方差分析(包括三因素)讲解
三因素方差分析.
7
三因素方差分析举例
残差的正态性检验结果：P=0.9422>0.05
Skewness/Kurtosis tests for Normality ------- joint -----Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2 -------------+------------------------------------------------------e | 0.915 0.743 0.12 0.9422
8
三因素方差分析举例
Full model结果：二级交互作用项P=0.0214<0.05
Source | Partial SS df MS F Prob > F -----------+---------------------------------------------------Model | .347361264 7 .049623038 1.55 0.2202 a | .00201666 1 .00201666 0.06 0.8049 b | .044490835 1 .044490835 1.39 0.2554 c | .048001913 1 .048001913 1.50 0.2382 a*b | .0244907 1 .0244907 0.77 0.3944 a*c | .003112983 1 .003112983 0.10 0.7591 b*c | .017424103 1 .017424103 0.54 0.4711 a*b*c | .207824069 1 .207824069 6.50 0.0214 Residual | .511622125 16 .031976383 -----------+---------------------------------------------------Total | .858983389 23 .037347104
三因素方差分析的原理及应用
应， 为 因 素 Ｂ 的第 Ｊ个水 平 的效 应 ， 为 因 素 Ｃ 的第 ｋ个水 平 的效应 ．显然 ， ａ ， ， 满 足如 下
作者简介 ：郭
萍（ １ ９ ８ １ 一 ） ， 女， 山西 阳泉人 ， 青 岛理工大学琴 岛学 院讲 师．
第１ 期
郭 萍 ：三 因素方 差分 析 的原理及 应 用
４ １
一
ｘ
・一
ｘ
ＳＣ ｚ
∑（
ｋ
＝
一
一
：
，
ｌ
一
・
ｉ １
一 ＾ 一 ｘ 一 去 ｄ ｉ 一 １ ｉ 一 １ ｘ
１ 一１ 一 １
Ｓ 一∑ ∑ ∑ （ ｘ 驰一叉 一 一
一 １ Ｊ一 １ ｋ一 １
引 入ｓ Ｔ 一 ∑ ∑ ∑（ ｘ 驰 一 ） 一 ｓ ＋ ｓ Ａ ＋ ｓ ＋
ｉ 一１
Ｘ． 咄＋ ２ Ｘ） 。一 Ｓ 了 ＇ 一Ｓ ａ— Ｓ Ｂ— Ｓ ｃ ，
关 系式 ：
∑ａ 一 ０ ， ∑ 一 ０ ， ∑ 一 ０ ．
若 毋一 ＋ａ ＋ ＋ ， 则数学 模 型为
了一个 具 体 的 数 学 建 模 案 例 ， 并 通 过 ＭＡＴ Ｌ ＡＢ
实现 了该 案例 的求 解 ．求 解结 果 的一 致 性说 明 了
原理 推导 的 正确性 ．
ｆ ｘ 一 ＋∞＋ ＋ ＋ｅ （ ＝ ＝ ＝ １ ， ２ ， …， ｒ ；
Ｉ Ｊ一 １ ， ２ ， …， ｓ ； 是 ＝ ＝ ＝ １ ， ２ ， …， ） ；
方差分析SPSS
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。 事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个 区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。 每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等， 分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素 某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间 组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内 组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系 总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在 专业上有特殊意义的均数是否相等。
