全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)联考高三(上)第一次月考数学试卷(理科)2
2021-2022学年四川省成都七中高三(上)一诊数学试卷(理科)(附详解)
2021-2022学年四川省成都七中高三（上）一诊数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<3}，N={x|13≤x≤6}，则M∪N=()A. {x|0<x≤6}B. {x|13≤x<3} C. {x|3<x<6} D. {x|0<x≤13}2.已知z=2−i，则z(z−+i)的虚部是()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何体的左(侧)视图为()A.B.C.D.4.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |=8，则|b⃗ |=()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 127. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则Sna n=( )A. 2n −1B. 2−21−nC. 2−2n−1D. 21−n −18. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)9. 星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式M =m +5−5lg d3.26转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离(单位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为( )(参考数据：100.906≈8.054，100.716≈5.199，cos34°≈0.8)A. 26光年B. 16光年C. 12光年D. 5光年10. 若α∈(π2,π)，cosα=(2−sinα)tan2α，则tanα=( )A. √1515B. −√1515C. √53D. −√5311. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =A 1A 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的个数是( ) ①当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值； ②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值； ③当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP ； ④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P.A. 1B. 2C. 3D. 412. 若a =ln(ln 3)2，b =2ln(ln2)，c =2ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线y =2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为 ．14. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216−y 29=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______． 15. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，且直线y =−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是______． 16. 已知正数x ，y 满足x +4y =x 2y 3，则8x +1y 的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 巳知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=36，_____．请在①a 3=5；②a 2+a 4+a 6=21，③S 7=49，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n3n }的前n 项和T n ．18. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：万元)的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：y ̂=2.50x −2.50； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y =blnx +a 的附近，对投资金额x 做交换，令t =lnx ，则y =b ⋅t +a ，且有∑t 10=22.00，∑y 10=230，(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型相关指数R 2，并说明谁的预测值精度更高、更可靠．回归模型 模型① 模型② 回归方程y ̂=2.50x −2.50y ̂=blnx +a ∑(10i=1y i ,y ̂i )2102.2836.19附：样本(t i ,y i )(i =1,2,…,n)的最小乘估计公式为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)，a ̂=y −−b ̂t −；相关指数R 2=1−∑(n i=1y i −y ̂)2∑(ni=1y i −y −)2．参考数据：ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是CC 1与A 1B 的中点，△ABA 1为等边三角形，CA =CA 1，A 1A =A 1M =2BC ．(Ⅰ)求证：MN//平面ABC；(Ⅱ)(i)求证：BC⊥平面ABB1A1；(ii)求二面角A−MN−B的正弦值．20.已知两圆C1：(x−2)²+y²=54，C2：(x+2)²+y²=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切．(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)过点A(3,0)的直线与曲线C交于P，Q两点．P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面积的最大值．21.已知x∈[0,+∞)，函数f(x)=e x+sinx，函数g(x)=ax2+2x+1．(1)若a=1，证明：f(x)+x≥g(x)+sinx；2(2)f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t,y =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k =1时，C 1是什么曲线？(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．(1)画出y =f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．答案和解析1.【答案】A≤x≤6}，【解析】解：∵集合M={x|0<x<3}，N={x|13∴M∪N={x|0<x≤6}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为z=2−i，则z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+2+2i=6+2i，所以虚部为2，故选：A．利用复数的运算性质以及共轭复数的性质即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处是一个看得到的小正方形．故选：B．找到从左向右看得到的图形即可．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握侧视图是从左向右看得到的视图．4.【答案】C【解析】解：因为a⃗=(2,−1)，所以|a⃗|=√22+(−1)2=√5，又因为a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |= 8，所以|a⃗+b⃗ |²=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8²，所以|b⃗ |²=64−2⋅5−5=49，所以|b⃗ |=7故选：C．根据向量运算性质列方程，解方程求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．6.【答案】B【解析】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=18．故选：B．先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．本题考查概率的求法，利用列举法是关键，是基础题．【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5−a3=12，∴a6−a4=q(a5−a3)，∴q=2，∴a1q4−a1q2=12，∴12a1=12，∴a1=1，∴S n=1−2n1−2=2n−1，a n=2n−1，∴S na n =2n−12n−1=2−21−n，故选：B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k OD⋅k OE=−1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，即2√p2⋅−2√p2=−1，解得p=1，所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．故选：B．【解析】解：∵M=m+5−5lg d3.26，∴d=3.26×10m+5−M5，由题意可知，M牛=2.19，m牛=0.77，M织=0.5，m织=0.03，设地球与牛郎星距离为d1，地球与织女星距离为d2，织女星与牛郎星距离为d，则d1=3.26×100.77+5−2.195=3.26×100.716≈3.26×5.199≈17，d2=3.26×100.03+5−0.55=3.26×100.906≈3.26×8.054≈26，d2=d12+d22−2d1d2cos34°=172+262−2×17×26×0.8=257，故d=√257≈16，故牛郎星与织女星之间的距离约为16光年．故选：B．根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由cosα=(2−sinα)tan2α，得tan2α=cosα2−sinα，即sin2αcos2α=cosα2−sinα，∴2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，∵α∈(π2,π)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，∴cosα=−√1−sin2α=−√154，则tanα=sinαcosα=−√1515．故选：B．把已知等式变形，然后切化弦，整理后求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系得答案．本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：对于①，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故①错误；对于②，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故②正确；对于③，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故③正确；对于④，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故④正确．故选：C ．判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断①；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断②；当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断③；当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断④．本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．12.【答案】D【解析】解：∵a=2ln(|ln3π|)=2ln(lnπ3)，b=2ln(ln2)，c=2ln21e，而函数f(x)=2lnx在定义域(0,+∞)上单调递增，0<lnπ3<ln2<1<21e，∴a<b<c，故选：D．根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断．本题主要考查了对数函数的性质，以及利用函数的单调性比较大小，是基础题．13.【答案】5x−y+2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′|x=−1=5，则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．14.【答案】16【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得||PF1|−|PF2||=|m−n|=2a=8，所以m2−2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100，即m2+n2=100，所以mn=16，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=16．故答案为：16．判断四边形PF1QF2为矩形，利用双曲线的定义及勾股定理求解即可．本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】[14,2 3 ]【解析】解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，∴ω×(−3π4)≥−π2，且ω×π4≤π2，求得0<ω≤23．且直线y=−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，ωx∈[−2ωπ,0]，∴−5π2<−2ωπ≤−π2，求得14≤ω<54．综上可得，实数ω的取值范围为[14,23 ]，故答案为：[14,2 3 ].由题意利用正弦函数的图象和性质，求得实数ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】2√2【解析】解：令1y =m ，8x +1y =t(t >0)， ∵x +4y =x 2y 3， ∴8t−m+4m=(8t−m)2⋅(1m)3，即m 4−t 2m 2+16=0，令m 2=a ，则a 2−t 2a +16=0，所以关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，∴{△=t 4−64≥016>0，∴t ≥2√2，当x =4(√2+1)，y =12时取等号， ∴8x +1y 的最小值是2√2． 故答案为：2√2．利用换元法得到关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，再利用根与系数的关系即可求解．本题考查了换元法的应用，一元二次方程有两个正实根的求解，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①a 3=5．设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，a 1+2d =5，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选②a 2+a 4+a 6=21， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，3a 1+9d =21，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，7a 1+7×62d =49，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．(2)a n3n =2n−13n．数列{an3n }的前n 项和T n =13+332+533+⋯…+2n−13n，∴13T n =132+333+⋯…+2n−33n +2n−13n+1，相减可得：23T n =13+2(132+133+⋯…+13n )−2n−13n+1=13+2×19[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1，化为：T n =1−n+13n．【解析】(1)选①a 3=5.设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．(2)a n3n =2n−13n.利用错位相减法可得数列{an3n}的前n 项和T n ． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵∑t i 10i=1=22.00，∑y i 10i=1=230， ∴t −=2.2，y −=23，b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)=∑t i 10i=1y i −10t −⋅y−∑t i 210i=1−10t−2=569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25，则a ̂=y −−b ̂t −=23−25×2.2=−32，故模型②中y 关于x 的回归方程为y ̂=25lnx −32．(2)当x =20时，模型①的年利润的预测值为y ̂=2.5×20−2.5=47.5 (万元)， 当x =20时，模型②年利润的预测值为y ̂=25ln20−32=25×(2ln2+ln5)−32≈25×(2×0.6931+1.6094)−32=42.89(万元)．(3)由表格中的数据可得，102.28>36.19，即102.28∑(10i=1y i−y−)2>36.19∑(10i=1y i−y −)2， ∴模型①的相关指数R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，故当x=20时，模型②的预测值比模型①的预测值进度更高，更可靠．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．