巧借差分方程破解概率难题

巧借差分方程破解概率难题作者：张倩来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第05期摘要：本文简要介绍了如何通过递推关系和全概率公式搭建起差分方程与概率问题两者间的桥梁，总结了两种途径建立差分方程的关键，阐述了如何借助差分方程这一工具破解概率方面的相关难题．关键词：差分方程；概率；递推关系；全概率公式■差分方程概述1．差分的概念设函数y=f（t）中的自变量t取所有的整数，并记其函数值为y■．当t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt称为函数y■的差分，也称为一阶差分，记为Δyt，则函数y=f（t）在时间t的一阶差分为Δyt=yt+1－yt．一阶差分的性质（1）若y=C（C为常数），则Δyt=0；（2）对于任意常数k，Δkyt=kΔyt；（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．函数y=f（t）在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．同样可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分．一般地，k阶差分（k为正整数）定义为Δkyt=Δ（Δk-1yt）=Δk-1yt+1－Δk-1yt=■（－1）iC■yt+k-1，这里C■=■．2. 差分方程的概念含有自变量、自变量的函数及其差分的方程，称为差分方程．出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶． n阶差分方程的一般形式为F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．3. 差分方程的解如果将已知函数y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其对t=…，-2，-1，0，1，2，…成为恒等式，则称y=f（t）为方程的解．含有n个任意独立常数c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）称为n阶差分方程的通解．在通解中给任意常数c1，c2，…，cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解．4. 线性差分方程及其解形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程．其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0，f（t）≠0．而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程．其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0．如果a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均为常数（an（t）≠0），则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f（t），?摇?摇yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程．5. 一阶、二阶常系数线性差分方程的解引理1 对于一阶常系数非齐次线性差分方程yn+1=ayn+b，其中a， b为常数且a≠1，若已知y1=c（c为常数），则yn+1=anc+■b．证：（递推法）若a≠1，yn+1=ayn+b=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b=any1+（an-1+an-2+…+1）b=any1+■b=anc+■b．引理2 对于二阶常系数齐次线性差分方程yn+2=ayn+1+byn，其中a，b为常数，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2为常数），则yn+1=■+■，其中λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的两根．证：（特征根法）λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特征方程．已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的两根，则差分方程的解为yn+1=c1λ■+c2λ■．已知y1=m1，y2=m2，代入上式得m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，解得c1=■，c2=■，yn+1=■+■．■将概率问题转化为差分方程问题1. 概率问题与差分方程二者间的关系由差分方程的定义可知，差分方程是研究函数在一给定点x=k上的函数值f（k）与在x=k 附近的N个点上的函数值之间的关系的方程，因而其适用于解决概率中一些涉及离散型随机变量的问题．2．将概率问题转化为差分方程问题的途径利用差分方程巧解概率问题的关键是如何将概率问题转化为差分方程问题．常见的有两条途径：一、借助递推公式建立差分方程；二、借助全概率公式建立差分方程．（1）借助递推公式建立差分方程递推公式：是指可以通过给出数列的第1项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．递推公式实质即为差分方程，建立递推公式就是先设所需求的函数值，再确定该函数值与其前面项间的关系．例1 A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷，若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对手接着掷，第一次由A开始掷．求第N次由A掷的概率为pn，求pn．解：A、B两人掷出的点数和为3的倍数的情况有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12种情况，A、B两人掷骰子所有可能出现的结果数是6×6=36种，则事件“A、B两人掷出的点数和为3的倍数”的概率为■=■；事件“A、B两人掷出的点数和不为3的倍数”的概率为1－■=■．第N次由A掷有两种可能：（1）第N-1次由A掷且掷出的点数之和为3的倍数，则第N 次仍由A掷；（2）第N-1次由B掷且掷出的点数之和不为3的倍数，则第N次由A掷．第1种情况的概率为■pn-1；第2种情况的概率为■（1-pn-1）．由分类计数原理得pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．由引理1知pn=an-1c+■b，其中a=－■，b=■，c=p1=1，则pn=－■n-1+■·■=■+■－■n-1．例2 求N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数．