第三 轴向拉压变形
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材料力学第3章 轴向拉压变形
Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
材料力学课件：3-3 桁架节点位移与小变形概念
Page 9
第三章 轴向拉压变形
例：求A，C相对位移
FA
D
O
B
*设想固定BD中点 和BD方位
C C
F
*D点随OD杆变形
发 生位移，DC杆平 移、伸长、转动， 由对称性，C点到 达C’点。
AC 2CC '
Page10
第三章 轴向拉压变形
§3-4 拉压与剪切应变能
两条平行的研究途径(从物理、理力到材力)
单向受力
Page15
第三章 轴向拉压变形
•单向受力体应变能
2
V v dxdydz 2E dxdydz
•拉压杆
(x)= FN ( x ) , dydz A
V
l
FN2 ( x) dx 2EA( x)
A （变力变截面杆）
y
V
FN2 l 2EA
（常应力等直杆）
dz
dx
•纯剪应变能密度
dVε
dxdz dy
第三章 轴向拉压变形
外力功、应变能与功能原理
F
F
•外力功( W):构件变形时，外力在相应位移上做的功。
•应变能（ V）：构件因变形贮存能量。
Page12
第三章 轴向拉压变形
•弹性体功能原理： Vε W （根据能量守恒定律）
•功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能与
热能等的变化可忽略不计。
答：切线代圆弧的近似。
Page 6
第三章 轴向拉压变形 例：零力杆：求A点的位移。
*AB杆不受力，不伸长转动。
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例：画节点A的位移
第三章 轴向拉压变形
1
2
3
B
A
B
A
第三章 轴向拉压变形
例：求A，C相对位移
FA
D
O
B
*设想固定BD中点 和BD方位
C C
F
*D点随OD杆变形
发 生位移，DC杆平 移、伸长、转动， 由对称性，C点到 达C’点。
AC 2CC '
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第三章 轴向拉压变形
§3-4 拉压与剪切应变能
两条平行的研究途径(从物理、理力到材力)
单向受力
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第三章 轴向拉压变形
•单向受力体应变能
2
V v dxdydz 2E dxdydz
•拉压杆
(x)= FN ( x ) , dydz A
V
l
FN2 ( x) dx 2EA( x)
A （变力变截面杆）
y
V
FN2 l 2EA
（常应力等直杆）
dz
dx
•纯剪应变能密度
dVε
dxdz dy
第三章 轴向拉压变形
外力功、应变能与功能原理
F
F
•外力功( W):构件变形时，外力在相应位移上做的功。
•应变能（ V）：构件因变形贮存能量。
Page12
第三章 轴向拉压变形
•弹性体功能原理： Vε W （根据能量守恒定律）
•功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能与
热能等的变化可忽略不计。
答：切线代圆弧的近似。
Page 6
第三章 轴向拉压变形 例：零力杆：求A点的位移。
*AB杆不受力，不伸长转动。
Page 7
例：画节点A的位移
第三章 轴向拉压变形
1
2
3
B
A
B
A
材料力学课件-第三章-轴向拉压变形
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7
材料力学ch3-拉压变形
FN2 F2
F2 ( l1 l2 ) F1l1 ( l )分段 EA EA
2. 分解载荷法
F2 ( l1 l2F ) ( lF1 l1 l ) F l 1 1 )分段 l 2 1 2 lF1( l F2 EA EA EA EA
( l )分解载荷 lF1 lF2
FN2 F ( 压缩)
FN1 l1 2F 2l 2Fl ( 伸长) l1 EA E1 A1 EA
FN2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’ 切线代圆弧法 将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替 3. 节点位移计算
l
A1
B
A
l f A l cos a l tg a sin a AA cos a
(l l ) A1 B A1 A
切线代圆弧
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移， 已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
FN1 2F ( 拉伸)
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比 泊松比
'
试验表明：在比例极限内，’ ，并异号
－泊松比 (横向变形系数）
Poisson’s Ratio
0 0.5
• 对于绝大多数各向同性材料
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5
线弹性杆的拉压应变能V来自ε WF l V ε 2 EA
2 N
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dV ε
dxdz dy
2
材料力学 单辉祖主编 第三版 第三章 轴向拉压变形
FN A
轴向正应变：
l1 l l
Hooke’s
Law
FN A
E
l l
轴向变形
FN EA
变形分析
FN EA
胡克定律反映了在比例极限范围内，轴 向伸长和轴力的线性关系
杆件的轴向伸长l与轴力FN, 杆件长度l 成正比，而EA成反比 由于EA越大，杆件的变形越小；EA越小， 变形越大，因此，称EA为杆件的（抗拉） 刚度
第三章
轴向拉压变形
3.1 拉压杆的变形与叠加原理
变形分析
实验发现，拉（压）直杆的变形主要是 轴向变形（纵向变形）
– 当杆拉伸时，杆沿轴向伸长，同时伴随着 横向尺寸的略有缩短 – 当杆压缩时，其轴向尺寸缩短，而横向尺 寸略有增大
F
b
b1
F
l
l1
变形分析
F b l
b1 l1
F
轴向变形
