高中数学精选--概率与统计-资料.ppt
北京师范大学数学科学学院 李勇 Math_ly163
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第二章 统计 2.1 随机抽样 2.2 用样本估计总体 2.3 变量间的相关关系 实习作业 小结
约16课时 约5课时 约5课时 约4课时 约1课时 约1课时
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.2 古典概型 3.3 几何概型 小结
• 评价统计方法的好坏，属 于数理统计的研究范畴。
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样本信息描述——频率直方图
1. 描述样本的数据 整体分布信息， 舍弃细节信息。
2. 是总体数据分布 的近似。
3. 制作时需要所有 样本数据。
4. 有随机性。 21
样本信息描述——茎叶图
1. 茎叶图保留了样本数据的所
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有信息。
1 346 2. 能反映样本数据的分布信息。
• 反之，说明说明数据中存在可能较小 的极端值。
c) 误导：有意仅选取使用中位数或平 均值来描述数据的中心位置。
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2. 样本标准差的意义和作用。
• 描述样本数据集中于样本
均值的程度。
• 简称为“离散程度”。x1
x
x2
•
•
有时解释成数据的稳定性。
样本标准差具有随机性，随 样本容量的增加而稳定于
式。P126 4. 几何概型——概率与区域的度量成比
例，必然事件的概率为1。P136 5. 随机模拟方法用于近似计算——几何
概型和频率近似概率的结合。P139
6. …… 10
➢增加的随机模拟、几何概
型等方面的内容
2.2.2 由直方图估计总体的数字特征 3.2.2 (整数值)随机数的产生 3.3 几何概型
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➢通过实例理解概率统计概念
2. 通过现实生活中的实例理解概率的 基本概念。
a) 必然事件、不可能事件、随机事件— —天气、水稻生长例子。 P108
b) 概率——掷硬币实验中频率的稳定性。 P112
c) 几何概型——转盘游戏。P135
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➢用概率观点解释统计原理
1. 游戏的公平性——等概率原则。P115 2. 豌豆实验——孟德尔遗传规律。P117 3. 古典概型——概率的规范性与加法公
2. 考虑到学生的学习心理，统计在前， 使得学生在学习统计的过程中体会 随机性，为学习概率知识做铺垫。
6
➢ 先讲古典概型后学排列组合
1. 重点是理解古典概型及其概率计 算公式的原理。
2. 排列组合的困难将影响模型原理 的学习，可能导致学习重心的偏 移。
3. 学习计数原理时，将古典概率的 计算作为一个应用，完全可以达 到以往教材的效果。
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二、教学中应注意的问题 ➢统计部分 ➢概率部分
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➢统计部分
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学习统计的必要性
• 统计学是研究如何收集、整理、分析 数据的科学，它可以为人们制定决策 提供依据。
• 现代社会是信息化的社会，数字信息 随处可见，因此统计学就备受重视。
• 统计与概率的基础知识已经成为一个 未来公民的必备常识。
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关心某城市高中生学生身高情 况，应该如何取总体？
• 该市所有在校高中生；
• 该市所有在校高中生的身高。
哪一总体的取法对？
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随机抽样
核心问题：样本的代表性的好坏。
形象的比喻：品尝一锅汤的味道
在有限总体下： 好样本能够使得任何个体进入到样 本的概率大于0.
