【志鸿优化】2015届高三数学(文)一轮课时作业：8.2 空间几何体的表面积和体积]
高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积(含答案)
高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积（含答案）8.2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球.棱柱.棱锥.棱台的表面积和体积的计算公式.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征.三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积.侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱.圆锥.圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧r1r2l3.柱.锥.台.球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱S表面积S侧2S底VSh锥体棱锥和圆锥S表面积S侧S 底V13Sh台体棱台和圆台S表面积S侧S上S下V13S上S下S上S下h球S4R2V43R3知识拓展1与体积有关的几个结论1一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差2底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切.接常用结论1正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R3a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R2a.2若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2Ra2b2c2.3正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1多面体的表面积等于各个面的面积之和2锥体的体积等于底面积与高之积3球的体积之比等于半径比的平方4简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差5长方体既有外接球又有内切球6圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.题组二教材改编2P27T1已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A1cmB2cmC3cmD.32cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3P28A组T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1131212a12b12c148abc，剩下的几何体的体积V2abc148abc4748abc，所以V1V2147.题组三易错自纠4xx西安一中月考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A3B4C24D34答案D解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为22212121243.5xx全国体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A12B.323C8D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4R22R212，故选A.6xx大连调研如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________答案11解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥132383，V半球124323163，所以V剩余V半球V圆锥83，故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.题型一求空间几何体的表面积1xx全国如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是A17B18C20D28答案A解析由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球被过球心O 且互相垂直的三个平面切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和由43R31843R3283，得球的半径R2.则得S784223142217，故选A.2xx黑龙江哈师大附中一模已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.73B.172C13D.173102答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则CC平面ABC，上.下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB2，AB22.棱台的上底面面积为121112，下底面面积为12222，梯形ACCA的面积为121223，梯形BCCB的面积为121223，过A作ADAC 于点D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的12，DE22，AEAD2DE232，梯形ABBA的面积为122223292，几何体的表面积S122339213，故选C.思维升华空间几何体表面积的求法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例xx浙江某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的体积单位cm3是A.21B.23C.321D.323答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体体积为V1312123131222321.命题点2求简单几何体的体积典例xx广州调研已知E，F 分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为________答案16a3解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1HB1D于点H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高因为B1O1HB1DD1，所以O1HB1O1DD1B1D66a.所以11CBEDFV131BEDFS四边形O1H1312EFB1DO1H13122a3a66a16a3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D12a.由题意得，11111CBEDFBCEFDCEFVVV四棱锥三棱锥三棱锥131CEFSh1h216a3.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体.锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法.分割法.补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1xx新乡二模已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323B.163C.83D.43答案C解析该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥1211121312111283，故选C.2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为A.23B.33C.43D.32答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF12，AGGDBHHC32，取AD 的中点O，连接GO，易得GO22，SAGDSBHC1222124，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC132412224123.故选A.题型三与球有关的切.接问题典例xx全国在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V 的最大值是A4D.323答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为92.引申探究1若将本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球体对角线BC1的长为球O的直径因此2R324212213.故S球4R2169.2若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，4r222r2，解得r94，则球O的体积V球43r34394324316.思维升华空间几何体与球接.切问题的求解方法1求解球与棱柱.棱锥的接.切问题时，一般过球心及接.切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接.切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解跟踪训练xx深圳调研如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD2，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为C.23D2答案A解析如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD2，所以AE22，EO12.所以OA32.在RtBDC中，OBOCOD12BC32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V4332332.三视图基本的.和球联系的考点分析三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积.体积等知识，所涉及的几何体既包括柱.锥.台.球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于A.1603B160C64322D60解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥13164643，故该几何体的体积VV直三棱柱V四棱锥326431603，故选A.答案A典例2某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为32，所以该组合体的体积V131221321144313343.答案343。
2015高考数学配套课件：8-2 空间几何体的表面积、体积
柱＝ 2πr2＋2πrl 、S 锥＝ πr2＋πrl
.
(4)若圆台的上下底面半径为 r1、r2，母线长为 l，则圆台的 表面积为 S＝ π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l .
(5)球的表面积为 4πR2 .