三因素方差分析
-----------+----------------------------------------------------
Total | 6.90318355 23 .300138415
10
三因素方差分析举例
Reduced Model 2:所有二级交互项P<0.05
Source | Partial SS df
-------------+-------------------------------------------------------
e|
0.915
0.743
0.12
0.9422
方差齐性检验的主要结果:P=0.2202>0.10
Source | Partial SS df
MS
F Prob > F
方差
7
三因素方差分析举例
残差的正态性检验结果：P=0.9422>0.05
Skewness/Kurtosis tests for Normality
------- joint ------
Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2
Residual | 2.78586636 18 .154770354
-----------+----------------------------------------------------
Total | 6.90318355 23 .300138415
11
三因素方差分析举例： 用角模型进行简单效应比较
变量定义
不用正氟醚 A=1
用正氟醚 A=2
anova方差分析
anova方差分析方差分析（Analysis of variance，简称ANOVA），是一种常用的统计分析方法，主要用于比较多个样本或组之间是否存在显著差异。
ANOVA可以用来检验不同组之间是否存在平均值的差异，并判断这些差异是否有统计学意义。
本文将介绍ANOVA的基本原理、假设检验以及实施步骤。
一、ANOVA的基本原理ANOVA是通过比较组内变差与组间变差的大小，来判断各组均值是否存在显著差异。
具体而言，方差分析将总体变异分解为组内变异和组间变异两个部分，然后计算F值来评估组间变异是否显著大于组内变异。
二、ANOVA的假设检验在进行ANOVA分析时，需要明确研究者所关心的各组的均值是否存在差异。
下面是ANOVA假设检验的具体表述：- 零假设（H0）：各组均值之间不存在显著差异。
- 备择假设（H1）：各组均值之间存在显著差异。
根据零假设和备择假设，可以使用F检验或方差分析表来进行ANOVA的假设检验。
三、ANOVA的步骤进行ANOVA分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 收集数据：收集各组的样本数据，并确保数据的准确性和可靠性。
2. 建立假设：根据研究目的和问题，明确零假设（H0）和备择假设（H1）。
3. 计算统计量：根据数据计算ANOVA所需的统计量，例如组内均方、组间均方和F值。
4. 选择显著性水平：确定显著性水平（通常为0.05），用于判断是否拒绝零假设。
5. 比较F值和临界值：通过比较计算得到的F值和临界值，判断组间是否存在显著差异。
6. 做出结论：根据统计结果，对研究假设进行结论判断，并进行进一步的数据解读和分析。
四、ANOVA的应用领域ANOVA作为一种常用的统计方法，广泛应用于各个领域的研究中。
以下是一些典型的领域：1. 医学研究：用于比较不同药物或治疗方法的效果是否显著不同。
2. 教育研究：用于测量不同教学方法对学生学习成绩的影响。
3. 工程研发：用于评估不同工艺参数对产品质量的影响。
方差分析
第六章方差分析方差分析是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析主要用于：1、均数差别的显著性检验，2、分离各有关因素并估计其对总变异的作用，3、分析因素间的交互作用，4、方差齐性检验。
第一节Simple Factorial过程6.1.1 主要功能调用此过程可对资料进行方差分析或协方差分析。
在方差分析中可按用户需要作单因素方差分析（其结果将与第五章第四节相同）或多因素方差分析（包括医学中常用的配伍组方差分析）；当观察因素中存在有很难或无法人为控制的因素时，则可对之加以指定以便进行协方差分析。
6.1.2 实例操作[例6-1]下表为运动员与大学生的身高（cm）与肺活量（cm3）的数据，考虑到身高与肺活量有关，而一般运动员的身高高于大学生，为进一步分析肺活量的差异是否由于体育锻6.1.2.1 数据准备激活数据管理窗口，定义变量名：组变量为group （运动员=1，大学生=2），身高为x ，肺活量为y ，按顺序输入相应数值，建立数据库，结果见图6.1。