(2)将x=20分别代入两个线性回归方程中，即可求解．(3)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BB1的中点P，连接MP，NP，又M是CC1的中点，则MP//BC，∵MP⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MP//平面ABC，又N是A1B的中点，∴NP//A1B1，而AB//A1B1，∴NP//AB，∵NP⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴NP//平面ABC，∵MP∩NP=P，MP、NP⊂平面MNP，∴平面PMN//平面ABC，∵MN⊂平面PMN，∴MN//平面ABC．(Ⅱ)(i)证明：设BC=1，则A1A=A1M=2，依题意CA1=CA=C1A1，∴A1M是等腰△A1CC1底边上的中线，则A1M⊥CC1，∴AC=A1C1=√A1M2+MC12=√5，∵△ABA1为等边三角形，∴AB=AA1=BA1=2，∴AB2+BC2=5=AC2，∴AB⊥BC，同理，A1B2+BC2=A1C2，∴A1B⊥BC，∵A1B∩AB=B，A1B、AB⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．(ii)解：∵BC⊥平面ABB1A1，AN⊂平面ABB1A1，∴AN⊥BC，∵正△ABA1中，N为BA1中点，∴AN⊥BA1，又BC∩BA1=B，BC、BA1⊂平面A1BC，∴AN⊥平面A1BC，又AN⊂平面AMN，∴平面AMN⊥平面A1BC，设A1C∩AM=Q，连接QN，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线， 过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ， ∵MN ⊂平面AMN ，∴BH ⊥MN ， 过B 作BG ⊥MN 于点G ，连接HG ， 又BG ∩BH =B ，BG 、BH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥平面BGH ，又GH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥GH ， ∴∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由(i)知BC =1，CM =1，∴BM =√2， △BMA 1中，BA 1=A 1M =2，BM =√2， ∴由余弦定理得cos∠MBA 1=222×2×√2=√24， ∵N 为BA 1中点，∴BN =1， ∴△BMN 中，由余弦定理可得 MN =√12+2−2×1×√2×√24=√2，∵S △BMN =12BM ·BN ·sin∠MBN =12BG ·MN∴BG =√2×1×√78√2=√78，∵CM//AA 1，CM ：AA 1=1:2，∴CQ ：QA 1=1:2， 又A 1C =√5，∴A 1Q =2√53， Rt △A 1BC 中，cos∠BA 1C =BA1CA 1=√5，∴△A 1NQ 中，由余弦定理可得 QN =(2√53)2√532√5=√53， ∴cos∠QNA 1=(√53)2+12−(2√53)22×√53×1=−√55， ∴sin∠QNA 1=sin∠BNH =2√55，在Rt △BHN 中，sin∠BNH =BHBN ， ∴BH =BN ·2√55=2√55，∴二面角A −MN −B 的正弦值为sin∠BGH =BH BG=√3235=4√7035．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，题目较难． (Ⅰ)取BB 1的中点P ，证得MP//平面ABC ，NP//平面ABC ，进而平面PMN//平面ABC ，由此能证明MN//平面ABC ．(Ⅱ)(i)设BC =1，则A 1A =A 1M =2，CA 1=CA =C 1A 1，从而A 1M 是等腰△A 1CC 1底边上的中线，则A 1M ⊥CC 1，AC =A 1C 1=√A 1M 2+MC 12=√5，推导出AB ⊥BC ，同理A 1B ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ABB 1A 1．(ii)由AN ⊥BC ，AN ⊥BA 1，知AN ⊥平面A 1BC ，从而平面AMN ⊥平面A 1BC ，设A 1C ∩AM =Q ，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ，又过B 作BG ⊥MN 于点G ，则MN ⊥平面BGH ，从而∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由此能求出二面角A −MN −B 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意可知，圆C 1的圆心(2,0)，半径为3√6，圆C 2的圆心(−2,0)，半径为√6， 设圆M 的半径为R ，则|MC 1|+|MC 2|=(3√6−R)+(√6+R)=4√6>4=|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 则2a =4√6，2c =4，所以a =2√6，c =2，b =√a 2−b 2=2√5， 故动圆圆心M 的轨迹方程C 为x 224+y 220=1； (2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)，由{x =my +35x 2+6y 2=120，可得(5m 2+6)y 2+30my −75=0，Δ=(30m)2+4×75(5m 2+6)>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=−30m5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6， 由椭圆的对称性，不妨设m <0，则x 1<3，y 1>0，x 2>3，y 2<0，如图所示，则S △PQR =12×2y 1×(x 2−x 1)=y 1×(x 2−x 1)，S △PAR =12×2y 1×(3−x 1)=y 1×(3−x 1)，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =y 1×(x 2−x 1)−y 1×(3−x 1)=y 1(x 2−3)=y 1(my 2+3−3)=my 1y 2=m ×(−755m 2+6)=75−5m+6−m ≤2√(−5m)×6−m =5√304， 当且仅当−5m =6−m ，即m =−√305时取等号，故△ARQ 面积的最大值为5√304．【解析】(1)设圆M 的半径为R ，由椭圆的定义得到点M 的轨迹，求出椭圆方程即可；(2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，与椭圆联立方程组由韦达定理可得y 1+y 2=−30m 5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =my 1y 2=m ×(−755m 2+6)，计算可得△ARQ 面积的最大值．本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的理解与应用，椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，直线与圆的位置关系的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】(1)证明：当a =12时，令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx =e x −12x 2−x −1(x ≥0)，则G′(x)=e x −x −1，G ″(x)=e x −1≥0，所以G′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G′(x)≥G′(0)=0，所以G(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)=0，所以f(x)+x ≥g(x)+sinx ；(2)e x +sinx −(ax 2+2x +1)，由题意得，ℎ(x)min ≥0，因为ℎ′(x)=e x −2ax −2+cosx ，ℎ′(0)=0，ℎ″(x)=e x −sinx −2a ，ℎ″(0)=1−2a ，ℎ″′(x)=e x −cosx ≥0，则ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，当a ≤12时，ℎ″(0)=1−2a ≥0，则ℎ″(x)≥ℎ″(0)≥0，ℎ′(x)单调递增，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， 则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，符合题意；当a >12时，ℎ″(0)=1−2a <0，由(1)的结论可得ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ″(1+2a)=e 1+2a −2a −sin(1+2a)≥1+(1+2a)−2a −1>0，故必然存在x 0∈(0,1+2a)使得，x ∈(0,x 0)时，ℎ″(0)<0，则ℎ′(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，则ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，综上，a 的范围为(−∞,12].【解析】(′)把a =12代入后，构造函数令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx ，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析导数符号，再由函数的性质及零点判定定理可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用导数及函数性质证明不等式，求解与不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)， 消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)， 两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1，∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2， 整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)， 图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x+1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)高三数学解答题训练6
1．(本小题满分12分)(优质试题·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．2．某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35.(1)若从这20件商品中按分层(分三层：进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：(1)由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B 为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A 1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A 2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 15C 212C 320＋C 15C 13C 112C 320＝55190＋30190＝1738， 所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P (ξ＝180)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝210)＝C 23C 12C 35＝610＝35， P (ξ＝240)＝C 33C 35＝110. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝180×310＋210×35＋240×110＝204.3．在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ＝10.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若二面角A -PC -D 的大小为45°，求AP 的值．解：(1)证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E .由四边形ABCD 是等腰梯形得CE ＝BC －AD 2＝1， DE ＝DC 2－CE 2＝3，所以BE ＝DE ，从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°.所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD .由P A ⊥平面ABCD ，得P A ⊥BD ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH .由(1)知DO ⊥平面P AC ，故DO ⊥PC .所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥DH .故∠DHO 是二面角A -PC -D 的平面角，所以∠DHO ＝45°.由∠DBC ＝∠BCA ＝45°，BC ＝4，得OC ＝2 2.同理可得OA ＝2，从而得AC ＝3 2.设P A ＝x ，则PC ＝x 2＋18.在Rt △DOH 中，由DO ＝2，∠DHO ＝45°，得OH ＝ 2.在Rt △P AC 中，由P A PC ＝OH OC ，可得x x 2＋18＝222， 解得x ＝6，即AP ＝ 6.法二：由(1)知AC ⊥BD .以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A (0，－2，0)，B (22，0,0)，C (0，22，0)，D (－2，0,0)．由P A ⊥平面ABCD ，得P A ∥z 轴，故设点P (0，－2，t )(t ＞0)．设向量m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，由CD →＝(－2，－22，0)，PD →＝(－2，2，－t )，m ·CD →＝m ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －22y ＝0，－2x ＋2y －tz ＝0.令y ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，32t . 又平面P AC 的法向量n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝25＋18t 2＝22，解得t ＝6，即AP ＝ 6.4.(优质试题·吉林省吉林市模拟)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3 .(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围.10.解 (1)设圆上任意一点坐标(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，整理得：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ x 2＋y 2－2x －2y －1＝0， 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2 －2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得：t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0 ，∴t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝8＋4sin 2α ， ∵α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴|AB |∈[22，23).。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
2024届绵阳中学高三数学(理)上学期一诊模拟卷(五)附答案解析
