( n −h ) 2
2 2 j
s + 2ξ jT j s + 1
)
注意！
K 传递系数或 静态增益，常 数项归一
C (s) (s G( s ) = R(s)
C(s) b0 s + b1s + ⋯ + bm−1s + bm = n n −1 R(s) a0 s + a1s + ⋯ + an−1s + an
m
m−1
2.3传递函数
一 定义与性质 [性质] （1）传递函数的概念只适用于线性定常 系统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函 数，即： ≥ m；各系数均为实数。 n 是系统元件参 数的函数 物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
C (s) 1 = 2 2 传递函数： G ( s ) = R ( s ) T s + 2ξ Ts + 1
ω n2 1/T 2 = = 2 2ξ 1 s + 2ξω n s + ω n2 2 s + s+ 2 T T
R(s)
ωn ：无阻尼 无阻尼
ζ ：阻尼比
22
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
振荡环节方框图
C(s)
自然振荡频率
2.3传递函数
传递函数
在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改 变或校正装置的加入对系统性能的影响。
实用文档
因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
实用文档
在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
实用文档
于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
实用文档
说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
实用文档
⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
实用文档
因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
第2章-2-传递函数
U i (s )
U 0 ( s) Ki G( s) Kp Kd s U i ( s) s
自动控制原理
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
6. 导弹航向控制系统。试建立以陀螺仪角度为输入量，导弹机体航
向角度为输出量的系统传递函数。
机体
G8
方向舵
G2 Go
电 位 器 G1
放 ue 大 器
自动控制原理
2.2.2 典型环节传递函数
4．微分环节 理想的纯微分环节
dr (t ) y(t ) dt
u1 (t )
C
R
u2 (t )
G ( s) s
r (t ) 1(t )
y (t ) (t )
R1
理想的一阶和二阶微分环节的 传递函数分别为
G ( s) 1 s
y2
G3
F G4
y1 G9
G7
D
G5 G6
陀螺仪
发电机
电动机
减速器
自动控制原理
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
导弹航向控制系统的传递函数为
o ( s) G(s) k G( s) i (s) 1 G(s) sTm s 1T f s 1 k
( s)
cos
mg
o u
x
P M
自动控制原理
2.2.3 举例说明建立传递函数的方法
5．比例、积分、微分（亦即PID proportion integral differential）控 制器如图所示，试求其传递函数。
Z2 Z1 C1
R2
C2
R4
R1
第二章 传递函数
5. 振荡环节
nt
第二章 传递函数
常见振荡环节的实例： (1) 机械位移系统 Y(s) 1 G(s)= F(s) = ms2+fs+k (2) 他激直流电动机 1/Ce N(s) G(s)= U(s) = T T s2+T s+1 a m m (3) RLC电路 Uc(s) 1 G(s)= U (s) = LCs2+RCs+1 r
Δ
0
1 R(s)= S
t C(s)= TS ·1 S G(s) =RC s
第二章 传递函数
液位系统 d[h0+h(t)] =[qi0+qi(t)]-[qo0+qo(t)] A dt qi—流入箱体 平衡时：qi0=qo0 其中: 流量增量 qi0 +qi 故 qi0—流入箱体 dh(t)流出箱体 qo =q (t)-q A dt — 的流量 o(t) i 流量增量 qoh—液面高度 (t)的流量公式 h0+h o0—流出箱体 的流量 增量 qo(t)=a h(t) qo0+qo A—dh(t) 箱体面积 h0—液面高度 +a h(t) 得: A 根据物料平衡关系=qi(t) dt
实例
水位控制系统
V1
θo
控制阀
浮球
RPB Q1 UB H 水箱 V2 Q2用水量
RPA
K1
变速箱
θm
伺服电动机
UA 控 制 器 放 大 器
△U
Ua
SM
第二章 传递函数
1 c(t)=1- e Sin(ω 2 单位阶跃响应： 微分方程： 2 dt+β) 2 ωn T 1-ζ G(s) = 2 d2c(t) ζ ζ 1 dc(t) = S2+2ζ ω n S+ω n2 2 2 S + 单位阶跃响应曲线 = r(t) S+ T +2T T 2 + c (t) 2 T dt dt 1 r(t) —无阻尼自然振荡频率 ωn = c(t) ζ — 阻尼比 T — 时间常数 T c(t) 1 振荡环节方框图 传递函数： r(t) R(S) C(s) ωn2 1 C(S) = 2 22 G(s) = R(s)+2ξω S+ω + 2T ζ S+ 1 2 TS n n 0 S t
第二章2传函
n