图6.1 原始数据的输入6.1.2.2 统计分析激活 Statistics 菜单选ANOV A Models 中的Simple Factorial...项，弹出Simple Factorial ANOV A 对话框（图6.2）。
在变量列表中选变量y ，点击 钮使之进入Dependent 框；选分组变量group ，点击 钮使之进入Factor(s)框中, 并点击Define Range...钮在弹出的Simple Factorial ANOV A:Define Range 框中确定分组变量group 的起止值（1,2）；选协变量x ，点击 钮使之进入Covariate(s)框中。
三因素方差分析的原理及应用
三因素方差分析的原理及应用1. 引言方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较并确定一个因变量在不同组之间的均值是否存在显著差异。
在实际应用中，我们常常会遇到多个因素对结果的影响，这时可以使用三因素方差分析来研究它们之间的关系。
2. 三因素方差分析的原理三因素方差分析是将样本数据通过方差分解的方式，将总方差分解为三个部分，每个部分都与三个因素相关。
其中，总方差表示整体样本数据的变异程度，组内方差表示同一因素下各组数据之间的差异，而组间方差则表示不同因素间各组数据之间的差异。
三因素方差分析的统计模型可以表示为：$$ Y_{ijk} = \\mu + \\alpha_i + \\beta_j + \\gamma_k + \\epsilon_{ijk} $$其中，Y ijk表示第 i 个水平，第 j 个重复次数，第 k 个处理等 $\\mu$ 为总均值，$\\alpha_i$ 为第 i 个因素（水平）的影响效应，$\\beta_j$ 为第 j 个因素的影响效应，$\\gamma_k$ 为第 k 个因素的影响效应，$\\epsilon_{ijk}$ 为随机误差项。
3. 三因素方差分析的步骤具体进行三因素方差分析时，可以按照以下步骤进行：3.1 数据收集收集实验所需的样本数据，包括三个因素的取值和测量结果。
3.2 数据预处理对收集到的数据进行清洗、筛选和去除异常值等预处理操作，以保证数据的可靠性和准确性。
3.3 建立方差分析模型基于收集到的数据，建立三因素方差分析的统计模型，包括计算总平均值、组内平均值和组间平均值。
3.4 计算各因素的影响通过计算组内方差和组间方差，以及各因素的均方差来评估各因素的影响程度。
3.5 进行显著性检验采用适当的统计方法，比如 F 检验、t 检验等，对三因素方差分析的结果进行显著性检验，判断各因素的影响是否具有统计学意义。
3.6 结果解释和应用根据显著性检验的结果，解读各因素对结果的影响情况，并将其应用于实际问题中。
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
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2、CLASS 变量表；
CLASS必须的MODEL之前。
3、MODEL 因变量表=效应；
输出因变量均数，对主效应均数间的检
4、MEANS 效应[/选择项]；
验。
5、ALPHA=p 显著性水平（缺省值为0.05）
是指因变量与自变量效应，模型如下：
1、主效应模型 MODEL y=a b c; (a b c是主效应，y是因变量）
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
3
第一节 概述
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
4
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
计算出F值：
QA
4217.3
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
离差平方和 4217.3 1114.7 5332
自由度 2 15 17
F值 28.38
F0.05 F0.01 显著性 3.68 6.38 **(十分显著）
17-)22
-2 5 1 -11
5 6 Ti
1 -20 -80 14 7 14
6
X
'2 i
j 1
1454 396
A3
20 31 19 12 35 27 144 3820
由表中数据可算出 3 6
X '2 ij
5670
i1 j 1
36
3
T
X
' ij
Ti 78
i1 j 1
(m 1)(l 1)
QB
1 m
l j 1
T.