轴向正应力:
l P FN1 L EA 4 Pl EA
2P
EXAMPLE-多力杆
杆件在外力F2=-2P作用 下，左部分杆件的内力 FN2=-2P 右面部分不受力，所以 内力为零。
2P P
l
3l P
2P
这样，杆件在外力F2 作用下的伸长为
l2 P
FN 2 L EA
2 Pl EA
EXAMPLE-多力杆
多于约束
多于约束
静不定问题-概念
求解静不定问题的基本方法
静定与静不定的辩证关系——多余约束的两 种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制 与约束，前者使问题变为不可解，后者使问题变 为可解 求解静不定问题的基本方法——平衡、变形 协调、本构关系（现在的本构关系体现为力与杆 件伸长的关系）
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形
o x
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
第三章北航 材料力学 全部课件 习题答案
δ
Fl 4 EA
3-9
图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即
产生单位轴向变形所需之力）为 k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。
题 3-9 图 解：载荷 F 作用后，刚性梁 AB 倾斜如图(见图 3-9)。设钢丝绳中的轴力为 FN ，其总伸长 为 Δl 。
图 3-9 以刚性梁为研究对象，由平衡方程 M A 0 得
FN a FN (a b) F (2a b)
由此得
FN F
由图 3-9 可以看出，
y (2a b)
Δl Δy1 Δy2 a (a b) (2a b)
可见，
Δy Δl
联立求解方程(a)与(b)，得
(b)
tanθ
由此得
FN1 FN2 (16 8) 103 0.1925 3 ( FN1 FN2 ) 3 (16 8) 103
θ 10.89 10.9
F
FN1 FN2 (16 8) 103 N 2.12104 N 21.2kN 2sinθ 2sin10.89
-4 -4 2 变分别为ε ε 1 = 4.0×10 与 2 = 2.0×10 。已知杆 1 与杆 2 的横截面面积 A1= A2=200mm ，弹性
模量 E1= E2=200GPa。试确定载荷 F 及其方位角 之值。
题 3-5 图 解：1.求各杆轴力
FN1 E1ε1 A1 200109 4.0 104 200106 N 1.6 104 N 16kN FN2 E2 ε2 A2 200109 2.0 104 200106 N 8 103 N 8kN
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第三章 轴向拉压变形
泊松比研究简史 1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题 时
指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并许得多出人=进1/行4。试纳验维来—验柯证西泊—松泊比松为的1/单4的常理数论理结论论
维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237; 1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
1802年任巴黎理学院教授(21岁)，1812 年当选为法国科学院院士(31岁)，1816年 应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得 堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。
材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的 有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、 泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松 流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松 求和法……等。
F1 F2 F1
l O l1
l*
l
Page16
第三章 轴向拉压变形
*几何非线性问题例
l
l
A
B
例：已知 F , l, EA，初始两杆水平，
第三章 轴向拉压变形
讨论：
•一般阶梯形杆：
l n FNili
i1 Ei Ai
n－总段数 FNi－杆段 i 轴力
•变截面变轴力杆
d(l) FN ( x)dx EA( x)
l FN (x) dx l EA(x)
Page13
第三章 轴向拉压变形
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l（续）
2F
•
l1
l2
l3
•
l1
l2
l3
(a)
2F
•
l1
l2
l3
(b)
解法二：各载荷效应叠加
F
la
Fl1 EA1
F
l2 l3 EA2
F
lb
2Fl1 EA1
2Fl2 EA2
l
la
lb
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
与解法一结果一致，引出
叠加原理
Page14
第三章 轴向拉压变形
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, ’＝du/ds
du=’ds
u
d
ds
0
d 4F 0 (D2 d2)E
ds
4Fd
(D2 d2)Edu4Fd (D2 d2)E
d
D D 4FD D2 d2 E
Page11
第三章 轴向拉压变形
三、多力杆的变形与叠加原理
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l
第三章 轴向拉压变形
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言 §3-2 拉压杆的变形与叠加原理 §3-3 桁架的节点位移 §3-4 拉压与剪切应变能 §3-5 简单拉压静不定问题 §3-6 热应力与预应力 §3-7 拉压杆弹塑性分析简介 §3-8 结构优化设计概念简介
