函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
函数与数列的极限的强化练习题答案28页word文档
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===Q，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，Csin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：Q {}n x 收敛时，数列n x 有界（即n x M ≤），反之不成立，（如(){}11n --有界，但不收敛，选A6．当n →∞时，21sin n 与1k n为等价无穷小，则k = （ ）A 12B 1C 2D -2解：Q 2211sin lim lim 111n n k kn n n n →∞→∞==，2k = 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f x x=+，则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++ 112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是 解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---== 故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：Q 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或 ∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 求()f x解：22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1） 求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+-(2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+- 16．判别()fx (ln x =的奇偶性。
函数极限习题及解析
函数极限习题及解析1. 极限的定义函数极限是研究函数变化趋势的重要概念，通过求取函数在某一点附近的极限值，可以推断函数在该点的行为。
函数极限的定义如下：对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果存在一个常数 L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，满足当 0 < |x-a| < δ 时，有 |f(x)-L| < ε 成立，那么称函数 f(x) 在 x=a 处具有极限 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 基本极限公式在计算极限的过程中，常常会用到一些基本的极限公式，它们的证明可以依靠函数极限的定义以及一些基础的数学概念。
以下是一些常见的基本极限公式：公式1：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
公式2：lim(x→a) x = a。
lim(x→a) x = a。
公式3：lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
公式4：lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
公式5：lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
lim(x→a) (f(x) ± g(x)) =lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
3. 极限的题和解析题1：求函数 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解析：直接代入 x = 1，得到 f(x) = 0/0，这种形式的函数是无法通过直接代入求得极限的。
我们可以对该函数进行化简，得到 f(x) = x + 1。
高一数学函数与极限分析练习题及答案
高一数学函数与极限分析练习题及答案一、选择题1. 设函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，其定义域为$[-1,1]$，关于该函数，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递增B. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递减C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$处取得最大值D. $f(x)$在$x=0$处取得最大值答案：D2. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：D3. 设函数$f(x)=e^x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C4. 设函数$f(x)=\sin x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处连续B. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处可导C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限存在D. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限不存在答案：B、C5. 设函数$f(x)=x^3$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C二、填空题1. 函数$f(x)=\sin x$在$x=\frac{\pi}{2}$处的导数为______。
答案：12. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为______。
答案：无穷大或$+\infty$3. 函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的连续性、可导性、极限存在性均为______。
函数与极限测试题及答案(二)
函数与极限测试题(二)一. 选择题1.设 F(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数， "M 一 N" 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必 有( ).(A) F(x) 是偶函数 一 f (x) )是奇函数. (B) F(x) 是奇函数 一 f (x) 是偶函数. (C) F(x) 是周期函数 一 f (x) 是周期函数 . (D) F(x) 是单调函数 一 f (x) 是单调函数 2．设函数 f (x) = 1x, 则( ) e x 11(A) x = 0， x = 1都是 f (x) 的第一类间断点 .(B) x = 0， x = 1都是 f (x) 的第二类间断点(C) x = 0 是 f (x) 的第一类间断点， x = 1 是 f (x) 的第二类间断点 . (D) x = 0 是 f (x) 的第二类间断点， x = 1是 f (x) 的第一类间断点 . 3．设 f (x ) =x 1x， x 丰 0、1，，则 f [1f(x)] = ( )11A) 1x B) 1 x C) X D) x4．下列各式正确的是 ( )1 x1xx0+x x0+x C) lim (1 1)x= e D) lim (1+ 1) x= exx xx5．已知 lim (x + a )x= 9 ，则 a = ( )。
x x aA.1；B. ；C. ln 3；D. 2 ln 3 。
6．极限： lim (x 1)x= ( )xx +1A.1；B. ；C. e 2；D. e 2 。
7 ．极限： lim x 3+ 2 = ( )x x 3A.1；B. ；C.0；D.2．A) lim (1+ ) = 1 B) lim (1+ ) = e8．极限： lim x + 1 - 1 = ( )A.0；B. w ； C 1； D.2．29. 极限：x( x 2 + x - x) = ( )A.0；B. w ；C.2；D. 1 ． 210．极限 : limtan x - sin x = ( )A.0；B. w ；C. 1 ；D.16．16二. 填空题 11．极限 x li wm x sin=； 12. x l 0im arctanxx=；13. 若 y = f (x) 在点 x 0 连续，则 lim [f (x) - f (x 0 )]= ；x)x 014. lim = ；x)0x215. lim (1 - )n = ；n)wn16. 若函数 y =，则它的间断点是17. 绝对值函数(x, x > 0;f (x) = x =〈|l0,-x, x x 00;．其定义域是， 值域是。
高三数学函数极限试题答案及解析