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• 系统抽样特点：
1. 系统抽样比其他随机抽样方法更容 易施行，可节约抽样成本。
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3. 茎叶图可以在现场随时制作， 3 389 不需要所有样本信息。
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4. 由样本决定，有随机性。
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样本信息描述——数字特征
1. 均值、中位数、众数的特点。 2. 样本标准差的意义和作用。
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1. 均值、中位数、众数的特点
a) 都用于描述样本的中心位置，有随 机性，随样本容量的增加而稳定于 总体相应的总体特征。
3. 等比例抽样只是分层抽样中的一种。
了解每种抽样方法的优缺点，为了 使样本的代表性好，选择合适的抽 样方法以便得到对总体的较准确的 推断——这是学习抽样方法的目的。
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确定抽样方法的原则
1. 各种特征个体都在样本中有代表。 2. 容易实施。
• 与数学方法的评价不同， 统计方法没有对错之分， 只有好坏之分。
• 平均数：描述数值变量的中心位置， 受样本中的每一个数据的影响。
• 中位数：描述数值变量的中心位置， 抗“坏”数据能力强，容易计算。
• 众数：描述分类变量的中心位置，容 易计算。
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1. 均值、中位数、众数的特点
b) 综合利用均值和中位数获取样本信 息
• 如果样本均值大于样本中位数，说明 数据中可能存在较大的极端值。
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➢通过案例理解概率统计概念
1. 通过案例传授统计思想。
a) 美国大选结果预测失败案例——方便 样本的弊病。 P55
b) 居民月均用水量案例——通过思考 “你认为3t这个标准一定能够保证85％ 以上的居民用水不超标吗？”提出了 统计结论理解问题。P68
c) 人体的脂肪百分比与年龄案例——最 小二乘原理。P85
2. 有时在不知道总体中个体数目的情 况下，仍可应用系统抽样方法获取 样本。
3. 如果编号的个体特征随编号有一定 的周期性，可能会使系统抽样的代 表性很差。
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• 分层抽样特点：
按照所 要调查 的量的 大小分 层。
1. 充分利用了已知的总体信息，得到的样本 比前两种方法有更好的代表性。
2. 可得到各个层的子样本以估计各个层的信 息。
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统计学的特点
• 统计学是由局部推断总体，属于归纳 推理。数学是演绎推理。
• 统计方法归纳出的结论可能犯错误。 数学演绎推理的结论一定正确。
• 对于实际问题，有种种不同的统计解 决方法，这些方法只有好坏之分，没 有对错之分。数学结论只有对错之分。
• 评价统计方法的好坏，需要概率论和 数理统计的理论。创建新的统计方法， 需要良好的统计素质。
约8课时 约3课时 约2课时 约2课时 约1课时
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一．与大纲教材的区别 二．教学中应注意的问题
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一、与大纲教材的区别
➢先讲统计后讲概率 ➢先讲古典概型后学排列组合 ➢通过案例理解概率统计概念 ➢用概率观点解释统计原理 ➢增加了随机模拟、几何概型等方
面的内容
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➢ 先讲统计后讲概率
1. 考虑到统计与概率学科发展的历是 先有统计，为了研究统计结论的可 信程度问题，概率得到了发展。
高中数学概率知识点全面解析PPT
乘法公式和全概率公式
乘法公式的应用 乘法公式在概率论中的应用广泛，例如计算两个事件同时发生的概 率，其计算公式为P(A并B)=P(A)*P(B)。根据统计数据，这种方法 的准确率高达90%以上。 全概率公式的价值 全概率公式可以解决复杂问题中的概率计算问题，如在多个互斥事 件中寻找某个事件发生的原因。根据一项研究，使用全概率公式解 决问题的效率比传统方法提高了约30%。
连续型随机变量
连续型随机变量定义 连续型随机变量是一个可能取无限多个值的随机变量。 概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数用于描述该随机变量在某一区 间内取值的概率。 期望与方差 连续型随机变量的期望和方差是其重要特性，它们描述了该随 机变量的平均水平和离散程度。 实际应用 连续型随机变量广泛应用于金融、工程等实际问题中，如期权 定价模型。
Comprehensive Analysis of Probability Knowledge Points in High School Mathematics
高中数学概率知识点 全面解析
2023.11.03
目录
Content
01 概率的基本概念 02 条件概率与独立性 03 随机变量及其分布 04 多维随机变量及其联合分布 05 大数定律与中心极限定理
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2023.11.03
中心极限定理的内容和应用
中心极限定理概念 中心极限定理是概率论中的一个重要定理，描述了大量随机变量和的分布趋近于正态分布的现象 大数定律与中心极限定理 大数定律揭示了样本数量增加时，样本平均值趋近于期望值，而中心极限定理则描述了这一过程的概率分布 正态分布在实际应用中的重要性 由于中心极限定理的作用，许多实际问题中的随机变量都可以近似为正态分布，方便进行统计分析 中心极限定理在高中数学教学中的地位 作为概率论的核心内容之一，中心极限定理对于培养学生的数学思维、解决实际问题具有重要意义
高二数学--概率与统计-(1)
高二数学 概率与统计考试要求1．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． （2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释． ④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． （3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,nniiiii i nniii i x ynx y xxyyb a y bxxnxxx-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式． （2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．1．课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． ②系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．③分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．(2)众数、中位数、平均数①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．在直方图中取频率为0.5处的频数。
人教B版高中数学必修二课件 《概率》统计与概率PPT(古典概型)
解:样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白)},第 一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以 所求概率是.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
古典概型的概率计算
例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察朝上的面
的点数.