2024届绵阳中学高三数学（理）上学期一诊模拟卷（五）2023.10（试卷满分150分；考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合{1,22x U x y A x ⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，则U A =ð（）A ．(],1-∞-B ．[)2,1--C ．[]2,1--D ．[)2,-+∞2．实数a ，b 满足a b ≥，则下列不等式成立的是（）A ．1a b ≥B ．tan tan a b ≥C ．21a b -≥D ．()ln 0a b -≥3．已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，命题p ：若222a b c +<，则ABC 为钝角三角形，命题q：若a b <，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（）A ．p q∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q⌝∨4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入2x =，2n =，依次输入a 的值为1，2，3，则输出的s =（）A ．10B ．11C ．16D ．175．如图，在平行四边形ABCD 中，23BE BC =，34DF DE=，若AF AB AD λμ=+ ，则λμ-=（）A ．32B ．112-C ．112D ．06．等差数列{}n a 中，1472120a a a ++=，则746S a -=（）A ．60B ．30C ．10D ．07．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系tv a b=⋅（其中,a b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：lg20.3≈）A ．20B ．27C ．32D ．408．函数()()3π3πe e 2sin ,22x x f x x x x -⎛⎫⎛⎫=--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像大致是（）A．B ．C．D．9．定义：{},max ,,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}max sin ,cos f x x x =，下列选项正确的是（）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 不是周期函数C ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图像关于9π4x =对称10．若α，β为锐角，且π4αβ+=，则tan tan αβ+的最小值为（）A．2B1C．2D111．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a+⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦12．函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f xg x x +=+，则()()77f g =（）A ．615B ．616C ．1176D ．2058第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知()1,2AB =- ，点()()2,0,3,1C D -，则向量AB 在CD 方向上的投影为．14．若πtan 9α=，则7πcos()18πsin()9αα+=+.15．已知函数()22e ,1e ,1x xx x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()220f x af x -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．16．已知正整数数列{}n a 满足：11,1,,nn n n n a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩，则2022a =三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第．22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -≤≤的解集.18．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，11,,22,.nn n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数(1)证明：{}22n a -是等比数列；(2)求满足20n S >的所有正整数n.19．如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2AD CD ==.(1)当四边形ABCD 内接于圆O 时，求角C ；(2)当四边形ABCD 面积最大时，求对角线BD 的长.20．已知函数322()2f x x ax a x m =+++在1x =处取得极小值．(1)求实数a 的值；(2)若()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围．21．已知函数()()2e 2x f x ax a =-∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()sin cos 0e x x xf x -+≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线l 的参数方程为cos sin x t y t ββ=⎧⎨=⎩（t 为参数，0πβ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2216OA OB +=，求β的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-．(1)解不等式()()216f x f x ++≥；(2)对()1,0a b a b +=>及R x ∀∈，不等式()412f x m x a b ----≤+恒成立，求实数m 的取值范围．1．C【分析】因为集合,U A 的代表元素都是x ，所以分别解关于x 的不等式可得集合,U A ，进而求出U A ð.【详解】由20x +≥得2x ≥-，由122x >得122x ->，即1x >-，所以{}{}2,1U x x A x x =≥-=>-，所以[]2,1U A -=-ð.故选：C.2．C【分析】举反例即可判定ABD ，由a b ≥，得出0a b -≥，利用指数函数的性质即可判定C.【详解】取1,1a b ==-,满足a b ≥,但1ab =-,所以A 错误；取3ππ,44a b ==,满足a b ≥,但tan 1tan 1a b =-<=，所以B 错误；若a b ≥，则0a b -≥,0221a b-≥=,所以C 正确；取1e a b -=,则()1ln ln 1e a b -==-,所以D 错误.故选:C.3．B【分析】分别判断两个命题的真假，再根据选项判断复合命题的真假.【详解】因为222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab +-=<，则p 为真命题.因为a b <，所以A B <，又cos y x=在[]0,π上是减函数，所以cos cos A B >，则q 为假命题，只有()p q ∧⌝为真命题.故选：B4．B【分析】根据循环结构，令1,2,3a =依次进入循环系统，计算输出结果.【详解】解：∵输入的2x =，2n =，当输入的a 为1时，1S =，1k =，不满足退出循环的条件；当再次输入的a 为2时，4S =，2k =，不满足退出循环的条件；当输入的a 为3时，11S =，3k =，满足退出循环的条件；故输出的S 值为11．故选：B 5．D【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．【详解】在平行四边形ABCD 中，23BE BC =，34DF DE =，所以()3344AF AD DF AD DE AD DC CE=+=+=++ 31334344AD AB AD AB AD⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，若AF AB AD λμ=+ ，则34λμ==，则0λμ-=．故选：D ．6．B【分析】本题可由等差数列的性质即中项公式来求解.【详解】 等差数列{}n a 中，1472120a a a ++=,∴44120a =即430a =,∴()1774444470763662a a S a a a a a +-=-==-=.故选：B.7．B【分析】根据v 和t 的两组值求出,a b ，再根据100%1v ==求出t 即可得解.【详解】依题意得5105%10%a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩，解得152b =， 2.5%a =，则152.5%2v =⋅，这种垃圾完全分解，即分解率为100%，即152.5%21t v =⋅=，所以15240=，所以21log 405t =，所以25lg 405log 40lg 2t ==5(lg 41)5(2lg 21)lg 2lg 2++==55101027lg 20.3=+≈+≈.故选：B8．A【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】由()()()()()e e 2sin e e 2sin xxxxf x x x x x f x ---=-+-=--=，又3π3π,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可知()f x 为偶函数，排除B ；因为()π0f =，可排除D ，又由1(1)(e2)sin10ef=--⋅>，可排除C.故选:A 9．D【分析】利用正弦曲线、余弦曲线确定(){}max sin,cosf x x x=的图像.【详解】因为(){}max sin,cosf x x x=，所以()f x的图像如下：由图可知，A，B，C错误，D正确.故选：D.10．A【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得tan tan2αβ++≥，从而求得tan tanαβ+的最小值.【详解】因为()tan tantan11tan tanαβαβαβ++==-，所以()()1tan1tan1tan tan tan tanαβαβαβ++=+++()11tan tan tan tan2αβαβ=+-+=，所以()()21tan1tan1tan1tan2αβαβ+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，即2≤()2tan tan24αβ++，得()2tan tan28αβ++≥，由于α，β为锐角，所以tan tan20αβ++>，所以tan tan2αβ++≥，当且仅当tan tan1αβ==时等号成立，所以tan tanαβ+的最小值为2-．故选：A11．D【分析】推导出sin4d＝1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在23xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】∵{an}为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a52k π≠（k ∈Z ），sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sina5cos2d•2cosa5sin2d ，∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调∴23ππω≥，∴ω32≤；又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点，即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．12．B【分析】由题意可以推出()()6f x f x =-，()()46g x g x =---，再结合()()21f xg x x +=+可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【详解】由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-；由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f xg x x +=+，可得()()266(6)1f xg x x -+-=-+，所以()()24(6)1f x g x x --=-+，故()()()()2214(6)1f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩，解得()()2621,620f x x xg x x =-+=-，所以()()27672128,67202277f g =-⨯+==⨯-=，所以()()772822616f g =⨯=.故选：B.13．2-【分析】根据投影的计算公式即可求解.【详解】由点()()2,0,3,1C D -，得()1,1CD =-，所以向量AB在CD方向上的投影为：cos ,2AB CD AB AB CD CD⋅⋅==-．故答案为:322-.14．3-##3-+【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan 9α=，则7π7π7ππππcos()cos cos sin sin cos sin sin cos tan tan 181818999ππππππsin()sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan999999αααααααααααα+---===++++3=-=.故答案为：315．222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用导数研究()f x 的单调性和极值，作出()f x 的图像；由关于x 的方程2[()]2()0f x af x -=有两个不相等的实数根，得到函数()y f x =与2y a =有一个交点，利用图像法求解．【详解】对于函数()22e ,1e ,1x xx x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩．当()2()e 1x f x x x =<时，2()(2)e x f x x x '=+．令()0f x '>，解得：<2x -或01x <<；令()0f x '<，解得：20x -<<；所以()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增．而<2x -，()0f x >；24(2)e f -=，(1)e f =．当()2e ()1x f x x x =≥时，24e ()(2)x f x x x x '=-．令()0f x '<，解得：12x <<；令()0f x '>，解得：2x >；所以()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．而()1e f =；2e (2)4f =，2x >，()0f x >．作出()f x的图像如图所示：解关于x 的方程2[()]2()0f x af x -=有两个不相等的实数根,即关于x 的方程()[()2]0f x f x a -=有两个不相等的实数根，()0f x =只有一个实数根0x =，所以关于x 的方程()20f x a -=有一个非零的实数根，即函数()y f x =与2y a =有一个交点，横坐标0x ≠．结合图像可得：224e 2e4a <<或2a e >，所以a 的取值范围是222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．630【分析】根据已知条件，易得到数列的初值，根据初值，可以进行归纳，得到1k n a =中项数满足的递推关系，然后使用数列归纳法进行推导论证，得到1213(21)k k n n ++=+的递推公式，然后通过构造等比数列求解出k n 的表达式，结合2022所满足的关系代入合适的关系式求解即可.【详解】由11,1,,nn n n n a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩可得：n1234567891011121314na 1241510411312213114我们可以看到1k n a =的下标：1231,4,13,,n n n === 它们满足的递推关系：131,1,2,3k k n n k +=+=①，对k 归纳：1,2k =时已经成立，设已有1k n a =，则由条件，11k n k a n +=+，222k n k a n +=+，3k n ka n +=，423k n k a n +=+，归纳易得：212,1,2,3,,1k n m k k a n m m n +-=+-=+ ，221,1,2,3,,k n m k ka n m m n +=++= ，②于是，当1k m n =+时，312(1)1k n k k a n n +=+-+=，因此，131,(1,2,3,)k k n n k +=+= 即①式成立，根据①式，1213(21)k k n n ++=+，令21k kn x +=，所以13k kx x +=，13x =，所以3kk x =，因此312k k n -=，1,2,3,k = ，而773110932n -==，883132802n -==，则782022n n ＜＜，7202224651n =+- ，故由②式可得，20227246510932465630a n =+-=+-=故答案为：630.17．(1)单调递增区间：3πππ,π8282k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无递减区间(2)ππππ,42242k k x x k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.【详解】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T ＝2π，即2ππω=，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x ＋φ)，因为函数y ＝f(x)的图象关于点M ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋4π，k ∈Z.因为0<φ<2π，所以φ＝4π，故f(x)＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令－2π＋kπ<2x ＋4π<2π＋kπ，k ∈Z ，得3244k x k k Zππππ-+<<+∈，，即38282k k x k Zππππ-+<<+∈所以函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间．（2）由（1）知，f(x)＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由－1≤tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭得2443k x k k πππππ-+≤+≤+∈，Z ，即42242k k x k ππππ-+≤≤+∈，Z所以不等式－42242k k x x k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，.18．(1)证明见解析(2)正整数n 为1，2【分析】（1）由定义能证明数列{}22n a -是等比数列；（2）由1211222n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得21218432nn n a a n -⎛⎫+=--⋅ ⎪⎝⎭，从而()()()22123421233123222nnn n S a a a a a a n -⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由求和式子由此能求出满足20n S >的所有正整数n 的值．