Page 1
第三章 轴向拉压变形
本章主要研究:
第三章 轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
历史回顾： “胡克定律” 1678年由Robert Hooke提出。 Hooke 是伦敦皇家学会第一任会长(1662)， 他对弹性体作了许多实验，他与牛顿 是同时代人，没有受牛顿影响而系统 地阐述了万有引力定律。
中国郑玄（127-200）在《考工记·弓 人》的注就提到弓的“每加物一石 (dàn,10斗）)，则张一尺”。唐初贾 公考又对郑注作了详细解释。
第三章 轴向拉压变形 例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
Page10
第三章 轴向拉压变形
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
解： F
4F
E AE D2 d 2 E
4F D2 d2 E
叠加原理的适用范围 *材料线弹性 *小变形 *结构几何线性
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第三章 轴向拉压变形
材料线性问题
F
F
F1
F2
l* l1 l2 , 叠加原理成立。
F F1 F2
F1
O
l1
l O
O
l2
l
l1
l2 l* l
材料非线性问题 l* l1 l2 , 叠加原理不成立。
F
F
F
F1
O l1
F2
l O l2
第三章 轴向拉压变形
二、拉压杆的横向变形与泊松比
b
F
b b1 b
b1
l l1
b
b
F
横向正应变
试验表明：对传统材料，在比例极限内， 且 异号。
定义： 0 0.5 , ——泊松比
Page 6
第三章 轴向拉压变形
泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家 和力学家。1798年入巴黎综合工科学校， 成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。
胡克的弹性实验装置
Page 4
第三章 轴向拉压变形 拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
b
b1
F
l
l1
•轴向变形 l l1 -l •横向变形 b b1 b (伸长为正)
胡克定律
E ( p )
FN ， l
A
l
F l
N E Al
适用范围：线弹性体，比例极限范围内
l FNl
EA
拉压刚度
Page 5
轴向拉压变形分析的基本原理 简单拉压静不定问题分析 热应力与预应力分析 结构优化设计概念简介
Page 2
§3-1 引言
第三章 轴向拉压变形
1 2 34
5
A
F
思考：为什么要研究变形？
A F
下述问题是否与变形（小变形）相关？
•A点位移?
•各杆内力？
•各杆材料不同，温度变化时内力？
Page 3
解：1. 内力分析。轴力图
A1
A2 2F
•
F
FN1 FN 2 F , FN 3 F
l1
l2
l3
2. 变形计算。（用何方法？ ）
FN
方法一：多载荷作用下各段变形叠加
O
F x
步骤：*用截面法分段求轴力；
F
*分段求出变形；
l
l1
l2
l3
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
*求代数和。
Page12
Page 8
第三章 轴向拉压变形
典型材料常数
弹性常数 钢与合金钢 铝合金
E/GPa 200-220 70-72
0.25-
0.26-
0.30
0.34
铜
铸铁
木(顺纹)
100-120 80-160 8-12
0.330.35
0.230.27
对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：
G E
2(1 )
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第三章 轴向拉压变形
泊松比研究简史 1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题 时
指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并许得多出人=进1/行4。试纳验维来—验柯证西泊—松泊比松为的1/单4的常理数论理结论论
维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237; 1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
1802年任巴黎理学院教授(21岁)，1812 年当选为法国科学院院士(31岁)，1816年 应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得 堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。
材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的 有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、 泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松 流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松 求和法……等。
F1 F2 F1
l O l1
l*
l
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第三章 轴向拉压变形
*几何非线性问题例
l
l
A
B
例：已知 F , l, EA，初始两杆水平，
第三章 轴向拉压变形
讨论：
•一般阶梯形杆：
l n FNili
i1 Ei Ai
n－总段数 FNi－杆段 i 轴力
•变截面变轴力杆
d(l) FN ( x)dx EA( x)
l FN (x) dx l EA(x)
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第三章 轴向拉压变形
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l（续）