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)点数之和为5的结果有多少种?
(3)点数之和为5的概率是多少?
解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次,朝上的面的点数
有1,2,3,4,5,6,共6种结果,故先后将这枚骰子抛掷两次,一共有
所选两个国家都是亚洲国家包含的基本事件有
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个. 故所求事件的概率
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,所有的基本事件有
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3), 共9个,包含A1但不包括B1的基本事件有(A1,B2),(A1,B3),共2个.
3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现
的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④求从含有3件
次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.
A.②④
B.①③④ C.仅①④ D.仅③④
答案:B
高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学课件新人教B版必修第二册
2021/4/17
高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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解
因为
x甲
=
8+11+14+15+22 5
=14，
x乙
=
6+7+10+23+24 5
=14.
x甲 x乙.
s
2 甲
=
62 +32 +02 +12 +82 5
=22，
s
2 乙
=
82 +72 +42 +92 +102 5
（2）已知抽取的样本中，男生20人，女生15人，怎样估计总体平均数与 方差？
2021/4/17
高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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问题3.如何分析频率分布直方图，用样本的分布估计总体的分布 通过整理某中学1257名高一学生期中考试数学成绩，得到如下数据，并 作出了频率分布直方图和折线图.
2021/4/17
高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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2021/4/17
高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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解 （1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）x20=1，得x=0.0075. （2）众数为[220,240）区间的中点230. 因为（0.002+0.0095+0.011）x20=0.45<0.5，所以中位数在[220,240）
高中数学概率与统计知识点
高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。
2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。
3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。
如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。
例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。
而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。
对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。
2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。
5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。
相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。
2)必然事件与任何事件都是相互独立的。
3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。
6、独立重复试验若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。
第十章 统计与概率10-6排列与组合(理
重点难点 重点：1.两个计数原理的理解和应用． 2．排列与组合的定义、计算公式，组合数 的两个性质． 难点：1.如何区分实际问题中的“类”与 “步”． 2．组合数的性质和有限制条件的排列组合 问题．
知识归纳 1．分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第1类办法 中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1 ＋m2＋„＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种 不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有N＝ m ×m ׄ×m 种不同的方法．
4．组合 从 n 个不同元素中，取出 m(m≤n)个元素并成一组，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合，所有组合的 个数为组合数． (1)组合数公式 „· Anm nn－1n－2· n－m＋1 m Cn ＝A m＝ m！ m n！ ＝ . m！n－m！ 规定：Cn0＝1.
解析：若甲在第一位有A44＝24种方法；若 甲在第二位有C31A33＝18种方法，故共有18 ＋24＝42种方法． 答案：B (5)至多、至少间接法．含“至多”、“至 少”的排列组合问题，是需要分类问题．可 用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况 明确且易于计算的情况．
[例5] (09·湖南)从10名大学毕业生中选3人 担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选， 而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A．85 B．56 C．49 D．28 解析：甲、乙、丙都没入选有C73＝35种， 丙没有入选的有C93＝84种， 故甲、乙至少有1人入选而丙没有入选的不 同选法种数有84－35＝49(种)． 答案：C
新教材高中数学第4章概率与统计4-1-1条件概率课件新人教B版选择性必修第二册
1．(对接教材 P43 例 3)设某动物由出生算起活到 20 岁的概 率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4，现有一个 20 岁的这种动物，则它 活到 25 岁的概率是________．
2 3
3 5
[由公式 P(A|B)＝PPA∩BB＝23，P(B|A)＝PPA∩AB＝53．]
类型 2 利用基本事件个数求条件概率
在一个坛子中装有 10 个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有 2 个红球，8 个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知 第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为多少？
[解] 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事 件 B，则第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目为事件 A∩B．
(1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个的事件数为 n(Ω)＝A26＝30， 根据分步乘法计数原理 n(A)＝A14A15＝20，于是 P(A)＝nnΩA＝2300＝23． (2)因为 n(A∩B)＝A24＝12，于是 P(A∩B)＝nnA∩ΩB＝1320＝25．
[由公式 P(A|B)＝PPA∩BB＝23，P(B|A)＝PPA∩AB＝53．]
[跟进训练]
1．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录， 知道一年中下雨天的比例甲市占 20%，乙市占 18%，两地同时下雨 占 12%，记 P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则 P(A|B)＝ ________，P(B|A)＝________．
[解] 由古典概型的概率公式可知
高中数学统计学 PPT课件 图文
• 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到
• 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有
• P (a X b) b a • P (|X| a) 2 a 1
• 对于一般正态分布，即X~N( , )，有
• 方差为 D ( X ) ＝ npq
【例】某农庄饲养100只家禽,其中有5只鹅，现 从中任取一只，有放回地抽样3次。求在所抽取 的3只家禽中恰好有2只鹅的概率
解：设 X 为所抽取的3只家禽中鹅的数目，则 X~B ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有
P X 2 C 3 2 (0 .0)2 5 (0 .9)3 5 2 0 .0071
x!
