材料力学 轴向拉压变形.
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材料力学第2章 轴向拉伸和压缩
18
为研究轴向拉（压）杆沿轴线方向的线应变， 可沿轴线方向在x截面处任取微段Δx（见图2.13）， 微段变形后其长度的改变量为Δu，比值Δu/Δx为微 段Δx的平均线应变。当Δx无限缩短而趋于零时， 其极限值
图2.13
19
拉（压）杆的变形与材料的性能有关，只能通 过试验来获得。试验表明，在弹性变形范围内，杆 件的变形Δl与轴力FN及杆长l成正比，与横截面面 积A成反比，即
1
概 述
图2.1
图2.2
2
第二节 轴力 轴力图 无论对受力杆件作强度或刚度计算时，都需首 先求出杆件的内力。关于内力的概念及计算方法， 已在上一章中阐述。
3
第三节 拉（压）杆截面上的应力 内力是由外力引起的，仅表示某截面上分布内 力向截面形心简化的结果。而构件的变形和强度不 仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以 及内力在截面上的分布情况。为此，需引入应力 （stress）的概念。
图2.11
13
设产生应力集中现象的截面上最大应力为ζ max，同一截面视作均匀分布按净面积A0计算的名 义应力为ζ0，即ζ0=FN/A0，则比值
14
第四节 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比 工程构件受力后，其几何形状和几何尺寸都要 发生改变，这种改变称为变形（deformation）。 当荷载不超过一定的范围时，构件在卸去荷载后可 以恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸去后只 能部分地复原，而残留一部分不能消失的变形。在 卸去荷载后能完全消失的那一部分变形称为弹性变 形（elastic deformation），不能消失而残留下来 的那一部分变形称为塑性变形（ductile deformatio n）。
15
现以图2.12所示等截面杆为例来研究轴向拉 （压）杆的变形。在轴向外力F的作用下，杆件的 轴向、横向的尺寸均会发生改变。设杆件变形前原 长为l，横向尺寸为d，变形后长度为l′，横向尺寸 为d′，称 为轴向变形，称
(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩
24
根据Saint-Venant原理：
25
7. 应力集中（Stress Concentration）：
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限，此位置开裂，所 以脆性材料构件对应力集中很敏感。
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L，受轴线方向均布力 q 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。 q
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
在静载荷情况下，不需考虑应力集中的影响；但 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料 的影响。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
m ax
②设计截面尺寸：
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
材料力学第3章 轴向拉压变形
Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
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3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
§4-5 轴向拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
材料力学课件-第三章-轴向拉压变形
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
Page30
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7
材料力学ch3-拉压变形
FN2 F2
F2 ( l1 l2 ) F1l1 ( l )分段 EA EA
2. 分解载荷法
F2 ( l1 l2F ) ( lF1 l1 l ) F l 1 1 )分段 l 2 1 2 lF1( l F2 EA EA EA EA
( l )分解载荷 lF1 lF2
FN2 F ( 压缩)
FN1 l1 2F 2l 2Fl ( 伸长) l1 EA E1 A1 EA
FN2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’ 切线代圆弧法 将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替 3. 节点位移计算
l
A1
B
A
l f A l cos a l tg a sin a AA cos a
(l l ) A1 B A1 A
切线代圆弧
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移， 已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
FN1 2F ( 拉伸)
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比 泊松比
'
试验表明：在比例极限内，’ ，并异号
－泊松比 (横向变形系数）
Poisson’s Ratio
0 0.5
• 对于绝大多数各向同性材料
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5
线弹性杆的拉压应变能V来自ε WF l V ε 2 EA
2 N
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dV ε
dxdz dy
2
05材料力学-轴向拉伸与压缩
§5.2 拉、压杆的强度计算
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
N ( x) max max( ) A( x)
依强度准则可进行三种强度计算： ① 校核强度：
其中：[]—许用应力， max—危险点的最大工作应力。
max
P
② 设计截面尺寸： Amin N max
1
引
言
构件是各种工程结构组成单元的统称。机械中的轴、杆
件，建筑物中的梁、柱等均称为构件。当工程结构传递运动或
承受载荷时，各个构件都要受到力的作用。为了保证机械或建 筑物的正常工作，构件应满足以下要求： 强度要求 所谓强度，是指构件抵抗破坏的能力。 刚度要求 所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。
稳定性要求 所谓稳定性，是指构件保持其原有平衡形态的
22
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 拉伸应力：
P
N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
N ( x) max max( ) A( x)
23
能力。 构件的强度、刚度和稳定性问题与其所选用材料的力学性
质有关，而材料的力学性质必须通过实验来测定。
2
杆件在不同的外力作用下将产生不同形式的变形，主要有： 1．轴向拉伸和压缩 ：其受力特点是：作用在杆件的力，大 小相等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合，因此在这种外 力作用下，变形特点是：杆件的长度发生伸长或缩短。起吊重 物的钢索、桁架的杆件、液压油缸的活塞杆等的变形，都属于
材料力学之四大基本变形
WZ
IZ ymax
一、变形几何关系
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
Q2
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线 重合。 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动
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2、几何方程：
2L2 L1 L3
3、力的补充方程：
L
FN L EA
2FN 3
4、联立平衡方程和补充方程得:
FN1
1 6
F; FN 2
1 3
F; FN3
5 6
F.