2 j
T2 ml
3）给定显著水平 ，查表得临界值 F (m 1, (m 1)(l 1)) QE Q QA QB
4）由样本观察值计算FA、FB
5）若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，接受H0，因素的影响不显著。 若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，拒绝H0。 对因素B同理说明。
离差平方和 QA QE Q
自由度 m-1 m(n-1) mn-1
F值
QA
F
(m 1) QE
[m(n 1) ]
F0.05 F0.01
显著性
13
例：前例题 1、对数据的简化 得下表：
X
' ij
10( X ij
17)
冲击强力 浓度
A1 A2
序号
12 3 4
-8
-19X
' ij
1-01(2X ij
做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。
8
二、离差平方和的分解与显著检验
记：
1 n
Xi
n
X ij
j 1
X
1 mn
m i 1
n
X ij
j 1
将Q进行分解：
mn
Q ( Xij X )2 i1 j1
m n
Q
( X ij X i ) ( X i X ) 2
棉布
2.33 2.00 2.93 2.73 2.33
12
同样可推出：
QE
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 n
m
Ti 2
i 1
QA
1 n
m
Ti 2
i 1
T2 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
X
' ij
b( Xij
a)
数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果 四、方差分析表
方差来源 因素A 试验误差 总误差
说明： F F (2,15) ，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。
16
五、各水平下试验次数不等时的方差分析 设第 i个水平试验次数为ni, 则有
式中：
m
n ni
i 1
Q
m i 1
ni
( X ij X )2
j 1
m i 1
ni j 1
X
2 ij
试验结果 Bj
Ai A1（280’C）
B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C）
64
66
68
A2（300‘C）
66
68
67
A3（320’C） 65
67
68
假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
18
假设检验：
1）在假设H0成立的条件下。
T2 n
Ti
ni
Xij
j1
QE
m i1
ni
( X ij X i )2
j 1
m i1
ni
T 2 X ij n j 1
m2 i
i1 i
QA
m
ni ( Xi
i1
X )2
m
Ti2
i1 ni
T2 n
T
m
ni
X ij
i1 j1
QA
1 3
3
Ti.2
i 1
T2 33
1.56
QB
1 3
3
T.
2 j
j 1
T2 33
11.56
QE Q QA QB 3.1
FA F0.05 (2,4) A影响不显著。 F0.05 (2,4) FB F0.01(2,4) B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因素 A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
6
第二节 单因素方差分析
一、假设检验 设：A1、A2、A3、为三个总体X1、X2、X3，每个总体有6个样
本Xi1、Xi2、…、Xi6 ( i=1,2,3 )。 注：要判断酸液浓度的3种水平对汗布的冲击强力是否有显著影响，实 质上就是检验3种不同水平所对应的3个总体是否有显著差异的问题。即 检验3个总体数学期望是否相等。 以后就是求解问题，为了说明一般解的公式（方法），如下作一般分析。
i 1
3
Ti2 27332
i 1
14
计算
QE
3 i 1
6 j 1
X '2 ij
1 6
3 i 1
Ti 2
5670
1 6
27332
1114 .7
QA
1 6
3 i 1
Ti 2
T2 36
1 6
27332
6084 18
4217 .3
Q QE QA 1114 .7 4217 .3 5332
（2）统计量： QA
2
F (m 1) F (m 1, m(n 1)) QE
2
m(n 1)
QA
即：
F (m 1) F (m 1, m(n 1)) QE
[m(n 1)]
11
（3）给定显著性水平 ，查表得临界值 F (m 1, m(n 1))
（4）由样本观察值计算出F （5）若F > F (m 1, m(n 1)) ，则拒绝H0。 （说明因素A各水平间有显著性差异）
19
方差分析表：
方差来源 因素A 因素B 试验误差 总误差
离差平方和 自由度
1.56
2
11.56
2
3.1
4
16.22
8
F值 FA=1.01 FB=7.46
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 显著性
6.94
18.0
6.94
18.0
*
3
Q
i 1
3 j 1
X
2 ij
T2 33
16.22
20
SAS系统中区分两种情况： 1、每组观测数据相等，可用ANOVA过程处理 以上四种情形的方差分析。 2、若每组观测数据不相等，可用GLM过程处 理以上四种情形的方差分析。
21
均衡数据的方差分析（ANOVA过程）
过程说明：
可以是数值型和字符 型
1、PROC ANOVA；
CLASS和MODEL是必需的，
方差分析
1
日常生活中经常发现，影 响一个事物的因素很多， 希望找到影响最显著的因 素
如某种农作物的收获量受作物品种、 肥料种类及数量等的影响；选择不同 的品种、肥料种类及数量进行试验，