2018-2019学年福建省福州十九中九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含精品解析)

2018-2019学年福建省福州十九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.下列四个点，在反比例函数图象上的是（）A. B. C. D.3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知⊙O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，-4），则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙外B. 点P在⊙上C. 点P在⊙内D. 无法确定5.从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是（）A. B. C. D. 16.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A. 12B. 9C. 4D. 37.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A.B.C.D.8.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB=110°，则∠AED的度数为（）A.B.C.D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.10.如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），点P为线段AB外一动点，且PA=，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是______．12.方程x（x+1）=0的解是______．13.把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是______cm．（结果保留根号）14.如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到Rt△EFC，若AB=，BC=1，则阴影部分的面积为______．15.如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为______．16.已知函数y=，点P（a，ka）在该函数上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.解一元二次方程：x2-4x-1=0．18.已知：关于x的方程3x2-（a-3）x-a=0，求证：无论a取任意实数，此方程总有两个实数根．19.求证：相似三角形对应边上的高之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B'，∠A'（∠A'=∠A），以线段A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C，使得△A'B'C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应高，并据此写出已知、求证和证明过程．20.如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．记s=x+y．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s＜6时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？21.如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1，-k+4）．（1）试确定这两函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围．22.如图，实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可以近似的用二次函数y=-200x2+400x刻画，1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似的用反比例函数y=（k＞0）刻画．（1）根据上述数学模型计算；①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7：00能否驾车去上班？请说明理由．23.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．24.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC 交于M点．点E不与B，C重合．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）当EM∥AB时，求出BE的长；（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．25.如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（-1，1）及原点，交x轴于另一点C（3，0），点D（O，m）是y轴正半轴上一动点，直线AD交抛物线于另一点B．（I）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AO、BO，若△OAB的面积为7，求m的值；（3）如图2，作BE⊥x轴于E，连接AC、DE，当D点运动变化时，AC、DE的位置关系是否变化？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是分式方程，故A错误；B、a=0时是一元一次方程，故B错误；C、是二元二次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确，故选：D．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】D【解析】解：∵反比例函数为，∴点（2，3）满足函数解析式．故选：D．由于点在反比例函数图象上，那么点的坐标满足函数的解析式，由此即可确定选择项．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．3.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：OM==5，OM=r=5，点P在⊙O上，故选：B．根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5.【答案】B【解析】解：∵四张卡片中任取一张既是轴对称又是中心对称图形的有2张，∴卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是=，故选：B．