解：设N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数为f（n）．对于二进制数而言，其第一位上的数只有0或1两种可能性．若第一位上的数为0，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为1，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）；同理，若第一位上的数为1，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为0，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）．由分类计数法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2），这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特征方程，解得λ1=■，λ2= －■，则f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．又因为f（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，解得c1=■，c2=■，f（n）=■（■）n+■·（-■）n．例3 有人玩掷硬币走跳棋的游戏．已知硬币1出现正反面的概率都是■，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正而，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．求棋子跳到第N站的概率．解：设棋子跳到第N站的概率为Pn．由题意知，P0=1，P1=■．棋子跳到第N站有两种可能：（1）先跳到第N-1站，掷出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，掷出反面，再跳到第N站．第1种情况的概率为■Pn-1；第2种情况的概率为■Pn-2．由分类计数原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特征方程，解得λ1=1，λ2=－■，则Pn=c1+c2－■n又因为P0=1，P1=■；代入上式得c1+c2=1，c1-■c2=■，解得c1=■，c2=■，则Pn=■+■－■n．（2）借助全概率公式建立差分方程设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，两两互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），则P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P（ABn）上式称为全概率公式．全概率公式在概率论中占有极其重要的作用，通过应用全概率公式可把概率论中一些极其复杂的事件的求解分解成若干个互不相容的简单事件的求解．同时借助全概率公式可以构造等式，建立起差分方程，从而为概率问题的求解寻求了另一个途径．例4 一布袋中装有黑、白色的乒乓球各一只，每次从布袋中任取一球，取出的球不放回，同时放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．解：记An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球．设第N次取到黑球的概率为Pn．显然，An∪■=Ω（必然事件），An∩■=■，则An，■是空间Ω的一个划分，且P （An）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）·P （An■）其中P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，则Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■·Pn－1的特征方程，解得λ=－■，则Pn=c1－■n+■是差分方程的齐次解．又因为自由项为1，所以设特解为D．代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，则差分方程的通解为Pn=c1－■n+■．将P1=■代入Pn=c1－■n+■，解得c1=■，则Pn=■－■n+■．例5 设电子在整数点集｛0，1，2，…，n｝上作随机游动．已知质点在t时刻的位置是a，由于受外力的作用，电子的位置会发生变动．假设电子以概率p移动到a+1，以概率1-p移动到a-1．求质点从a出发在0被吸收的概率．解：记B=质点从k点移动到k+1点，P（B）=p；■=质点从k点移动到k-1点，P（■）=1－p．设Ak=质点从k出发在0处被吸收，P（Ak）=Pk．显然，B∪■=Ω（必然事件），B∩■=■，则B，■是空间Ω的一个划分，且P（B）>0，P （■）>0，则由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特征方程，解得λ1=■，λ2=■，则Pn=c11+■n+c21-■n．例6 在N重贝努利实验中，设事件A出现的概率为p，求在N次试验中事件A出现偶次的概率．解：记Bk=第K次实验时事件A出现偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次实验时事件A出现奇次，P（■）=1－Pk． C=第K次实验时，事件A出现，P（C）=p；■=第K次实验时，事件A不出现，P（■）=1－p．显然，Bk-1∪■=Ω（必然事件），Bk-1∩■=■，则Bk－1，■是空间Ω的一个划分，且P （Bk－1）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk－1）+P（■）P （Bk■）=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．由引理1知Pn=an-1c+■b，其中a=1－2p，b=p，c=p1=0，则Pn=■．3．总结通过上文中的具体实例，我们看到了应用差分方程解决概率问题是行之有效的一种方法．而这一方法的关键是如何架起连结概率论问题与差分方程求解问题之间的桥梁．本文介绍了借助递推关系建立差分方程和借助全概率公式建立差分方程两种方法．借助递推公式建立差分方程的关键是找出所需求的函数值与其前后项间的关系；借助全概率公式建立差分方程的关键是如何找到合适的“划分”，从而应用全概率公式把概率论中一些极其复杂的事件求解分解成若干个互不相容的简单事件求解，从而为概率问题的求解寻求了另一个途径．建立起差分方程后，我们就要根据差分方程的形式进行求解．常用的有递推法和特征根法，当然也可根据引理直接写出差分方程的解．把概率论中的知识通过差分方程的知识来解决，使学科间的联系更加紧密，培养了转化化归能力和综合分析能力，是新世纪素质教育的发展方向和必然要求．。