【详解】（1）由已知得()222122111214211222n n n n a a n a n n a ++=++=-++=+，所以()2221222n n a a +-=-，其中232a =，21202a -=-≠，所以{}22n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）知1211222n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以2122n n a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1211642n n a n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以21218432nn n a a n -⎛⎫+=--⋅ ⎪⎝⎭，所以()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++()2211118412326332222n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦233123222nn ⎛⎫⎛⎫=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，{}2n S 单调递减，其中252S =，474S =，6218S =-，所以满足20n S >的所有正整数n 为1，2.19．(1)π3C =【分析】（1）根据πA C +=，结合余弦定理求解即可；（2）将四边形ABCD 的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得：222222cos 12212cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，222222cos 32232cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，所以54cos 1312cos A C -=-.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以πA C +=，所以()54cos 1312cos C Cπ--=-，化简可得1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C =+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅△△，又222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⋅⋅，所以2222111223221221223223S sinA sinC cosA cosC ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，即3,23,S sinA sinC cosC cosA =+⎧⎨=-⎩平方后相加得24106sin sin 6cos cos S A C A C +=+-，即()266cos S A C =-+，又()0,2πA C +∈，所以πA C +=时，2S 有最大值，即S 有最大值.此时，πA C =-，代入23cos cos C A =-得1cos 2C =.又()0,πC ∈，所以π3C =在BCD △中，可得：22222π2cos 23223cos73BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，即BD 所以，对角线BD.20．(1)1-(2)4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得22()34f x x ax a '=++，根据题意得到2(1)340f a a '=++=，求得a 的值，再利用函数极小值的定义，进行判定，即可求解；（2）由（1）得到函数的()f x 单调性和极值，结合题意，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数322()2f x x ax a x m =+++，可得22()34f x x ax a '=++，因为()f x 在1x =处取得极小值，所以2(1)340f a a '=++=，解得3a =-或1a =-．①当3a =-时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'．令()0f x '>，解得1x <或3x >；令()0f x '<，解得13x <<．所以()f x 在(,1)-∞，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极大值，不合题意，舍去．②当1a =-时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--．令()0f x '>，解得13x <或1x >；令()0f x '<，解得113x <<．所以()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意．综上可知，1a =-．（2）解：由（1）知，当1a =-时，函数32()2f x x x x m =-++，且()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使()f x 有3个零点，只需112132793f m ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭且(1)1210f m =-++<，解得4027m -<<．故实数m 的取值范围为4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭．21．(1)答案见解析(2)(],2-∞【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论0a ≤与0a >即可得解；（2）构造函数()2sin cos e 2e x x x xh x ax -=-+，利用导数得到()h x '的单调性，从而分类讨论2a >与2a ≤，结合()00h =的特性进行分析即可得解.【详解】（1）因为()2e 2x f x ax=-，所以()()222e 22e x x f x a a'=-=-，当0a ≤时，2e 0x a -≥，即()0f x '≥，所以()f x 在R上单调递增；当0a >时，令2e 0xa -=，得1ln 2x a =，令()0f x '<，得1ln 2x a <；令()0f x ¢>，得1ln 2x a >；所以()f x 在1,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在1ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在1,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在1ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为()2e 2x f x ax=-，所以由()sin cos 0e x x x f x -+≥，得2sin cos e 20e x x x x ax --+≥在[)0,∞+上恒成立，令()()2sin cos e 20e x x x x h x ax x -=-+≥，则()22cos 2e 2e xx x h x a '=-+，()00h =，令()()2cos e 0e x x x x a x ϕ=-+≥，则()22πsin cos 42e 2e e e x xx x x x x x ϕ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭'=+=-，因为0x ≥，则e 1x≥，2e 1x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则π4e x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤所以2π42e 20e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-≥>，则()0x ϕ'>在[)0,∞+上恒成立，所以()x ϕ在[)0,∞+上单调递增，则()h x'在[)0,∞+上单调递增，令()()32e 2e 0x x m x x x =-≥，则()()()326e 21e 2e 3e 1x x x x m x x x '=-+=--，令()()23e 10x n x x x =--≥，则()26e 10x n x '=-≥在[)0,∞+上恒成立，所以()n x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00n x n ≥>，即()0m x '>，所以()m x 在[)0,∞+上单调递增，则()()02m x m ≥=，则32e 2e 2cos 22cos 0x xx x x -+≥-≥，故22cos 2e 20e x x xx -+≥，所以当2a >时，()002cos002e 2420e h a a '=-+=-<，()22cos 2e 20e a aah a a '=-+≥，所以()h x'在(]0,a 上必存在0x ，使得()00h x '=，又()h x '在[)0,∞+上单调递增，故当00x x <<时，()00h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递减，而()()00h x h <=，不满足题意；当2a ≤时，()()002cos 002e 22420e h x h a ''≥=-+≥-+=，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，满足题意；综上：2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用导数求得当2a >时，存在()00,x x ∈使得()0h x <，从而排除2a >的情况，由此得解.22．(1)24cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)π12β=或5π12β=【分析】（1）首先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据转化公式，化为极坐标方程；（2）首先将直线的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，利用韦达定理表示22OA OB+，即可求解.【详解】（1）曲线C 的直角坐标方程：224440x y x y +--+=，根据公式直角坐标与极坐标转化公式，222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以C 的极坐标方程：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）直线l 的极坐标方程：()R θβρ=∈，代入C 的极坐标方程得：()24cos sin 40ρββρ-++=，124cos 4sin ρρββ∴+=+，124ρρ=，()222221212122816sin 216OA OB ρρρρρρβ+=+=+-=+=，1sin 22β∴=，0πβ≤<，π26β∴=或5π12，即π12β=或5π12β=，23．(1)(,1][3,)-∞-+∞ ；(2)135m -≤≤.【分析】（1）写出()()21f x f x ++的分段函数的形式，分类讨论即可求得不等式的解集.（2）利用均值不等式，根据1a b +=，求得41a b +的最小值，再结合绝对值三角不等式，即可将问题转化为关于m 的不等式，则问题得解.【详解】（1）依题意，133,21()(21)2211,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-，则1x ≤-；当122x ≤≤时，16x +≥，解得5x ≥，无解；当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥，则3x ≥，所以不等式()()216f x f x ++≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞ .（2）由1(,0)a b a b +=>，得41414()559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即223a b ==时取等号，则当223a b ==时，min 41(9a b +=，依题意，R x ∀∈，|2||2|9x m x -----≤，而当x ∈R 时，|2||2||(2)(2)||4||4|x m x x m x m m -----≤--+--=--=+，当且仅当(2)(2)0x m x ----≤，且|2||2|x m x --≥--时取等号，因此|4|9m +≤，解得135m -≤≤，所以135m -≤≤.。
2024-2025学年重庆市铜梁一中高三数学上学期10月考试卷附答案解析
高三10月月考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2{1,2,3,4,},60A B x x x ==--<∣，则A B = （）A. {2}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义求解．【详解】 {}260{23}B xx x x x =--<=-<<∣∣，∴{1,2}A B = ．故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键．本题属于基础题．2. 若α为第二象限角，则（ ）A. sin 20α> B. cos20α< C. sin cos 0αα-> D. sin cos 0αα+<【答案】C 【解析】【分析】根据角α的范围可取特殊值验证选项ABD 错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C 正确.【详解】若α为第二象限角，当7π8α=时，可得7π24α=在第四象限，此时sin 20α<，cos 20α>，即A 错误，B 错误；当3π4α=时，可得sin cos 0αα⎛+=+= ⎝，即D 错误；由α为第二象限角可得sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 0αα->，即C 正确.故选：C3. 下列命题为真命题的是（ ）A. 命题“21,230x x x ∃>++=”的否定是“21,230x x x ∀≤++≠”B. 若a b >，则22ac bc >C. ()1f x x=的单调减区间为()(),00-∞+∞ D. 220x x +->是1x >的必要不充分条件【答案】D 【解析】【分析】利用存在量词命题的否定判断A ；举例说明判断B ；求出函数的单调区间判断C ；利用充分条件、必要条件的定义判断D.【详解】对于A ，命题“21,230x x x ∃>++=”的否定是“21,230x x x ∀>++≠”，A 错误；对于B ，a b >，当0c =时，22ac bc =，B 错误；对于C ，函数1()f x x=的单调减区间为(,0),(0)-∞+∞，C 错误；对于D ，220x x +->⇔2x <-或1x >，因此220x x +->是1x >的必要不充分条件，D 正确.故选：D4. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（ ）A. sin 2︒ B. sin 24.6︒C. cos24.6︒ D. cos65.4︒【答案】C 【解析】【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式()()sin 2sin 257.3sin 9024.6cos 24.6=≈⨯=+=，故选：C .5. 已知函数()()ln af x x a x=+∈R 的最小值为1，则a =（ ）A.1e B. eC.12D. 1【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出()f x 的单调区间，即可求解函数的最值求解.【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，221()a x a f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞内恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞内为增函数,此时()f x 无最小值，当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<得0x a<<∴函数()f x 在(0,)a 内为减函数，在(,)a +∞内为增函数，故当x a =时，()f x 取最小值，即()()min ln 11f x f a a ==+=，故1a =，故选：D6. 已知函数()sin()0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，若1()3f θ=，则523f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】D 【解析】【分析】先由图像以及题意求出()f x 的解析式，从而得()1πsin 23f⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ，5π1ππ2sin 23232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθ，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】由图可知()1,0sin A f ϕ===ππ22ϕ-<<可知π3ϕ=，故()sin()3f x x πω=+，又由图4sin(033ππω+=，故由图42,Z 33k k ππω+=π+π∈，31,Z 22k k ⇒ω=+∈①，由图4π032T -<，2π8π343T ⇒=⇒ωω><②，又0ω>，结合①②可得12ω=，故1()sin()23f x x π=+，所以()1π1sin 233f θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故5π1ππ1π2sin 2cos 2323223f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦θθθ21π2712sin 12399⎛⎫=-θ+=-= ⎪⎝⎭.故选：D.7. 已知函数()y f x =和()y g x =的定义域及值域均为[],a a -()0a >，它们的图像如图所示，则函数()()y f g x =的零点的个数为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解.【详解】由题意，知函数()()y f g x =的零点，即方程()()0f g x =根.令()g x t =，[],t a a ∈-，则()()()0f g x f t ==.当[],0t a ∈-时，满足方程()0f t =的t 有2个，此时()g x t =有4个不同的实数根；当(]0,t a ∈时，满足方程()0f t =的t 有1个，此时()g x t =有2个不同的实数根.