微积分(二)综合测试4答案

《微积分》下册 综合测试4
参考解答
一、
填空题：（共5小题。

每小题2分，合计10分）
1. 0
2. {
}
(,)|0,0D x y y x x y =≤
≥+> 3. 12sin 2x f e y f x ''⋅+⋅ .
4. 1
5. 12(cos2sin 2)x y e c x c x -=+
二、单项选择题：（共10小题。

每小题2分，合计20分）
1.(C)
2.(B)
3.(D)
4.(D)
5.(C)
6.(B)
7.(B)
8.(A)
9. (B) 10.(B)
三、计算题：（共8小题。

每小题7分，合计56分）
1.解 （用根值判别法）
由于lim
1
n n na
a n →∞==+
故当1a >时，级数发散；1a <时，级数收敛。

1a =时，根值判别法失效。

但这时，1
lim lim(
)01n n n n n u n e
→∞
→∞
==≠+，故级数发散。

2.解 因2222
22()
0()0(,)x y x y x y x y x y x y x y e
x y e e e e -+++≤+=+≤+→→+∞→+∞ 故 2
2
lim ()0-+→+∞
→+∞
+=x y
x y x y e
．
3.解
, g f f g f f y x x y x u v y u v
∂∂∂∂∂∂=-=+∂∂∂∂∂∂ 2222222
22()g f f f f f y xy x y x x u u v v v u v
∂∂∂∂∂∂=----∂∂∂∂∂∂∂∂， 2222222
22()g f f f f f
x yx y x y y u u v v v u v ∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂∂ 故可得 22222
2g g x y x y
∂∂+=+∂∂ 4.解
x v x u
x x e x y x x f e x x f e x x f e y 222222),(),(),(2----+-='+'+-='，
因此，所求的一阶微分方程为x
e
x y y 222-=+'.
解得 x dx
x dx e C x C dx e e x e y 232222)3
1()(---+=+⎰⎰=⎰
(C 为任意常数).
5.解用单位圆弧
221
x y +=将D 分为D 1和D 2两个区域，于是
()1
2
2
2222211(1)D
D D x
y d x y d x y d σσσ
+-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
1
222222(1)(1)(1)D D
D x y d x y d x y d σσσ=--++-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
22222(1)(1)D D
x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰
130********
r dr πππ⎡⎤=⋅--=-
⎢⎥⎣⎦⎰.
()'()'()z u z u z f u f u f u x x y y
∂∂∂∂==⋅=⋅
∂∂∂∂6.解 由得 ,
,
'()(),'()()()(),()()0.1'()1'()x y u u u u u p x u p y x x y y u p x u p y z z p y p x x u y u x y ϕϕϕϕ∂∂∂∂=⋅+=⋅-∂∂∂∂∂∂-∂∂∴==⇒+=∂-∂-∂∂在方程两端分别对求偏导数,得
7.解 由x y z
u e ++=可得
(1)x y z du
e y z dx
++''=++. 将
2
ln(1)0 ln x
t y z e dt y e e z +++==+⎰
与 两边分别对x 求导，得
2
11
0 ()1x y z e y e y z z y z
+''''+
=+=+及 由于x =0时有y =0及z =1,于是得
1(0)0 [(0)(0)](0)y e y z z ''''+=⋅+=及
⇒
(0)1, (0)1
e
y z e ''=-=-.
故
[]2
(0)(0)
1(0)(0)1
y z x du
e e
y z dx
e +=''=⋅++=-
2
222
22
))z z x y z z a x y a x y ∂∂==∂∂∂∂∴+=∂∂--
8.解 1+((
2
2
2
2
22
220
2()
x y a b
x y a b d a a b +≤-+≤-==
=-⎰⎰
⎰⎰
⎰
于是
π
θ
π
四、应用题：（8分）
解 （1）总利润函数
11221222
1
2122()5 =-2Q 16105
L R C p Q p Q Q Q Q Q Q =-=+-+--++-
令 1211224160 4,52100Q
Q
L Q Q Q L Q '=-+=⎧⎪⇒==⎨
'=-+=⎪⎩ 则 1210 (/7 (/p p ==万元吨），万元吨）
因驻点（4,5）唯一,故最大值必在驻点处取得，即最大利润为
22245164105552 (L =-⨯-+⨯+⨯-=万元）
. (2) 无差别定价，即1212, 26p p Q Q =-=得 构造拉格朗日函数
2212121212(,,)216105(26)F Q Q Q Q Q Q Q Q λλ=--++-+--
令 121212416202100260
Q
Q
F Q F Q F Q Q λλλ'=-++=⎧⎪'=-+-=⎨⎪'
=--=⎩ 解得 125,4,2Q Q λ===.从而128p p == 最大利润
22254165104549L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）
可见，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格得总利润.
五、证明题：（本题6分）
证明：对于
()a
y
a x dy e f x dx -⎰
⎰，交换积分次序，有
00
()()()()
()()a
y
a
a
a
a x
a x
a x x
a x u
a u x a
dy e
f x dx dx e
f x dy e f x a x dx
e f a u udu xe f a x dx
----===-=--=-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰令。