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查的是概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了轴对称图形以及中心对称图形的定义．6.【答案】A【解析】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，∴=25%，解得：a=12．故选：A．摸到红球的频率稳定在25%，即=25%，即可即解得a的值．本题考查：频率、频数的关系：频率=．7.【答案】D【解析】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．8.【答案】B【解析】解：连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=110°-90°=20°，∴∠AED=∠ACD=20°．故选：B．连接AC，如图，利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则∠ACD=∠DCB-∠ACB=20°，然后再利用圆周角定理可得到∠AED的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9.【答案】D【解析】解：由函数图象已知a＞0，c＜0，∵-=-1，∴b=2a，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选：D．由函数图象已知a＞0，c＜0，再根据对称轴的位置即可判断b和a的大小，问题得解．本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记二次函数的各种性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图所示，∵△PBM是等边三角形，点P在圆心为A，半径为的⊙A上运动，∴点M的运动轨迹也是圆，当点P1（3.5，0）时，点M与E重合，当P2（0.5，0）时，点M与F重合，点M所在的⊙O′的直径EF=P1P2=3，∴AO′=2，当点M在AO′的延长线上时，AM的值最大，最大值为2+1.5=，故选：B．△PBM是等边三角形，点P在圆心为A半径为的⊙A上运动，推出点M的运动轨迹也是圆，当点P1（3.5，0）时，点M与E重合，当P2（0.5，0）时，点M与F重合，点M所在的⊙O′的直径EF=P2P1=3，利用点与圆的位置关系即可解决问题．本题考查旋转变换、动点问题、等边三角形的性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用特殊位置解决轨迹问题中的直径的长，属于中考选择题中的压轴题．11.【答案】（3，-4）【解析】解：根据中心对称的性质，得点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，-4）．本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．12.【答案】0或-1【解析】解：x（x+1）=0x=0或x+1=0x1=0，x2=-1故本题的答案是x1=0，x2=-1本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以直接得方程x（x+1）=0的根是0，-1．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．13.【答案】（10-10）【解析】解：∵把长度为20cm的线段进行黄金分割，∴较长的线段=20×=（10-10）cm．故答案为：（10-10）．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．14.【答案】π-1【解析】解：∵Rt △ABC 中AB=，BC=1，∴AC===2．∵△EFC 由△ABC 旋转而成， ∴△EFC ≌△ABC ，∴AC=EC=2，BC=FC=1，∴S 阴影=S 扇形-S △ECF =-×2×1=π-1．故答案为：π-1．先根据勾股定理求出AC 的长，由图形旋转的性质得出AC=EC ，BC=FC ，再根据S 阴影=S 扇形-S △ECF 即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 15.【答案】2【解析】解：设点A 的坐标为（a ，），点B 的坐标为（b ，） ∵点C 是x 轴上一点，且AO=AC ∴点C 的坐标为（2a ，0）设过点O 、点A 的解析式为y=kx ，则∴k=∴直线OA 的解析式为：又∵点B 在直线OA 上， ∴∴∴（负值不合题意，舍去）∴S△ABC=S△AOC-S△OBC==4-2=2故答案为：2根据题意可以分别设点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A横坐标的两倍，从而可以得到△ABC的面积此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．通过一次函数，三角形面积的计算，突出考查的目的．16.【答案】2或【解析】解：作出函数图象如上图所示，∵点P（a，ka）在该函数上，∴点P（a，ka）在y=kx上，①当x=4，代入函数y=（x-7）2-1得y=8，可得：k=2，②当x=7，y=-1时，可得：k=故答案为：2或．根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合，找到临界位置直线，代入相应点的坐标即可得到结论．本题主要考查二次函数的性质，解决此类题的基本思路是根据题意画出图形，找到临界位置的直线，从而求出相应的k值．本题属于中等偏难得题目．17.【答案】解：x2-4x-1=0．移项得：x2-4x=1．配方得：x2-4x+4=1+4．即（x-2）2=5，开平方得：x-2=±，解得x1=2+，x2=2-．【解析】根据配方法解一元二次方程的步骤：移项、配方、开平方，即可得出方程的解．本题考查了一元二次方程的解法：配方法；熟练掌握用配方法解一元二次方程是解决问题的关键．18.【答案】证明：△=[-（a-3）]2-4×3×（-a）=a2-6a+9+12a=a2+6a+9=（a+3）2，∵（a+3）2≥0，即△≥0，∴无论a取任意实数，此方程总有两个实数根．【解析】先计算判别式的值得到△=（a+3）2，再根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．19.【答案】解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，===k，CD是△ABC的高，C′D′是△A'B'C'的高，求证：=k．证明：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B′，∵CD是△ABC的高，C′D′是△A'B'C'的高，∴∠BDC=∠B′D′C′=90°，∴△BCD∽△B′C′D′，∴=，∵===k，∴=k．