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新课标版 ·高三数学（文）
的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，
且 SC＝2，则此棱锥的体积为( )
2 A. 6
3 B. 6
2 C. 3
2 D. 2
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【解析】 ∵SC 是球 O 的直径，
∴∠CAS＝∠CBS＝90°.
为
2，则其体积为16(
2)3＝
2 3.
(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为 a、
b、c，则其体积为16abc)．
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3. (2012·浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示， 则该三棱锥的体积等于________．
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2015高考数学一轮导学案：空间几何体的表面积和体积
第二节 空间几何体的表面积和体积【考纲下载】了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．2．多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平，分别得到什么图形？ 提示：分别得到矩形、扇形、扇环．1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 ( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π解析：选C 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，即a ＝2. 故该正方体的内切球的半径r ＝1，所以该正方体的内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．直角三角形两直角边AB ＝3，AC ＝4，以AB 为轴旋转一周所得的几何体的体积为( )A ．12πB ．16πC ．9πD ．24π解析：选B 以AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆锥，且底面圆的半径为4，圆锥的高为3.故体积V ＝13×π×42×3＝16π.3. (2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 4．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析：该几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3.答案：π35．(2013·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2，高为4的圆柱中间挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，所以其体积为π×22×4－22×4＝16π－16.答案：16π－16[典例] (2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240[解题指导] 将三视图还原为几何体，然后再选用相关公式求解．[解析] 由三视图可得该几何体是直四棱柱，其底面为上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，棱柱高为10，如图所示，故体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200.[答案] C某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：选A 该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12π×22×4＝16＋8π.考点一 空间几何体的表面积[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P 在底面上的投影D 在棱AB 上，且∠ABC ＝90°，据正、俯视图知，AD ＝2，BD ＝3，PD ＝4，据侧视图知，BC ＝4.综上所述，可知BC ⊥平面P AB ， PB ＝PD 2＋BD 2＝5，PC ＝BC 2＋PB 2＝16＋25＝41， AC ＝AB 2＋BC 2＝41， P A ＝PD 2＋AD 2＝2 5. ∵PC ＝AC ＝41，∴△P AC 的边P A 上的高为h ＝ PC 2－⎝⎛⎭⎫P A 22＝6.∴S △P AB ＝12AB ·PD ＝10，S △ABC ＝12AB ·BC ＝10，S △PBC ＝12PB ·BC ＝10，S △APC ＝12P A ·h ＝6 5.故三棱锥的表面积为S △P AB ＋S △ABC ＋S △PBC ＋S △APC ＝30＋6 5. (2)该几何体的直观图如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．∴S 表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. [答案] (1)B (2)38 【方法规律】空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A ．372B ．360C ．292D ．280解析：选B 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积． [例2]（1）(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3 (2)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.[自主解答] (1)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，则几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.(2)由题意，四边形ABCD 为正方形，连接AC ，交BD 于O ，则AC ⊥BD .由面面垂直的性质定理，可证AO ⊥平面BB 1D 1D .四棱锥底面BB 1D 1D 的面积为32×2＝62，从而VA -BB 1D 1D ＝13×OA ×S 长方形BB 1D 1D ＝6.[答案] (1)B (2)6空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163D ．6解析：选B 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为62＝3，母线长为2，故V ＝10×4×5＋1π×32×2＝200＋9π.[例3] (2014·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310[自主解答] 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. [答案] C 【互动探究】侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的外接球半径是多少？ 解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.【方法规律】与球有关的组合体的类型及解法(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3.——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种思想——转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2种方法——割补法与等积法(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.[全盘巩固]1．设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2πB.6πC.π6D.π2解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎫233R 2＝π2.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.16B.13C.23D ．1 解析：选B 根据该三视图可知，该几何体是三棱锥，V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝13. 3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－3π2B ．24－π3C ．24－πD ．24－π2解析：选A 据三视图可得该几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.4．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 解析：选C 该几何体的上下部分为长方体，中间部分为圆柱．S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2. 5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．163C ．24 3D ．48 3 解析：选D 如图设球的半径R ， 由43πR 3＝323π，得R ＝2. ∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝4 3.∴V ＝34×(43)2×4＝48 3.6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是( )A ．24 cm 2 B.643cm 2C ．(6＋25＋22)cm 2D ．(24＋85＋82)cm 2 解析：选D 如图所示，依题意可知四棱锥P -ABCD 是此几何体的直观图，在四棱锥P - ABCD 中，平面P AB 与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是正方形，△P AD ≌△PBC ，△P AB 是等腰三角形，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，连接PM 、PN 、MN ，由题知PM ＝AB ＝4，MN ＝4，则PN ＝42，故此几何体的表面积为S ＝S 正方形ABCD ＋S △P AB ＋2S △PBC ＋S △PCD ＝4×4＋12×4×4＋2×12×4×25＋12×4×42＝(24＋85＋82)cm 2. 