高三数学函数极限试题答案及解析1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）【答案】【解析】依题意可得函数.所以，，，…，.所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.2.计算：= .【答案】【解析】这属于“”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（的最高次幂），化为一般可求极限型，即．【考点】“”型极限3.计算：=_________．【答案】3【解析】这种极限可先把待求极限式变形，然后观察是哪种展开式的极限再选用相应的方法，．【考点】“”型极限．4.若，则．【答案】【解析】由已知可得，所以，解得．【考点】极限的计算5.函数在处的极限是（）A．不存在B．等于C．等于D．等于【答案】A【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
6.等差数列，的前n项和分别为，则【答案】【解析】解：7.已知，则_______【答案】-2【解析】得，所以-2.8.若展开式的第项为，则________【答案】 2【解析】略9.设，求的最大值【答案】【解析】略10.___________【答案】【解析】略11.函数在点处可导，则，b=【答案】【解析】略12.极限存在是函数在点处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】略13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（）A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2）C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）【答案】A【解析】略14.（）A．B．0C．D．不存在【答案】A【解析】略15.= .【答案】-1【解析】略16.已知，则的值为（）A．a B．2a C．3a D．9a【答案】D【解析】则17. .【答案】【解析】略18.=A．—1B．—C．D．1【答案】B【解析】=19.已知，则的值为 .【答案】-8【解析】略20. ( )A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】本题主要考查极限的运算，故原式，故选C。
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。
因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。
b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。
在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。
c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。
在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。
题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。
b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。
c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
函数与极限测试题及答案(二)
函数与极限测试题及答案(二)1.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有(。
)。
A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数。
（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数。
（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数。
（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数。
答案：D2.设函数f(x) = 1/(ex(x-1)),则(。
)。
A）x = -1，x = 1都是f(x)的第一类间断点。
（B）x = -1，x = 1都是f(x)的第二类间断点。
（C）x = 1是f(x)的第一类间断点，x = 1是f(x)的第二类间断点。
（D）x = 1是f(x)的第二类间断点，x = 1是f(x)的第一类间断点。
答案：C3.设f(x) = [1/(x-1)]。
x ≠ 1，则f[1.x] = (。
)，x ≠ 1，则f[1.x] = (。
)。
A）1-x；（B）1-x2；（C）1-x；（D）1-x2.答案：A4.下列各式正确的是(。
)。
A）limx→+∞x/(x+1) = 1；（B）limx→0xsin(1/x) = 0；（C）limx→1(x-1)/(x2-1) = 1/2；（D）limx→∞(1-1/x)e-x = 0.答案：A5.已知limx→∞[(x3+2)/(x3+1)] = a，则a = (。
)。
A）1；（B）∞；（C）e；（D）2ln3.答案：C6.极限：lim(x→+∞)[(x+1)/(x2+2)] = （）。
A）1；（B）∞；（C）e；（D）2.答案：A7.极限：lim(x→0)(x+1-1)/x2 = （）。
A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：C8.极限：lim(x→∞)(x+1-1)/x2 = （）。
A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：A9.极限：lim(x→+∞)(x2+x-x)/x = （）。
A）0；（B）∞；（C）2；（D）1.答案：C10.极限：lim(x→π/4)(tanx-sinx)/(sin3x/2) = （）。
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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解： {}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解：∵()f f x⎡⎤⎣⎦()111111f xx==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---==故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解： 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔ 或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1） 求22():1x g x y x +=- ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()fx (ln x =的奇偶性。
解法（1）：()f x 的定义域(),-∞+∞，关于原点对称()(ln x x f -=-+=(1ln ln(x x -=+=-+()f x =-()ln(f x x ∴=为奇函数解法（2）：()()f x f x +-(ln(ln x x =++-+)ln (ln10x x ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数17．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()11f xg x x +=-，求()f x 及()g x 解： 已知()()f x g x +()11x =⋯1- 1()()1f x g x x -+-=-- 即有1()()1f xg x x --=+()2⋯()()2∴1+得()11211f x x x =--+ 故 21()1f x x =- ()()21-得()11211g x x x =+-+ 故2()1xg x x =- 18．设32lim 8n n n a n a →∞+⎛⎫=⎪-⎝⎭，求a 的值。
解： 3323lim lim 1n nn n n a a n a n a →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭lim,n naa n aee →∞-==8a e ∴=故ln83ln 2a ==19．求()111lim 12231nn n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭ 解：（1）拆项，11(1)(1)k kk k k k+-=++ 111,2,,1k n k k =-=⋯+ ()11112231n n ++⋯+⋅⋅+ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111n =-+ （2）原式=lim 11111lim n nn n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．设()()0,1,xf x aa a =>≠求()()()21limln 12n f f f n n →∞⋅⋯⎡⎤⎣⎦ 解： 原式=()122ln 1limn n a a a n→∞⋅⋯ []2ln 2ln ln 1lim n a a n a n→∞=++⋯+ 2ln 12limn a nn →∞⋯+=⋅++2(1)ln 2limn n na n →∞+=⋅⋅()ln 0,112a a a =>≠ 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设()f x()3f x =(){}f f f x ⎡⎤⎣⎦并讨论()3f x 的奇偶性与有界性。
