关于李雅普诺夫稳定性研究的读书报告

关于李雅普诺夫稳定性研究的读书报告

1、判据概述

对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。李雅普诺夫第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。

李雅普诺夫稳定性主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定四种情况。

（1）稳定

用表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，表示另一个半径为的球域。如果对于任意选定的每一个域，必然存在相应的一个域，其中，使得在所考虑的整个时间区间内，从域内任一点出发的受扰运动的轨线都不越出域，那么称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。

（2）渐近稳定

如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间趋于无穷大时受扰运动收敛到平衡状态,则称系统平衡状态是渐近稳定的。从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动的最大允许范围。

（3）大范围渐近稳定

又称全局渐近稳定，是指当状态空间中的一切非零点取为初始扰动时，受扰运动都为渐近稳定的一种情况。在控制工程中总是希望系统具

有大范围渐近稳定的特性。系统为全局渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。

（4）不稳定

如果存在一个选定的球域，不管把域的半径取得多么小，在内总存在至少一个点，使由这一状态出发的受扰运动轨线脱离域则称系统原点平衡状态是不稳定的。

2、理论应用研究现状

(1)估计非自治系统的吸引域

对于非自治系统，设是R中包含原点的一个开发区域，对所有和任意给定的总能找到一个，使当时，有成立，则称是系统零解的一个吸引域。当零解渐进稳定时，它有一个邻域作为吸引域，希望能估计出一个范围较大的吸引域。

定理：若上述系统的右端函数关于连续，，且在，中有界。若有一个正定函数满足：时关于连续，且有，则零解渐进稳定的。

(2)判断非线性系统的中心或焦点

对于非线性系统，与之相应的线性系统为或，其中，显然当且仅当时，系统有唯一的奇点，因为系统（1）与系统可通过拓扑变换相互转化，即二者是拓扑同胚，二者具有相同的拓扑结构稳定性。

判断中心焦点的V函数法：设原点O是系统的一个奇点，并且是对应线性系统的中心，在原点的领域U内存在一个连续可微的正定函数，有以下几种情形：若沿着系统轨线的全导数，则0是系统的中心。其中全导数满足若沿着系统的轨线全导数负定，则0是系统的稳定焦点。若沿着系统的轨线全导数正定，则0是系统的不稳定焦点。

3、实际应用情况

（1）对大学生体育素质稳定性的评估

大学生体育素质的综合评估具有重要的理论意义和应用价值，尤其

是对某个学生群体的综合评估具有很大的应用价值。影响大学生体育素质的因素有多个方面，包括教师水平、学校设施、学生自身条件及时间、精力的投入等，这些都是受非随机干扰的随机性变量。因此，对特定大学生群体体育素质的稳定性评估需要着力研究。考虑这些情况，将李雅普诺夫稳定性理论运用于所研究内容。1982 年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文《运动稳定性的一般问题》对运动稳定性给出严格的、精确的数学定义和解法，从而奠定了稳定性理论的基础。随后，经过近百年的发展，形成了一整套的稳定性的数学理论，并在实践中广泛应用。使用该理论进行稳定性评估是通过建立系统动态方程而后对其动态变化特性进行推导和分析。首先确定评估需要考察的内容，然后根据评估指标及其测度方法来表征相应内容。随后，基于李雅普诺夫稳定性理论，建立大学生体育素质的动态方程，最后列举评估实例说明方法有效性。

（2）在目标识别效果评估中的应用

目标识别具有重大的理论意义和应用价值，长期以来，对目标识别效果评估的研究相当有限：a.没有形成一种完整的、通用的评估理论；

b.成熟的、可直接应用于实际工作的评估方法非常少；

c.评估中没有将识别过程所处的条件有机地考虑进去。因此，效果评估成为目标识别中最迫切需要解决的重要问题。对这一方向进行研究，主要针对识别效果的稳定性进行研究。从整体上来说，目标识别系统融入了待识别目标、环境、识别处理系统，因此，它是一个复杂的大系统，在这中间的随机性因素很多，不确定性的因素也很多，研究识别效果在这样复杂情况下的稳定性具有重要的理论和实践意义。

将李雅普诺夫稳定性理论运用于所研究内容，首先形成目标识别系统的动态模型，随后基于李雅普诺夫稳定性理论，可以分析目标识别系统的稳定性条件，并给出识别效果的动态变化示意图。

利用李雅普诺夫稳定性理论进行目标识别系统识别效果稳定性分析的优势：a.理论依据充分，结论清晰明了；b.在一旦找出识别系统获得

的目标特征信息变化规律及某些情况下的识别效果后，就可以进行全局的分析；c.评估方法具有通用性，可以适用于任意一种识别系统的评估。

（3） 在飞机空气动力和动力学方程中的应用

飞机的稳定性是飞行动力学的重要组成部分,基于飞机空气动力和动力学方程的非线性，将李雅普诺夫稳定性分析方法应用于飞机在定常大迎角飞行状态的稳定性分析，该方法克服了小迎角的局限性，在某型号设计中得到了具体的应用

在航空科学发展的早期，飞机的机动性不高，飞行迎角不大，飞机气动力随迎角的变化保持很好的线性。因此，采用定常直线飞行基准状态的小扰动的假设，忽略运动方程的非线性影响，采用气动导数的方法来分析飞机的稳定性。由于这样处理具有方法简单，物理意义明显，模态特性可以按纵、横航向分开处理，在飞行动力学中得到了广泛应用。随着航空科学的进一步发展，越来越强调飞机的机动性、敏捷性。在高机动性飞机的飞行中，如快速滚转、快速拉升或俯冲，大过载盘旋，大迎角状态下气动力的非线性及纵、横向气动力的交叉，动力学方程中非线性因素的影响，是必须要考虑的。

（4）基于信息熵的模糊控制系统稳定性的分析

鉴于模糊控制系统稳定性分析方法的复杂性和不完善性，用信息论的观点思考这一问题。依据李雅普诺夫稳定性分析原理，通过引入信息熵的概念，对模糊控制系统的稳定性分析方法进行深入研究和探讨。在综合考虑系统动态品质和稳定边界要求的基础上，给出一般模糊控制系统的稳定性定义，并通过严格的数学推导证明使模糊控制系统稳定的一个充分条件。

4、总结与感想

通过这九周上课的学习，我对线性系统理论的知识有了基本的了解与认识，在课下阅读了大量的期刊文献后，我对李雅普诺夫的具体应用