7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．解析：如图所示，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝⎛⎭⎫13R 2，即R 2＝98. 由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.答案：9π28．(2014·杭州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解析：据三视图可知该几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h ′＝52＋⎝⎛⎭⎫5222＝562，因此表面积S ＝12×4×52×562＋12×10×10＝50(1＋3)．答案：50(1＋3)9．一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm ，则该几何体的体积为________cm 3.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底为4 cm ，下底为5 cm ，高为3 cm ，四棱柱的高为4 cm ，所以该几何体的体积为4＋52×3×4＝54 cm 3.答案：5410.如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1-B 1EDF 的体积．解：连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1-B 1EDF ＝VB 1-C 1EF ＋VD -C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 11．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.12.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式．(2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ，∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0<x <2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0<x <2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－(x 2－2)2＋4. ∵0<x <2，∴0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43. [冲击名校]1．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22解析：选A 由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 的底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍．所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍．在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， 故V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. [高频滚动]1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选C侧视图是从图形的左边向右边看，看到一个矩形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直．若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为()A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：选C在四棱锥P-ABCD中，连接AC，由正视图和侧视图可得PC＝BC＝CD＝1，故AC＝2，最长的棱为P A＝PC2＋AC2＝ 3.。
高三数学一轮复习课时作业 第2讲 空间几何体的表面积和体积
§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲 空间几何体的表面积和体积A 级 基础达标1.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A ．1∶1B ．2∶1 C.2∶3D ．3∶22.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺D.48丈6尺3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16B.12C.23D.134．正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π B ．8π C ．12π D ．16π5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．106.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋5 7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．B 级 知能提升1.如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A.113B.83C.163D.2232.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2＋ 5B.4＋5C.2＋2 5D.53.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．4.如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．5.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．——★参考答案★——A级基础达标1.『答案』A『解析』 根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A. 2. 『答案』 B『解析』 设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺．故选B. 3.『答案』 D『解析』 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＝13.故选D.4．『答案』 B『解析』 由正弦定理得3sin60°＝2r (其中r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r ＝1，∴外接球的半径R ＝12＋12＝2，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选B. 5.『答案』 D『解析』 由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P －ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D.6.『答案』 C『解析』 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2.又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3， 从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.故选C.7.『答案』 B『解析』 由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的14圆锥．其体积V ＝63－13×14×π×32×6＝216－9π2.故选B.8．『答案』 32『解析』 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R . ∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 9.『答案』 2(π＋3)『解析』 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3). 10.『答案』1603『解析』 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为12×4×4×8－13×12×4×4×4＝64－323＝1603.B 级 知能提升1.『答案』 D『解析』 根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P －ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选D.2.『答案』 C『解析』 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC )，如图，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C. 3.『答案』 36π『解析』 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 4.解：解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥． 则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8， 所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.5. 解：如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ， 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333cm ， 又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝⎛⎭⎫3253＋34×20×30＝1900(cm 3)．故棱台的体积为1900 cm 3.。
2015届高三数学(文)一轮课件：8.2 空间几何体的表面积和体积
4
PB1= A1B1,则多面体 P-BB1C1C 的体积为
答案:
.
16
3
解析:∵四棱锥 P-BB1C1C 的底面积为 16,高 PB1=1,
1
3
16
3
∴-1 1 C = ×16×1= .
