第五讲：数的整除(教师)
《数的整除特征》课件
数据存储与传输
在计算机科学中，整除是一个非常重要 的概念。例如，在数据存储和传输中， 我们需要用到二进制数，而二进制数的 整除可以用来进行数据的加密和解密。
VS
算法设计与优化
在算法设计和优化中，整除也是一个非常 重要的概念。例如，在排序算法中，我们 可以利用整除来快速判断一个数是否为整 数，从而优化算法的性能。
数的整除特征
偶数的整除特征
总结词
偶数可以被2整除
详细描述
偶数是能被2整除的整数，其特征是末尾数字为0、2、4、6或8。偶数的整除特 性表明，偶数除以2的余数为0。
奇数的整除特征
总结词
奇数不能被2整除
详细描述
奇数是除以2余数为1的整数，其特征是末尾数字为1、3、5、7或9。奇数的整除特性表明，奇数除以 2的余数只能是1。
《数的整除特征》ppt 课件
目录
• 整除的定义与性质 • 数的整除特征 • 整除的应用 • 数的整除特征的扩展知识 • 练习与思考
CHAPTER 01
整除的定义与性质
整除的定义
整除：如果整数a除以整数b（ b≠0）的余数为0，那么就称a能
被b整除。
整除是数学中的一个基本概念， 是研究整数的一个重要的分支。
Байду номын сангаас
判断题
一个数如果是3的倍数，那么它 一定是9的倍数。（ ）
选择题
一个四位数，千位数字是个位数 字的2倍，百位数字是个位数字 的3倍，十位数字是个位数字的4
倍，这个四位数是（ ）。
填空题
一个四位数，千位数字是百位数 字的2倍，百位数字是十位数字 的3倍，个位数字是十位数字的4 倍，这个四位数的千位数字是（ ），百位数字是（ ），十位数字 是（ ），个位数字是（ ）。
数的整除与位值原理
第五讲 数的整除与位值原理性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd。
每周一测【例1】（难度等级 ※）一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得到的三位数恰是4的倍数，这样的四位数中最大一个的末位数字是_______？【例2】（难度等级 ※）如果六位数4228a b是99的倍数，那么这个数除以99，得到的商是（）【例3】（难度等级 ※※）有一种四位数，这种四位数能被7整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被3整除，后两位可以被5整除。
这种四位数最小的是_______？【例4】（难度等级 ※※）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？【例5】（难度等级 ※※※）有7张卡片，上面分别写着1，2,3,4,5,6,7这七个数字，从这7张卡片中选出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并且使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是？【例6】（难度等级 ※※※）从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有_____个？【例7】（难度等级 ※※※※）将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？【例8】（难度等级 ※※※※）在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？。
五年级趣味数学第5讲 整除的基本原理
一、知识简介
3、差系：即根据断开的数段之差判断（+1因数的判定法则 为k位截断奇偶相减） （1）能否被1001整除：三位截断，奇偶相减 （2）判断一个多于4位的整数能否被7，11，13整除：三位 截断，奇偶相减 （3）能否被11整除：规律是从右开始数奇数位数字之和与偶 数位数字之和的差是否为11的倍数，这个差除以11余几就代 表这个数除以11余几。
能被5整除：35、60、750、3475、36125
能被25整除：750、3475、36125
能被125整除：750、36125
二、精讲精练
题型二 和系：即根据断开的数段之和判断 例2 有如下9个三位数：412、477、528、375、855、852、715 、775、807。这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能 同时被2和3整除？
二、精讲精练
题型三 差系：即根据断开的数段之差判断 例4 有如下4个自然数：6391、1045、4914、23205。 这些数中哪些能被11整除？哪些能被7整除？哪些能被13整除？
6391：391－6 = 385 能被11，7整除 1045：45－1 = 44 能被11整除 4914：914－4 = 910 能被7，13整除 23205：205－23 = 182 能被7，13整除
二、精讲精练
仿真练习：
1、九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
21=3×7，能被21整除，就要能同时被3和7整除， 能被3整除的数：每位数和能被3整除； 能被7整除的数：（321＋876－5□4）能被7整除； 由此可知：8+7+6+5+4＋3＋2＋1＋□=36＋□能被3整除；
数的整除(教师)
课前准备：数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题讲解：能被2、3、5整除的数的典型例题例1．在下面的□里填数字，使这个数既能被5整除，又能被3整除．50□0；2□□5；11□2□．例2．从0、4、5、7四个数中，任意选三个数组成同时能被2、3、5整除的三位数．例3．在方框里填上适当的数使它能同时被2、3整除．415□例4．如果12345□□能被234整除，问□□应为哪两个数字？例:5：一个班50个学生，老师要学生1-50报数，然后要求报的数能被2整除的学生向后转，然后要求报的数能被3整除的同学向后转，再要报的数能被5整除的同学向后转，最后面向老师站着的学生有多少个？提示：最终面向老师站着的学生包括1.一次都没有转的学生 2。
第5讲 数论(数的整除)
第5讲数论（数的整除）1、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
2、整除的基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（可加性）（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（可乘性）（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则a也能被c整除；（传递性）（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
3、15以内数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
（2）能被5整除的数的特征：个位是0或5。
（3）能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
（4）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
（5）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
（6）能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
（对于数位较多的数，可用“奇三位”和减去“偶三位”和。
）例1：（1）判断13574是否是11的倍数；（2）判断1059282是否是7的倍数；（3）判断3546725能否被13整除。
练习：126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有____________________________________________；8的倍数有____________________________。
数的整除数学教案
数的整除数学教案
标题：小学五年级数学——数的整除
一、教学目标：
1. 理解并掌握数的整除的基本概念。
2. 掌握被除数、除数、商的概念，以及它们之间的关系。
3. 能够熟练进行整数的整除运算，并能解决相关的实际问题。
二、教学重点与难点：
重点：理解数的整除概念，掌握整除的性质。
难点：理解和应用整除的性质。
三、教学过程：
（一）导入新课
通过生活中的例子引入整除的概念，例如分苹果、分糖果等。
（二）新知讲解
1. 整除的概念：如果a除以b（b不等于0），得到的商是整数，而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2. 被除数、除数、商的概念：在除法算式中，a÷b=c，a叫做被除数，b叫做除数，c叫做商。
（三）例题解析
通过具体的例题，让学生了解如何判断一个数能否被另一个数整除，以及如何进行整除运算。
