(定稿)第三讲 中国古代数学

刘徽和祖冲之父子
2、中算发展的第二时期：数学稳步发展 从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝 建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动 荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独 尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学上 也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀 算经》、《九章算术》的形式出现，实质是寻 求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这 是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中 国传统数学稳步发展的时期。
《周髀算经》
《周髀b ì算经》 （髀：量日影的标杆）是我国 最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应 天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要 内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方 法。 《周髀算经》也是中国最古的算书，成书确切 年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。 李约瑟认为：“最妥善的办法是把《周髀算经》 看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。”
九章算术之开方术
今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？ 答曰：二百三十五步。 开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。 议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除 已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置 借算步之如初，以复议一乘之。所得副之， 以加定法，以除，以所得副从定法。复除折 下如前。
九章算术
《周髀算经》
勾股定理的普遍 形式 求邪至日者，以 日下为勾，日高 为股，勾股各自 乘，并而开方除 之，得邪至日。 陈子测日法

相似形方法 《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
《周髀算经》中的勾股定理
周公问商高关于计算的问题，商高答曰： “数之法出于圆方，圆出于方，方出于 矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为 勾广三，股修四，径隅五。” 荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾 股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪 至日者，以日下为勾，日高为股。勾、 股各自乘，并而开方除之，得邪至 日，…”
计算圆内接正3072边形求出圆周率为 3927/1250 即3.1416
徽率157/50即3.14
《九章算术注》
刘徽的割圆术
《九章算术(48边形)
割圆术(96边形)
《九章算术注》
刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）
圆周率
刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192=6×25边形，得到 “徽率”3.14。 推测祖冲之可能也是沿用了“割圆术”， 计算到圆内接正24576=6×212边形，即可 得祖冲之的结果。
九章算术
[五]今有十八分之十二，问约之得几何？ 答曰：三分之二。 [六]又有九十一分之四十九，问约之得几 何？答曰：十三分之七。 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置 分母子之数，以少减多，更相减损，求其 等也，以等数约之。
九章算术
第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例 问题。书中的“今有术”给出比例式中已知 三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出 现。 第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比 等问题。 第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由 球体积求经长的算法，这是世界上最早的多 位数开平方、开立方法则的记载。
秦汉时期形成中国传统数学体系
秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）
《算数书》
中国现存最早的 数学书《算数书 》(西汉, 约公元 前 170 年 , 19831984年间湖北江 陵张家山出土)
《算数书》
研究得知，这“本”竹简《算数书》和《九章 算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例 也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、 术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九 章算术》的一样。
A O C D B
S2n S0 S2 n (S2 n Sn )
《九章算术注》
公元263年撰《九章算术注》 阐述了中国传统数学的理 论体系与数学原理 中国传统数学最具代表性 的人物
刘徽(魏晋, 公元3世纪) （中国，2002）
《九章算术注》
刘徽的割圆术
公元263年撰《九章算术注》。割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
魏晋南北朝时期 中国传统数学稳步发展
三国演义(中国，1998）
刘徽的数学成就
刘徽的《九章算术注》包含了他本人的许 多创造，其中最突出的成就是“割圆术” 和求积理论。 若设圆面积为 S 0 ，内接 正n边形边长为 ln ，面积为 S n 2 则 2 2 1 1 1 l2 n ln r r 2 ln , S 2 n nln r 2 2 2
正负术
李文林指出：“对负数的认识是人类数 系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理 量是演绎思维的发现，那么中算负数则 是算法思维的产物。中算家们心安理得 地接受并使用了这一概念，并没有引起 震撼和迷惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度数学家 婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学 家的著作还回避使用负数。