综上可知方程()()0f g x =共有6个实数根，即函数()()y f g x =共有6个零点.故选：D8. 已知函数cos ()xf x x=，若A ，B 是锐角ABC V 的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）A. (sin )(sin )f A f B >B. (cos )(cos )f A f B >C. (sin )(cos )f A f B >D. (cos )(sin )f A f B >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得ππ022A B >>->，根据余弦函数的单调性，得出cos sin A B <，由()f x 的单调性即可判断选项.【详解】因为cos ()x f x x=，所以2sin cos ()x x xf x x --'=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，所以2sin cos 0x x xx --<，即()0f x '<，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.因为A ，B 是锐角ABC V 的两个内角，所以π2A B +>，则ππ022A B >>->，因为cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以ππ0cos cos sin 122A B B ⎛⎫<<-=<<⎪⎝⎭，故(cos )(sin )f A f B >，故D 正确.同理可得(cos )(sin )f B f A >，C 错误；而,A B 的大小不确定，故sin A 与sin B ，cos A 与cos B 的大小关系均不确定，所以(sin )f A 与(sin )f B ，(cos )f A 与(cos )f B 的大小关系也均不确定，AB 不能判断.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 若0ab >，则下列各式中，一定成立的是（ ）A. ()lg lg lg ab a b=+ B. lglg lg aa b b=C. 21lg lg 2a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ D. ()1lg 3ab =【答案】CD【解析】【分析】根据对数的运算性质可一一判断各项.【详解】对于A ：当0a <，0b <时，等式右边无意义，A 错；对于B ：当0a <，0b <时，等式右边无意义，B 错；对于C ：0ab >∴ ，21lg lg 2a ab b⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 正确；对于D ：0ab >∴ ，()()131lg lg 3ab ab ==，D 正确.故选：CD ．10. 对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，①()()()()12120x x f x f x -->，②()()11220f x f x -+-=，③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，④()()112220f x f x ++=.下列函数能同时满足以上两个结论的有（ ）A. f (x )=ln x B. ()πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()exf x = D. ()3f x x=【答案】BCD 【解析】【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期性和凹凸性，对选项一一判断，即得结果.【详解】由①()()()()12120x x f x f x -->可得，函数()f x 在定义域内增函数；由②()()11220f x f x -+-=可得，()()0f x f x +-=，即函数()f x 为奇函数；由③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭可得，函数()f x 的图象向下凸.；由④()()112220f x f x ++=可得，(2)()f x f x +=-，即(4)(2)()f x f x f x +=-+=，说明函数()f x 的周期为4.对于A ，函数()ln f x x =不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除；为对于B, 函数()πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数，且周期为2π4π2T ==,故符合要求；对于C ，函数()e xf x =在R 上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求；对于D ，()3f x x =是奇函数，且在R 上单调递增，故符合要求.故选：BCD.11. 已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为2π3B. 点π,06⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象一个对称中心C. 若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D. 若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解.【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确；π5π1sin 0662f ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x -≤≤得π2π63t ≤≤，根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个交点，的1a ≤<，故C 正确；设f ′(x )为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，其中tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=-++∈时等号成立，故D 正确，故选：ACD ．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线()()1e x f x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】21y x =+【解析】【分析】直接计算得到()01f =，()02f '=，然后使用切线的定义即可.【详解】由()()1e x f x x =+，知()()()e 1e 2e x x x f x x x '=++=+.所以()01f =，()02f '=，故所求切线是经过点()0,1且斜率为2的直线，即21y x =+.故答案为：21yx =+.13. 已知角α的终边经过点(2,3)P -，则sin(π)cos(π)ππsin()cos()22αααα-+-=++-________．【答案】5【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义可得3tan 2α=-，再结合诱导公式及商数关系即可求解.【详解】由角α终边经过点(2,3)P -可知：3tan 2α=-，则sin(π)cos(π)sin cos tan 15ππcos sin 1tan sin()cos()22αααααααααα-+---===++++-.故答案为：5.14. 设函数21()e e lg(2)x xf x x -=+-+，则使得不等式(21)(2)f x f x +<-成立的x 的取值范围是__________．的【答案】13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数单调性以及奇偶性，利用函数性质再解不等式即可.【详解】令e e ,0x x y x -=+>，则y 'e e x x -=-，当x >0时，e 1x >，e 1x -<，故e e 0x x -->，即0y '>，故e e x x y -=+在[)0,+∞上单调递增；又()2lg 2y x =+在[)0,+∞上单调递增且函数值恒正，所以()21lg 2y x =-+在[)0,+∞上单调递增，故y =f(x)在[)0,+∞上单调递增；又()f x 的定义域为R ，且()f x -=()2211e e e e lg 2lg 2x x x x x x --+-=+-⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦()f x =，故()f x 为偶函数，故()()()()212212f x f x f x f x +<-⇔+<-212x x ⇔+<-，也即()()22212x x +<-，整理可得：23830x x +-<，即()()3130x x -+<，解得13,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故答案为：13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为47，乙产品的优质品率为23．（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）1160 （2）()5221E X =，分布列见解析【解析】【分析】(1)根据分层抽样方法可知，甲产品具有7件，乙产品具有3件，从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，可得抽取的方法种类为310C ，至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为123733C C C +，求出概率；(2)由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有4件优质品，有3件不是优质品，乙产品中有2件优质品，有1件不是优质品，则X 的所有可能取值为1,2,3,4,求出概率，写出分布列，计算期望.小问1详解】由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有710710⨯=件，乙产品有310310⨯=件，∴从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为310C ，其中至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为123733C C C +，∴至少抽到2件乙产品的概率为123733310C C C 11C 60+=．【小问2详解】由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有7447⨯=件优质品，有743-=件不是优质品，乙产品中有2323⨯=件优质品，有321-=件不是优质品，则X 的所有可能取值为1，2，3，4．()2113122273C C C 21C C 21P X ===，()2211113243122273C C C C C C 32C C 7P X +===，()1122114324122273C C C C C C 83C C 21P X +===，()22422273C C 24C C 21P X ===，X ∴的分布列为X1234P22137821221()2382521234217212121E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【16. 设ABC V 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 2C A B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC V )224b a +，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3（2）3+【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和弦切互化结合特殊角的三角函数值化简可得；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理计算可得.【小问1详解】由()2sin sin 2CA B C +==，22sincos 222C C C ∴=，又π0π,0,sin 0222C CC <<<<∴>，πtan 226C C ∴=∴=，得π3C =.【小问2详解】由已知可得，)221sin 42S ab C b a ==+，可得222440,(2)0,2b a ab b a a b +-=∴-=∴=.又由余弦定理可得222π32cos 3c b a ab ==+-，化简得，223b a ab +-=，联立解得1,2b a ==，所以ABC V 的周长为3.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AB AD ==，1BC =，PD ⊥平面PAB ．（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）求PC 的长；（3）若1PD =，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）根据PD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，通过线面垂直的性质定理得到PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面PAD .（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，在三角形PCO 中利用勾股定理求解.（3）以O 为坐标原点，OC ，OD为x ，y 轴的正方向，以过O 且与平面ABCD 垂直向上为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线PA 的方向向量PA 和平面PCD 的法向量n，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【小问1详解】由PD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，得PD AB ⊥，又AB AD ⊥，且PD ⊂平面APD ，AD ⊂平面APD ，=PD AD D ⋂，所以AB ⊥平面APD .【小问2详解】取AD 中点O ，连接PO ，CO ，由∥BC AO ，且BC AO =，所以四边形ABCO 为平行四边形，所以OC AB ∥，由（1）AB ⊥平面APD 得OC ⊥平面APD ，由OP ⊂平面APD ，所以OC PO ⊥，由PD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，得PD AP ⊥，所以112OP AD ==，又2==OC AB，所以PC ==.【小问3详解】以O 为坐标原点，OC ，OD为x ，y 轴的正方向，以过O 且与平面ABCD 垂直向上为z 轴的正方向建立空间直角坐标系．由1PD =，得POD为正三角形，所以10,2P ⎛ ⎝，又()0,1,0A -，()2,0,0C ，()0,1,0D ，所以()2,1,0CD =-，10,,2PD ⎛= ⎝，设平面PCD 的法向量(),,n x y z = ，则00n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20102x y y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2z =，得到平面PCD的一个法向量)2n =．又30,,2PA ⎛=- ⎝ ，设直线PA 与平面PCD 所成角的大小为θ，则sin cos ,n PA n PA n PAθ⋅====⋅所以直线PA 与平面PCD．18. 已知椭圆E 的焦点在x，对称轴为坐标轴，且经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的方程；（2）若过()0,1P 的直线交椭圆E 于C D ､两点，求CP DP的取值范围.【答案】（1）22194x y +=（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用椭圆的性质，离心率定义，以及点在曲线上，建立方程求得,,a b c ，即可得解；（2）分斜率存在与不存在两类进行直线方程的处理，将CP DP转化为C D ､两点的横坐标的比：1122CPx x DP x x ==-，利用()2121212212x xx x x x x x +=++，结合韦达定理，求出12x x 的范围，从而得解.【小问1详解】依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由c a =得a =，又因为222a b c =+，所以b =，则222219455x y c c +=，因为椭圆经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入上述方程解得25c =，则229,4a b ==，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】由（1）可知：()()0,2,0,2A B -，当斜率不存在时，若点C 与A 重合，D 与B 重合.此时13CP APDPBP ==.若点D 与A 重合，B 与C 重合，则3CP BP DPAP==.当直线斜率存在时，设直线()()1122:1,,,,CD y kx C x y D xy =+，联立得221,1,94y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()224918270k x kx ++-=，显然Δ0>，则1212221827,4949k x x x x k k +=-=-++，可得()2222122122181249274949k x x k k x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭==-+-+，整理可得212222112442149349x x k x x k k ⎛⎫++=-=-- ⎪++⎝⎭，因为2494k +≥，可得24441,03493k ⎛⎫⎛⎤--∈- ⎪ ⎥+⎝⎭⎝⎦，令12(0)x t t x =<，则41203t t-<++≤，解得133t -<<-，即1213,3x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以11221,33CP x x DPx x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭.综上，CPDP 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19. 