2F
•
l1
l2
l3
•
l1
l2
l3
(a)
2F
•
l1
l2
l3
(b)
解法二：各载荷效应叠加
F
la
Fl1 EA1
F
l2 l3 EA2
F
lb
2Fl1 EA1
2Fl2 EA2
l
la
lb
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
与解法一结果一致，引出
叠加原理
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第三章 轴向拉压变形
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, ’＝du/ds
du=’ds
u
d
ds
0
d 4F 0 (D2 d2)E
ds
4Fd
(D2 d2)Edu4Fd (D2 d2)E
d
D D 4FD D2 d2 E
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第三章 轴向拉压变形
三、多力杆的变形与叠加原理
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l
第三章 轴向拉压变形
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言 §3-2 拉压杆的变形与叠加原理 §3-3 桁架的节点位移 §3-4 拉压与剪切应变能 §3-5 简单拉压静不定问题 §3-6 热应力与预应力 §3-7 拉压杆弹塑性分析简介 §3-8 结构优化设计概念简介
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第三章 轴向拉压变形
本章主要研究:
第三章 轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
历史回顾： “胡克定律” 1678年由Robert Hooke提出。 Hooke 是伦敦皇家学会第一任会长(1662)， 他对弹性体作了许多实验，他与牛顿 是同时代人，没有受牛顿影响而系统 地阐述了万有引力定律。
中国郑玄（127-200）在《考工记·弓 人》的注就提到弓的“每加物一石 (dàn,10斗）)，则张一尺”。唐初贾 公考又对郑注作了详细解释。
第三章 轴向拉压变形 例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
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第三章 轴向拉压变形
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
解： F
4F
E AE D2 d 2 E
4F D2 d2 E
叠加原理的适用范围 *材料线弹性 *小变形 *结构几何线性
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第三章 轴向拉压变形
材料线性问题
F
F
F1
F2
l* l1 l2 , 叠加原理成立。
F F1 F2
F1
O
l1
l O
O
l2
l
l1
l2 l* l
材料非线性问题 l* l1 l2 , 叠加原理不成立。
F
F
F
F1
O l1
F2
l O l2
第三章 轴向拉压变形
二、拉压杆的横向变形与泊松比
b
F
b b1 b
b1
l l1
b
b
F
横向正应变
试验表明：对传统材料，在比例极限内， 且 异号。
定义： 0 0.5 , ——泊松比
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第三章 轴向拉压变形
泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家 和力学家。1798年入巴黎综合工科学校， 成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。
胡克的弹性实验装置
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第三章 轴向拉压变形 拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
b
b1
F
l
l1
•轴向变形 l l1 -l •横向变形 b b1 b (伸长为正)
胡克定律
E ( p )
FN ， l
A
l
F l
N E Al
适用范围：线弹性体，比例极限范围内
l FNl
EA
拉压刚度
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轴向拉压变形分析的基本原理 简单拉压静不定问题分析 热应力与预应力分析 结构优化设计概念简介
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§3-1 引言
第三章 轴向拉压变形
1 2 34
5
A
F
思考：为什么要研究变形？
A F
下述问题是否与变形（小变形）相关？
•A点位移?
•各杆内力？
•各杆材料不同，温度变化时内力？
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解：1. 内力分析。轴力图
A1
A2 2F
•
F
FN1 FN 2 F , FN 3 F
l1
l2
l3
2. 变形计算。（用何方法？ ）
FN
方法一：多载荷作用下各段变形叠加
O
F x
步骤：*用截面法分段求轴力；
F
*分段求出变形；
l
l1
l2
l3
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
*求代数和。
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第三章 轴向拉压变形
典型材料常数
弹性常数 钢与合金钢 铝合金
E/GPa 200-220 70-72
0.25-
0.26-
0.30
0.34
铜
铸铁
木(顺纹)
100-120 80-160 8-12
0.330.35
0.230.27
对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：
G E
2(1 )
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