n 1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初 始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系 统传递函数为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm Y ( s) G ( s) n n 1 R( s) a0 s a1s an1s an
d Cm lim ( s s1 ) F ( s ) Cm 1 lim [( s s1 ) m F ( s )] s s1 s s1 ds
m
Cm j
1 dj lim j [( s s1 ) m F ( s )] j! s s1 ds
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [( s s1 ) m F ( s )] (m 1)! s s1 ds f (t ) L1[ F ( s )] Cm Cm 1 m 2 m 1 [ t t (m 1)! (m 2)! C2t C1 ]e s1t
线性微分方程
性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换
传递函数 S=jω
频率特性
计算
频率响应
拉氏反变换
按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分 式法计算：
F (s )
分解
部分分式
查表
原函数
F (s ) 的一般形式为 B ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm F (s) n A( s ) s a1s n 1 an 1s an
Uo ( s) [例] 求如图所示电路的传递函数 U i ( s )
C i1 R1 i2 R2
[解]：解法一：列出回路电压方程和输 出节点方程
1 i1dt R1i1 R1i2 ui R2 i2 uO
第二章(3)传递函数.ppt
m
cxo kxo kxi csX o (s) kXo (s) kXi (s) c
传递函数 G(s) Xo(s) k 1 Xi (s) cs k Ts 1
略去质量的阻尼—弹簧系统
例 如图所示无源滤波电路，
已知
u i
(t)
i(t)R
1 C
u 0 (t)
1 C
i(t)dt
i(t)dt
g(t) L1[G(s)]
传递函数具有以下特点：
(1) 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的 固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入 量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。
(2) 传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同 的物理系统可能具有相同的传积分运算转化为简单的代数运算；
特点：延时环节也是线性环节，有输入信号后，在τ时间内没有任何输出， 到τ时间后，不失真地反映输入。 延时常作为一个特性，与其他环节共同存在，而不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别：
✓ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；
✓ 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ 时间内, 没有输出，但t=之后，输出等于之前时刻 的 输入。
电路中常遇到下述的近似微分环节。
图 永磁式直流测速机
2
近似微分环节
G(s) kTs Ts1
已知
u
i
(t)
1 C
i(t)dt i(t)R
u 0 (t) i(t)R
例7 图2-14所示的无源微分电路
ui (t)
C
u0 (t)
其中，
拉氏变换得
U
i
(s)
1 Cs
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
第二章 2-2传递函数
6
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
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X01(t)
A
Xi1(t)→X01(t)
Xi2(t)
X02(t)
A
Xi1(t)
X01(t)
A
Xi2(t)
X02(t)
Xi2(t)→X02(t) aXi1(t)+bXi2(t)→aX01(t)+bX02(t)
意义：对于线性系统，各个输入产生的输出是互
不影响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上
而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的
7
第二章 系统的数学模型
例1： 质量——弹簧——阻尼系统
k c
y(t)
m
f(t)
图2-1
..
my (t
)
C
. )
f (t)
y (0 ) y 0 y. (0 ) y.0
8
第二章 系统的数学模型
例2： L、C、R 组成的电路如图，列出以u1为
输入、u2为输出的运动方程
R
L
解：由 KVL 有：
R2
i2(t) C2
u2(t)
R1i1
1 C1
i1dt
u1
u1 '
1 C1
i1dt
R2i2
1 C2
i2dt
u1 '
u2
1 C2
i2dt
消去中间变量i 1、i 2、u 1’：
R1C1R2C2u2 t R1C1 R2C2 u2 t u2 t u1 t
此结果错误
12
四、非线性微分方程线性第化二章 系统的数学模型
1．系统由单变量非线性函数所描述
y= f (x)
y(t):输出 x(t):输入
f (x) f ( x0 )
df Dx 1
dx x0 2!