已知函数()()()ln f x ax x a a =-+∈R ．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1f x a a≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）若数列{}n a 满足21121,1n n n a a n a +==+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和．证明：221n S n >-．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]0,1． （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，（2）根据题意可得()min 1f x a a≥-，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为211ln 0a a a a -+-+≥，构造函数()211ln g a a a a a=-+-+，求导即可求解最值求解，（3）根据（2）的求解可得不等式ln 1x x ≤-和1ln 1t t ≥-，即可根据2111lnln n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得1212n n a a n ++≥-，由累加法以及裂项求和即可求证.【小问1详解】当2a =时，()()()2ln 22f x x x x =-+>-，()123222x f x x x '+=-=++故当()()32,,0,2x f x f x ⎛⎫∈--< ⎪⎝'⎭单调递减；当()()3,,0,2x f x f x ∞⎛⎫∈-+> ⎪⎭'⎝单调递增．综上，()f x 的单调递减区间为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，0a ≠．()()211ax a f x a x a x a x a'+-=-=>-++．①当a<0时，()f x 在(),a -+∞单调递减，由(),x f x ∞∞→+→-，不合题意；②当0a >时，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，1,a a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增．由()1f x a a≥-恒成立，得()min 1f x a a ≥-．()22min 1111ln 1ln f x f a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=---+=-+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即211ln 0a a a a-+-+≥．令()211ln g a a a a a=-+-+，()()3232222211121210a a a a a a g a a a a a a---+-+-'-=-+--==<恒成立，所以()g a ()0,∞+单调递减，且()10g =．故当(]()0,1,0a g a ∈≥，符合题意，当()()1,,0a g a ∞∈+<，不合题意．综上，a 的取值范围为(]0,1．【小问3详解】由21121,1n n n a a n a +==+，得212a =，且0n a >．由（2）可知，令1a =，有()ln 1x x ≥+可得ln 1x x ≤-，令1x t =可得11ln 1t t ≤-即1ln 1t t≥-．由2121n n n a n a +=+得1211n n a a n+=+即2111nn a a n +=+．两边取对数得2111lnln n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由上述不等式得122111111ln11,ln 1,1n n n n n a a a a n n a +++⎛⎫≥-=-+≤+- ⎪⎝⎭于是12111n n a a n +-≤+-，所以1212n n a a n ++≥-．当1n =时，212312112S a a =+=>=⨯-，不等式成立；当2n ≥时，在21234212n n nS a a a a a a -=++++++ ()222311122223521n ≥+-+-++-- ()()22231112123521n n ⎡⎤=+--+++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()11112213352321n n n ⎡⎤>--+++⎢⎥⨯⨯--⎢⎥⎣⎦ 111111121223352321n n n ⎛⎫=---+-++- ⎪--⎝⎭()12121221n n n =-+>--．即当2n ≥时，不等式成立．综上，221n S n >-得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
湖北华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷(解析版)
华中师大一附中2024-2025学年度十月月度检测数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一时限：120分钟满分：150分项是符合题目要求的．）1. 已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x====，则A B = （ ） A. {1,1}− B. {(1,1),(1,1)}−C. (0,)+∞D. (0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ==，解得1,1x y = = ，或1,1x y =− = ， 所以{(1,1),(1,1)}A B=− ， 故选：B ．2. 已知函数()*(2),nf x x n =−∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由当21,n k k =+∈N 时，ff ′(xx )≥0，可得()(2)nf x x =−是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nf x x =−，得()1(2)n f x n x −−′=，则当21,n k k =+∈N 时，ff ′(xx )≥0，()(2)nf x x =−是增函数， 当1n =时，可得()f x 是增函数； 当()f x 是增函数时，21,n k k =+∈N ，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.3. 函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b=（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出a b. 【详解】由()()sin cos 0f x a x b x ω=+>的图象关于π3x =对称，可知：2π(0)()3f f =，即sin0cos0=s 3o 2π3i 2πn c s a b a b ++，则a b=故选：A ．4. 已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x +<<−的最小值为（ ） A. 5 B.112C. 203D. 163【答案】D 【解析】a ，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得12243a a +=×=⇒=，则03,30x x <−，19119139(3)103333x x x x x a x x x x x −+=+−+=++ −−−1161033 ≥+= ， 当且仅当393x xx x−=−，即34x =时取等.故选：D5. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（ ）．A. π12x = B. π6x =C. π3x =D. 5π12x =【解析】【分析】根据题意找到函数的对称点得()π03f x f x+−=，结合特殊值法计算得a =，利用辅助角公式化简得()π2sin 23f x x=−，最后整体替换计算得到结果； 【详解】由题意可得()f x 的图象关于点π,06对称，即对任意x ∈R ，有()π03f x f x+−=，取0x =，可得()π0032af f +=+=，即a =故()πsin22sin 23f x x x x =−=−， 令ππ2π32x k −=+，k ∈Z ，可得()f x 的图象的对称轴为5ππ122k x =+，k ∈Z ． 故选：D ． 6. 设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（ ）A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()πsin (0)2f x x x x =−<<，利用导数探讨单调性并比较,a c ，再利用对数函数单调性比较大小即得. 【详解】当π02x <<时，令()sin f x x x =−，求导得()1cos 0f x x ′=−>， 则函数()f x 在π(0,)2上单调递增，有()(0)0f x f >=，即有sin x x >，因此33sin 77a c =>=，显然13ln 227b a =>=>=， 所以b ac >>. 故选：D7. 已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=−−>的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3上没有最小值，则ω的值为（ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得36,2k k ω=+∈Z ，再由()f x 在π0,3上没有最小值得ω范围，建立不等式求解可得.详解】()()2222cos sin 2sin cos cos f x x x x x xωωωωω=−−+22cos sin21cos2sin2x x x x ωωωω+−=+π24x ω+，因为()f x 的图象关于直线π12x =轴对称，所以πππ1264f ω+故ππππ,642k k ω+=+∈Z ，即36,2k k ω=+∈Z ， 当ππ22π42x m ω+=−+，m ∈Z ，0ω>, 即当3ππ,8m x m ωω=−+∈Z 时，函数()f x 取得最小值， 当1m =时，5π8x ω=为y轴右侧第1条对称轴. 因为()f x 在π0,3上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤， 故由3150628k <+≤，解得11416k −<≤，k ∈Z 故0k =，得32ω=．故选：C.8. 定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x−−+=，()12024e f =．若()()0f x f x ′+−>，则不等式()11e xf x +>的解集是（ ） 【A. ()3,+∞B. (),3−∞C. ()1,+∞D. (),1−∞【答案】C 【解析】【分析】由()f x 是奇函数，可得()f x ′是偶函数，得到()()0f x f x +′>，令()()e xg x f x =，得到()0g x ′>，得出()g x 在R 上单调递增，再由()302f x f x−−+=，求得()f x 的周期为3的周期函数，根据()12024ef =，得到()2e g =，把不等式转化为()()12g x g +>，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，可得()f x ′是偶函数， 又因为()()0f x f x ′+−>，所以()()0f x f x +′>，令()()e xg x f x =，可得()()()e 0xg x f x f x ′′=+> ，所以()g x 在R 上单调递增，因为()302f x f x−−+=且()f x 奇函数， 可得()()23f x f x f x +=−=−，则()()3333[()]()222f x f x f x f x +=++=−+=， 所以()f x 的周期为3的周期函数，因为()()()12024674322e f f f =×+==，所以()212e e eg =×=， 则不等式()11exf x +>，即为()1e 1e xf x ++>，即()()12g x g +>， 又因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，解得1x >， 所以不等式()11ex f x +>的解集为()1,+∞． 故选：C ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 下列等式成立的是（ ）是A. ()21sin15cos152°−°=B. 22sin 22.5cos 22.5°−°=C. 1cos28cos32cos62cos582°°−°°=−D. (3tan10cos502°°=− 【答案】AB 【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误. 【详解】A ：()21sin15cos1512sin15cos151sin 302°−°=−°°=−°=，成立；B ：22sin 22.5cos 22.5cos 45°−°=−°=C ：cos 28cos32cos 62cos58cos 28cos32sin 28sin 32cos(2832)°°−°°=°°−°°=°+°1cos 602°=，不成立；D ：(2sin 50cos50sin100tan10cos50cos50cos10cos10−°°−°°°°=°°cos101cos10°=−=−°，不成立.故选：AB10. 已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB =，则下列结论正确的有（ ）A. 2p =B. 3AF =C. t =或−D. 线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD 【解析】【分析】由直线:1l xty =+，可知焦点FF (1,0)，得p 的值和抛物线方程，可判断A 选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合2AF FB =，求出,A B 两点坐标和t 的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上， 过F 作直线:1l xty =+，可知FF (1,0)，则12p=，得2p =，A 选项正确； 抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty −−=.设AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2,yy 2)，由韦达定理有124y y t +=，124y y =−， 2AF FB =，得122y y =−，解得12y y −12y y ==， 124y y t =+，则t =t =，C 选项错误； 则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确； 12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==×=，B 选项正确.故选：ABD.11. 已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=−上的一点，则下列选项中正确的是（ ） A. 曲线C 的图象关于原点对称B. 对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC. 对任意[]01,1y ∈−，恒有012x <D. 曲线C 在11y −≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4【答案】ACD 【解析】【分析】将x ，y 替换为x −，y −计算即可判断A ；取0x =，可判断有三个交点即可判断B ；利用函数3y x x =−的单调性来得出300y y −的取值范围，再结合()3f x x x =+的单调性进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于33x y y x +=−，将x ，y 替换为x −，y −，所得等式与原来等价，故A 正确； B ．取0x =，可以求得0y =，1y =，1y =−均可，故B 错误； C ．由330000x x y y +=−，[]01,1y ∈−，函数3y x x =−，故213y x ′=−，令2130y x ′=−=，解得：1x =，在1,x ∈− ， 时，0′<y ，函数单调递减，在x ∈ 时，0′>y ，函数单调递增，所以300y y −∈ ，又因为()3f x x x =+是增函数，1528f =>，所以有012x <，故C 正确； D ．当[]00,1y ∈时，3300000x x y y +=−≥，又320002x x x +≥， 32000022y y y y −≤−，所以22000x y y ≤−．曲线22x y y =−与y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，则曲线C 与y 轴围成图形的面积小于π4，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 若π,02α∈− ，且πcos2cos 4αα =+，则α=__________. 【答案】π12− 【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα +=，根据π,02α∈− 即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα =+，得)22cos sin cos sin αααα−=−.因为π,02α ∈− ，所以cos sin 0αα−≠，则cos sin αα+，则1sin 42πα += . 由π,02α ∈−，得πππ,444α +∈− ，则ππ46α+=，解得π12α=−. 故答案为：π12−.13. 海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30°，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意75DAB ∠=°，903060ADB ∠=−°=°， 所以180756045DBA ∠=°−°−°=°，在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，即sin 45AD =°60AD =， 在ADC △中，30DAC ∠=°，所以CD=.故答案为：．14. 