基础梳理
自我检测
第十三页，编辑于星期五：九点 四十一分。
第2讲 空间几何体的表面积和体积
题型一
考纲考向
1
6
方法三:1 -1 EDF = 多面体1 1 E-1 1 FD − -1 1 1 1 − -1 1 D = a3.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第二十页，编辑于星期五：九点 四十一分。
第2讲 空间几何体的表面积和体积
题型二
几何体的体积
21
考纲考向
例2
考点基础
点拨提示
侧面展开图
第四页，编辑于星期五：九点 四十一分。
第2讲 空间几何体的表面积和体积
基础梳理
基础梳理
1
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
2
名称
侧面展开图形状
正n
n 个全等的
棱锥
等腰三角形
正n
棱台
n 个全等的
等腰梯形
自我检测
考纲考向
侧面展开图
第五页，编辑于星期五：九点 四十一分。
第2讲 空间几何体的表面积和体积
3
直棱柱
基础梳理
S 侧=Ch
V=Sh
自我检测
第六页，编辑于星期五：九点 四十一分。
第2讲 空间几何体的表面积和体积
基础梳理
1
考纲考向
正棱台
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1 2 3 4 5
2π 3
2.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3cm,圆心角为 的扇形,则此 圆锥的高为 cm.
关闭
设圆锥的底面半径为 r cm, 则 2πr= ×3,所以 r=1(cm),此圆锥的高为 32 -12 =2√2(cm). 3 2√2
8.2
空间几何体的表面积与体积
-2-
考纲要求
1.了解球体、柱 体、锥体、台体的 表面积的计算公式. 2.了解球体、柱 体、锥体、台体的 体积计算公式.
题 型 选 择 题 填 空 题 解 答 题
五年考题统计 2010 全国,文 7 2010 全国,文 18 2012 全国,文 7 2012 全国,文 19 2013 全国Ⅰ,文 15 2013 全国Ⅱ,文 15 2014 全国Ⅱ,文 6 2014 全国Ⅱ,文 18
-3知识梳理 双击自测
1.柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 面积 S 侧=2πrh S 侧= πrl S 侧=π(r1+r2)l S 侧= Ch S 侧= Ch' S 侧= (C+ 2 C')h' 2 S 球面=4πR
2 1 1
体积 V= Sh =πr2h V= Sh= πr2h
-5知识梳理 双击自测
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的 侧面积是 2πS.( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该 球的表面积为 3πa2.( ) (3)若一个球的体积为 4√3π,则它的表面积为 12π.( ) (4)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 24cm3.( )
2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
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第二节 空间几何体的表面积与体积
解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的 外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝2 3(R为 球的半径)，∴R＝ 3，∴球的体积V＝43πR3＝4 3π. 答案：4 3π
数学
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第二节 空间几何体的表面积与体积
第二节
空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
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第一页，编辑于星期五：九点 四十三分。
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第二节 空间几何体的表面积与体积
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图
侧面
积公式
S圆柱侧＝ 2πrl
S圆锥侧＝ πrl
S圆台侧＝ π(r＋r′)l
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第二节 空间几何体的表面积与体积
角度一 直三棱柱的外接球
1．(2013·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在
球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，
则球O的半径为
()
3 17 A. 2
答案：137
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第二节 空间几何体的表面积与体积
与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、
易失分点.命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有： 1直三棱柱的外接球； 2正长方体的外接球； 3正四面体的内切球； 4四棱锥的外接球.
2015高考数学一轮精品课件：8.2 空间几何体的表面积与体积
巩固提升
)
关闭
2,高为 2 的圆柱体和半径为
28由三视图可知,该几何体为底面半径是
16
4
4
28
2
A. π
B. π
C. π+8
D.12π
的球体的组合体,分别计算其体积,相加得
3
3
3 π×2 ×2+ π= π.
A
3
3
解析
1
关闭
答案
答案
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8.2
第八章
空间几何体的表面积与体积
1
1
1
3
3
3
r.∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC= S 侧·r+ S△ABC·r= S
·r=(3 2+2 3)r.
