刚体自测题

)
1(计算题 绕定轴转动的刚体的转动定律 动能定理
一、 选择、填空题
1. 一半径为R ，质量为m 的圆形平板在粗糙水平桌面上，绕垂直于平板器且过圆心的轴转
动，摩擦力对OO’轴之力矩为
【 A 】
m g R 32)
A (μ；m gR )
B (μ；mgR 2
1
)C (μ；0)D ( 2. 转动着的飞轮的转动惯量为J ，在t=0时角速度为ω0。

此后飞轮经历制动过程，阻力矩
M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k (k 为大于0的常数)，当03
1
ωω=时，飞
轮的角加速度J 9K 2
0ωβ-=，从开始制动到031ωω=所经过的时间K
J
2t 0ω=。

3. 一根均匀棒长l ，质量m ，可绕通过其一端且与其垂直的定轴在铅直面内自由转动，开始时棒静止水平位置，它当自由下摆时，它的角速度等于0，初角加速度等于l
2g
3。

已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的转动惯量为2
ml 3
1J =。

4. 在半径为R 的定滑轮上跨一细绳，绳的两端分别挂着质量为m 1和m 2的物体，且m 1>m 2。

若滑轮的角加速率为β，则两侧绳中的张力分别为βR m g m T 111-=，βR m g m T 222+=。

二、 计算题
1. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动，假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为2MR 2
1
J =
，滑轮轴光滑。

试求该物体由静止下落的过程中，下落速率与时间的关系。

研究系统：物体和滑轮，受力分析如图所示
当物体下降x 距离时，物体和滑轮的运动方程为
ma T mg =-
β2MR 21R 'T =
, R
a ,'T T ==β dt dv m T mg =-，dt
dv
M 21T =
两式相加得到：dt dv )M 21m (mg +=，dt )M m 2(mg 2dv +=
, t )M m 2(m g
2v +=
)
2(计算题θ
)
4(计算题2. 一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。

轴水平且垂直于轮轴面，其半径为R ，整个装置架在光滑的固定轴承之上，当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离s ，试求整个轮轴的转动惯量(用m 、R 、t 和s 表示)。

✉ 研究系统，物体和轮轴，受力分析如图所示
当物体下降s 距离时，物体和滑轮的运动方程为
ma T mg =-
βJ R 'T =, R
a ,'T T =
=β dt dv m T mg =-，dt dv R J T =, 两式相加得到：dt
dv
)R J m (mg 2+=,
t )
R
J m (mg
v 2+=
根据：dt
ds
v =，tdt )R J m (mg ds 2+=
，2
2
t )R J m (mg 21s +=, 22mR )1s 2gt (
J -= 3. 以M=20N ⋅m 的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s 内该轮的转速由零增大到100 rev/min 。

此时移去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用又经100 s 而停止。

试推算此转轮的转
动惯量。

✉ 设转轮受到的阻力矩：f M
根据题意：βJ M M f =-，根据：1t βω=，得到：1
f t J M M ω
=- 移去外力矩后：βJ M f =-，根据：2t 0βω+=，得到：2
f t J M ω
=
所以：2
1
t J
t J
M ω
ω
+=，)
t t (t Mt J 212
1+=
ω，2m kg 4.17J ⋅=
4. 一均质细杆，质量为0.5 kg ，长为0.40 m ，可绕杆一端的水平轴转动。

若将此杆放在水平位置，然后从静止释放，试求杆转动到铅直位置时的动能和角速度。

✉ 细棒绕通过A 点的定轴转动，取顺时针转过的角度为正，当
细棒由水平位置转过角度θ，重力矩做的功为：
θθθ
d cos mg 2
1
A 0
g ⎰
=，θsin mgR 21A g =
根据刚体绕定轴转动的动能定理：0J 21A 2g -=
ω，0J 2
1
sin mgl 212-=ωθ 转过任一角度时，角速度为：
J sin mgl θω=，将2ml 31J =代入，得到：l
sin g 3θω=
)
1(计算题杆转动到铅直位置时的动能：2
π
θ=
，细棒的动能：mgl 2
1
E k =
, J 98.0E k = 杆转动到铅直位置时的角速度：2
π
θ=，l
g
3=
ω，s /rad 57.8=ω
一、 选择、填空题
1. 花样滑冰运动员绕自身的竖直轴转动，开始时臂伸开，转动惯量为J 0角速度为ω0，然后她将两臂收回，使转动惯量减少为0J 3
1
J =。