— 给定的时间间隔、长度、面积、 体积内事件出现的平均数
e = 2.71828 x —给定的时间间隔、长度、面积、体
积内事件出现的次数
泊松概率分布的期望和方差
• 泊松分布的数学期望为 E(X)=
• 方差为 D(X)=
泊松分布
——实例3.2.6
【例】假定某人饲养了一群鸡，母鸡在周一产蛋的 个数X服从泊松分布，假设周一产蛋的平均数为2.5 个。试求
• f(x)不是概率
请多加注意啊！
概率密度函数
密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)
频数
f(x)
(值, 频数)
x
a
b
值
概率密度函数
在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数
x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积
概率是曲线下的面积， 哈哈！
方差为：D(X) 6 xi E(X)2pi i1
高中数学概率和统计知识点
高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝kn k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kk n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．[解答过程]1.20提示:51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例1．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===， ()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795．例12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 典型例题例1.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例2．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ．解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 222)(21)(σμπσ--=x ex f ，x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ＞0，则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ）.（2）期望E ξ =μ，方差2σξ=D .（3）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974 （4）标准正态分布当μ=0，σ=1时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0，1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.（6）2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n 个样本数据（11,x y ），（22,x y ），…，（,n n x y ），其回归直线方程，或经验公式为：a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==，其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1＝等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）解答过程：对正态分布，μ=E ξ=3，σ2=D ξ=1，故P （－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）. 答案：B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）. （1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ； （2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d 至少是 ?（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）.解答过程：（1）P （ξ<89）=F （89）=Φ（5.09089-）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.（2）由已知d 满足0.99≤P （ξ≥80），即1－P （ξ<80）≥1－0.01，∴P （ξ<80）≤0.01.∴Φ（5.080d-）≤0.01=Φ（－2.327）.∴5.080d -≤－2.327.∴d ≤81.1635.故d 至少为81.1635.小结：（1）若ξ～N （0，1），则η=σμξ-～N （0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x<0时，f （x ）为增函数，x>0时，f （x ）为减函数.。
《概率》统计与概率PPT(频率与概率)
第五章 统计与概率
5.3 概率
5.3.4
频率与概率
- .
-1-
课标阐释
思维脉络
1.在具体情境中,了
解随机事件发生的
不确定性和频率的
稳定性.
2.正确理解概率的
意义,利用概率知
识正确理解现实生
活中的实际问题.
3.理解概率的意义
以及频率与概率的
区别.
4.通过该内容的学
习,培养逻辑推
700÷0.95≈1 789.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
概率的应用——数学建模
典例为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库
中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.
经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕
出500尾,查看其中有记号的鱼,有40尾,试根据上述数据,估计水库
194
500
470
(1)在上表中填上优等品出现的频率;
(2)估计该批乒乓球优等品的概率.
1 000
954
2 000
1 902
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解:
抽取球数
优等品数
优等品出
现的频率
50
45
100
92
200
194
500
470
1 000
954
2 000
1 902
0.9
0.92
0.97
A.事件 C 发生的概率为
1
10
1
B.此次检查事件 C 发生的频率为10