（四）课堂练习
设计一些练习题，让学生自己动手做，以此来巩固所学知识。
（五）归纳总结
回顾本节课的主要内容，强调整除的概念和性质，引导学生总结学习经验。
（六）作业布置
布置一些与整除有关的习题，让学生在课后进行自我检测和巩固。
四、教学反思：
对于学生在课堂上的反应和理解情况进行反思，以便于调整教学方法和策略。
数的整除 素数、合数与分解质因数
第五讲数的整除素数、合数与分解质因数【知识点】一、素数和合数1.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。
2.“1”为什么既不是质数？也不是合数？按合数定义“1”不是合数。
“1”不是质数，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。
如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。
因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数3. 100以内的素数熟记20以内的全部素数二、分解质因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。
把一个合数分解质因数有两种方法。
1 / 7一种是利用乘法口诀分解质因数。
另一种是用短除法分解质因数【典型例题】一、质数和合数例1．说出下面各数的约数，哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？1、2、3、4、5、6、7、8…19、20只有1个约数的自然数有：有两个约数（1和它本身）自然数有：有两个以上约数的自然数有：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
例2.下面哪些数是质数？哪些是合数？19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54例3. 自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。
第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。
紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。
紧靠3后面的是5，5是质2 / 7数，把它保留，并且把5的倍数都划掉……用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。
请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。
教案：数的整除法及其应用
教案：数的整除法及其应用数的整除法及其应用一、教学目标1.了解数的整除概念，掌握数的整除法的基本算法。
2.熟练掌握数的因数、倍数和质数等基本概念。
3.掌握数的整除法在分解质因数、最大公因数和最小公倍数等方面的应用。
二、教学重点1.数的整除概念及其应用。
2.数的因数、倍数和质数的基本概念和计算方法。
三、教学难点1.数的分解质因数及其应用。
2.数的最大公因数和最小公倍数的求法及其应用。
四、教学内容1.数的整除概念及其应用整除是指一个数能够被另一个数整除，例如20能被5整除，记为5|20。
当一个数k被m整除时，我们也可以说k是m的倍数。
例如，15是3的倍数，记为15∈3。
我们可以用数形结合的方法来理解这个概念，即用数轴上的点表示数，用线段表示除数，如果这个线段的始点所代表的数是被除数a，终点所代表的数是b，则b能整除a。
2.数的因数、倍数和质数的基本概念和计算方法在了解数的整除概念后，我们可以引出数的因数、倍数和质数等基本概念。
所谓因数是指能够整除该数的因数，例如10的因数就是1、2、5、10。
所谓倍数是指该数的整数倍，例如10的倍数就是10、20、30……等等。
所谓质数是指只有1和它本身这两个因数的数，例如2、3、5等。
3.数的分解质因数及其应用分解质因数是指用质数来表示一个数，例如24 = 2×2×2×3，其中2和3都是质数。
分解质因数有助于我们求解最大公因数和最小公倍数，它是应用数的整除法较为重要的内容之一。
在分解质因数时，我们可以从最小的质数2开始逐个尝试，先用最小的质数尽可能多地去整除该数，然后再用下一个质数尝试。
例如，24可以先尝试2，得到2×12，然后12又可以整除2，得到2×2×6，继续整除，最后得到2×2×2×3，即24 = 2×2×2×3。
4.数的最大公因数和最小公倍数的求法及其应用最大公因数是指几个数共有的因数中最大的一个，最小公倍数是指几个数公用的倍数中最小的一个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人教版小学奥数
数的整除
我们在已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：
性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
常见整除数的特点：
（1）能被2整除的数的特点：
个位数字是0，2，4，6，8中的一个。
（2）能被5整除的数的特点：
个位数字如果是0或5。
（3）能被3整除的数的特点：
各个数位上的数字之和能被3整除。
（4）能被4或25整除的数的特点：
一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）、（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837＝800＋30＋7
＝8×100＋3×10＋7
＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
＝8×99＋8＋3×9＋3＋7
＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。
再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728.8064。
解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。
例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。
根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。
同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4 五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
分析与解：已知能被72整除。
因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。
在解题顺序上，应先确定B 所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B 代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？
分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。
再由六位数能被3整除，推知
3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除，故2B能被3整除。
B可取0，3，6，9这4个值。
由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。
例6 要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
先试取A=0。
六位数的各位数字之和为12＋B＋C。
它应能被9整除，因此B
＋C＝6或B＋C＝15。
因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。
练习
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？
2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？
3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？
4．五位数能被12整除，求这个五位数。
5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？
6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？
7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。
8．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？。