导数、复数
大学复变函数的基本概念
大学复变函数的基本概念复变函数是数学分析中的重要概念，它在工程学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍大学复变函数的基本概念，包括复数、复平面、复函数以及复变函数的导数和积分等内容。
复数是复变函数研究的基础，它由实数和虚数部分构成。
设z是一个复数，可以表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数在复平面上的表示可以视为点的坐标，实部和虚部分别对应x轴和y轴。
复平面将复数与几何图形联系起来，使得复数的运算有了直观的几何解释。
复函数是将一个或多个复数的集合映射到另一个复数集合的函数。
设f(z)是一个复函数，其中z和f(z)都是复数。
复函数的运算与实函数类似，可以进行加减乘除、求幂以及对数等运算。
复函数的可导性也是复变函数研究的关键。
如果f(z)在某一点z0处可导，那么复函数在该点处的导数可以用极限来定义，即f'(z0)=lim[(f(z)-f(z0))/(z-z0)]，这里z趋于z0。
复变函数的导数具有与实函数导数不同的性质。
由于复数具有实部和虚部，所以复变函数的导数要求实部和虚部的导数都存在且满足柯西-黎曼条件。
如果f(z)在某一区域内满足柯西-黎曼条件，并且其实部和虚部都是连续可微的，那么f(z)是该区域内的全纯函数。
复变函数的积分同样是复变函数研究的重要内容。
对于一条曲线上的复变函数f(z)来说，可以通过求取沿曲线的积分来描述曲线上的运动。
这种类型的积分称为曲线积分，可以通过参数化来计算。
此外，还有复变函数的级数展开、留数定理等重要概念和理论。
这些概念和理论为复变函数的分析提供了基础，使得我们可以更深入地研究复变函数的性质和行为。
总结起来，大学复变函数的基本概念包括复数、复平面、复函数、导数、积分等内容。
复变函数在数学及应用领域扮演着重要的角色，深入理解和掌握这些概念对于进一步的学习和研究都具有重要的意义。
通过学习复变函数的基本概念，我们可以更好地理解和应用复变函数的原理和方法，为解决实际问题提供有力的数学工具。
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。
而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。
本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。
1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。
复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。
（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。
（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。
（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。
2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。
设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。
复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。
高等数学中的复变函数及其应用
高等数学中的复变函数及其应用1.引言高等数学是理工科学生必修的一门重要课程，其中的复变函数更是数学中一门非常重要的分支。
复变函数是用复数集作为自变量和因变量的函数，它们具有非常丰富的性质，在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
2.复数及其表示复数是由实数和虚数构成的数，它被表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，即i²=-1。
复数也可以用极坐标表示，即r(cosΘ + i sinΘ)，其中r是模长，Θ是辐角。
3.复变函数的定义与性质复变函数是将复数映射到复数的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量函数，z=x+iy是复数。
虚部和实部也分别称为复变函数的虚部和实部。
复变函数的导数被称为复变函数的导函数，它定义为极限lim(z→0) (f(z+h)-f(z))/h，通过一系列运算可以证明：当复变函数f(z)可导时，它的导函数存在，且它一定满足柯西-黎曼方程（即实部的偏导数等于虚部的负偏导数），反之亦然。
4.柯西定理和柯西公式柯西定理是复分析中最基本的定理之一，它指出：如果在区域D内f(z)是可导的，则任何简单闭曲线C都满足∮ f(z)dz=0，其中∮表示对C积分。
柯西公式是柯西定理在更一般的场合下的推论，它指出：如果在区域D内f(z)是可导的，则对于D内C的内部点a，有f(a)=1/2πi ∮f(z)/(z-a) dz，其中∮表示对C积分。
5.解析函数解析函数是在一个区域内无处不可导的函数，它具有以下性质：（1）具有唯一性，即在一个区域内，如果两个函数在区域内的每个点都可导且导数相等，则这两个函数相等。
（2）可分离实部和虚部，即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是调和函数，即满足在区域内的拉普拉斯方程u(x,y)和v(x,y)的偏导数等于零。
（3）具有最大模原理，即如果f(z)是区域D内的解析函数，其在D的一部分上取得了最大值，则它必须在该区域的边界上取得最大值。
高中数学知识点总结导数的应用
高中数学知识点总结导数的应用高中数学知识点总结_导数的应用导数的应用、复数1.用导数研究微分的单调性。
yf(x)在区间(a,b)内可导，若f"(x);0，则yf(x)在(a,b)上递增;若f"(x)[巩固2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)三维空间的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）OA．xOB．xOC．xOD．xyyyy[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f(x);g(x),若a;b，则（）A．f(a);g(b)B．g(a)解析：f"(x)3x22axb0，∴f/(1)=2ab30①2f(1)1abaa4a3或10②由①②得：b3b11a3当时，f"(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)无极值，舍去；b3当a4b11时f/(x)3x28x11，函数f(x)在x1处左减右增，有极小值；此时∴f(2)18。