解：（1）求()3f x()()2f x f x =()()32f x f x f f x ===⎡⎤⎣⎦（2）讨论()3f x的奇偶性()()33f x f x -==-()3f x ∴为奇函数（3）讨论()3f x 的有界性()3f x =<=()3f x ∴有界22．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为ϕ的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角ϕ的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h ，底半径为r ，依题意：漏斗容积V=213r h πh r R π==ϕ 2224R r h π2ϕ∴==故2234R V ππ2ϕ=⋅ =（2）函数的定义域()222240,2ππ-ϕ>ϕ<()0π∴<ϕ<2故)0V π=<ϕ<2 五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设()f x 为定义在(),-∞+∞的任意函数，证明()f x 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
证：(1) ()()()2f x f x f x +-=()()2f x f x --+(2)令()()()()2f x f xg x x +-=-∞<<+∞()()()()2f x f xg x g x -+-==()g x ∴为偶函数(3)令()()()()2f x f x x x --ϕ=-∞<<+∞()()()()2f x f x x x --ϕ-==-ϕ()x ∴ϕ为奇函数（4）综上所述：()f x ()g x =偶函数+()x ϕ奇函数24 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=1x，证明()f x 为奇函数。
证：（1）()()1121f x f x x⎛⎫+=⋯⋯⎪⎝⎭ 令()11,2t f f t t xt ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭函数与自变量的记号无关()()122f f x x x ⎛⎫∴+=⋯⋯ ⎪⎝⎭（2）消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出()f x ()()()()2221:4f x f x x x-⨯-=-()()22223,3x x f x f x x x---==（3）()f x 的定义域()(),00,-∞⋃+∞又()()223x f x f x x--==-- ()f x ∴为奇函数＊选做题1已知222(1)(21)126n n n n ++++⋯+=，求22233312lim 12n n n n n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪+++⎝⎭解: 222312n n n++⋯++2222233311211n n n n n n ++⋯+≤+⋯+≤+++且222312lim n n n n →∞++⋯++ ()()31(21)1lim36n n n n n n →∞++==+ 222312lim 1n n n →∞++⋯++3(1)(21)1lim6(1)3n n n n n →∞++==+∴由夹逼定理知，原式13=2 若对于任意的,x y ，函数满足：()()()fx y f x f y +=+，证明()f y 为奇函数。
解 (1)求()0f ：令()()()0,0,02000x y f f f ===→=(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-()f y ∴为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1． 下列极限正确的（ ） A ． sin lim 1x x x→∞= B ． sin lim sin x x xx x →∞-+不存在C ． 1lim sin 1x x x →∞=D ． lim arctan 2x x π→∞=解：011sin lim sin lim x t t x tx x t→∞→= ∴选C注：sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 101x x xx x A B x x x→∞→∞--===++2． 下列极限正确的是（ ）A ． 10lim 0x x e -→= B ． 10lim 0xx e +→= C ． sec 0lim(1cos )xx x e →+=D ． 1l i m (1)xx x e →∞+=解：101lim 0xx e e e--∞∞→=== ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞3． 若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0l i m x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦C ． ()()1l i mx x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠解：()()0lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞∴选D4．若()2lim2x f x x→=， 则()lim3x xf x →= （ ）A ．3B ．13 C ．2 D ．12解：()()002323lim lim 32x t tx x t f x f t →→= ()021211lim 23323t f t t→==⋅= ∴选B5．设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 解：0sin lim 1,x xx→== 01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1a ∴= 选C6．当0x +→时，()1f x =是比x高阶无穷小，则 （ ）A ．1a >B ．0a >C ．a 为任意实数D ．1a <解：00112lim lim 01a x x xa a x ++→→>=∴> 故选A二 、填空题（每小题4分，共24分）7．lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭解：原式lim 1111lim 11x xxx x e e x →∞-∞-+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim12x x →==+9．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+解：原式3972132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭328327⎛⎫== ⎪⎝⎭10．已知216lim 1x x ax x→++-存在，则a = 解：()1lim 10x x →-=()21lim 60x x ax →∴++=160,7a a ++==-11．1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x xx x e e x x-→→≤=∴= 又00arcsin limlim 1x x x xxx →→== 故 原式=112．若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n = 解：()22220ln 1limlim sin n n x x x x x x xx→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求sin 32limsin 23x x xx x→∞+-解： 原式=sin 32lim sin 23x xx xx→∞+-sin 31lim0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭sin 21lim0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭∴原式022033+==-- 14．求()1cos x x x →-解：原式有理化x →0tan (1cos )1lim(1cos )2x x x x x →-=⋅-0tan 111limlim 222x x x x x x →∞→=⋅==15．求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：令1t x=，当x →∞时，0t → 原式()10lim cos sin 2t t t t →=+ []10lim 1cos 1sin 2t t t t →=+-+()0cos 1sin 2lim2t t ttee→∞-+=16．求0ln cos 2limln cos3x xx→解：原式[][]ln 1cos 21limln 1cos31x x x →--+-变形0cos 21limcos31x x x →--等价()()2021242lim 1932x x x →-=-等价 注:原式02sin 2cos3limcos 23sin 3x x xx x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 49=⋯⋯=17．求02lim sin x x x e e xx x-→---解： 原式002lim 1cos x x x e e x -→+-- 00000lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→++=18．设()fx 1,0x e a x x -⎧+>⎪=<且()0lim x f x →存在，求a 的值。