黑龙江省2012届高三数学仿真模拟卷6 文 新人教A版

黑龙江省2012届高三数学文科仿真模拟卷6一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}1,0,,01A a B x x =-=<<，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．{}1 D ．(1,)+∞2．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ）AB．C． D．3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k =（ ）A ．22B ．23C ．24D ．254．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）A ．6B ．6πC． D．5．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为 （ ）A ． 4πB ．2πC ．πD ．2π7．设实数x 和y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为 （ ）第4题A ．26B ．24C ．16D ．148．已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．319．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s，2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s ．（填“>”、“<”或“＝”）．A ．>B ．<C ．＝D ．不能确定10、若函数()(,)y f x a b =的导函数在区间上的图象关于直线2ba x +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．③④11．已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是（ ）A ．12()()0f x f x +<B ． 12()()0f x f x +>C ．12()()0f x f x -> D ．12()()0f x f x -<12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为 （ ）第9题图A．0x = B0y ±= C ．20x y ±=D ．20x y ±=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += ；14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 ；15．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM的最小值为__________；16．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）。

那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为___________________________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =。

（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长。

18．（本小题满分12分） 某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：第12题（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率。

19．（本小题满分12分） 设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2nn n a b =的前n 项和为n T ，求n T ．20．（本小题满分12分） 如图，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是直角梯形，AB BC ⊥，//AB CD ，E ，F 分别是棱BC ，11B C 上的动点，且1//EF CC ，11CD DD ==，2,3AB BC ==．（Ⅰ）证明：无论点E 怎样运动，四边形1EFD D 都为矩形； （Ⅱ）当1EC =时，求几何体1A EFD D -的体积。

第20题21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y-+=相切，,A B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P与,A B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为12,k k，证明：12k k为定值；（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若OPOMλ=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，则按所做的第一题记分。

22．（本题满分10分）选修4—1：平面几何选讲如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点（异于A，B），过C作圆O的切线,l过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E，求证：CB=CE。

23．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1||22|.f x x x =-++ （I ）解不等式()5;f x >（II ）若不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，求a 的取值范围。

参考答案一、选择题1．B ；2．C ；3．A ；4．C ；5．A ；6．C ； 7．D ； 8．A ；9．B ；10．D ；11．D ；12．B ； 二、填空题13．5；14．12-；15．4；16．22n j-（这里j 为[1,2]n 中的所有奇数）；三、解答题17．解析：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==．---------2分cos cos(180)cos(135)C A B B =--=- ---------------- 3分43cos135cos sin135sin 2525B B =+=-+10=-．------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C ===．---------------8分由正弦定理得sin sin BC AB A C =，即2AB=，解得14AB =．------------10分在BCD ∆中，7BD =，22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =-------------------------12分18．解析：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．-----------------8分设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种．-------------------10分所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815P =．---------------12分 19．（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，-------------2分由成等差数列得，=，即6+解得11a =，故21n a n =-；-------------------------------------4分（Ⅱ）211(21)()222nn n n n a n b n -===-， ---------------------------------------5分法1：12311111()3()5()(21)()2222nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ， ① ①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ， ②①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯ 11111(1)113121222(21)()12222212n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， -----------------10分∴4212333222n n n n n n T -+=--=-．------------------------------12分 法2：121112222n n n n n n a n b n --===⋅-，设112nn k k kF -==∑，记11()()n k k f x kx -==∑，则()1111(1)()1(1)n n nn kk nk k x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑，∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ---------------------------------------10分故111(1)1123224(2)13122212n n n n n n n T F n --+=-=-+⋅-+=--．---------------12分20．解析：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，11//DD CC ，∵1//EF CC ，∴1//EF DD ，---------------------------------------2分 又∵平面//ABCD 平面1111A B C D ，平面ABCD 平面1EFD D ED =，平面1111A B C D 平面11EFD D FD =， ∴1//ED FD ，∴四边形1EF D D 为平行四边形，---------------------------------------4分 ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD 内，∴1DD DE ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形； -----------------------------5分（Ⅱ）证明：连结AE ，∵四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，∴侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD 内，∴1DD AE ⊥， --------------------------------6分在Rt ABE∆中，2AB =，2BE =，则AE =；-----------------------------------7分在Rt CDE ∆中，1EC =，1CD =，则DE =； -------------------------------8分在直角梯形中ABCD ，；∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1ED DD D = ，∴AE ⊥平面1EFD D ； --------------------------10分由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D为矩形，且DE =11DD =， ∴矩形1EFD D的面积为11EFD D S DE DD =⋅=∴几何体1A EFD D -的体积为11114333A EFD D EFD D V S AE -=⋅==．-----------------------------12分21．解析：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=，∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =----------------1分又c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=．---------------------------------------3分（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k = --------------------------------------4分 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k 为定值23-．-------------------------------6分（Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OPOMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．-------------------------7分①当3λ=时，化简得26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段； ------------------8分②当λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，------------------------------------10分当0λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足x ≤≤当1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ---------------------------------------12分22．（本小题满分10分）连结BE ,AB 是直径，∴BE AE ⊥,又 l AD ⊥，∴BE //l ，∴CEB ECD ∠=∠ ……5分又EBC ECD ∠=∠,∴EBC CEB ∠=∠,∴CE CB = ……10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为),(θρ，由余弦定理得)3cos(2221222πθρρ-⋅-+= 所以圆的极坐标方程为03)3cos(42=+--πθρρ………………… （5分） （Ⅱ）设),(y x Q 则)2,2(y x P ，P 在圆上，则Q 的直角坐标方程为41)23()21(22=-+-y x ………………… （10分） 24．（本小题满分10分）（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≤≤-+>+=)1(13)11(3)1(13)(x x x x x x x f∴5)(>x f 的解集为}⎩⎨⎧-<> 2或34 x x x ……5分（2） [)+∞∈,2)(x f ，a x f <)(()R a ∈的解集为空集，则(]2,∞-∈a ……10分。