若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m+≤−⋅恒成立，则b a −取得最大值时，sin2a b+=__________．【解析】【分析】以m 为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得1sin 22x ≤，解不等式结合题意得[]()7ππ,π,π,1212a b k k k⊆−+∈Z ，由此可得答案. 【详解】因为2πsin cos 2sin 4m x x x m+≤−⋅恒成立， 即2π2sin sin cos 04m x m x x−−⋅+≤恒成立， 若存在实数m ，使得上式成立，则2πΔ4sin 4sin cos 04x x x=−−≥， 则πΔ22cos 22sin 222sin 22sin 224sin 202x x x x x=−−−=−−=−≥， 可得1sin 22x ≤，可得7ππ2π22π,66k x k k −≤≤+∈Z ， 解得7ππππ,1212k x k k −≤≤+∈Z ， 由[]()7ππ,π,π,1212a b k k k⊆−+∈Z ， 则b a −取得最大值时()7πππ,π,1212a k b k k =−=+∈Z ，此时()7ππππ1212sin sin 22k k a b k −+++==∈Z .. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以m 为变量，转化为存在性问题分析求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数()π4sin cos 6f x x x=+x ∈R . ,（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在π0,2上的最大值与最小值.【答案】（1）π2ππ,π,63k k k Z++∈（2）()min 2f x =−，()max 1f x = 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解； （2）由x 的范围求得π26x +的范围，再根据正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】解：()2π14sin cos 4sin sin cos 2sin 62f x x x x x x x x x =+=−=−1πcos212cos212sin 2126x x x x x+−=+−=+−， 令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+， 所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k Z++∈； 【小问2详解】 解：因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x−≤+≤， 于是π12sin 226x−≤+≤，所以()21f x −≤≤， 当且仅当π2x =时，()f x 取最小值()min π22f x f ==−， 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值()max π16f x f==.16. 已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx −−−在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1−. （1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1b =（2）证明见解析 （3）(,1]−∞ 【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值； （2）求出导函数1()2ln 2f x x x x′=+−−，再根据导函数求出()(1)10f x f ′′≥=>即可证明单调性； （3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a −≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =−>的单调性得出最值即可求出参数范围. 【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x′+∞=+−−， 故(1)1ln f b ′=−，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =−−， 将点(0,1)−代入得1ln 1b −=，解得1b =．小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x −−−，则1()2ln 2f x x x x′=+−−， 令1()()2ln 2g x f x x x x′==+−−， 则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x−−−+′=−−==， 当01x <<时，()0,()g x g x <′单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >′单调递增，所以()(1)10f x f ′′≥=>， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． 【小问3详解】【对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥−−−≥−恒成立， 当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化ln x x a −≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =−>，则11()10x h x x x′−=−=>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=， 故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]−∞．17. 在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a*N ，且ABC 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF °∠=，CDF θ∠=()90θ°°<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．【答案】（1）存在,4a = （2）12− 【解析】【分析】（1）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值； （2）由正弦定理可得出DF =，DE =与差的正弦公式化简即可求得结果. 【小问1详解】假设存在正整数a 满足题设．ABC 为钝角三角形，因为a b c <<，所以C 为钝角，根据题设，2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+−=, 所以()222(2)(4)1cos 022a a a Ca a ++−+−<=<+，得24120a a −−<，解得26a −<<．因为**a ∈N N ，所以1a =或4a =，当1a =时，ABC 不存在，故存在4a =满足题设．为所以4a = 【小问2详解】如图，因为()90,090EDF CDF θθ∠=°∠=°<<°，所以90BDE θ∠=°−．在CDF 中，因为()2sin60sin 60DF θ=°+°，所以DF =在BDE 中，因为()2sin 60sin 150DE θ=°°−，所以DE = 所以()()132sin 60sin 150S θθ=×+°°−， 设()()()sin 60sin 150f θθθ=+°°−，()090θ°<<°，所以11()sin cos 22f θθθθθ =+ 2213cos sin 4θθθθ+++ 化简可得：()1sin 22f θθ=+所以1122S =≥− 当45θ=°时，S取得最小值12−18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,0)H −的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程； （3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12−，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）220x y −+−或220x y ++=（3【解析】【分析】（1）根据POQ △的边PQ得PQ ==，再联立222ce a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅=，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k =−+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =− 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ △为直角三角形，所以PQ ==.又222ce a b c a ===+，所以1,1a b c ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=. 【小问2详解】由（1）知，1(1,0)F −,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x +==+消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++−=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=−+−=−>，即2102k <<. 且22121222882,1212k k x x x x k k −+=−=++， 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以1122(1,)(1,)0x y x y −−−−−−=，即12121210x x x x y y ++++=， 所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=， 整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=， 即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k+−+−+++=++， 化简得2410k −=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =−+， 即直线AB 的方程为220x y −+=或220x y ++=. 3详解】由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ， 则直线2l 的方程为1(1)2y x k=−+，5566(,),(,)E x y F x y ， 联立2212(1)x y y k x +==−消去y 得2222)202142(−=+−+x k x k k ， 所以22343422422,1212k k x x x x k k−+==++ 所以23422,212M x x k x k+==+2(1)12M M k y k x k =−=−+所以2222(,)1212k kM k k −++， 同理联立22121(1)2x y y x k += =−−消去y 得222(12)2140k x x k +−+−=，所以2565622214,1212k x x x x k k−+==++ 所以5621,212N x x x k+==+21(1)212N N ky x k k =−−=+ 所以221(,)1212kN k k++， 即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||11||||||1241221222||||OMN M N k k S OT y y k k k k =−==×=×≤+++ ，当且仅当12||||k k =，即k =时取等号， 所以OMN.【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =− 整理后利用基本不等式得到面积的最值. .19. 正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”； （3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】【分析】（1）{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､； （2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A 中所有元素和为19181712×=，与和为偶数矛盾； （3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，利用等差数列求和得到1231616648a a a a m ++++≤+ ，结合1231624588a a a a m ++++=+ ，得到不等式，求出152m ≤，当7m =时写出相应的集合A 以及具体拆法，得到答案. 【小问1详解】是，{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､； 【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数， 则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而{}1,2,3,4,,18A = ，A 中所有元素和为19181712×=，与和为偶数矛盾， 所以集合A 不是“三元可拆集”； 【小问3详解】{}1,2,3,,48A m m m m =++++ 有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ， 则()()()()1231648474633a a a a m m m m ++++≤++++++++ ()28116166482m m +×=+；另一方面，A 中所有元素和为()249484811762m m +×=+，所以212316481176245882m a a a a m +++++==+ ，所以2458816648m m +≤+，解得152m ≤，即7m ≤； 当7m =时，{}8,9,10,,55A = ，可拆为{}{}55,40,1554,38,16､､{}{}{}{}{}{}53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､ {}{}{}{}{}{}47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､{}{}41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）； 综上所述，m 的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。
全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：诱导公式
全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：诱导公式1．(全国名校·山东师大附中模拟)(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 (tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.2．(全国名校·广东珠海期末)已知tan (α＋π5)＝2，tan (β－4π5)＝－3，则tan(α－β)＝( )A ．1B ．－57C.57 D ．－1答案 D解析 ∵t an(β－4π5)＝－3，∴tan (β＋π5)＝－3.∵tan (α＋π5)＝2，∴tan (α－β)＝tan [(α＋π5)－(β＋π5)]＝tan （α＋π5）－tan （β＋π5）1＋tan （α＋π5）tan （β＋π5）＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选D.3．(全国名校·湖南永州一模)已知sin (α＋π6)＋cos α＝－33，则cos(π6－α)＝( )A ．－223B.223 C ．－13D.13 答案 C解析 由sin (α＋π6)＋cos α＝－33，得sin (α＋π3)＝－13，所以cos(π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin (α＋π3)＝－13.4．(全国名校·山东，文)函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 ∵y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2(32sin2x ＋12cos2x)＝2sin(2x ＋π6)，∴T ＝2π2＝π.故选C. 5．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4答案 A解析 由已知得tanA ＋tanB ＝－3(1－tanAtanB)， ∴tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A ＋B)＝－ 3.又tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，0<C<π，∴C ＝π3.6.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.7．(全国名校·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.8．(全国名校·课标全国Ⅰ，理)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，∴α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β. 即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简得sin (α－β)＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin (α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选C.9．(全国名校·湖北中学联考)4sin80°－cos10°sin10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2 D ．