【解析】（1）作∠A'B'C'=∠ABC，即可得到△A'B′C′；（2）根据相似三角形的性质定理得到∠B=∠B′，根据相似三角形的判定定理证明△BCD∽△B′C′D′，根据相似三角形的性质定理得到答案．本题考查的是作图-相似变换、相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．20.【答案】解：（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；解法一：画树状图法（）这个游戏不公平．如图，其中S＜6的可能性为，意味着甲获胜的可能性为，同样乙获胜的可能性为，对乙有利．【解析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．21.【答案】解；（1）∵反比例函数y=与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1，-k+4），∴ ，解得，k=2，∴点A（1，2），∴2=1+b，得b=1，即这两个函数的表达式分别是：，y=x+1；（2）解得，或，即这两个函数图象的另一个交点B的坐标是（-2，-1）；将y=0代入y=x+1，得x=-1，∴OC=|-1|=1，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=，即△AOB的面积是；（3）根据图象可得反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围是x＜-2或0＜x＜1．【解析】（1）根据反比例函数y=与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1，-k+4），可以求得k的值，从而可以求得点A的坐标，从而可以求出一次函数y=x+b中b的值，本题得以解决；（2）将第一问中求得的两个解析式联立方程组可以求得点B的坐标，进而可以求得△AOB的面积；（3）根据函数图象可以解答本题．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．22.【答案】解：（1）∵y=-200x2+400x=-200（x-1）2+200，①∴当x=1时，y取得最大值，此时y=200，答：喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；②∵当x=5时，y=45，∴45=，得k=225，即k的值是225；（2）该驾驶员第二天早晨7：00不能驾车去上班，理由：由（1）知k=225，∴y=，∵晚上20：00到第二天早晨7：00是11个小时，∴将x=11代入y=，得y=，∵＞，∴该驾驶员第二天早晨7：00不能驾车去上班．【解析】（1）①将二次函数解析式化为顶点式即可解答本题；②根据当x=5时，y=45，代入反比例函数解析式即可求得k的值；（2）根据题意可以求得晚上20：00到第二天早晨7：00是多少小时，然后代入反比例函数解析式，求出相应的y的值，然后与20比较大小即可解答本题．本题考查反比例函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数和二次函数的性质解答．23.【答案】解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=，∵∠PBC=∠DCB=22.5°，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，∴∠AOC=180°-∠BOC=135°，∴劣弧AC的长为：=．【解析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．24.【答案】（1）证明：如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：作EH⊥AB于H，AN⊥BC于N．∵EM∥AB，∴∠DEF=∠EAB=∠B，∴BE=EA，∵EH⊥AB，∴BH=AH=，∵AB=AC，AN⊥BC，∴BN=CN=3，∵cos∠B==，∴=，∴BE=．（3）解：能．理由：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC-EC=6-5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=6-=；∴BE=1或．【解析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；（2）作EH⊥AB于H，AN⊥BC于N．根据cos∠B==，求出BN、BH即可解决问题；（3）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．25.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（-1，1）和点C（3，0），∴ ，解得：，∴抛物线解析式为y=x2-x；（2）∵D（0，m），∴可设直线AD解析式为y=kx+m，把A点坐标代入可得1=-k+m，即k=m-1，∴直线AD解析式为y=（m-1）x+m，联立直线AD与抛物线解析式可得，消去y，整理可得x2-x-（m-1）x-m=0，解得x=1或x=4m，∴B点横坐标为4m，∵S△AOB=7，∴OD（4m-1）=7，即m（4m-1）=7，解得m=-或m=2，∵点D（0，m）是y轴正半轴上一动点，∴m=2；（3）AC和DE的位置关系不变，证明如下：设直线AC解析式为y=k′x+b′，∵A（-1，1）、C（3，0），∴ ，解得，∴直线AC解析式为y=-x+，由（2）可知E（4m，0），且D（0，m），∴可设直线DE解析式为y=sx+m，∴0=4ms+m，解得s=-，∴直线DE解析式为y=-x+m，∴AC∥DE，即AC和DE的位置关系不变．【解析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设直线AD解析式为y=kx+m，把A点坐标代入可求得k与m的关系，联立直线AD与抛物线解析式，则可用m表示出B点横坐标，从而可用m表示出△AOB的面积，结合△AOB的面积为7可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由A、C坐标可求得直线AC的解析式，用m可表示出D、E的坐标，则可表示出直线DE的解析式，则可证得结论．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、直线的位置关系等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出B点的坐标是解题的关键，在（3）中求得直线AC和DE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。