这时她转动的角速度变为 【 C 】
00
003)
D (3)C ()3/1()B (3
1)
A (ωωωω
4. 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂，现有一个小球自左方水平打击细杆，设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过
程中对细杆与小球这一系统。

【 C 】
(A) 只有机械能守恒; (B) 只有动量守恒;
(C) 只有对轴O 的角动量守恒; (D) 机械能、动量和角动量均守恒。

5. 匀质园盘水平放置，可绕过盘心的铅直轴自由转动，园盘对该轴的转动惯量为J 0，当转动角速度为ω0时，有一质量为m 的质点落到园盘上，并粘在距轴R/2处(R 为园盘半径)，则它们的角速度02
00
m
R 4
J J ωω+=
二、 计算题
1. 长为l 质量为m 0的细杆可绕垂直于一端的水平轴自由转动。

杆原来处于平衡状态。

现有一质量为m 的
)4(选择题)
5(选择题
)
4(计算题小球沿光滑水平面飞来，正好与杆下端相碰(设碰撞为完全弹性碰撞)使杆向上摆到
60=θ处，如图所示，求小球的初速度。

✉ 研究系统为小球和直杆，系统所受外力对于转轴
的力矩为零。

系统角动量守恒：ω200l m 3
1
mvl l mv +=
弹性碰撞系统动能守恒：
22022
0)l m 3
1(21mv 21mv 21ω+= 碰撞后，直杆绕固定轴转过角度
60=θ，直杆重力矩做的功等于直杆动能的增量
22000)l m 31
(210)60cos 1(gl m 21ω-=-- 2l 3
1g 21ω= 由以上三式得到：gl 6m
12m
3m v 0
0+=
4. 有一圆板状水平转台，质量M=200 kg ，半径R=3 m ，台上有一人，质量m=50 kg ，当他站在离转轴r=1m 处时，转台和人一起以ω1=1.35 rad/s 的角速度转动。

若轴处摩擦可以忽略不计，问当人走到台边时，转台和人一起转动的角速度ω为多少？
✉ 研究系统为人和转台，系统所受外力对
转轴的力
矩为零，系统角动量守恒：
ωωωω221212mR MR 2
1
mr MR 21+=+ 当人走到台边时，转台和人一起转动的角速度：12
22
2mR
2MR mr 2MR ωω++=，s /rad 95.0=ω 刚体力学习题课 （二）
1. 一电机的电枢转速为1800 r/min ，当断电后，电枢经20s 停下，试求 (1) 在此时间内电枢转了多少圈?
(2) 电枢经过10 s 时的角速度以及电枢周边的线速度，切向加速度和法向加速度。

✉ 刚体绕定轴转动的角速度：t 0βωω+=，t
ωωβ-=
，t
ωβ-
=，2
s /rad 3πβ-=
转过的角度：20t 21t βωθ+
=， rad 600πθ=，转过的圈数：3002N ==π
θ 当s 10t =，t 0βωω+=，s /rad 30πω=
)
4(计算题线速度：s /m 3R v πω==，切向加速度：βτR dt
dv
a ==
，2s /m 3.0a πτ-= 法向加速度：22
n R R
v a ω==，22n s /m 90a π=
4. 长为L 的均匀细杆可绕端点O 固定水平光滑轴转动。

把杆摆平后无初速地释放，杆摆到竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。

球的质量与杆相同。

设碰撞是弹性 ，求碰后小球获得的速度。

研究对象为直杆和小球
过程一为直杆在重力矩的作用下，绕通过O 的轴转 动，重力矩做的功等于直杆的转动动能 根据刚体动能定理：
0J 2
1
mgl 212O -=ω 碰撞前的角速度：l
g
3=
ω 过程二为直杆和小球发生弹性碰撞：系统的角动量和动能守恒
mvl 'J J O O +=ωω和2O 22O 'J 2
1
mv 21J 21ωω+=，
将l g 3=ω代入上述两式：得到gl 32
1
v =。