22－3答案 B 解析4sin80°－cos10°sin10°＝4sin80°sin10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin （30°－10°）－cos10°sin10°＝－ 3.故选B.10．(全国名校·四川自贡一诊)已知cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，则sin (α＋π3)＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335D.435答案 A 解析 ∵cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，∴cos (α＋23π)＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin (α＋π3)＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3(32sin α＋12cos α)＝－435.故选A.11．(全国名校·湖南邵阳二联)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，则实数m 的值为( )A ．2 3B. 3C ．2D ．3答案 A解析 由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，得sin π12cos 5π12＝sin 5π12cos π12－msin π12cos π12，∴12msinπ6＝sin(5π12－π12)＝sin π3，解得m ＝2 3. 12．(2013·课标全国Ⅱ，理)设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．答案 －105解析 由tan (θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13，即sin θ＝－13cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－31010，sin θ＝1010.所以sin θ＋cos θ＝－105.13．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.14．求值：1sin10°－3sin80°＝________．答案 4解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin （30°－10°）sin20°＝4.15．已知cos (α＋β)cos (α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________．答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.16．(全国名校·北京，理)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos (α－β)＝________．答案 －79解析 方法一：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos (α－β)＝cos(2k π＋π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－[1－2×(13)2]＝－79.方法二：因为sin α＝13>0，所以角α为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，可取其终边上一点(22，1)，则cos α＝223，又(22，1)关于y 轴对称的点(－22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cos β＝－223，此时cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×(－223)＋13×13＝－79.当角α为第二象限角时，可取其终边上一点(－22，1)，则cos α＝－223，因为(－22，1)关于y 轴对称的点(22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cosβ＝223，此时cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－223)×223＋13×13＝－79.综上可得，cos (α－β)＝－79.17．(全国名校·广东深圳测试)2sin46°－3cos74°cos16°＝________．答案 1 解析2sin46°－3cos74°cos16°＝2sin （30°＋16°）－3sin16°cos16°＝cos16°cos16°＝1.18．(全国名校·江苏泰州中学摸底)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值；(2)证明：sin β>513.答案 (1)35(2)略解析 (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－（12）2＝43.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈(0，π2)，解得cos α＝35.(2)证明：由已知得π2<α＋β<3π2.∵sin (α＋β)＝513，∴cos (α＋β)＝－1213.由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－(－1213)×45＝6365>513.19.(全国名校·江苏南京调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B.若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1)求cos (α－β)的值； (2)求α＋β的值． 答案 (1)－55 (2)3π4解析 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(1)cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－210.(2)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αcos β＝1010×(－55)＋31010×255＝22. 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4.。
高三上册数学第一次月考理科试题(带答案)
高三上册数学第一次月考理科试题（带答案）2021届高三上册数学第一次月考文科试题〔带答案〕本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。
答题时120分钟，总分值150分。
第一卷(选择题共10小题，每题5分，共50分)一、选择题(每题给出的四个选项中，只要一个选项契合标题要求.)1.假定集合 , ,那么 ( )A. B. C. D.答案：A解析：集合A={ }，A={ }，所以，2.在复平面内,双数对应的点的坐标为()A. B. C. D.答案：A解析：原式= = ，所以，对应的坐标为(0，-1)，选A3. 为等差数列，假定，那么的值为( )A. B. C. D.答案：D解析：由于为等差数列，假定，所以，，4. 函数有且仅有两个不同的零点，，那么()A.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，答案：B解析：函数求导，得：，得两个极值点：由于函数f(x)过定点(0，-2)，有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如以下图：因此，可知，，只要B契合。
5. 设集合是的子集，假设点满足：，称为集合的聚点.那么以下集合中以为聚点的有：① ; ② ; ③ ; ④ () A.①④B.②③C.①②D.①②④答案：A【解析】①中，集合中的元素是极限为1的数列，在的时分，存在满足0|x-1|1是集合的聚点②集合中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x-1|1 关于某个a1，不存在0|x-1| ，1不是集合的聚点③关于某个a1，比如a=0.5，此时对恣意的xZ，都有|x﹣1|=0或许|x﹣1|1，也就是说不能够0|x﹣1|0.5，从而1不是整数集Z的聚点④ 0，存在0|x-1|0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点应选A6. 在以下命题中, ① 是的充要条件;② 的展开式中的常数项为;③设随机变量 ~ ,假定 ,那么 .其中一切正确命题的序号是()A.②B.②③C.③D.①③答案：B解析：①是充沛不用要条件，故错误;② ，令12-4k=0，得，k=3，所以，常数项为2，正确;③正态散布曲线的对称轴是x=0，，所以，正确;7.偶函数 ,当时, ,当时, ( ).关于偶函数的图象G和直线 : ( )的3个命题如下:①当a=4时,存在直线与图象G恰有5个公共点;②假定关于 ,直线与图象G的公共点不超越4个,那么a③ ,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解析：由于函数和的图象的对称轴完全相反，所以两函数的周期相反，所以，所以，当时，，所以，因此选A。
全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(附详解)三角函数的图像与模型的应用：第7节 辅助角公式
解）第7节 辅助角公式【基础知识】函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．sin cos ))a b αααααβ++其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
【规律技巧】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为)sin(ϕω+=x A y 的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．om【典例讲解】例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +解）（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)x x +++= 0360x ≤< ，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
【针对训练】(1)3cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的解）形式）(2)、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。
(3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。
(4)、利用辅助角公式化简：()sin 801cos50︒︒︒【练习巩固】1.已知函数1()cos 4f x x x =-。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
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广东省联考高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={x|e x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]
2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）
A．B．C．2 D．2
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（5分）函数y=的图象大致是（）
A．B． C．
D．
6．（5分）下列选项中，说法正确的是（）
A．若a＞b＞0，则lna＜lnb
B．向量，（m∈R）垂直的充要条件是m=1
C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题7．（5分）已知m，n为异面直线，α，β为平面，m⊥α，n⊥β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）
A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
8．（5分）若x，y满足则z=3x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．2
9．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年
10．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．y=f（x）的图象关于x=对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
11．（5分）数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a1+a n+n（n∈N*）则++…+等于（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若，则（2x﹣1）n的二项展开式中x2的系数为．14．（5分）已知直线y=ax与圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0交于两点A，B，且△CAB 为等边三角形，则圆C的面积为．
15．（5分）若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为．
16．（5分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=，其中A的各位数字中，a1=1，a k（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为A=10101则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得﹣1分，则100次重复试验的总得分X的方差为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）在△ABC，，BC=2．
（1）若AC=3，求AB的长；
（2）若点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．
18．（12分）如图，已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，
．
（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD．
（2）求二面角A﹣EC﹣D的余弦值．
19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值
（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计
算结果：=，=﹣，=94，=945）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．20．（12分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x2）＞．
四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分）．
22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．
（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．
23．已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）将f（x）的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．
（2）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围．
2017-2018学年广东省珠海一中等六校联考高三（上）第
一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={x|e x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]
【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣1）＜0}={x|0＜x＜1}，
B={x|e x＞1}={x|x＞0}，
∴C R A={x|x≤0或x≥1}，
∴（∁R A）∩B={x}x≥1}=[1，+∞）．
故选：A．
2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：e2i=cos2+isin2，
∵2∈，
∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．
故选：B．
3．（5分）已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）
A．B．C．2 D．2
【解答】解：∵；
∴；
∴||=．
故选B．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．
5．（5分）函数y=的图象大致是（）
A．B． C．
D．
【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，
即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，
因为函数y为偶函数，
故选：D
6．（5分）下列选项中，说法正确的是（）
A．若a＞b＞0，则lna＜lnb
B．向量，（m∈R）垂直的充要条件是m=1
C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题
【解答】解：对于A，当a＞b＞0时，lna＞lnb，∴A错误；
对于B，向量，垂直的充要条件
=m+m（2m﹣1）=0，解得m=0，∴B错误；
对于C，命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是
“∀n∈N*，3n≤（n+2）•2n﹣1”，∴C错误；
对于D，命题“若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题
是：“f（x）在区间（a，b）内有一个零点“，则f（a）•f（b）＜0；。