注：在解决“已知函数的最大值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入f/(x)检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对f/(x)再次求导，看f为负则有极大值。
[巩固1]已知f(x)ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又f()2132.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,//为0则无极值，为正则有极小值，(x0)的值，求m的取值范围.[举例2]设函数f(x)ax2blnx，其中ab0．证明：当ab0时，函数f(x)没有极值点；当ab0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21）3.求yf(x)在闭区间内所的最值的步骤：（1）求导数f"(x)（2）求导数方程f"(x)=0的根（3）检查f"(x)在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过可解不等式f"(x)≥0及再以确定函数的极值；最后将极值与f"(x)≤0确定函数yf(x)在给定区间内的单调情况，区间端点的函数值比较以确定最值。
数学导数复数知识点总结
数学导数复数知识点总结在本文中，我们将对导数的复数知识点进行详细总结，包括复数的定义、复数函数的导数、复数函数的全微分与全导数，以及一些相关的应用和例题。
一、导数的复数定义1.1 复数的定义在正式介绍导数的复数知识点之前，我们有必要先来回顾一下复数的概念。
复数是由一个实数部分与一个虚数部分组成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
因此，复数可以看作是实数与虚数的结合，是一个具有一定规律和性质的数。
而复数函数就是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)=z²+1，其中z是复数。
1.2 复数的运算对于复数的运算，我们可以通过实部和虚部的运算，实现加减乘除等操作。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和、差、积、商分别为z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2²+b2²)+((a2b1-a1b2)/(a2²+b2²))i。
通过这些运算，我们可以得到两个复数的和、差、积、商，这为后续导数的复数知识点打下了基础。
1.3 导数的复数定义在实数情况下，我们知道导数的定义是函数在某一点的极限。
而对于复数函数，我们同样可以根据实数的导数定义来给出复数函数导数的定义。
设f(z)是z的一个函数，如果存在复数w，使得对于任意给定的ε>0，存在另一个正数δ，当|z-z0|<δ时，|f(z)-w|<ε成立，则称f(z)在z=z0处有极限w，记作limz→z0f(z)=w。
如果函数f(z)在z0处有极限w，且对于z0的任何邻域内的点z≠z0，都有limz→z0(f(z)-f(z0))/(z-z0)=w，则称f(z)在z0处可导，并称w是f(z)在z0处的导数。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
导数与积分复数坐标系
在复数坐标系中，函数f(z)=Im(z)的导数为-i， 表示函数在任意点z=a+bi的切线斜率为-i。
积分的实例分析
函数f(z)=z在复数坐标系中的积分
在复数坐标系中，函数f(z)=z的积分结果为z^2/2，表示函数在任意区间上的面积。
函数f(z)=Re(z)在复数坐标系中的积分
积分的性质
01
可积性
在复数坐标系中，一个复函数在 其定义域内是可积的，即存在原 函数。
02
积分与路径无关
03
积分的几何意义
对于一个复函数，如果它在某区 间内的积分与积分路径无关，则 该函数是全纯的。
在复数坐标系中，一个复函数的 积分表示该函数与坐标轴围成的 区域面积。
导数与积分在复数坐标系中的关系
WENKU DESIGN
导数的定义
实数函数的导数
导数是函数在某一点的切线的斜率， 表示函数在该点的变化率。对于实数 函数，导数的定义基于极限概念。
复数函数的导数
复数函数在复平面上的导数表示函数 值随复数变量变化的速率和方向，可 以通过实部和虚部的导数来计算。
积分的定义
实数函数的积分
积分是定积分、不定积分和反常积分的总称，表示函数与直线围成的面积。对于实数函数，积分基于微分的概念。
导数与积分在复数坐标系 中的实例分析
REPORTING
WENKU DESIGN
导数的实例分析
函数f(z)=z的导数
在复数坐标系中，函数f(z)=z的导数为1，表 示函数在任意点z=a+bi的切线斜率为1。
函数f(z)=Re(z)的导数
在复数坐标系中，函数f(z)=Re(z)的导数为0，表示函 数在任意点z=a+bi的切线斜率为0。
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第十二讲 导数及其应用和数系的扩充与复数
导数及其应用（1）
一、考试要求
内容
等级要求
A B C 导数及其应用
导数的概念
√ 导数的几何意义 √ 导数的运算
√
二、考点回顾 1、 函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为 ；（导数的背景：切线的斜率、瞬时速度、边际成本）
2、
定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '．
注：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）导数)(0x f '的几何意义就是曲线)
(y x f =在点）（)(,00x f x 处的切线的斜率．
3、
若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，
记作)(x f '．
①)()(t s t v '=表示瞬时速度；)()(t v t a '=表示瞬时加速度；②在经济学中，生产x 件产品的成本称为成本函数，记为）（x C ；出售x 件产品的收益称为收益函数，记为）（x R ；）（x R —）（x C 称为利润函数，记为）（x P ；相应地)
(,,x P x R x C ）（）（''分别称为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数．）（x C 在a x =处的与导数)(a C '称为生产规模为a 时的边际成本值；③)(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值 4、
