复函数的导数
高中数学复合函数求导
高中数学复合函数求导
高中数学复合函数求导
一、什么是复合函数
1、定义：复合函数是把一个函数作为另一个函数的自变量，而将另一
个函数作为复合函数的函数值。
2、特点：复合函数的导数通常可以用链式法则计算，它的核心原理就
是两个函数的导数的相乘。
二、复合函数求导的步骤
1、首先根据链式法则，将复合函数分解成函数u关于x和函数v关于
u两个部分。
2、接着，用求导运算符对每一部分（u关于x和v关于u）进行求导，对u关于x求导会得到u'关于x，对v关于u求导会得到v'关于u。
3、最后，将求得的u'（函数u对x的导数）和v'（函数v对u的导数）乘起来，即可求出复合函数的导数。
三、复合函数的求导实例
1、设复合函数为（2x+1）^3，则其对 x 的导数为：
（1）根据复合函数的定义，将复合函数分解为函数u为2x+1，函数v
为x^3；
（2）接着，对函数u和v求导，得出u'=2，v'=3x^2；
（3）最后，将 u' 和 v' 相乘得到复合函数的导数，即 6x（2x+1）^2。
四、求导的重要性
1、复合函数求导非常重要，因为复合函数概念有着重要的数学学习价值。
2、求导的结果可以告诉我们函数的取值范围和变化趋势，它还可以帮
助我们在设计数学模型时找出最优的取值。
3、复合函数求导也可以帮助我们更好地了解微分和数学中的积分概念，进而深化对科学实验原理的理解。
复合函数求导例题100道
复合函数求导例题100道1、已知函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，求复合函数$y=f(g(x))$的导数$y'$。
首先，根据复合函数的链式法则，我们可以得到复合函数的导数公式：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$其中，$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数。
现在，我们来看一个具体的例子。
例题1：已知函数$y=u^2$和$u=x^3$，求复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$。
首先，我们可以将函数$y=u^2$和$u=x^3$带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。
$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y'=2u$。
$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即$\frac{du}{dx}=3x^2$。
最后，将$\frac{dy}{du}=2u$和$\frac{du}{dx}=3x^2$的值带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot3x ^2=6x^2\cdot(x^3)^2=6x^2\cdot x^6=6x^8$$所以，复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$为$6x^8$。
接下来，我们来看几个例题进行练习。
例题2：已知函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$，求复合函数$y=e^{\ln(x)}$的导数$y'$。
首先，我们可以将函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
反函数复合函数求导法则和基本求导公式
反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。
证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。
则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。
二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。
三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。
证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。
2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。
证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。
因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。
3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。
3.3复合函数,商的导数,指数,对数的导数
u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x ) u( x ) y x x x v ( x x )v ( x )
因为v ( x )在点x处可导，所以它在点 x处连续，于是当 x 0时， v ( x x ) v ( x ),
2x
例10.求y a 的导数.
5x
解：y a 5 x ln a(5 x ) 5a 5 x ln a.
3.4复合函数的导数
提问：
1、常用的函数的导数：
(C ) 0
/
( x n ) / nx n1 ( n N * )
公式一
公式二
/ （sin x） cos x
/ （cos x） sin x
公式三
公式四
（1）和或差的导数 [u v ]
/
2、导数的运算法则：
/
u v ；
则复合函数 y f ( (( x )) 在点x处也有导数，且
y x yu ux
或写作 f x ( ( x )) f (u) ( x ).
这就是复合函数的求导法则，即复合 函数对自变量的导数，等于已知函数对中 间变量的导数，乘中间变量对自变量的导 数。
例4.求y (2 x 1) 的导数。
例3.求y ( 3 x 2) 的导数。 2 2 解：y ( 3 x 2) 9 x 12 x 4 2 y (9 x 12 x 4) 18 x 12
2
函数y ( 3 x 2) 2 可以看成由 y u 2 , u 3 x 2复合而成
设y u , u 1 3 x , 则
4 y x y u u x ( u ) u (1 3) x
复合函数的求导法
f (u)( x).
证毕
6
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
如 y sin2x， 由 y sinu 与 u 2x 复合而成.
(sin2x) (sin u)u (2x) 2cosu 2cos2x
x 复合而成，
2
2
因而
dy dx
dy du dv du dv dx
(ln
u)u
(tanv
)v
(
1 2
x)x
1 sec2 v 1 csc x.
u
2
8
例4
已知 y
x sin x
( x 0)，求 dy .
dx
解 y xsin x esin xln x 由 y eu，u sin x ln x
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例6 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解 可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
10
复合函数的求导法则有三个步骤： （1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
lim
t 0
u t
,
函数 x
f (t) 对t可导，xt
dx dt
lim
t 0
x t
,
函数x
f ( y)对y可导，xy
dx dy
lim
y0
x y
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。
在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。
例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。
这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。
现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。
首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。
注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。
因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。
它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。
这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。
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复函数的导数
复函数的导数，又称复变函数的导数，是复变函数基本概念之一，是在实践工程和微积分数学中经常用到的解决学习和应用问题的重要
工具。
一、什么是复函数
复函数是一种在复平面中定义的函数。
它也可以分解为实函数和虚函
数的和，即z=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v分别代表实部和虚部函数。
该函数由两个独立变量x、y来决定其值，其结果通常用复数f(x,y)来表示。
二、复函数的导数
复函数的导数是对复函数求偏导的结果。
它既可以对复平面中的实函
数求偏导，也可以对虚函数求偏导。
其计算方法如下：
1、实函数求偏导：∂u/∂x=∂u/∂x +∂u/∂y*i
2、虚函数求偏导：∂v/∂x=∂v/∂x +∂v/∂y*i
使用这两个公式，可以得出复函数的导数，常简写如下形式：
∂f/∂x=∂u/∂x +∂v/∂x*i
三、复函数在实际中的应用
复函数的导数也可以应用在实际当中，比如复函数的梯度可以用来分析某一物质物理变化的方向。
此外，由于复函数可以表示较复杂的函数形态，所以它也可以用来表示三维曲面及其上一切连续物体，例如等压面和等温面；因而可以在涉及到这类物体的许多科学领域中运用复函数的导数来进行求解。
总之，复函数的导数是一种比较常见而且重要的物理概念，它在实际应用中发挥着重要作用，可以被用在涉及到多种科学和工程领域的问题求解中，也为复函数的研究开辟新的层面。