23
解：、平衡方程:
FN3 FN 2 cos 0
——（1）
L2
L1
FN1 FN 2 sin F 0 ——（2）
、几何方程——变形协调方程：
L3
y x
A3 A
L3 L2
F
A2
L1
L1
L2
sin
L3ctg
、补充方程：由物理方程代入几何方程得：
L FN L EA
FN2
A0
FN1
A1 FN1L1 FN 2L2 FN 3L3 ctg ——（3） EA1 EA2 sin EA3
A 76.36
L
FN L EA
11.551.6 76.36 177
1.361(0mm)
A
800
A
刚索
B 60°60° D 400 C 400 F
3）画变形图求C点的垂直位移为：
C
BB DD 1 2
sin 60 2 2
sin 60
L 1.36 0.79(mm) 2sin 60 2 3 2
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 B
持结构几何不变性所需要的杆或支座。
1
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
D 3
C 2
A
F 17
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
求位移,变形图如图
B
F
E
H G
D
LEF LGH EG
DG
D
E1
D1
G1
LGH 1.70 mm
A
C
C D LCD 2.61mm
A1
A LAB 2.61mm
C1
16
§3—4简单拉压超静定
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
刚索
BC
D
△1
B′
△c △2
D′
11
例：结构如图，已知材料的[]=2 M P a ，E=20 G P a,混凝土 容重=22k N/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△ A。
F=100kN FN A x1
解：1、画轴力图 F AB：FN1（x1）=-F-γ A1x1
BC：FN2（x2）=-F-γ L1A1-γ A2x2
FN1max A1 1 0.07F1max A1 1
FN 2max A2 2 0.72F2max A2 2
角钢面积由型钢表查得:A 1=3.086 c㎡
F1max A1
/ 0.07 308.6160/ 0.07 705.4(kN)
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
L FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
18
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3 三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2=L、 L3；各杆面积为 A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
2、由强度条件求面积
B x2
F+γ L1A1
max
FN max A
12m 12m
C
X
F+γ L1A1+γ L2A2
12
F
L1 A1
A1
A1
F
L1
F
L1 A1 L2 A2
A2
A2
F L1 A1
L2
补充方程：由力与变形的物理条件得：
Y
A1
FN1
FN3
FN2
L FN L EA
FN1L1 FN 3 L3 cos
E1 A1
E3 A3
X
、联立静力方程与力的补充方程得:
A
F
FN1
FN 2
E1A1F cos2 2E1A1 cos3 E3 A3
;
FN 3
2E1 A1
E3 A3F
1
第三章 轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形与叠加原理 §3—2 桁架的节点位移 §3—3 拉压与剪切应变能
§3—4简单拉压超静定 拉压变形小结
2
§3—1 轴向拉压杆的变形
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
二、分析两种变形
L F
L1
b
F b1
弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。
塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。
位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。
正应变——微小线段单位长度的变形。
6
x
F A a
2F
已知：杆件的 E、A、F、a 。
F
求：△LAC、δ B（B 截面位移）
ε AB （AB 段的正应变）。
B a
3F
解：1、画FN 图：
C
2、计算：
FN
(1).L
FN L EA
LAC
LAB
LBC
Fa EA
3Fa EA
4Fa EA
(2). B
(3).