基本初等函数求导公式
幂函数：
='）（α
x （α为常数） 指数函数：=')(x
a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x
e
对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：='）
（x ln
正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x
导数及其应用（2）
一、考试要求
内容
等级要求
A
B C
导数及其 应用 导数的运算
√ 利用导数研究函数的单调性和极值
√ 导数在实际问题中的应用
√
二、考点回顾
（1）导数与函数的单调性：若()0f x '>，则()f x 为增函数；若()0f x '<，则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立，则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定，则()f x 不是单调函数．
（2）利用导数求函数单调区间的步骤：①求()f x '；②求方程()0f x '=的根，设为12,,n x x x ；③12,,n x x x 将给定区间
分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性．
（3）求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数()f x '；（ii ）求方程()0f x '=的根0x ；（iii ）检查()f x '在方程
()0f x '=的根0x 的左右的符号：”左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；”左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值．
特别提醒：①0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件．②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验”左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
（4）求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数()y f x =在（,a b ）内的极值；②将()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
特别注意：①利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！②要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题．
（5）导数的三大应用：
①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率； ②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为0；
③单调性的判断： ()0f x '>，)(x f 单调递增；()0f x '<，)(x f 单调递减，和一些常见的导数的求法．
数系的扩充与复数
一. 复数的定义
1. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做
复数集，用字母C表示。
说明
（1）虚数单位：（1）它的平方等于－1，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
（2）与－1的关系：就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－。
（3）的周期性：4n＋1＝i，4n＋2＝－1，4n＋3＝－i，4n＝1。
（4）复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。
（5）复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、b ∈R）是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b ＝0时，z就是实数0。
（6）复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C。
（7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
即：如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d。
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可以比较大小。
只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。
二. 复数的四则运算
1. 复数z1与z2的加法法则：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。
复数的加法运算满足交换律：z1＋z2＝z2＋z1。
复数的加法运算满足结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。
2. 复数z1与z2的减法法则：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。
3. 乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
乘法运算律：
（1）z
1（z
2
z
3
）＝（z
1
z
2
）z
3
（2）z
1（z
2
＋z
3
）＝z
1
z
2
＋z
1
z
3
（3）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
4. 复数除法定义：满足（c＋di）（x＋yi）＝（a＋bi）的复数x＋yi（x，y∈R）叫复数a＋bi除以复数c＋
di的商，记为：（a＋bi）（c＋di）或者
三. 复数的几何意义
复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。
故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义。
也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。