第五章“商功”讲述各种土木工程中的体 积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、 修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造 了许多有关土方体积计算和估算的方法， 本章即为经验和方法的理论总结，诸如长 方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算 公式都与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。
九章算术
第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算 问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。 第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解 法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该 方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特 别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧 洲，13世纪意大利数学家斐波那契的《算经》 一书中专门有一章讲“契丹算法”。
《周髀算经》中的勾股定理
《周髀算经》还记载了商高的用矩之法： “平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测 深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以 为方。”
九章算术
《九章算术》成书于公元前后，是我国最重要、 影响最深远的一本数学著作。它不是出自一个 人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其 中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国 儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子 弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、 书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》 是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前 213年）之前，至少已有原始的本子。
祖冲之(429-500年) （中国，1955）
祖冲之
祖冲之的著作《缀术》，取得了圆周率的计 算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之 关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐，魏 征主编）的《律历志》中：“古之九数，圆 周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张 衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率， 未臻折衷。祖冲之算出圆周率在3.1415926与 3.1415927之间，并以355/113（=3.1415929…） 为密率，22/7（=3.1428…）为约率。
陶渊明诗句
泛览周王传， 留观山海经。 俯仰终宇宙， 不乐复何如。
王国维读书三境界
“昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天 涯路”（原文选自晏殊的《蝶恋花》）， 此乃第一境也。“衣带渐宽终不悔，为 伊消得人憔悴”（原文选自柳永的《蝶 恋选自辛弃疾的《青玉案 元 夕》），此乃第三境也。
算经十书
出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下 令对以前的数学著作进行整理。公元656年 由李淳风负责编定了算经十书：《周髀算 经》、《九章算术》、《孙子算经》、 《五曹算经》、《张邱建算经》、《夏侯 阳算经》、《缉古算经》、《海岛算经》、 《五经算术》和《缀术》，后因《缀术》 失传，而以《数术记遗》替代。
勾股术
第九章“勾股”在《周髀算经》中勾股定理 的基础上，形成了应用问题的“勾股术”， 从此它成了中算中重要的传统内容之一。 今有池方一丈，葭jiā生其中央，出水一尺。 引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？ 答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。 术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。 余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得 葭长。
《九章算术》
《九章算术》 (东汉, 公元100年)
九章算术
后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳 风等人均对《九章算术》作过注。特别是 刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解， 阐述了重要的数学理论。《九章算术注》 是《九章算术》得以流芳百世的重要补充 和媒介。
对《九章算术》的评价
日本数学家小苍金之助把《九章算术》说成是中 国的《几何原本》。吴文俊教授也认为，《九章 算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展 历史中具有崇高的地位，足可与希腊的《几何原 本》东西辉映，各具特色。 1968年德国沃格尔（Vogel）把《九章算术》译 成德文出版时加的评论认为：“在古代算术中， 包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比 伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊而论，所 保存的古算题为我们所熟知者，也属于希腊化时 代。”
祖冲之(南朝宋、齐, 429-500年)
刘徽的求积理论
刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而 又基本的原理之上，这就是“出入相补原 理”。刘徽用这条原理成功地证明了《九 章算术》中的许多面积公式。 刘徽在推证《九章算术》中的一些体积公 式时，灵活地使用了两种无限小方法：极 限方法与不可分量方法。比如，“阳马” 体积公式便是用极限方法推导出来的，而 球体积公式的推导则使用了不可分量方法。 为计算球体积，刘徽提出“牟合方盖”。
九章算术
第八章“方程”讲述线性方程组的解法， 还论及正负数概念及运算方法。 中算的方程，本意是指多元一次方程组 （线性方程组）。刘徽在《九章算术注》 中指出：“程，课程也。群物总杂，各列 有数，总言其实。令每行为率，二物者再 程，三物者三程，皆如物数程之，并列为 行，故谓之方程。”
方程术例题
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾 二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、 中、下禾实一秉各几何？
第三讲 中国古代数学
中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至 公元14世纪。分成三个阶段：两汉时期；魏晋 南北朝时期；宋元时期。 主要数学典籍：《周髀算经》与《九章算术》 等 古代数学家：刘徽、祖冲之等