表
考点一
考点二
第二十四页，编辑于星期五：十三点 五分。
8.2
第八章
空间几何体的表面积与体积
考纲要求
1
1
3
2
又 VP-ABC= × ×
得 r=
2 3
第八章
8.2
空间几何体的表面积与体积
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
方法提炼
解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相
关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多
地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问
题平面化的目的.
考点一
考点二
第二十六页，编辑于星期五：十三点 五分。
第八章
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第2讲空间几何体的表面积和体积
基础巩固
1.已知一正方体的外接球的体积是,则这个正方体的棱长是()
A. B. C. D.
答案:D
解析:设正方体的外接球半径为r,正方体的棱长为a,则πr3=π,即r=1.于是可得a=2r=2.故a=.
2.下面不是正方体表面展开图的是()
答案:C
解析:根据正方体的结构特征可知,C项中图不是正方体的表面展开图.
3.若一正三棱锥的底面边长为6,高为,则这个三棱锥的全面积为()
A.9
B.18
C.9()
D.
答案:C
解析:因为底面边长为6,高为,
所以底面高为3,
则侧面高为.
故所求全面积为×6××3+×3×6=9+9=9().
4.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为()
A. B. C. D.
答案:D
解析:V B'-ABC=×BB'×S△ABC=×3××12=.
5.圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形,则圆柱的全面积为()
A.6π(4π+3)
B.8π(3π+1)
C.6π (4π+3)或8π(3π+1)
D.6π(4π+1)或8π(3π+2)
答案:C
解析:设圆柱的底面半径为r,母线为l,则
解之可得
故所求圆柱的全面积为24π2+8π或24π2+18π,
即8π(3π+1)或6π(4π+3).
6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()
A.108cm3
B.100cm3
C.92cm3
D.84cm3
答案:B
解析:由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故其体积为6×3×6-
×3×42=100(cm3).
7.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为()
A.1∶
B.1∶9
C.1∶3
D.1∶(3-1)
答案:D
解析:利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方,而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方处理.
8.正棱锥的高缩小为原来的,底面外接圆半径扩大为原来的3倍,则它的体积是原来体积的()
A. B.
C. D.
答案:B
解析:设原棱锥高为h,底面面积为S,则V=Sh.
由题意知新棱锥的高为,底面面积为9S,则新棱锥的体积V'=·9S·.故.
9.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为cm.
答案:13
解析:根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为=13(cm).
10.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为.
答案:3∶2
解析:设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2πr·2r=4πr2,设球的半径是R,则球的表面积是4πR2,根据已知4πR2=4πr2,可知R=r.因此圆柱的体积是πr2·2r=2πr3,球的体积是πr3.故圆柱的体积和球的体积的比是=3∶2.
11.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.
答案:
解析:如图,设球O的半径为R,
则AH=,OH=.
又∵π·EH2=π,∴EH=1.
∵在Rt△OEH中,R2=+12,
∴R2=.
=4πR2=.
∴S
球
12.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求此圆锥的全面积与体积.
解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,
由已知条件得
=πrl+πr2=10π,
解得r=,l=4,S
圆锥全
h=,V圆锥=πr2h=.
13.一直三棱柱高为6cm,底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm,将该棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.
解:如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为R,圆柱的高即为直三棱柱的高.
∵在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,
∴△ABC为直角三角形.
根据直角三角形内切圆的性质可得7-2R=5,
=πR2·h=6π.
即R=1.于是V
圆柱
=×3×4×6=36,
∵三棱柱的体积为V
三棱柱
∴削去部分的体积为36-6π=6(6-π)(cm3),
即削去部分的体积的最小值为6(6-π)cm3.
14.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的表面积S.
解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,
因此其体积V=1×1×.
(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,从而可知AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,
故S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.
拓展延伸
15.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.
解:(1)直观图如图所示:
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以A1A,
A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的.
在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于点E,
则四边形AA1EB是正方形,
从而可知AA1=BE=1.
在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,
则BB1=.
因此几何体的表面积S=+2+S
+=1+2××(1+2)×1+1×+1+1×2=7+(m2),
正方形ABCD
几何体的体积V=×1×2×1=(m3).
故该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.。