LBC
AB
3Fa
EA
LAB
LAB
Fa a
EA
F EA
7
§3—3 桁架的节点位移
怎样画小变形放大图？
分析：
A
L1
B L2
1
F2max A2
/ 0.72 2502 12/ 0.72 1042(kN)
2
［Fmax］=705.4 kN
22
例 图示结构,已知： L、A、E、a、F 。求：各杆轴力。
解：1、平衡方程:
L3 2 1 aa
A
B
F
FN3 FN2 FN1
△L2
F △L3
△L1
Y 0 FN1 FN 2 FN3 F 0 M A 0 FN 2a FN12a 0
、补充方程：LT 2aT ;
F2
L N
FN1a EA1
无量刚。
4
叠加原理： ①当各段的轴力为常量时——
L L1 L2 L3
FNi Li EAi
②当轴力为x的函数时 N=N(x)——
L dL1 dL2 dL3
FN (x)dx L EA
使用公式的时，轴力一定要代入其正、负号。
注意：（1）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。
B
D
C
1
3
2
A
19
F
B 1
D 3
C 解：、平衡方程:
2
X 0 FN1 sin FN2 sin 0
Y 0 FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
A
△L2
△L1
△ L P3
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
3
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
（1）、轴向正应变线应变： L
L 值为“+”——拉应变，
lim L
L0 L
值为“-”——压应变。
（2）、在弹性范围内： L FN L
A
L FN L EA
----胡克定律
E——弹性模量与材料有关，单位——同应力。 EA——抗拉压刚度。
q0 =100kN /m GH 都由两根不等边角钢组成，
E
已知材料的[]=170 MP a ，
F=300kN 1.2 m D 1.8 m G E=210 G P a ，AC、EG 可视为
A 0.8 m 3.2 m
C
刚杆，试选择各杆的截面型号
和A、D、C点的位移。
FNE
FNG 解：求内力，受力分析如图
E
q 0 =100kN /m
D
G
3.2 FNA 4 300 240(kN)
FNA F=300 kN A
FND FND
C
FND
0.8 300 4
60(k N)
FNE 186 (kN)
FNG 174 (k N)
14
由强度条件求面积
FN A
A
FN
FN3 F
、联立（1）、（2）、（3）得:
FN1; FN 2; FN 3 1; 2; 3
24
3—5 热应力与预应力（温度应力、装配应力） 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。
2L2 L1 L3
3、力的补充方程：
L
FN L EA
2FN 3
4、联立平衡方程和补充方程得:
FN1
1 6
F; FN 2
1 3
F; FN3
5 6
F.
23
解：、平衡方程:
FN3 FN 2 cos 0
——（1）
L2
L1
FN1 FN 2 sin F 0 ——（2）
、几何方程——变形协调方程：
L3
y x
A3 A
L3 L2
F
A2
L1
L1
L2
sin
L3ctg
、补充方程：由物理方程代入几何方程得：
L FN L EA
FN2
A0
FN1
A1 FN1L1 FN 2L2 FN 3L3 ctg ——（3） EA1 EA2 sin EA3
A 76.36
L
FN L EA
11.551.6 76.36 177
1.361(0mm)
A
800
A
刚索
B 60°60° D 400 C 400 F
3）画变形图求C点的垂直位移为：
C
BB DD 1 2
sin 60 2 2
sin 60
L 1.36 0.79(mm) 2sin 60 2 3 2
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 B
持结构几何不变性所需要的杆或支座。
1
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
D 3
C 2
A
F 17
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
求位移,变形图如图
B
F
E
H G
D
LEF LGH EG
DG
D
E1
D1
G1
LGH 1.70 mm
A
C
C D LCD 2.61mm
A1
A LAB 2.61mm
C1
16
§3—4简单拉压超静定
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
刚索
BC
D
△1
B′
△c △2
D′
11
例：结构如图，已知材料的[]=2 M P a ，E=20 G P a,混凝土 容重=22k N/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△ A。
F=100kN FN A x1
解：1、画轴力图 F AB：FN1（x1）=-F-γ A1x1
BC：FN2（x2）=-F-γ L1A1-γ A2x2
FN1max A1 1 0.07F1max A1 1
FN 2max A2 2 0.72F2max A2 2
角钢面积由型钢表查得:A 1=3.086 c㎡
F1max A1