d2 f dx 2
Dx2
x0
1 d 3 f Dx3 LL
3! dx 3 x 0
f (x0 )
df dx
Dx
x0
13
第二章 系统的数学模型
\ f ( x) f ( x0)
df Dx dx x 0
即 Dy
df Dx
dx x 0
令 K df
dx x 0
P ( x0, y0 ) 点曲线的斜率
则 Dy K Dx 增量方程
若令 x=Δx, y=Δy
若 y = K x——线性化方程（增量方程）
14
第二章 系统的数学模型
2．非线性系统输出 z(t) 是两个变量 x 和 y 的函数，即 z=f(x, y)
例：由两极串联的 RC 电路组成的滤波网络，试写出以
u1(t)为输入，u2(t)为输出的系统微分方程。
R1
R2
u1(t)
i1(t)
c1
i2(t)
c2
u2(t)
图2-3
10
第二章 系统的数学模型
解：把两个RC电路当作整体来考虑
u1
R1i1
1 C1
i1 i2 dt
1
C1
i1 i2 dt R2i2 u2
第二章 系统的数学模型
第二章 系统的数学模型
主要内容：控制系统的数学模型
1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化
2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数 3. 系统传递函数方块图及简化 4. 相似原理
控制理论的研究对象是系统、输入、输出三者之
间的动态关系，描述系统这种动态关系的是系统的数
学模型，古典控制理论内系统的数学模型有三种
u1(t)
1
u2 C2 i2dt
R1 a i1(t)
c1
b
R2
i2(t)
c2
u2(t)
消去中间变量i 1、i 2
R1C1R2C2u2 t R1C1 R2C2 R1C2 u2 t u2 t u1 t
11
若分开考虑：
R1
u1(t)
i1(t) C1
u1'(t)
u'1(t)
第二章 系统的数学模型
第二章 系统的数学模型
§2-1 系统的微分方程
一、线性定常系统及叠加原理
1．系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式：
anxon t an1xon1 t a0xo t bmxim t bm1xim1 t b0xi t
式中： xo t ——系统输出 ; xi t— —系统输入
u1
Ri
L
di dt
u2
u1(t)
i(t) C
u2(t)
i C du2 dt
u2
1 C
idt
消去中间变量i ：
u1
RC
du2 dt
LC
d 2u2 dt 2
u2
写成微分方程标准形式：
LC
d 2u2 dt 2
RC
du2 dt
u2
u1
9
三、负载效应
第二章 系统的数学模型
两个或两个以上环节（或子系统）组成一个系统时， 若其中一环节的存在使另一环节在相同输入下的输出 受到影响，此影响称负载效应。其实质是物理环节之 间的信息反馈作用。
输出，然后，把这些输出叠加起来，则可求得总的
输出。
6
第二章 系统的数学模型
二、微分方程的列写步骤
1．分析系统的工作原理，找出输入、输出及中间变 量的关系
2．从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节）的 运动方程
力学——牛顿定律 电学——基尔霍夫定律
3．将各运动方程构成微分方程，消去中间变量， 并化成标准形式（输出量和输入量的各导数项按 降阶排列）
1）确定工作点 P(x 0, y 0, z 0) 2）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项
Z f ( x, y) f ( x0 , y0 )
f
Dx
x x 0 , y0
f y
Dy L
x 0 , y0
f ( x0 , y0 )
f
Dx
x x 0 , y0
f y
Dy
x 0 , y0
DZ f (x, y) f (x0 , y0 )
f
Dx
x x 0 , y0
f y
4
第二章 系统的数学模型
例
ax(t) bx(t) cx(t) dy(t) ，其中,a,b,c,d均为常数。
线性定常系统
a(t)x(t) b(t)x(t) c(t)x(t) d(t)y(t)
y(t) x2(t)
线性时变系统
非线性系统
5
第二章 系统的数学模型
3．线性系统满足叠加原理
Xi1(t)
1
第二章 系统的数学模型
1．微分方程：时域——求解困难
2．传递函数：复域——求解方便，便于 直接在复域中研究系统的动态特性
3. 动态结构图（传递函数方框图）
各章节内容
§2-1 系统的微分方程
补充内容 拉普拉斯变换
§2-2 传递函数 §2-3 典型环节的传递函数
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
2
3
第二章 系统的数学模型
2．根据系统微分方程对系统进行分类
1）线性系统：方程只包含变量 xo t 、xi t
的各阶导数
a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
2）非线性系统： 方程中含有 xo t 、 xi t
各阶导数的其它函数形式