/ 0.07 308.6160/ 0.07 705.4(kN)
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
L FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
18
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3 三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2=L、 L3；各杆面积为 A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
2、由强度条件求面积
B x2
F+γ L1A1
max
FN max A
12m 12m
C
X
F+γ L1A1+γ L2A2
12
F
L1 A1
A1
A1
F
L1
F
L1 A1 L2 A2
A2
A2
F L1 A1
L2
补充方程：由力与变形的物理条件得：
Y
A1
FN1
FN3
FN2
L FN L EA
FN1L1 FN 3 L3 cos
E1 A1
E3 A3
X
、联立静力方程与力的补充方程得:
A
F
FN1
FN 2
E1A1F cos2 2E1A1 cos3 E3 A3
;
FN 3
2E1 A1
E3 A3F
1
第三章 轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形与叠加原理 §3—2 桁架的节点位移 §3—3 拉压与剪切应变能
§3—4简单拉压超静定 拉压变形小结
2
§3—1 轴向拉压杆的变形
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
二、分析两种变形
L F
L1
b
F b1
弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。
塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。
位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。
正应变——微小线段单位长度的变形。
6
x
F A a
2F
已知：杆件的 E、A、F、a 。
F
求：△LAC、δ B（B 截面位移）
ε AB （AB 段的正应变）。
B a
3F
解：1、画FN 图：
C
2、计算：
FN
(1).L
FN L EA
LAC
LAB
LBC
Fa EA
3Fa EA
4Fa EA
(2). B
(3).
LBC
AB
3Fa
EA
LAB
LAB
Fa a
EA
F EA
7
§3—3 桁架的节点位移
怎样画小变形放大图？
分析：
A
L1
B L2
1
F2max A2
/ 0.72 2502 12/ 0.72 1042(kN)
2
［Fmax］=705.4 kN
22
例 图示结构,已知： L、A、E、a、F 。求：各杆轴力。
解：1、平衡方程:
L3 2 1 aa
A
B
F
FN3 FN2 FN1
△L2
F △L3
△L1
Y 0 FN1 FN 2 FN3 F 0 M A 0 FN 2a FN12a 0
、补充方程：LT 2aT ;
F2
L N
FN1a EA1
无量刚。
4
叠加原理： ①当各段的轴力为常量时——
L L1 L2 L3
FNi Li EAi
②当轴力为x的函数时 N=N(x)——
L dL1 dL2 dL3
FN (x)dx L EA
使用公式的时，轴力一定要代入其正、负号。
注意：（1）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。
B
D
C
1
3
2
A
19
F
B 1
D 3
C 解：、平衡方程:
2
X 0 FN1 sin FN2 sin 0
Y 0 FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
A
△L2
△L1
△ L P3
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
3
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
（1）、轴向正应变线应变： L
L 值为“+”——拉应变，
lim L
L0 L
值为“-”——压应变。
（2）、在弹性范围内： L FN L
A
L FN L EA
----胡克定律
E——弹性模量与材料有关，单位——同应力。 EA——抗拉压刚度。
q0 =100kN /m GH 都由两根不等边角钢组成，
E
已知材料的[]=170 MP a ，
F=300kN 1.2 m D 1.8 m G E=210 G P a ，AC、EG 可视为
A 0.8 m 3.2 m
C
刚杆，试选择各杆的截面型号
和A、D、C点的位移。
FNE
FNG 解：求内力，受力分析如图
E
q 0 =100kN /m
D
G
3.2 FNA 4 300 240(kN)
FNA F=300 kN A
FND FND
C
FND
0.8 300 4
60(k N)
FNE 186 (kN)
FNG 174 (k N)
14
由强度条件求面积
FN A
A
FN
FN3 F
、联立（1）、（2）、（3）得:
FN1; FN 2; FN 3 1; 2; 3
24
3—5 热应力与预应力（温度应力、装配应力） 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。